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专题17 导数与函数的极值、最值（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 10
【考点1】根据函数图象判断极值 10
【考点2】求已知函数的极值 17
【考点3】由函数的极值求参数 23
【考点4】利用导数求函数的最值 31
【分层检测】 37
【基础篇】 37
【能力篇】 49
【培优篇】 53
考试要求：
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
6．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
7．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
8．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 .
参考答案：
1．B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
3．D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
4．BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
5．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
6．AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
7．
【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为，所以方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，即图象在上方
当时，，即图象在下方
，图象显然不符合题意，所以．
令，则，
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
设函数，则，
若，则在上单调递增，此时若，则在
上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数
且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．
8．1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
【考点1】根据函数图象判断极值
一、单选题
1．（21-22高三·北京西城·开学考试）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
2．（21-22高二下·北京西城·期末）设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·山东临沂·模拟预测）设函数，其中R，则（ ）
A．当时，有2个极值点
B．当时有1个极值点
C．当时，有0个极值点．
D．若，成立，则
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）
A．1是的极大值，也是的极大值 B．1是的极大值，也是的极小值
C．1是的极小值，也是的极小值 D．1是的极小值，也是的极大值
三、填空题
5．（2021·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x 0 2 4 5
3 1 2.5 1 3
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①在区间上单调递增；
②有2个极大值点；
③的值域为；
④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是 ．
6．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数无极值点，则实数a的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案.
【详解】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增.
故至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
2．B
【分析】由题设，根据所过的点可得，结合图象求出极小值点并代入求参数，即可得解析式，注意验证所得参数是否符合题设.
【详解】由题设，，则，故，
所以，
令，可得或，由图知：且处有极小值，
所以，即，，经验证满足题设，
故.
故选：B
3．BD
【分析】求导，记，结合图象讨论可知函数的单调性，结合分析可得答案.
【详解】的定义域为
当时，单调递增，显然无极值，故A错误；
记
由，即，解得
所以当时，，即，
所以在定义域内单调递增，此时无极值，
当或时，记的两根为，且
则时，因为，所以由图可知
则时，，单调递增，时，，单调递减
所以此时在处有极大值，故B正确；
当时，因为，由图可知
或时，，时，，
所以在处有极大值，在处有极小值，故C错误；
当时，因为，由图可知
时，时，
所以在上单调递减，在单调递增
因为，所以由上可知，要使，成立，必然有在上单调递增，所以，故D正确.
故选：BD
4．ABC
【分析】由题意构造函数图象满足题干依次判定选项即可.
【详解】对于A选项，构造如图所示图象，则A选项正确；

对于B选项，构造如图所示图象，则B选项正确；

对于C选项，构造如图所示图象，则C选项正确；

对于D选项，因为1是的极小值，则在1的附近存在，使得，
又1也是的极大值，则在1的附近存在，使得，
所以在1的附近存在与，使得，不合题意，故D错误.
故选：ABC.
5．③④
【分析】画出函数图象，数形结合作出判断.
【详解】根据函数的导函数的图象与表格，整理出函数的大致图象，如图所示．
对于①，在区间上单调递减，故①错误；
对于②，有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；
对于③，根据函数的极值和端点值可知，的值域为，故③正确；
对于④，如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号是③④．
故答案为：③④
6．
【分析】若函数无极值点，则导数无变号零点，令，根据的正负得出其单调性，即可根据导数无变号零点列不等式求解，即可得出答案.
【详解】，则，
若函数无极值点，
则无变号零点，
令，
则，
当时，，，，则，则，
当时，，，，则，则，
则在上单调递减，上单调递增，
即在上单调递减，上单调递增，在处取得最小值，
若无变号零点，则，解得：，
故答案为：.
反思提升：
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
【考点2】求已知函数的极值
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·二模）函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，存在唯一极小值点
C．对任意在上均存在零点
D．存在在上有且只有一个零点
二、多选题
3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3 B．，
C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个
4．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3 B．4 C．5 D．6
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足当时，（为的导函数），且，则的极大值为 ．
6．（2023·西藏拉萨·一模）已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数 ；当函数有三个零点时，函数的极大值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可.
