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专题18 利用导数研究不等式恒(能)成立问题（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 12
【考点1】分离参数法求参数范围 12
【考点2】分类讨论法求参数范围 20
【考点3】双变量的恒(能)成立问题 27
【分层检测】 37
【基础篇】 37
【能力篇】 46
【培优篇】 50
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
3．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
参考答案：
1．(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
2．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
3．（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.
4．(1)的减区间为，增区间为.
(2)
(3)见解析
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
5．(1)
(2)证明见的解析
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握
【考点1】分离参数法求参数范围
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线在处的切线方程为
B．在上的最大值与最小值之和为0
C．若在上为增函数，则a的取值范围为
D．在上至多有3个零点
三、填空题
3．（2024·江西·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
4．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
5．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数．
(1)若函数在处取到极值，求实数a的值；
(2)若,对于任意,当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
6．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数；
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)在恒成立，求整数的最大值.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，转化为在上有解，得到在上有解，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】因为函数，可得，
因为函数在上存在单调递减区间，
可得在上有解，
即在上有解，
令，则，且，
当时，，所以；
当时，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，故，所以.
故选：D．
【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别：
恒成立问题 有解问题
①恒成立；恒成立． ②恒成立； 恒成立． ③恒成立 ； 恒成立 ． ④ ． ①有解； 有解． ②有解； 有解． ③有解； 有解． ④，使得 ．
2．BCD
【分析】A项，求得切线斜率，写出切线方程即可；B项，函数是奇函数，由图象对称性可知；C项，在上为增函数，转化为恒成立，分离参数法求解范围；D项，结合导函数单调性，至多两个零点，则至多个零点.
【详解】选项A，当时，，
则，且，
曲线在处的切线方程为，故A错误；
选项B，，，
则是奇函数，图象关于原点对称，
故在上的最值点也关于原点对称，
所以在上的最大值与最小值之和为，故B正确；
选项C，若在上为增函数，则恒成立，
即恒成立，
设，
则，且为上的增函数，
注意到，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
则有最小值，最小值为，
要使恒成立，则.故a的取值范围为，故C正确；
选项D，，
令得，，设，
由C选项的分析， 在单调递减，在单调递增，
则在单调递减，在单调递增，
即方程至多两个根，
当有两个根时，不妨设两根为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
则在上至多有3个零点，故D项正确.
故选：BCD.
3．
【分析】利用参变分离可得，然后构造函数，利用导数求函数的最值即得.
【详解】因为关于的不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
令，则，
易得在上单调递增，
又，
所以存在，使得，即，
则，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
所以在上恒成立，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题的关键是利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值.
4．(1)
(2)单调减区间为，单调增区间为，极小值为2
(3)
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值；
（2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解；
（3）将在上存在增区间转化为有解，分离参数，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题可得，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值；
（3）由在上存在增区间，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令，易知在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以
即的取值范围为.
5．(1)1；
(2).
【分析】（1）根据，求得，再进行验证即可；
（2）由题可得在单调递减，则在恒成立，结合分离参数法，以及利用导数求函数最值，即可求得结果.
【详解】（1），，
若函数在处取到极值，则，解得；
又当时，，，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
当，，单调递增；
则当时，满足在处取到极值，故.
（2）当时，，
，即，令；
对于任意,当时，不等式恒成立，
即对于任意,当时，恒成立，也即在单调递减；
又，故，
由题可知，在恒成立，即在恒成立，
也即在恒成立，令，
则，又对称轴为，其在单调递减，，
故在恒成立，则在单调递减，又，
则，也即的取值范围为：.
6．(1)单调递减区间为，单调递增区间为和
(2)2
【分析】
（1）求导后分解因式，解不等式即可得到函数的单调性；
（2）由题意求出，转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值，即可求解．
【详解】（1）当时，，，
当单调递减；
当或单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和
（2）
因为，所以，即，
故，在恒成立，
即，则在恒成立，
设，
则，
设，
则，所以在上单调递增，
又，，
所以方程有且只有一个实根，且，，
所以在上，，单调递减；
在,上，，单调递增，
所以函数的最小值为，
从而，又为整数，
所以的最大值为：2．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数，关键是利用零点存在定理判断.
反思提升：
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【考点2】分类讨论法求参数范围
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
3．（2024·上海虹口·二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求.
