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专题31 复数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】复数的概念 4
【考点2】复数的四则运算 5
【考点3】复数的几何意义 6
【考点4】复数与方程 7
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.能进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·全国·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2021·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【考点1】复数的概念
一、单选题
1．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
2．（2024·河南郑州·三模）复数（且），若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
三、填空题
5．（2024·贵州黔南·二模）为虚数单位，若是以的实部为虚部、以的虚部为实部的复数，则的共轭复数的模长为 .
6．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数， 则 ，的实部为 ．
反思提升：
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z.
【考点2】复数的四则运算
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·云南·模拟预测）已知，是方程的两个复根，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·二模）已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为
B．复数在复平面中对应的点在第四象限
C．
D．
4．（2023·重庆·二模）已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若且，则 D．若，则
三、填空题
5．（22-23高三上·天津南开·期中）已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则 ．
6．（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则 .
反思提升：
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
【考点3】复数的几何意义
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·一模）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
3．（2021·全国·模拟预测）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点不在实轴上 D．的最大值为
4．（2024·江西·二模）已知复数（且，为虚数单位），若，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面上对应的点位于第四象限
B．
C．
D．若复数满足，则在复平面内对应的点构成的图形的面积为
三、填空题
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则 .
6．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 .
反思提升：
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
【考点4】复数与方程
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·二模）关于 的方程 在复数范围内的两个根 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北邢台·二模）已知复数，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若是关于x的方程（p，）的一个根，则
C．若，则
D．若，则或
二、多选题
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，则（ ）
A． B．该方程的实数根为1
C． D．
4．（2024·浙江温州·三模）已知是关于的方程的两个根，其中，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2023·河南·三模）已知（i为虚数单位），z为实系数方程的一个根，则 ．
6．（2024·广东广州·二模）若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数 .
反思提升：
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江·期中）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西宜春·模拟预测）若为纯虚数，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
5．（2024·河北沧州·模拟预测）复数，则下列说法正确的有（ ）
A．在复平面内对应的点都位于第四象限
B．在复平面内对应的点在直线上
C．
D．的最小值为4
6．（2024·福建泉州·模拟预测）若则（ ）
A． B．
C． D．是纯虚数
7．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则或 D．若且，则
三、填空题
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为 .
9．（2024·河北唐山·二模）已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ．
10．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 .
四、解答题
11．（22-23高一下·福建三明·阶段练习）已知复数.
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全国·对口高考）已知复数（a，），存在实数t，使成立.
(1)求证：为定值；
(2)若，求a的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为3 D．的最小值为3
三、填空题
3．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ．
四、解答题
4．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·上海奉贤·一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
二、多选题
2．（23-24高三上·辽宁·开学考试）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若，则是实数
B．若，则存在唯一实数对使得
C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若，则
三、填空题
3．（2022·江苏镇江·模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题31 复数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】复数的概念 7
【考点2】复数的四则运算 10
【考点3】复数的几何意义 13
【考点4】复数与方程 16
【分层检测】 19
【基础篇】 19
【能力篇】 25
【培优篇】 27
考试要求：
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.能进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·全国·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2021·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
1．C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
2．B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
3．A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
4．A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
5．D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
6．C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
7．A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
8．D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
9．A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
10．C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
11．C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
12．B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
【考点1】复数的概念
一、单选题
1．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
2．（2024·河南郑州·三模）复数（且），若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
三、填空题
5．（2024·贵州黔南·二模）为虚数单位，若是以的实部为虚部、以的虚部为实部的复数，则的共轭复数的模长为 .
6．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若为正整数，则，其中为虚数单位，已知复数， 则 ，的实部为 ．
参考答案：
1．D
【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可.
【详解】因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为，
故选：D.
2．A
【分析】求出，根据为纯虚数即可求解.
【详解】，
因为为纯虚数，所以，
所以.
故选：A.
3．BCD
【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.
【详解】对于A，由，得，则A错误.
对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.
对于C，设（，且），
则，所以，则C正确.
对于D，由，得.
设（，且），则，
，从而，则D正确.
