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专题28 平面向量的概念及线性运算（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】平面向量的概念 4
【考点2】向量的线性运算 5
【考点3】共线向量定理的应用 6
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 9
【培优篇】 11
考试要求：
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
5．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
6．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．

【考点1】平面向量的概念
一、单选题
1．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得
4．（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·辽宁·模拟预测）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是 .
6．（2022·江苏·三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量 .
反思提升：
平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
【考点2】向量的线性运算
一、单选题
1．（2024·广西·模拟预测）在中，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北承德·二模）在中，为中点，连接，设为中点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A．若O为AD中点，则
B．若O为AD中点，则
C．若O为△ABC的重心，则
D．若O为△ABC的外心，且BC＝4，则
4．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·上海黄浦·三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ．
6．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 .
反思提升：
1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
【考点3】共线向量定理的应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知平面上点，，满足，且，点满足，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．1或
2．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河南·模拟预测）已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A，B，C三点共线，则
C．若向量与垂直，则的最小值为1
D．向量与的夹角正切值的最大值为
三、填空题
5．（2023·上海黄浦·一模）已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为 .
6．（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 .
反思提升：
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南三门峡·模拟预测）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、多选题
5．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）在中，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若为平面向量，，则
B．若为平面向量，，则
C．若，，则在方向上的投影为
D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ
三、填空题
8．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
9．（2024·山西晋城·一模）已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为 ．
10．（2023·上海徐汇·一模）在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
12．（21-22高三下·山西吕梁·开学考试）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.
(1)求角C；
(2)E为三角形ABC所在平面内的一点，，且，求线段CE的长.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2022·山东·模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2023·江苏南京·二模）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为 ；②设，则 ．
四、解答题
4．（2020·北京朝阳·二模）已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2021·浙江金华·三模）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（ ）
A．若m+n=3，则M的最小值为3
B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值
C．若m·n=3，则M的最小值为3
D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值
二、多选题
2．（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 .
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【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】平面向量的概念 7
【考点2】向量的线性运算 12
【考点3】共线向量定理的应用 17
【分层检测】 23
【基础篇】 23
【能力篇】 31
【培优篇】 35
考试要求：
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
5．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
6．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．

参考答案：
1．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
2．A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，

故选：A
3．C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
4．
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
5．
【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
6．或0
【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．
【考点1】平面向量的概念
一、单选题
1．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得
4．（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·辽宁·模拟预测）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是 .
6．（2022·江苏·三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量 .
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，得到，得到点为线段的中点，得出为直角三角形，且为等边三角形，进而求得向量在向量上的投影向量.
【详解】由，可得，
所以，即点为线段的中点，
又因为的外接圆圆心为，所以为直角三角形，所以
因为，可得，所以为等边三角形，
故点作，可得，所以，
因为向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量为.
故选；A.
2．A
【分析】以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直BC的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，取的中点为，求得的轨迹方程，数形结合可求.
【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线为x轴，过垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，由，可得是以为直径的圆，
所以的轨迹方程为，
取的中点为，设，
可得，所以，所以，
所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为，
由，所以，所以，
所以，
所以.
故选：A.
3．BD
【分析】由向量垂直的坐标表示可知A错误，由投影向量的定义可知B正确，由单位向量和共线向量的定义可知C错误，由向量与同向，可求得，可知D正确.
【详解】对于A，若，则有，即，A错误；
对于B，，在上的投影为，又因为，所以，
，B正确；
对于C，若与共线，设，所以有，解得，
因为，，，所以，C错误；
对于D，若成立，则与同向，所以，即有，，解得，故D正确.
故选：BD.
4．AC
【分析】对移项后平方可得出：，，，对于A，，代入即可判断A；由可判断B；由，可判断C；由代入即可判断D.
【详解】因为，，为单位向量，所以，由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；
对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以为反向共线的向量，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
，所以D错误；
故选：AC.
5．
【分析】将四棱锥补形为长方体，再根据长方体里面的三角形关系求得，再根据当OE⊥截面时，截面积最小求解即可
【详解】如图，将四棱锥补形为长方体，易知该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，∵PC为长方体的体对角线，∴球心O在PC的中点上，∴外接球半径，设平面为过E的球O的截面，则当OE⊥平面时，截面积最小，由图可知，设截面半径为r，则，所以截面圆的面积为，即所得截面面积的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了球的截面问题，重要思路是当OE⊥截面时，截面积最小，同时也考查了立体几何中的线段求解，需要利用直角三角形求解，属于中档题
6．
【分析】利用与共线且方向相反的单位向量为，即可得出答案.
【详解】，，所以与共线且方向相反的单位向量是：
.
故答案为：.
反思提升：
平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
【考点2】向量的线性运算
一、单选题
1．（2024·广西·模拟预测）在中，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北承德·二模）在中，为中点，连接，设为中点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A．若O为AD中点，则
B．若O为AD中点，则
C．若O为△ABC的重心，则
D．若O为△ABC的外心，且BC＝4，则
4．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·上海黄浦·三模）在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ．
6．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 .
参考答案：
1．C
【分析】将向量看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到即可.
【详解】依题意，，
所以，
又因为，
所以，
所以，，
所以，，，，只有选项C正确；
故选：C．
2．D
【分析】利用平面向量基本定理将用表示出来，再用向量的线性运算把用表示即可.
【详解】由于，所以，
故选：D
3．ABD
【分析】由为中点，结合平面向量的加法法则即可判断A，B；由重心的性质即可判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D．
【详解】对于A，因为为中点，所以，故A正确；
对于B，由为中点，则，故B正确；
对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；
对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得，
故，故D正确．
故选：ABD．
4．ABD
【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案.
【详解】
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以，
所以，即，所以
，故B正确；
对于C选项，设，
由（1）得，所以，
又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误；
对于D，，设，则，
所以，又三点共线，所以，解得，
所以为中点，所以，故D正确，
故选：ABD.
5．/
【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答.
【详解】在中，，，则，又平分，即有，