【详解】因为函数在处取得极大值，
则，且，
即，所以；
所以，，
令，则或，
由，，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在处取得极大值，.
故选：C.
2．C
【分析】对于A：代入，直接函数性质判断；对于B：代入，求导研究函数单调性来判断；对于CD：求出在上的单调性和极值，再来判断即可.
【详解】对于A：当时，，
当时，，则，
当，，则，不能取等号，
所以恒成立，A正确；
对于B：当时，，则
令，则，由选项A得恒成立，
则在上单调递增，又，
故存在使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故存在唯一极小值点，B正确；
对于CD：令，当，显然不是零点，
当时，令，得，
则令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增
此时有极小值，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时有极大值，
故选项C中任意均有零点，错误；
选项D中，存在在上有且只有一个零点，此时，
故选：C .
【点睛】方法点睛：一：对于不等式恒成立问题可以构造函数，转化为函数最值问题来解决；二：对于零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题来解决.
3．AC
【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假.
【详解】对A,B，因为，.
所以，.
设，，则，因为，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，
且，，
所以，使得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，
，因为，
所以，
因为，所以.故A正确，B错误；
对D，又，.
所以，.
设，则，，所以在恒成立.
所以在上单调递增，
所以至多一个解，故D错误；
对C，又因为，，
所以只有一解，在区间内.
所以在上单调递增，且，
所以在上无零点.故C正确.
故选：AC
4．ABCD
【分析】方程得或，作出函数图象，数形结合判断解的个数.
【详解】，有，
当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，有极小值.
，由二次函数的性质可知，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值.
由的图象如图所示，

由得或，
由图象可知有3个解，可能有1，2，3，4个解，
若，则有3个解；
若，则方程可能有4，5，6，7个解.
故选：ABCD.
【点睛】方法点睛：
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
5．4
【分析】利用导数判断函数单调性，并结合函数的奇偶性求解函数的极大值即可.
【详解】因为当时，，所以，
又，故．
由可知，时，，单调递减，
时，单调递增，
故在上的极小值为，
又为奇函数，
所以的极大值为．
故答案为：4
6． /
【分析】因式分解得，然后根据零点互为相反数可得解析式；当函数有三个零点时，求出解析式后利用导数求极值即可.
【详解】，
当时，函数有两个零点，其中一个为，另一个必为1，
于是；
当有3个零点时，因为函数的图象与轴的交点关于轴对称，
所以0是函数的零点，
从而1也是函数的零点，
于是，
由，得，
当或时，；当时，.
所以，当时，函数有极大值，极大值为．
故答案为：；.
反思提升：
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
【考点3】由函数的极值求参数
一、单选题
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点 B．若，则
C．恰有2个异号零点 D．若，则
4．（2024·江苏徐州·一模）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
三、填空题
5．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点.若方程在上的所有根之和等于2024，则满足条件中整数的值构成的集合为
6．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
参考答案：
1．D
【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.
【详解】由题意得，，故，
因为函数在上无极值，
所以在R上恒成立，
当时，，
设，则，
当时，得，当时，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，故，
当时，，则.
综上，.
故选：D.
2．A
【分析】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在上有两个变号零点，再进行参数的讨论即可.
【详解】解法一 由题意得．
因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点．
当时，在上恒成立，不符合题意．
当时，令，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，，
所以，则，故选A．
解法二 由题意得．
因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点．令，得，
令，则直线与曲线在上有两个不同的交点，因为，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，当趋近于0时，趋近于，
当趋近于时，趋近于， 所以可作出函数的大致图象如图所示，
若直线与曲线在上有两个不同的交点，则，
故实数的取值范围是．
故选：A．
【点睛】方法点睛：本题考查已知函数极值点个数求参数范围.对于函数零点个数的相关问题，常常利用导数和数形结合思想来求解．求解这类问题的步骤：
（1）构造函数，并求其定义域，这是解决此类题的关键点和难点；
（2）求导，得函数的单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况，进而求解．
3．BD
【分析】利用函数导数的符号可判断AC，设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程有三解，转化为利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断BD.
