初中数学华师大版九年级下册 第26章 二次函数 基础巩固卷(含解析)

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初中数学华师大版九年级下册 第26章 二次函数 基础巩固卷(含解析)

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2024-2025学年度九年级数学练习一
第26章二次函数基础巩固卷
本试卷共印8个班: 初三1-8班 命题人:石老师 时间:2025-2-18
一、单选题(每题3分,共30分)
1.若点都在二次函数的图象上,则( )
A. B. C. D.
2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度(单位:)与小球的运动时间(单位:)之间的关系式是.有下列结论:①小球从抛出到落地需要;②小球运动中的高度可以是;③小球运动时的高度小于运动时的高度.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.将抛物线向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为( )
A. B. C. D.
4.二次函数的最小值为(  )
A.0 B.1 C. D.不能确定
5.如图,二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是,顶点坐标为,则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
6.已知二次函数的图象经过,两点,则下列判断正确的是( )
A.可以找到一个实数,使得 B.无论实数取什么值,都有
C.可以找到一个实数,使得 D.无论实数取什么值,都有
7.已知二次函数,当时,函数取得最大值;当时,函数取得最小值,则t的取值范围是( )
B. C. D.
8.函数与的图象如图所示,当( )时,,均随着的增大而减小.
B.
C. D.
9.如图,在等腰中,,,动点E,F同时从点A出发,分别沿射线和射线的方向匀速运动,且速度大小相同,当点E停止运动时,点F也随之停止运动,连接,以为边向下做正方形,设点E运动的路程为,正方形和等腰重合部分的面积为y,下列图像能反映y与x之间函数关系的是( )
A.B. C. D.
10.已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表,
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(    )
A.图象的开口向上 B.当时,y的值随x的值增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线
二、填空题(每题3分,共15分)
11.已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线,点,在抛物线上,则 (填“>”或“<”);
12.若二次函数的图象与轴有交点,则的取值范围是 .
13.对于一个二次函数()中存在一点,使得,则称为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线“开口大小”为 .
14.若抛物线(是常数)与轴没有交点,则的取值范围是 .
15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与与相交于点,,点的坐标为,若点在抛物线上,则的长为 .
三、解答题(共75分)
16.(8分)“尔滨”火了,带动了黑龙江省的经济发展,农副产品也随之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品,在试销售的天中,第天且为整数)的售价为(元千克).当时,;当时,.销量(千克)与的函数关系式为,已知该产品第天的售价为元千克,第天的售价为元千克,设第天的销售额为(元).
(1) , ;
(2)写出第天的销售额与之间的函数关系式;
(3)求在试销售的天中,共有多少天销售额超过元?
17.(8分)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.(题中“元”为人民币)
18.(9分)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,篱笆长.设垂直于墙的边长为米,平行于墙的边为米,围成的矩形面积为.
(1)求与与的关系式.
(2)围成的矩形花圃面积能否为,若能,求出的值.
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时的值.
19.(10分)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元?
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价)
20.(9分)在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)当时,求抛物线的顶点坐标;
(2)已知和是抛物线上的两点.若对于,,都有,求的取值范围.
21.(9分)已知二次函数(b,c为常数)的图象经过点,对称轴为直线.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点向上平移2个单位长度,向左平移m()个单位长度后,恰好落在的图象上,求m的值;
(3)当时,二次函数的最大值与最小值的差为,求n的取值范围.
22.(10分)如图,已知二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,其中.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若是二次函数图象上的一点,且点在第二象限,线段交轴于点的面积是的面积的2倍,求点的坐标.
23.(12分)综合与探究:如图,在平面直角坐标系中,已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点,点P是抛物线位于第四象限图象上的动点,过点P分别作x轴和y轴的平行线,分别交直线于点E,点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D是x轴上的任意一点,若是以为腰的等腰三角形,请直接写出点D的坐标;
(3)当时,求点P的坐标;
(4)在(3)的条件下,若点N是y轴上的一个动点,过点N作抛物线对称轴的垂线,垂足为M,连接,则的最小值为______.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
《第26章二次函数基础巩固卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B D C C D A D
1.A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点,根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴(直线),图象的开口向上,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,再比较即可.
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴,开口向上,
∴当时, y随x的增大而增大,
∵点都在二次函数的图象上,且,
∴,
故选∶A.
2.C
【分析】本题考查二次函数的图像和性质,令解方程即可判断①;配方成顶点式即可判断②;把和代入计算即可判断③.
【详解】解:令,则,解得:,,
∴小球从抛出到落地需要,故①正确;
∵,
∴最大高度为,
∴小球运动中的高度可以是,故②正确;
当时,;当时,;
∴小球运动时的高度大于运动时的高度,故③错误;
故选C.
3.A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式,根据平移的规律“上加下减.左加右减”可得出平移后的抛物线为,再把化为顶点式即可.
【详解】解:抛物线向下平移2个单位后,
则抛物线变为,
∴化成顶点式则为 ,
故选:A.
4.B
【分析】本题考查了二次函数的最值,熟练二次函数的顶点式是解决问题的关键.
由得,即可求解.
【详解】解:∵,
∴,因此当时,取得最小值1.
故选:B.
5.D
【分析】本题考查了二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,利用二次函数的性质,对称性,增减性判断选项A、B、C,利用待定系数法求出二次函数的解析式,再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D.
【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为,
∴二次函数图象的对称轴是直线,故选项A错误;
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是,对称轴是直线,
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1,故选项B错误;
∵抛物线开口向下, 对称轴是直线,
∴当时,y随x的增大而增大,故选项C错误;
设二次函数解析式为,
把代入,得,
解得,
∴,
当时,,
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3,故选项D正确,
故选D.
6.C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,根据题意得到二次函数开口向上,且对称轴为,顶点坐标为,再分情况讨论,当时,当时,, 的大小情况,即可解题.
【详解】解:二次函数解析式为,
二次函数开口向上,且对称轴为,顶点坐标为,
当时,,
当时,,