故选：BCD
4．AC
【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.
【详解】A：设，则，
所以，
，则，故A正确；
B：设，则，
所以，
，则，故B错误；
C：由选项A知，，，
又，所以，不一定有，即推不出；
由，得，则，则，即，
所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
D：设，则，
若，则，即，推不出；
若，则，
又，
同理可得，所以，；
所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误.
故选：AC
5．
【分析】根据复数的实部、虚部的概念可得，再结合共轭复数和模长公式运算求解.
【详解】因为的实部为2，的虚部为2，
由题意可知：，则，
所以的共轭复数的模长为.
故答案为：.
6． /
【分析】化解复数，由棣莫弗定理可得， ，根据复数模及共轭复数定义即可求解.
【详解】因为复数，
所以由棣莫弗定理可得，
，
所以.
所以，
所以的实部为.
故答案为：①985；②.
反思提升：
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z.
【考点2】复数的四则运算
一、单选题
1．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·云南·模拟预测）已知，是方程的两个复根，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·二模）已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的实部为
B．复数在复平面中对应的点在第四象限
C．
D．
4．（2023·重庆·二模）已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．若且，则 D．若，则
三、填空题
5．（22-23高三上·天津南开·期中）已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则 ．
6．（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则 .
参考答案：
1．D
【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部.
【详解】由，
则，的虚部为2.
故选：D.
2．B
【分析】
利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可.
【详解】
已知，是方程的两个复根，所以，
则设，，所以，
故选：B.
3．ABD
【分析】先化简得到，然后用实部和共轭实数的定义判断A和B选项；由于虚数不能比较大小，故C错误；直接计算即知D正确.
【详解】我们有，故的实部为，A正确；
由知，所以在复平面中对应的点是，在第四象限，B正确；
都不是实数，它们不能比较大小，C错误；
，D正确.
故选：ABD.
4．BCD
【分析】根据复数的特征、几何意义以及复数运算判断各选项即可.
【详解】对于A，若，例如：，则，故A错误；
对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确；
对于C，由，则，∵，∴，故C正确；
对于D：若，则，故D正确.
故选：BCD.
5．
【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数，根据复数的概念即可求解.
【详解】
因为复数为纯虚数，所以，.
故答案为：-3.
6．
【分析】根据复数的运算以及模长公式求解即可.
【详解】设，则，
由，，
得，解得，
所以，
故答案为：.
反思提升：
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
【考点3】复数的几何意义
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·一模）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
3．（2021·全国·模拟预测）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点不在实轴上 D．的最大值为
4．（2024·江西·二模）已知复数（且，为虚数单位），若，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面上对应的点位于第四象限
B．
C．
D．若复数满足，则在复平面内对应的点构成的图形的面积为
三、填空题
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则 .
6．（2024·安徽·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 .
参考答案：
1．D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.
【详解】由题图可知，，则，
解得（舍去），
所以，，则向量在向量上的投影向量为，
所以其坐标为．
故选：D
2．B
【分析】由复数四则运算以及几何意义即可得解.
【详解】由题意，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．ABC
【分析】先设，代入中并化简，根据为纯虚数得到的关系可判断A，C；计算判断B；由复数模的几何意义得到的最大值为判断D．
【详解】由题意设，则．因为为纯虚数，所以，且，因此，在复平面内对应的点不在实轴上，所以A，C正确；，所以B正确；表示圆上的点到点的距离，且最大距离为，所以D不正确．
故选：ABC．
【点睛】方法点睛：本题考查复数的运算与几何意义，对于复数的模，共轭复数，复数的分类包括方程的复数解或实数解等问题可以设，代入运算后利用复数相等或复数的定义得出实数的关系，达到求解的目的．
4．ACD
【分析】由共轭复数的定义，根据复数乘法求得，再由复数的几何意义及复数的运算判断各选项．
【详解】由题意可知，复数，
共轭复数为，
对于A，由得，
所以或（舍去）.