【详解】因为，所以在上单调递增，故AC错误；
设过原点的函数的切线的切点为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
即，
因为过原点，所以，
化简得，即方程有3个不等实数根，
令，则，
当时，或时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以极大值，极小值为，如图，
所以与相交有三个交点需满足，故B正确；
同理，当时，可知极大值，极小值为，如图，

可得时，与相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
4．ABD
【分析】对于A：求导，确定单调性，然后利用零点存在定理判断；对于B：求导，利用导数研究函数单调性；对于C：直接验证时的极值情况；对于D：求导，作出的图象，观察图象可得.
【详解】对于A：当时，，令，得，
令，得，即在上单调递增，
又，，由零点存在定理可得在上有唯一零点，即有唯一零点，A正确；
对于B：，
令，得，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，又当时,，所以恒成立，即当时，是减函数，B正确；
对于C：当时，由B知，即，所以，即在上单调递减，无极值，C 错误；
对于D：当时，，，
令，得，
令，则，
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
所以，
即恒成立，
所以单调递减，又，
所以，
所以在上单调递减，
且当时，，当时，，
可得的大致图象如下：
由图可知对任意实数，总存在实数，使得，D正确；
故选：ABD.
5．
【分析】先根据题意求出；再作出和的图象，分析函数图像的特点及交点情况；最后列出关系式求解即可.
【详解】函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点
，而，解得，
则.
在同一个坐标系内作出和的图象，如图所示：

显然和的图象均关于点对称，则它们图象的交点也关于点对称.
又因为区间的中点是，方程在上的所有根之和等于2024.
所以函数和的图象的交点为偶数个，交点横坐标按从小到大记为.
则，，
即
即，解得.
所以函数和图象在有个交点，506对交点.
由图象可知函数和图象在区间上无交点，在， ，……上各有两个交点，且的周期为.
故，解得
所以满足条件中整数的值构成的集合为
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查方程根与函数图像交点之间的关系，解题关键是先求出函数的解析式；再数形结合分析函数图像的特点及交点情况；最后结合函数是周期函数及无限接近轴的特点，即可列出关系式.
6．
【分析】将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.
【详解】的定义域为，
，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
作出的草图如图，
由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势.
反思提升：
1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
【考点4】利用导数求函数的最值
一、单选题
1．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（ ）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
2．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数当且仅当在时取极小值
B．当时，函数有无数个零点
C． ，
D．若在区间上的最小值是0，则
三、填空题
5．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 .
6．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数.设k为正数，对于任意x，若，二者中至少有一个大于2，则的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确.
【详解】对于A，定义域为，，
为偶函数，A正确；
对于B，令，即，，解得：，
有无数个零点，B正确；
对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；
，，
不是的极小值点，C错误；
对于D，，；
则当，，即时，取得最大值，D正确.
故选：C.
2．A
【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围.
【详解】设直线与相切与点，因为，
所以切线方程，即，
设直线与相切与点，
因为，所以切线方程，即，
，
所以有解，
令，，
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，
因为，，所以，所以，
的范围为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.
3．BD
【分析】由，可判定A错误；当，利用导数求得的单调递增区间，可判定B正确；当，利用导数求得函数的的单调性，求得在上的最小值为，可判定C错误；根据题意，分和、，结合函数的单调性，以及，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为函数，可得，
则，所以，解得，所以A错误；
对于B中，若，则，
当时，可得，所以的单调递增区间为，所以B正确；
对于C中，若，则，
令，解得或（舍去），
当，即时，在上，可得，在上是增函数，
所以函数在上的最小值为；
当，即时，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在上的最小值为，所以C错误；
对于D中，因为，当时，，所以函数在上是增函数，
则，所以成立；
当时，由C项知：当时，，则成立；
当时，，即在区间上存在使得，
则不成立，
综上，实数的取值范围为，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的极值、最值等问题的求解策略：
1、求函数在闭区间上的最值时，在得到函数的极值的基础上，结合区间端点的函数值与的各极值进行比较得到函数的最值；
2、若所给函数含有参数，则需通过对参数分离讨论，判断函数的单调性，从而的函数的最值；
3、若函数在区间上有唯一的极值点，这个极值点就是函数的最值点，此结论在导数的实际问题中经常使用.