当时,,

故A、B错误,不符合题意;
当时,,
由二次函数对称性可知,,
当时,,由二次函数对称性可知,,不一定大于,
故C正确符合题意;D错误,不符合题意;
故选:C.
7.C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数的最值等知识.熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
由,可知图象开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为,当时,,即关于对称轴对称的点坐标为,由当时,函数取得最大值;当时,函数取得最小值,可得,计算求解,然后作答即可.
【详解】解:∵,
∴图象开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为,
当时,,
∴关于对称轴对称的点坐标为,
∵当时,函数取得最大值;当时,函数取得最小值,
∴,
解得,,
故选:C.
8.D
【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质,利用数形结合的思想解决问题是关键.由函数图象可知,当时,随着的增大而减小;位于在一、三象限内,且均随着的增大而减小,据此即可得到答案.
【详解】解:由函数图象可知,当时,随着的增大而减小;
位于一、三象限内,且在每一象限内均随着的增大而减小,
当时,,均随着的增大而减小,
故选:D.
9.A
【分析】本题考查动态问题与函数图象,能够明确y与x分别表示的意义,并找到几何图形与函数图象之间的关系,以及对应点是解题的关键,根据题意并结合选项分析当与重合时,及当时图象的走势,和当时图象的走势即可得到答案.
【详解】解:当与重合时,设,由题可得:
∴,,
在中,由勾股定理可得:,
∴,
∴,
∴当时,,
∵,
∴图象为开口向上的抛物线的一部分,
当在下方时,设,由题可得:
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴当时,,
∵,
∴图象为开口向下的抛物线的一部分,
综上所述:A正确,
故选:A.
10.D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质.先利用待定系数法求得二次函数解析式,再根据二次函数的性质逐一判断即可.
【详解】解:由题意得,解得,
∴二次函数的解析式为,
∵,
∴图象的开口向下,故选项A不符合题意;
图象的对称轴是直线,故选项D符合题意;
当时,y的值随x的值增大而增大,当时,y的值随x的值增大而减小,故选项B不符合题意;
∵顶点坐标为且经过原点,图象的开口向下,
∴图象经过第一、三、四象限,故选项C不符合题意;
故选:D.
11.
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质,由平移的规律可得出抛物线的解析式为,再利用二次函数图象的性质可得出答案.
【详解】解:,
∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线,
∴抛物线的解析式为,
∴抛物线开口向上,对称轴为,
∴当时,y随x的增大而增大,
∵,
∴,
故答案为:.
12.
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键;根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可.
【详解】解:二次函数的图象与轴有交点,

解得,
的取值范围为,
故答案为:.
13.4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合,涉及二次函数性质、分式化简求值等知识,读懂题意,理解新定义抛物线的“开口大小”,利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到,按照定义求解即可得到答案,熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键.
【详解】解:根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点,使得,则,

中存在一点,有,解得,则,
抛物线“开口大小”为,
故答案为:.
14.
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题,掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键.
由抛物线与x轴没有交点,运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可.
【详解】解:∵抛物线与x轴没有交点,
∴没有实数根,
∴,.
故答案为:.
15.
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式,二次函数的性质,熟练求解二次函数的解析式是解题的关键.先利用待定系数法求得抛物线,再令,得,解得或,从而即可得解.
【详解】解:把点,点代入抛物线得,

解得,
∴抛物线,
令,得,
解得或,
∴,
∴;
故答案为:.
16.(1),
(2)
(3)在试销售的天中,共有天销售额超过元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用;
(1)待定系数法求解析式,即可求解;
(2)根据销售额等于销量乘以售价,分段列出函数关系式,即可求解;
(3)根据题意,根据,列出方程,解方程,即可求解.
【详解】(1)解:依题意,将,代入,