6．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】分和两种情况讨论，分别得出不等式，由不等式恒成立转化为求函数的最值，利用导数分别求出函数的最值即可求解．
【详解】当时，由得；
当时，由得．
令，
则，令，解得，
所以当，；当，，
故在上单调递减，在上单调递增，
因此的最小值为，
故当时，；
令，
则，令，解得，
所以当，；当，，
故在上单调递增，在上单调递减，
因此的最大值为，
故当时，．
综上，．
故选：C．
2．ABD
【分析】分类讨论的取值范围，构造函数，结合导函数与函数单调性、最值的关系即可求解．
【详解】由题知，，
①当时，在恒成立，
②当时，由，则，即恒成立，
设，则，令得，
所以当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以，则，
所以，即满足题意；
③当时，设，则，令，，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以在单调递增，且，，
所以，使得；
当时，，即，设，
则，所以在上单调递减，
所以当时，；
当时，即，设，
则，设，
，设，
则，
可知在内单调递增，
所以，即，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
又因为当时，，
所以当时， ，解得，
又，所以，
综上，，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：当时，，使得，当时，设，求得最小值；当时，设，求得最小值，令即可．
3．
【分析】根据题意，分且和且，两种情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解.
【详解】因为关于的不等式对任意均成立，
①当对任意均成立时，可得对任意均成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，
又由对任意均成立，
可得对任意均成立，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，所以.
②当且对于任意均成立时，
结合①可知且，此时无解.
综上可得，实数实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4．(1)0；
(2).
【分析】（1）由已知可得，进而可求的单调区间；
（2）求导得，令进而求导，分类讨论可求的取值范围.
【详解】（1）当时，，
单调递减；单调递增；
（2），
设，
①若，由（1）知，不合题意；
②若，
设单调递减，
，令，
单调递增，，
单调递增，，不合题意；
③，
单调递减，单调递减，；
综上，.
5．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数与函数单调性间的关系，对求导，得，对分类讨论，即可求出结果；
（2）先探求恒成立的必要条件，从而得到，再证明时，在上恒成立，即可解决问题.
【详解】（1）因为，易知其定义域为，，
当时，在上恒成立，
当时，由，得到，
所以，当时，，时，，
综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间，
当时，的单调增区间为，减区间.
（2）令，
由于恒成立，且，又在区间上连续，
所以是的一个极大值点，又，
所以，得到，
下证明时，在上恒成立，
由（1）知，时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，又恒成立，所以，
综上所述，.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件得到是的一个极大值点，从而得恒成立的一个必要条件，再证明时，在上恒成立，即可解决问题.
6．(1)；
(2).
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；
（2）分和讨论，利用导数结合不等式放缩判断导数正负，结合单调性验证恒成立是否满足.
【详解】（1）当时，，则，
所以切线斜率为，又，
所以，切线方程是.
（2）①当时，因为，所以，
所以.
记，则，
令，则.
因为当时，，所以在区间上单调递增，
所以，，
所以，在区间上单调递增，
所以，，所以.
②当时，，
因为当时，，
令，则，
若，则，即在区间上单调递增.
若，则，
所以在区间上单调递增.
所以当时，在区间上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得，
所以，当时，，即在区间上单调递减，
所以，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围为.
反思提升：
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
【考点3】双变量的恒(能)成立问题
一、单选题
1．（2024·河南郑州·三模）设，且，则（ ）
A．若，则 B．若，则存在且不唯一
C． D．
二、多选题
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）设函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且只有一个零点
C．函数的值域为
D．对任意两个不相等的正实数，若，则
三、填空题
3．（2023·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则 ．
四、解答题
4．（2024·重庆·模拟预测）函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．
5．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．
(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
(2)若，满足，且，求的取值范围．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
参考答案：
1．C
【分析】构造函数，根据零点存在性定理即可求解A，构造函数，求导根据函数的单调性，求解最值即可求解B，令，得构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解CD.
【详解】对于A，当时，则，记，由于均为单调递增函数，故为单调递增，
由于，故零点大于，故A错误，
对于B，若，由得，记，
则，由于均为上的单调递增函数，
故在单调递增，且当时，， ，
故存在唯一的，使得，即，
且在单调递减，当在单调递增，
故，又，
故，故无零点，故不存在使得，故B错误，
对于C， 先证，记，，
当单调递增，当单调递减，
所以，故，
设，由于，所以，故
则，由于，
所以，故在单调递增，故，
故故C正确，
对于D, ，
所以在单调递减，故,
则，故D错误，
故选:C
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
2．AB
【分析】
利用导数判断时，的单调性，根据单调性可求值域，然后结合时，，从而可判断选项A，C；首先利用导数判断时，的零点个数；然后再利用单调性判断时，的零点个数，从而可判断选项B；不妨设，根据题意把要证明，转化为证明；然后构造函数，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项D.