所以复数，共轭复数，
则共轭复数在复平面上对应的点为，位于第四象限，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，设复数，
所以，
即
故复数在复平面对应的点构成的图形的面积为，故D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】由已知求得，进一步得到，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得．
【详解】解：由题意，，
，
．
故答案为：2．
6．
【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.
【详解】由题意得，，解得，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
反思提升：
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
【考点4】复数与方程
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·二模）关于 的方程 在复数范围内的两个根 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北邢台·二模）已知复数，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若是关于x的方程（p，）的一个根，则
C．若，则
D．若，则或
二、多选题
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，则（ ）
A． B．该方程的实数根为1
C． D．
4．（2024·浙江温州·三模）已知是关于的方程的两个根，其中，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2023·河南·三模）已知（i为虚数单位），z为实系数方程的一个根，则 ．
6．（2024·广东广州·二模）若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数 .
参考答案：
1．D
【分析】根据求根公式求出，在根据复数的四则运算以及复数模的公式即可逐个判断。
【详解】由题设方程，不妨取，，
根据韦达定理知，，故A，B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D
2．C
【分析】对于A，令即可判断；对于D，令即可判断；对于B，由韦达定理即可验算；对于C，由共轭复数以及模的运算公式即可判断.
【详解】对于A，令，显然，但都不等于0，故A错误；
对于B，由于一元二次方程的虚根是以共轭复数的形式成对出现的，
所以若是关于x的方程（p，）的一个根，
则也是关于x的方程（p，）的一个根，
从而由韦达定理有，故B错误；
对于C，设，
而，
所以，故C正确；
对于D，取，显然有，但不满足且，故D错误.
故选：C.
3．BD
【分析】将代入方程中，结合复数相等的充要条件，即可求解，进而结合选项即可逐一求解.
【详解】由是方程的根，得，
整理得，而，因此，解得，
对于A，，A错误；
对于BC，方程，变形为，
显然此方程还有一个实根1，另一个虚根，B正确，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
4．ACD
【分析】根据虚根成对原理得到，即可判断A，再根据复数代数形式的乘法运算判断B，利用韦达定理判断C、D.
【详解】因为是关于的方程的两个根且，
所以，即，故A正确；
，，所以，故B错误；
因为，所以，故C正确；
又，故D正确.
故选：ACD
5．
【分析】
由复数的除法求出，利用韦达定理求出的值即可.
【详解】已知，则，，
z为实系数方程的一个根，则，，
所以.
故答案为：
6．-2
【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出.
【详解】（i为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，
（i为虚数单位）也是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，
，解得.
故答案为：-2.
反思提升：
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【基础篇】
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江·期中）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西宜春·模拟预测）若为纯虚数，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
5．（2024·河北沧州·模拟预测）复数，则下列说法正确的有（ ）
A．在复平面内对应的点都位于第四象限
B．在复平面内对应的点在直线上
C．
D．的最小值为4
6．（2024·福建泉州·模拟预测）若则（ ）
A． B．
C． D．是纯虚数
7．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则或 D．若且，则
三、填空题
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为 .
9．（2024·河北唐山·二模）已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ．
10．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 .
四、解答题
11．（22-23高一下·福建三明·阶段练习）已知复数.
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全国·对口高考）已知复数（a，），存在实数t，使成立.
(1)求证：为定值；
(2)若，求a的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故选：B
2．A
【分析】利用代数形式的复数加法、乘法运算，结合复数的模及共轭计算判断BCD；举例说明判断A.
【详解】设，
对于A，令，，A错误；
对于B，
，B正确；
对于C，，
则，，
因此，C正确；
对于D，，D正确.
故选：A
3．A
【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，由题意可得且，解方程即可得出答案.
【详解】由题得，
因为为纯虚数．所以且，
解得．
故选：A．
4．C
【分析】先化简复数，再利用复数虚部的概念求解.
【详解】因为复数，所以的虚部是1.