解得:

故答案为:,.
(2)解:依题意,
当时,
当时,

(3)解:依题意,当时,
当时,
解得:
为正整数,
∴第天至第天,销售额超过元
(天)
答:在试销售的天中,共有天销售额超过元
17.当定价为4.5万元每吨时,利润最大,最大值为312.5万元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用,设每吨降价x万元,每天的利润为w万元,根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式,利用二次函数的性质求解即可.
【详解】解:设每吨降价x万元,每天的利润为w万元,
由题意得,

∵,
∴当时,w有最大值,最大值为,
∴,
答:当定价为万元每吨时,利润最大,最大值为万元.
18.(1);
(2)能,
(3)的最大值为800,此时
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用:
(1)根据可求出与之间的关系,根据墙的长度可确定的范围;根据面积公式可确立二次函数关系式;
(2)令,得一元二次方程,判断此方程有解,再解方程即可 ;
(3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可.
【详解】(1)解:∵篱笆长,
∴,



∵墙长42m,
∴,
解得,,
∴;
又矩形面积

(2)解:令,则,
整理得:,
此时,,
所以,一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴围成的矩形花圃面积能为;


∵,
∴;
(3)解:

∴有最大值,
又,
∴当时,取得最大值,此时,
即当时,的最大值为800
19.(1)A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件
(2)()
(3)A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最犬,最大利润为1840元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质,
根据题意设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元,进一步得到关于x的一元一次方程求解即可;
根据降价1元,每天可多售出10件列出函数关系式,结合进价与售价,且每件售价不低于进价得到x得取值范围;
结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件,得到A类特产的利润,同时求得B类特产的利润,整理得到关于x的二次函数,利用二次函数的性质求解即可.
【详解】(1)解:设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元.
根据题意得.
解得.
则每件B类特产的售价(元).
答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.
(2)由题意得
∵A类特产进价50元/件,售价为60元/件,且每件售价不低于进价
∴.
答:().
(3)

∴当时,w有最大值1840.
答:A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1840元.
20.(1);
(2)或
【分析】()把代入,转化成顶点式即可求解;
()分和两种情况,画出图形结合二次函数的性质即可求解;
本题考查了求二次函数的顶点式,二次函数的性质,运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键.
【详解】(1)解:把代入得,,
∴抛物线的顶点坐标为;
(2)解:分两种情况:抛物线的对称轴是直线;
当时,如图,此时,
∴,
又∵,
∴;
当时,如图,此时,
解得,
又∵,
∴;
综上,当或,都有.
21.(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法,二次函数的图象与性质,
(1)采用待定系数法即可求解二次函数关系式;
(2)先求出平移后点B的坐标,然后把坐标代入解析式即可;
(3)分为,时,时,建立方程解题即可.
【详解】(1)解:设二次函数的解析式为,把代入得,
解得,
∴;
(2)解:点B平移后的点的坐标为,
则,解得或(舍),
∴m的值为;
(3)解:当时,
∴最大值与最小值的差为,解得:不符合题意,舍去;
当时,
∴最大值与最小值的差为,符合题意;
当时,
最大值与最小值的差为,解得或,不符合题意;
综上所述,n的取值范围为.
22.(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识,考查运算能力、推理能力、几何直观等.
(1)根据待定系数法求解即可;
(2)设,因为点在第二象限,所以.依题意,得,即可得出,求出,由,求出,即可求出点的坐标.
【详解】(1)解:将代入,
得,
解得,
所以,二次函数的表达式为.
(2)设,因为点在第二象限,所以.
依题意,得,即,所以.
由已知,得,
所以.
由,
解得(舍去),
所以点坐标为.
23.(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点,掌握数形结合思想成为解题的关键.
(1)先根据题意确定点A、C的坐标,然后运用待定系数法求解即可;
(2)分三种情况分别画出图形,然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答;
(3)先证明可得,设,则,可得,即,求得可得m的值,进而求得点P的坐标;
(4)如图:将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形,可得,即,作关于对称轴的点,则,由两点间的距离公式可得,再根据三角形的三边关系可得即可解答.
【详解】(1)解:∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点C,
∴当时,,即;当时,,即;
∵,
∴设抛物线的解析式为,
把代入可得:,解得:,
∴,
∴抛物线的解析式为:.
(2)解:∵,,
∴,
∴,
如图:当,
∴,即;
如图:当,
∴,即;
如图:当,
∴,即;
综上,点D的坐标为.
(3)解:如图:∵轴,
∴,
∵轴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵设,则,
∴,
∴,解得:(负值舍去),
当时,,
∴.
(4)解: ∵抛物线的解析式为:,
∴抛物线的对称轴为:直线,
如图:将线段向右平移单位得到,
∴四边形是平行四边形,
∴,即,
作关于对称轴的点,则
∴,
∵,
∴的最小值为.
故答案为.
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