【详解】当时，，所以，
所以当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
且当时，故时，，
又当时，，所以，
所以函数在单调递增，值域为，所以A正确，C错误；
当时，令，则，
所以在单调递减，所以当时，，
所以函数在上没有零点；
当时，令，
所以只需求函数在上零点个数，
又因为在上单调递减，且，
所以函数在上只有一个零点．
所以函数有且仅有一个零点，所以B正确；
当时，若，因为函数在单调递增，在单调递减，
所以不妨设，则，
所以要证，只需证，即只需证，
又因为，所以只需证.
因为，
所以令函数，
则，
所以在单调递增，所以，
即恒成立，所以，
即，所以，
从而成立， 所以D错误.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
3．
【分析】构造函数，将问题转化为恒成立，再由必要性入手得到，再证明当时满足题意，从而得解.
【详解】依题意，，
因为恒成立，
所以恒成立，
令，则，上式化为恒成立，
令，则，
注意到，而恒成立，即，
所以，即，故；
当时，，显然在上单调递增，
而，
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上，.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将双变量转化为单变量，从而将问题转化为函数恒成立问题，由此得解.
4．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后对分类讨论即可得；
（2）借助斜率公式表示出后化简，可转化为证明，借助换元法令，构造函数，结合（1）问中所的即可得解；
（3）借助概率公式可得，借助放缩法可得，结合（2）中所得可得，即可得证.
【详解】（1）定义域为，，
对于方程，，
当，即时，，，在上单增，
当，即或时，方程有两不等根，
，，而，，
所以当时，，在上恒成立，在上单增；
当时，，或时，，时，，
所以在和上单增，在上单减，
综上，当时，在上单增；
当时，在和上单增，
在上单减；
（2）
，
所以要证，即证，即证，
也即证（*）成立．
设，函数，由（1）知在上单增，且，
所以时，，所以（*）成立，原不等式得证；
（3）由题可得，
因为，，…，，
所以，
又由（2）知，，
取，有，
即，即，
所以．
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得出后，借助（2）问中所得，取，代入可得，即可得解.
5．(1)，经过一个定点
(2)
【分析】（1）利用求导法则得，根据条件及导数的几何意义、直线的点斜式计算即可；
（2）利用导函数有两个零点得出的关系及范围，消元化简得，构造函数，利用导数研究其单调性及最值即可.
【详解】（1）因为，
所以（c为常数）．
因为，所以，
所以．
又，
所以曲线在点处的切线的方程为，
即，
所以经过定点．
（2）令，可得．
因为，满足，且，
所以关于的方程有两个不相等的正实数根，
则，
所以
，
令函数，
则，
令，得，
因为当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，
所以的取值范围为，
即的取值范围为．
6．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的最小值，解不等式即可求解；
（2）由零点的定义可得，只需证，令，利用导数证明不等式即可.
【详解】（1）的定义域为，
令，即，等价于，
设，则（），
令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的最小值为，，
要使得存在零点，则，
即，得．
（2）由为的零点，得，
即，即
两式相减得，即.
要证当时，，
只需证，只需证，，
，．
令，，只需证，
，则在上单调递增，
∴，即可得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的求解策略
形如的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
反思提升：
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(2) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(3) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)min.
(4) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A． B． C．e D．
二、多选题
5．（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二下·甘肃定西·阶段练习）若函数有三个零点，则实数a的可能取值是（ ）
A．－10 B．－9 C．2 D．3
7．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
8．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
9．（20-21高二下·河北石家庄·期末）已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是 ．
10．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知函数是上的增函数，则的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
12．（21-22高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，在处取得极小值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】构造函数，求导可得函数的单调性，即可求解最值，进而即可.
【详解】由在上恒成立，令，
则．令，则，
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
则，所以，
故选:C．
2．C
【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围.
【详解】由，，可得：，令，
依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.
又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故时，取得极大值，且当时，，当时，，
故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.
故选：C.
3．C
【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.
【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，
所以，
即有两解，
所以有两解，
令，
则，
所以当时，0，此时函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以在处取得极大值，，
且时，的值域为，
时，的值域为，
因此有两解时，实数的取值范围为，
故选：C.
4．A
【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案.
【详解】由题意得在上恒成立，
，故，
即，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，
故，故a的最小值为.