故选：C
5．BC
【分析】由复数的几何意义，即可判断A和B；根据共轭复数的概念及复数的加减运算法则判断C；由复数的模即可判断D．
【详解】对于AB，因为，所以在复平面内对应的点为，故A错误，B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，当时，取最小值为2，故D错误；
故选：BC．
6．AB
【分析】根据复数的几何意义得到复数点所对应的轨迹，再利用共轭复数的概念即可判断AB；举反例即可判断CD.
【详解】利用复数的几何意义知在复平面内，对应的点在对应线段的中垂线即直线上，
对A，因为直线上的点到点的距离相等，则A正确；
对B，因为与关于实轴对称，则对应的点在直线上，且该直线上的点到点的距离相等，所以B正确；
对C，在直线上取点，则其所对应的复数为，则，则，故C错误；
对D，在直线上取点，则其所对应的复数为，则，故D错误.
故选：AB.
7．BCD
【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；由得，即可判断C；设，通过复数计算即可判断D.
【详解】对于A，设，则，所以，而，
所以，故A不正确；
对于B，设，
则，故B正确；
对于C，若，所以，所以，
所以 或，所以至少有一个为0，故C正确.
对于D，设，则，
所以，而，
所以，故D正确.
故选：BCD.
8．
【分析】设，由条件得，所求式消元后化成，结合点的轨迹图形特征，求得的范围，结合函数单调性即得的最小值.
【详解】设，由两边平方整理得：，
即而，
作出复数对应的点的轨迹的图形如图.
易得，因在定义域内为增函数，
故，
即当且仅当时，取最小值.
故答案为:.
9．/
【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部.
【详解】因为，又，
所以，
所以复数的虚部为.
故答案为：
10．
【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.
【详解】，
因为是纯虚数，
所以，得.
故答案为：
11．(1)，
(2)
【分析】（1）根据复数相等的概念，即可求得答案；
（2）根据复数的除法运算，可求得答案.
【详解】（1）由题意复数，
则由可得；
（2）当,时，，
故.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）对化简整理可得，结合复数的相等分析运算；（2）根据复数模长的定义和公式，结合运算求解.
【详解】（1）∵，则，
由复数相等，消去t得，
故为定值.
（2）
∵，且
∴，
又∵，即，则，整理得，
∴原不等式组即为，解得，
故a的取值范围为.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为3 D．的最小值为3
三、填空题
3．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ．
四、解答题
4．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
参考答案：
1．A
【分析】设，利用复数的模长结合已知组成方程组，解出即可.
【详解】设
因为，所以，即，①
又，所以，即，②
又，所以，即，③
②③可得，④
把①代入④可得，
所以，故A正确；
故选：A.
2．ABD
【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D.
【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确；
对B：设，，
则，即，
则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
，选项B正确；
对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），
所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
的取值范围为，无最小值，选项C错误；
对D： ，
表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，
为纯虚数或0，在轴上（除去点），
当时取得最小值3，∴选项D正确.
故选：ABD．
3．/
【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果.
【详解】因为，
所以复数是纯虚数，则满足，则，
故答案为：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值；
（2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可.
【详解】（1）已知，则，
由于，得，解得：
（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，
即：，得：，解得：，，
带入一元二次方程中得：，
解得：，，
即方程另外一个复数根为
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·上海奉贤·一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
二、多选题
2．（23-24高三上·辽宁·开学考试）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若，则是实数
B．若，则存在唯一实数对使得
C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若，则
三、填空题
3．（2022·江苏镇江·模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 .
参考答案：
1．C
【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.
【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.
故选：C
2．ACD
【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，若，因为，则，可得，
设，则，所以A正确；
对于B中，由A得，设，若，
则，
只要或，选项B就不正确；
例如：，此时，
可表示为或，
所以表示方法不唯一，所以B错误.
对于C中，若，则，可得，
则，所以且，
设，则，其中，
则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍，
故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确.
对于D中，若，可得，同理，
由，即，可得，
即，
即，即，
即，
因为，所以成立，
所以成立，所以D正确.
故选：ACD.
3．
【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.
【详解】复数满足，即
即复数对应的点到点的距离满足
设，表示复数对应的点到点的距离
数形结合可知的最大值
故答案为：
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