因此，即有，，整理得，
而，且不共线，于是，
所以.
故答案为：
6．
【分析】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案.
【详解】，
取的中点，连接，
因为，故，
又，所以，故，且，
所以的最大值为，此时点与点重合.
故答案为：
反思提升：
1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
【考点3】共线向量定理的应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知平面上点，，满足，且，点满足，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．1或
2．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河南·模拟预测）已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A，B，C三点共线，则
C．若向量与垂直，则的最小值为1
D．向量与的夹角正切值的最大值为
三、填空题
5．（2023·上海黄浦·一模）已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为 .
6．（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 .
参考答案：
1．A
【分析】由题设三个条件依次得到，推得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，再得点，，三点共线，通过建系将问题转化成由点向圆做切线，求原点到该切线的最短距离问题.
【详解】由题意，得
，所以．
因为，所以．
又，即，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
如图，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系．
易知，，则点的轨迹方程为．
由，得点，，三点共线．
过点作圆的切线，设其方程为，即．
由点到该切线的距离为，可得，解得或．
由图知，当时，最小，切线的方程为，
此时的最小值即为点到切线的距离，即．
故选：A．
2．B
【分析】设与的交点为，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案.
【详解】解：如图，设与的交点为，，
因为，所以，
所以，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
所以，，
所以，，
所以，在中，，
所以 ，由余弦定理有：，
代入，，，整理得，
解得，（舍），
所以，,，，
所以，在中，由余弦定理有：，
代入数据整理得：，
所以，双曲线的离心率为：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到，进而在中结合余弦定理求得.
3．ABD
【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.
【详解】对于A选项，
，故A选项正确；
对于B选项，因为B，F，D三点共线，设，由，所以存在唯一实数，使得，结合A可知，，因为不共线，所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，结合B，，故C选项错误；
对于D选项，结合B，，故D选项正确.
故选：ABD.
4．AD
【分析】根据给定条件，用坐标表示向量，再结合向量的坐标运算逐项计算判断即得.
【详解】在平面直角坐标系中，令，
由，，得，，则，
对于A，，因此，A正确；
对于B，由三点共线，得，即，
于是，解得，即，B错误；
对于C，，由向量与垂直，得，
而，则，
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，令向量与的夹角为，，当时，，，
当时，不妨令，，则，，显然，
，
当且仅当时取等号，D正确.