故选：A
5．CD
【分析】
根据存在性和任意性的定义，结合对数函数和指数函数的性质逐一判断即可.
【详解】
A：因为，所以本选项不正确；
B：当时，，所以本选项不正确；
C：画出两个函数的图象如下图所示：

显然有一个交点，因此本选项正确；
D：设，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故，所以本选项正确，
故选：CD
6．BCD
【分析】根据已知，把函数零点转化为方程根的问题，再分离参数，利用导数研究函数图象，结合图行进行求解.
【详解】函数有三个零点，等价于有3个根，
即函数与函数有3个交点，令，
则，由有：或，由有：，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
又，，所以的大致图象为：

所以，解得，故A错误.
故选：BCD.
7．ABC
【分析】根据题意可得，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.
【详解】若恒成立，则恒成立，
构建，则，
∵，故，则有：
当，即时，则当时恒成立，
故在上单调递增，则，
即符合题意，故满足条件的正整数为1或2；
当，即时，令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
构建，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
∵，
故满足的整数；
综上所述：符合条件的整数为1或2或3，A、B、C正确，D错误.
故选：ABC.
8．
【分析】
根据给定条件，求出函数在上的最小值即可得解.
【详解】函数，求导得，当时，，
因此函数在上单调递增，，
由不等式在上恒成立，得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
9．
【分析】根据题意转化为 ，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．
【详解】由，可得，
当，，所以在单调递减，
，
，在上单调递增，
，
对任意的，都有成立，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】由函数单调性得恒成立，分离参数后构造函数求最值即得.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，即：.
令，则，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，
要使恒成立，则，故的最小值为.
故答案为：.
11．(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；
（2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得.
【详解】（1）当时，，
∴，由，得，由，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，
令，
则，
∴在上，，得，故在上单调递增，
∴的最小值为，
∴时，不等式在上存在实数解．
12．(1)
(2)极小值；极大值
(3)．
【分析】（1）根据函数在极值处导函数为，极小值为联立方程组即可求得，，求得函数解析式，求导，利用导数判断原函数的单调性，检验求得，值是否满足题意；
（2）由（1）即可求得极大值和极小值；
（3）依题意只需即可，当时，函数有最小值，即对任意总存在，使得的最小值不大于；对于，分、、三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵，则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2.
（3）∵函数在时，，在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数对任意成立，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
二、多选题
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的图象与轴相切
B．存在，使得有极大值
C．若，则
D．若，则关于的方程有且仅有3个不等的实根
三、填空题
3．（2022高三上·河南·专题练习）已知，，若曲线上总存在不同的两点，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
参考答案：
1．D
【分析】求得，结合，得到，求得函数的单调性，结合题意，转化为，令，利用求得函数的单调性和最小值，进而求得实数的最小值.
【详解】由函数，可得，且，
若时，恒成立，函数单调递增，
当时，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以存在，使得时，，不符合题意，则有，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，
令，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上递减，在上递增，所以，
所以的最小值为.
故选：D.
2．ACD
【分析】对求导，分析单调性即可判断极值，由，可参变分离，根据新函数的单调性极值最值趋势即可判断.
【详解】由题知，当时，
当时，所以在处的切线斜率为0，
此时的图象与轴相切.故A正确.
由，当时，，
所以在R上单调递减，无极大值，
当时，时，时，，
所以的图像先减后增，有极小值无极大值，故B错误.
当时，即，
即令，，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增，
，所以，
令，
因为，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，
在上单调递减，极大值为，
又时，，所以最大值为，
所以当时，恒成立，即恒成立，故C正确.
由C选项的判断知，极小值为，
又时，，所以当时，有且仅有3个不等的实根，
故有且仅有3个不等的实根，故D正确.
故选：ACD.
3．
【分析】由曲线在两点处的切线互相平行，可得，求导整理可得，结合基本不等式可得对于恒成立，利用换元法结合倒数得到函数单调性，即可得的取值范围.
【详解】因为函数，所以，
由题意可得，，且，
即有，整理得，
因为，所以，
所以对于恒成立，
令，则，，
令，，则，对于恒成立，
即在上单调递增，所以，
所以，所以，
即的取值范围是．
故答案为：．
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数的最小值求参数即可；
（2）转化为在上有解，根据图象特征即可证明；
【详解】（1）由已知得，则.
令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，所以.
（2）要证在上有解，即证在上有解，
即证在上有解.
令，则.
设，则.
当时，；当时，.
所以即在上单调递增，在上单调递减.