4．AC
【分析】A.首先判断函数是偶函数，并且判断函数的单调性，即可判断；
B.令，求解方程，即可判断选项；
C.恒成立，即，，转化为，转化为求函数的最值，即可判断选项；
D. ，，参变分离后，转化为 利用导数判断函数，的单调性，即可判断选项.
【详解】对于A，函数是偶函数，当时，，
当时，，
令，，，，在上单调递增，又是偶函数，故A正确；
对于B，当时，，函数有且仅有一个零点，故B错误；
对于C，假设恒成立，函数是偶函数，则必有，，即，∴，令，，，，故C正确；
对于D，函数在区间上的最小值是0，∴，，故当，；
当时，，令，，
再令，，
∴，即，∴在上单调递增，∴，故D错误.
故选：AC.
5．
【分析】先将不等式同构变形为，构造函数，求导判单调性转化为解不等式0或，令，求导求得最大值小于等于0即可求解.
【详解】，即，
令，则.
设，其中，
则，令，得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，又，
所以存在，使得，
所以若，则或，即0或恒成立，
当，故不可能，
，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，所以只有才能满足要求，
即，又，解得，所以正实数的最大值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数.
第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
6．
【分析】通过导数求解函数在定义域的单调性及极值点，再向左平移个单位长度即可.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
导函数为，
令，解得或，
令，解得，
所以函数在和单调递增，函数在单调递减，
所以的极大值为，极小值为，如图①所示.
函数的图象如图②所示，令，解得或或，
所以当或或时，，
当时，，
所以或时，.
因为为正数，且向左平移个单位长度得，
如图③所示，当时，在或成立，
即，二者至少有一个大于2，
所以向左平移个单位长度，，二者至少有一个大于2，
所以的取值范围为：.
故答案为：.
反思提升：
1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增
C．存在实数，使得 D．有最小值
3．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当时，函数有且只有一个零点；
②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为；
③若函数在上单调递增，则的最小值为；
④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数的导数的最小值为0，则函数的零点为（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（ ）
A． B．
C． D．对于任意非零实数，总存在实数满足题意
7．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
8．（2024·广东·模拟预测）在的极值点个数为 个．
9．（2022·北京海淀·一模）已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为 .
10．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数的单调递增区间为．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
12．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数.
(1)当时，求函数极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】导函数为二次函数，为对应的一元二次方程的两根，由，代入函数解析式，结合韦达定理化简，可解出实数的取值范围.
【详解】因为，所以．
又函数有两个不同的极值点，所以
解法一：由，得，
即．
将的值代入（*）式，得，解得，
故选：A．
解法二：函数为奇函数，图象的对称中心为，
则函数图象的对称中心为
设，
，
比较系数，有，
解得
所以函数图象的对称中心为，
即若存在两个相异的极值点，则其对称中心为点和点的中点，即．
由题设得，即，即，
所以解得.
故选: A．
2．C
【分析】由条件可得函数可以看作为函数与函数的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果.
【详解】由得，令，
则函数可以看作为函数与函数的复合函数，
因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，，
由得，列表如下：
－ 0 ＋
由表知，在上单调递减，在上单调递增，
在时，取得极小值（最小值），
所以在上单调递增，即B正确；
在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.
故选：C
3．B
【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.