故选：AD
5．10
【分析】运用向量共线、向量垂直画图，运用平行线性质及直角三角形性质可得、，再运用数量积运算及几何意义即可求得结果.
【详解】因为，所以A、D、E三点共线，且，
又因为，所以，所以，
因为，所以B、E、F三点共线，又因为，所以，如图所示，
设，则，
所以，解得：，
所以在上的数量投影为.
故答案为：10.
6．
【分析】由题设共线，作，垂足分别为，结合抛物线定义及相似比求参数值即可.
【详解】由题设知：共线，且，如下图，
作，垂足分别为，则，
所以，又，则，
所以，即，故.
故答案为：2
反思提升：
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南三门峡·模拟预测）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、多选题
5．（22-23高三上·安徽阜阳·期末）在中，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若为平面向量，，则
B．若为平面向量，，则
C．若，，则在方向上的投影为
D．在中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ
三、填空题
8．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
9．（2024·山西晋城·一模）已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为 ．
10．（2023·上海徐汇·一模）在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
12．（21-22高三下·山西吕梁·开学考试）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.
(1)求角C；
(2)E为三角形ABC所在平面内的一点，，且，求线段CE的长.
参考答案：
1．A
【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.
【详解】由题意，所以，
从而与向量同方向的单位向量为.
故选：A.
2．D
【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.
【详解】如图，
因为，所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
3．C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】如图所示，
由题意可得，
而.
故选：C．
4．C
【分析】先由共线定理得出，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为为上任意一点，，
因为三点共线，所以由共线定理得，
则，
当且仅当且，即时取等号，此时的最小值是12．
故选：C
5．ABD
【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.
【详解】如图所示：
因为，所以，
所以，
故选项A正确，
因为，所以
所以
，
故C选项错误，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故选项D正确，
由，
所以在中，因为，
所以，故B正确，
故选：ABD.
6．BD
【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.
【详解】如图，
A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，
由，得，
所以，故D正确.
故选：BD
7．CD
【分析】利用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可判断D.
【详解】A，若，则与任意向量共线，所以与不一定平行，故A错误；
B，若，则，，当共面时，，
若不共面时，与不平行，故B错误；
C，若，则，所以，
在方向上的投影为，故C正确；
D，，设,
则
，
设，则，即，①
，设，
，
，即，②
由①②可得，，即，故D正确.
故选：CD
8．1
【分析】
利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解.
【详解】
，则，，
所以.
故答案为：1
9．
【分析】利用向量加减运算结合夹角定义求解.
【详解】设，，，因为，均为单位向量，
所以四边形为菱形，且平分，
所以与的夹角为，则与的夹角为．
故答案为：
10．
【分析】根据在方向上的数量投影先求出,取,则,即求的最小值,过点作的垂线即可求得.
【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2,
,
,
,即,
记,
则,
若求的最小值即求的最小值,
过点作的垂线交于点,此时最小,
如图所示:
,
故答案为:
11．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则，
.
（2）因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.

12．(1)；
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化计算得，所以可得；（2）由余弦定理计算得，可得，所以，再由，得且，所以四边形是矩形，求解得，从而得.
【详解】（1）因为，由得，，
由正弦定理得，
因为，所以，
故，
得，即，
又，所以.
（2）由余弦定理得，所以，即，又因为，即，因为不共线，所以且，所以四边形是矩形，所以，即，所以.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2022·山东·模拟预测）中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当时，，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
3．（2023·江苏南京·二模）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为 ；②设，则 ．
四、解答题
4．（2020·北京朝阳·二模）已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．
参考答案：
1．D
【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
【详解】
，
故选：D．

2．AB
【分析】连接DH，AF，CH，BH，利用五角星的结构特征逐项分析判断作答.
【详解】对于A，连接DH，如图，由DF=FH，得：，，A正确；
对于B，连接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，则，B正确；
对于C，与不共线，C不正确；
对于D，连接CH，BH，由选项A知，，而，则四边形是平行四边形，
，D不正确.
故选：AB
3．
【分析】①根据类比图形的结构特点，找到与的面积联系即可.
②利用向量加减法的三角形法则，用，表示出即可.
【详解】如图：
连接，由题意知，且分别为的中点，.
所以，
,
得.
，，
化简得，
所以
故答案为：①；②.
4．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）由离心率得，由椭圆过一点．得，两者结合可解得，得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程后可得，由，，把用表示，然后计算并代入即可得证．
【详解】（Ⅰ）由题意，解得，
∴椭圆方程为；
（Ⅱ）易知直线斜率存在，设其方程为，设，
由，消元整理得，
∴，，
把代入得，即，
由，得，，
由，得，，
∴，
∴为定值．
【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得，把它代入题中需求的量化简可得结论．
【培优篇】
一、单选题
1．（2021·浙江金华·三模）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（ ）
A．若m+n=3，则M的最小值为3
B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值
C．若m·n=3，则M的最小值为3
D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值
二、多选题
2．（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 .
参考答案：
1．A
【分析】设，以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，把转化为关于的表达式，可解决此题．
【详解】：设，如图：
以为原点，以、与所在直线垂直的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，
，，
．
①若，取，，则，
，，，，
,，此时，、两点重合，所以正确；
取，，则，
当时取最小值，此时、两点重合，所以点不唯一，故B错误；
②若，取，则
，
当时，，故C错误；
取，时，则，
当时，取最小值，点不唯一，故D错误.
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法.
2．ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
3．
【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.
【详解】因向量与共线，令，
则，而向量，为单位向量，且，
于是得
，
当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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