又因为，，
，
所以由零点存在性定理知，，使，即，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为，所以，即，且时，
，所以当时，直线与函数的图像在上有交点，即在上有解.
【点睛】思路点睛：将方程在上有解转化为在上有解，求出在上的单调性，则直线与函数的图像在上有交点即可证明；
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
2．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
3．（2023·河南·三模）已知函数，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式的整数解的个数；
(3)当时，，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．(1)是，理由见解析；
(2)
(3)证明见解析；
【分析】（1）由与不为相关函数对，得到且，从而若为相关函数，由成立求解；
（2）根据与为相关函数对，由成立求解；
（3）采用反证法，假设对任意均存在，均有，根据与为相关函数对，分，，得出矛盾即可.
【详解】（1）解：若与不为相关函数对，则且，
则，所以只要即可，
当，时，
，
所以函数与是相关函数对；
（2）因为与为相关函数对，
所以，
令，，当时，；当时，，
所以是极小值点，，
所以，
所以；
（3）假设对任意均存在，
均有，
则取，，，使得，
对任意，，有，，
又函数与为相关函数对，
则①若，则；
②若，则，
由①②知：，由，将其分为很多个子区间，
如，，，……
则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立，
故存在实数，使得对任意，均有．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由假设，，根据函数与为相关函数对，分别由和，构造，找出矛盾而得证.
2．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为最大值小于等于1，即可求解；
（2）不等式转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可证明.
【详解】（1），当时，单调递增；
当时，单调递减．所以，
解得，即的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即．
令，则，．
当时，，则，
所以在上单调递减，则．所以．
由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明.
3．(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义可求得直线的斜率，继而可解；
（2）利用导数考查函数的单调性，确定零点所在区间即可求解；
（3）变形不等式，参变分离后，利用换元法变形不等式，利用导数考查函数的单调性即可求解.
【详解】（1），所以，又
所以该曲线在点P处的切线方程为:，即
（2）的定义域为，，
当时，，单调递增；
当，，单调递减．
又，，
，，
所以，不等式的整数解的个数为3．
（3）不等式
可整理为，
令，，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，又，
所以令，则
令，
则
令，
则
令，，
则，，
所以单调递减，，
所以，单调递减，，
所以，
所以，
所以单调递减，
所以.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题18 利用导数研究不等式恒(能)成立问题（新高考专用）
【真题自测】 2
【考点突破】 2
【考点1】分离参数法求参数范围 2
【考点2】分类讨论法求参数范围 4
【考点3】双变量的恒(能)成立问题 5
【分层检测】 6
【基础篇】 6
【能力篇】 7
【培优篇】 8
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
3．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
【考点1】分离参数法求参数范围
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线在处的切线方程为
B．在上的最大值与最小值之和为0
C．若在上为增函数，则a的取值范围为
D．在上至多有3个零点
三、填空题
3．（2024·江西·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
4．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
5．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数．
(1)若函数在处取到极值，求实数a的值；
(2)若,对于任意,当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
6．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数；
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)在恒成立，求整数的最大值.
反思提升：
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【考点2】分类讨论法求参数范围
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空题
3．（2024·上海虹口·二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求.
6．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数的取值范围.
反思提升：
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
【考点3】双变量的恒(能)成立问题
一、单选题
1．（2024·河南郑州·三模）设，且，则（ ）
A．若，则 B．若，则存在且不唯一
C． D．
二、多选题
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）设函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且只有一个零点
C．函数的值域为
D．对任意两个不相等的正实数，若，则
三、填空题
3．（2023·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则 ．
四、解答题
4．（2024·重庆·模拟预测）函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．
5．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．
(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
(2)若，满足，且，求的取值范围．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
反思提升：
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(2) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(3) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)min.
(4) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A． B． C．e D．
二、多选题
5．（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二下·甘肃定西·阶段练习）若函数有三个零点，则实数a的可能取值是（ ）
A．－10 B．－9 C．2 D．3
7．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
8．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
9．（20-21高二下·河北石家庄·期末）已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是 ．
10．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知函数是上的增函数，则的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
12．（21-22高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，在处取得极小值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数对任意成立，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
二、多选题
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的图象与轴相切
B．存在，使得有极大值
C．若，则
D．若，则关于的方程有且仅有3个不等的实根
三、填空题
3．（2022高三上·河南·专题练习）已知，，若曲线上总存在不同的两点，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
2．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
3．（2023·河南·三模）已知函数，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式的整数解的个数；
(3)当时，，求实数a的取值范围．
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