【详解】依题意，，函数，
对于①：，令，即，
作出函数和函数的图象，如图，

观察图象知，两个函数在上只有一个零点，，
当时，，
当时，，
因此函数与函数的图象有且只有一个交点，①正确；
对于②：为奇函数，则，
，即正数的最小值为，②正确；
对于③：当时，，由在上单调递增，
得，解得，正数有最大值，③错误；
对于④：当时，，而在上恰有两个极值点，
由正弦函数的性质得，解得，因此的取值范围是，④错误.
综上，共2个正确，
故选：B.
4．B
【分析】由，确定，由的最小值为0，得出的解析式，进一步求出函数的零点.
【详解】因为函数的导数，所以，c为常数，
设，则恒成立，在R上单调递增，
又，所以当时，即，所以在单调递减，
当时，即，所以在单调递增，
所以在处取得最小值，即，故，
所以，故，
令，解得，函数的零点为.
故选：B.
5．AB
【分析】先利用求导公式得到，再根据函数的一个极值点位于区间得到，得到的大小关系，即可判断A，B，C选项的正误；根据题图得到，然后对取特殊值，说明即可得到D错误.
【详解】选项A，B，C：由题意知，
令，解得或或，
由题图可知函数的一个极值点位于区间，
因此，又，所以，故，因此A，B正确，C错误.
选项D：由题图可知，
若取，则，解得，因此D错误.
故选：AB
6．AD
【分析】根据给定条件，分类讨论，逐项判断即可.
【详解】由题意，得.令，得.
令，则.
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减.
，当时，，
当时，在定义域内既存在极大值点又存在极小值点.故A正确，B不正确.
当时，由知，当时，，故C不正确.
对于任意非零实数，总存在实数，使得成立，故D正确.
故选：AD.
7．ABD
【分析】分类讨论的取值范围，构造函数，结合导函数与函数单调性、最值的关系即可求解．
【详解】由题知，，
①当时，在恒成立，
②当时，由，则，即恒成立，
设，则，令得，
所以当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，则，
所以，即满足题意；
③当时，设，则，令，，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以在单调递增，且，，
所以，使得；
当时，，即，设，
则，所以在上单调递减，
所以当时，；
当时，即，设，
则，设，
，设，
则，
可知在内单调递增，
所以，即，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
又因为当时，，
所以当时， ，解得，
又，所以，
综上，，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：当时，，使得，当时，设，求得最小值；当时，设，求得最小值，令即可．
8．2
【分析】
利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.
【详解】由
，
令，则或，
显然当时，，则或，
满足的根为或，端点值不能做为极值点，舍去；
满足的根有两个，
根据正弦函数的性质可知时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在的极值点个数为2个.
故答案为：2
9．①②④
【分析】根据偶函数定义、零点的定义，结合导数的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以该函数是偶函数，因此结论①正确；
令，所以结论②正确；
，因为，，
所以函数的最小值不可能为，因此结论③不正确；
，当时取等号，即时取等号，
因为，当且仅当时取等号，所以有，当且仅当时取等号，
所以有，当且仅当时取等号，因此有，所以结论④正确，
故答案为：①②④
【点睛】关键点睛：利用函数极值与最值的关系进行判断是解题的关键.
10．
【分析】求得，令，得到，令，利用导数求得函数的单调性和极大值，分和，两种情况讨论，转化为，求得，即可求解.
【详解】因为函数，可得，
令，可得，令，可得，
当时，可得，此时单调递增，
当时，可得，此时单调递减，
所以，函数的极大值为，当且仅当时，，
所以，可得，如图所示，
当时，有两个实数根，记为，
当时，；当时，，
所以在处取得极大值，不符合题意；
当时，有一个实数根，记为，
当时，；当时，，
所以在处取得极小值，也是最小值，
综上可得，在内取得最小值，即时，函数取得最小值，
所以，即，即，
解得或（舍去），所以.
故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由的单调递增区间为，得出函数在处取到极值，即可求解；
（2）由（1），令得，令得，若有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，此时,令的单调性即可求解．
【详解】（1）由题，的定义域为，，
由于函数的单调递增区间为，
因此函数在处取得极值，
故，解得．
因此，令，解得，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，符合题意，
故，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即．
（2）由（1）知，
则，
令，得．
令，
则，整理得．
因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，
所以函数的最大值为，即．
若有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，此时,
令，则，
所以函数在上单调递增，且当时，，
易知若有两个零点，则直线与函数的图象有一个交点，
因此，所以实数的取值范围是．
12．(1)极大值，无极小值；
(2).
【分析】（1）把代入，并求出函数，再利用导数探讨极值即可得解.
（2）变形给定不等式，证明并分离参数，构造函数，利用导数求出最小值即得.
【详解】（1）函数的定义域为，当时，，
求导得，由，得，由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2）函数，，，
设，，求导得，函数在上单调递减，
则，即，因此，
令，，求导得，
令，，求导得，当时，，
当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
则，即，因此函数在上是增函数，，
所以，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．在上单调递增
C．的极小值点为 D．有两个零点
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·河南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】求导，构造函数，利用二次函数零点的分布，结合分类讨论以及极值点的定义即可求解.
【详解】，
令，，
若，则或，此时单调，不存在极值点，故不符合题意，
若，则方程有两个实数根，
由于有唯一极值点，故只能有一个正实数根，
若另一个实数根为0，此时，显然满足条件，
若令一个实数根为负根，则，故 ，
结合选项可知，一定成立，
故选：C
2．AC
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A，利用导数说明函数的单调性，即可判断B、C，求出极小值即可判断D.
【详解】对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确；
又
，
当时，，即在上单调递减，故B错误；
当时，，即在上单调递增，
根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值点为，极大值点为，故C正确；
又，
且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，
所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，
故无零点，故D错误．
故选：AC．
3．
【分析】利用换元法整理函数解析式，根据复合函数的单调性，可得导数的不等关系，利用导数的导数研究其最值，可得答案.
【详解】令，由于在上为增函数，
则在上为增函数，
所以在上恒成立．
令，由，得，
则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，解得．
所以实数k的取值范围为．
故答案为：.
4．(1)
(2).
【分析】（1）求导，得到，根据导数几何意义得到切线方程；
（2）转化为在上有两个不等实根，令，得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以，
则切线方程为，化简得.
（2）由题，
函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，
令，只需
故，即实数的取值范围是.
【培优篇】
一、多选题
1．（2024·广西河池·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上是增函数
B．的极大值点为，
C．有唯一的零点
D．的图象与直线相切的点的横坐标为，
二、填空题
2．（2024·江苏南京·二模）已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则 ．
三、解答题
3．（2024·陕西铜川·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在零点，求实数的取值范围.
参考答案：
1．BC
【分析】借助导数求出单调性即可得其极值点，即可得A、B；结合函数单调性与零点存在性定理，分，、及进行讨论即可得C；借助导数的几何意义计算即可得D.
【详解】对A、B：，
则当，即时，，
当时，，
即在上单调递减，
在上单调递增，故A错误；
的极大值点为，，故B正确；
对C：令，
即，由，
当时，，
当时，由，故，
由在上单调递增，
取，有在上单调递增，
又，故在上必有一零点，
由在上单调递减，
取，即在上单调递减，
则在上没有零点，
综上所述，有唯一的零点，故C正确；
对D：设切点坐标为，
则有，
由切线方程为，则有，即，
化简得，即，
即有，，则，，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题中C选项关键点在于结合函数单调性与零点存在性定理，分，、及进行讨论.
2．
【分析】令得，四边形为菱形，由得，又，得，由，代入函数解析式求的值.
【详解】函数，，
若，恒成立，在上单调递增，不合题意，
时，，得，
则，，
四边形为菱形，则，
，故，，
，则，，
由，化简得，令，则，
即，解得，故，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点是用好四边形为菱形，由对角线互相垂直利用直线斜率得，利用对角线互相平分有，求出，由求的值.
3．(1)
(2)
【分析】（1）代入直接求导得，计算切点和斜率，最后写成点斜式即可；
（2）先用导数证明不等式，然后分和两种情况讨论即可得到的取值范围.
【详解】（1）当时，，所以.
这得到，，所以所求切线是经过且斜率为的直线.
故所求切线方程为，即.
（2）设，则，所以当时，当时.
从而在上递增，在上递减，故，这得到.
若，则，从而取值恒为负，故没有零点，不满足条件；
若，则有，
及.
从而由零点存在定理可知存在零点，满足条件.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的第二问可使用分类讨论法解决. 只要分类方式恰当，分类讨论法往往能够直接确定取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题17 导数与函数的极值、最值（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 2
【考点突破】 4
【考点1】根据函数图象判断极值 4
【考点2】求已知函数的极值 5
【考点3】由函数的极值求参数 6
【考点4】利用导数求函数的最值 7
【分层检测】 9
【基础篇】 9
【能力篇】 11
【培优篇】 11
考试要求：
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
6．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
三、填空题
7．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
8．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为 .
【考点1】根据函数图象判断极值
一、单选题
1．（21-22高三·北京西城·开学考试）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
2．（21-22高二下·北京西城·期末）设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·山东临沂·模拟预测）设函数，其中R，则（ ）
A．当时，有2个极值点
B．当时有1个极值点
C．当时，有0个极值点．
D．若，成立，则
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）
A．1是的极大值，也是的极大值 B．1是的极大值，也是的极小值
C．1是的极小值，也是的极小值 D．1是的极小值，也是的极大值
三、填空题
5．（2021·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x 0 2 4 5
3 1 2.5 1 3
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①在区间上单调递增；
②有2个极大值点；
③的值域为；
④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是 ．
6．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数无极值点，则实数a的取值范围是 .
反思提升：
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
【考点2】求已知函数的极值
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·二模）函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，存在唯一极小值点
C．对任意在上均存在零点
D．存在在上有且只有一个零点
二、多选题
3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，则（ ）
A．函数在上的最大值为3 B．，
C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个
4．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（ ）个解.
A．3 B．4 C．5 D．6
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足当时，（为的导函数），且，则的极大值为 ．
6．（2023·西藏拉萨·一模）已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数 ；当函数有三个零点时，函数的极大值为 ．
反思提升：
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
【考点3】由函数的极值求参数
一、单选题
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A．恰有2个异号极值点 B．若，则
C．恰有2个异号零点 D．若，则
4．（2024·江苏徐州·一模）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
三、填空题
5．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点.若方程在上的所有根之和等于2024，则满足条件中整数的值构成的集合为
6．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 .
反思提升：
1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
【考点4】利用导数求函数的最值
一、单选题
1．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（ ）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
2．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．若曲线在处的切线方程为，则
B．若，则函数的单调递增区间为
C．若，则函数在区间上的最小值为
D．若，则的取值范围为
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数当且仅当在时取极小值
B．当时，函数有无数个零点
C． ，
D．若在区间上的最小值是0，则
三、填空题
5．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 .
6．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数.设k为正数，对于任意x，若，二者中至少有一个大于2，则的取值范围是 .
反思提升：
1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增
C．存在实数，使得 D．有最小值
3．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当时，函数有且只有一个零点；
②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为；
③若函数在上单调递增，则的最小值为；
④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数的导数的最小值为0，则函数的零点为（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（ ）
A． B．
C． D．对于任意非零实数，总存在实数满足题意
7．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
8．（2024·广东·模拟预测）在的极值点个数为 个．
9．（2022·北京海淀·一模）已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为 .
10．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，若 存在最小值，且最小值为，则实数 的值为
四、解答题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数的单调递增区间为．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
12．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数.
(1)当时，求函数极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．在上单调递增
C．的极小值点为 D．有两个零点
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·河南·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围.
【培优篇】
一、多选题
1．（2024·广西河池·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上是增函数
B．的极大值点为，
C．有唯一的零点
D．的图象与直线相切的点的横坐标为，
二、填空题
2．（2024·江苏南京·二模）已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则 ．
三、解答题
3．（2024·陕西铜川·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在零点，求实数的取值范围.
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