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专题17.1.2勾股定理（二）十二大题型（一课一讲）
（内容:勾股定理实际应用）
【人教版】
题型一：以弦图为背景的计算题
【经典例题1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是，
，
，
，
，
小正方形的面积为：，
即，
，
，
，
故选D．
【变式训练1-1】如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：①，表示直角三角形的两直角边（），大正方形的面积为64，
由勾股定理可知，
故①正确；
②小正方形的面积为9，
小正方形的边长为3，
，
故②正确；
③大正方形的面积直角三角形面积小正方形的面积，
，
故③正确；
④，，
即，
，
有，
或（不合题意，舍去），
故④错误．
综上所述，其中正确的是①②③，
故选：B．
【变式训练1-2】如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成，
∴，，
在中，由勾股定理，
∴，即正方形的边长是7．
故选C．
【变式训练1-3】如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【详解】解：连接，
∵，
∴，
设，
由题意得：，
∴
∴，
∵的面积为4，
∴，
解得：，
∴在中，由勾股定理得，，
∴正方形的面积为30，
故选：B．
【变式训练1-4】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴小正方形的边长为9．
故选：B．
【变式训练1-5】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：（1），（2），（3），（4）中，正确结论的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：设小正方形的边长为m，大正方形的边长为n，
由题意可得，，
∴，，
∵直角三角形的两直角边长分别为a，b，
∴，即（1）正确；
由图可得，即（2）错误；
∵小正方形的面积四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，
∴，
∴，即（3）正确；
∵，
∴，
∴，即（4）正确．
综上可得（1）（3）（4）正确，共3个．
故选：B．
题型二：勾股定理与无理数
【经典例题2】如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴点D表示的数为，
故选：C．
【变式训练2-1】如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∴
∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：A．
【变式训练2-2】如图， 中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为 ．
【答案】/
【详解】解：中，，，，
由勾股定理得：，
以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于，
，
点在数轴上表示的数为，
，
，
点表示的数为，
故答案为：．
【变式训练2-3】如图，△ABC是直角三角形，点C表示，，，如若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 ．
【答案】/
【详解】解：∵，，，
∴，
∵以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点D，
∴，
∵点C表示，
∴点D表示的数是：，
故答案为：．
【变式训练2-4】如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将△ABC沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，△ABC第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ．
【答案】
【详解】解：中，，，，
．
的周长为．
有三个顶点，
次旋转中每三次一个循环．
，
次旋转共经历674个循环还余2．
△ABC第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，
次旋转后点C共向右移动的总长为．
第一次的起点为，
右边的点表示的数是．
故答案为：．
【变式训练2-5】如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数．
(1)数轴上点所表示的数为 ；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由勾股定理可得：，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵为不超过的最大整数，
∴，
∴
．
题型三：勾股定理的应用之求梯子滑落的高度
【经典例题3】如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断
【答案】A
【详解】解：斜靠在竖直的墙上，，，
在中，.
竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，
，，
在中，.
.
，
.
.
的长度小于2米.
故答案为：A.
【变式训练3-1】一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为米，若梯子顶端沿墙下滑米，则梯子底端将向外滑动 米．
【答案】
【详解】解：由题意可得：，，
故，
梯子顶端沿墙下滑米，
，，
，
，
故答案为：．
【变式训练3-2】【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
【答案】（1）；（2）的长度为
【详解】解：（1）在中，，
答：长为；
（2），
，
在中，，
，
答：的长度为．
【变式训练3-3】如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面．
(1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长．
(2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？
【答案】(1)24米(2)能
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴．
答：的长为24米．
（2）解：设米，则．
∵，
∴能达到．
【变式训练3-4】如图，一个长为15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，
(1)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端也向后滑动吗？请通过计算解答．
(2)梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)有可能，当梯子的顶端从处沿墙下滑时，点向外移动
【详解】（1）解：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑动，理由如下：
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑动；
（2）解：梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等，理由如下：
由（1）可知，，
设梯子顶端从处沿墙下滑的距离为， 则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，（不符合题意，舍去），
所以，当梯子的顶端从处沿墙下滑的距离是时，与点向外移动的距离有可能相等．
【变式训练3-5】云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）．
【答案】消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m．
【详解】解：如图，延长交于点D，
根据题意，得，，，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
答：消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m．
题型四：勾股定理的应用之求旗杆高度
【经典例题4】春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想让风筝沿方向下降2米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度为米；(2)他应该往回收线米．
【详解】（1）解：如图，在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为米；
（2）解：如图，由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线米．
【变式训练4-1】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？
【答案】米
【详解】解：在中，米，米，
则（米）．
在中，米，米，
则（米）．
则引线的长度应加长米．
【变式训练4-2】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数）
【答案】(1)米(2)小明需要后退约米
【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则，
在中，，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：旗杆的高度为．
（2）解：过作于点，
则，
∴四边形为长方形，
∴，，
，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
答：小明需后退．
【变式训练4-3】如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测步骤如下：
①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长，高，旗杆正好在底座的正中间（B是的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为的长；
②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出长为．
请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度．
【答案】该校操场上旗杆的高度为
【详解】解：根据题意得，
如图，，
设旗杆，则，，，
在中，，
∴
解得，
∴，
即该校操场上旗杆的高度为．
【变式训练4-4】某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，
他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点作，垂足为，求的长度．
【答案】(1)米(2)12米
【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得：
（米，
所以（米．
答：风筝的高度为米．
（2）解：由等积法知：，
解得：（米．
答：的长度为12米．
【变式训练4-5】某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米．
实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
(1)已知：如图，在中，．求线段的长．
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】(1)米(2)8米
【详解】（1）解：由勾股定理得，，
∴（米），
∴线段的长为米．
（2）解：风筝沿方向再上升米，则，
由勾股定理得，，
∵，
∴他应该再放出8米线．
题型五：勾股定理的应用之求小鸟飞行的距离
【经典例题5】如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵树高14米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选：B．
【变式训练5-1】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
根据题意得：，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，
故选：B．
【变式训练5-2】如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过作于，如图所示：

由题意可知，，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，
它要飞回巢中所需的时间至少是（），
故选：C．
【变式训练5-3】姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
(1)请用含有x的整式表示线段的长为 m；
(2)求这棵树高有多少米？
【答案】(1)(2)这棵树高3.2米
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：由题意知，则在中，
有，
∴，
解得：，
∴．
答：这棵树高有3.2米
【变式训练5-4】如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)米(2)小鸟下降的距离为米
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
【变式训练5-5】如图，有两根直杆隔河相对，杆高30m，杆高20m，两杆相距为50m，两杆顶各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，以同样的速度同时飞下来夺鱼，两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．两杆底部距鱼的距离，各是多少？
【答案】两杆底部距鱼的距离，分别是30m和20m．
【详解】解：由题意可得：，
则，
故，
解得：，
则，
答：两杆底部距鱼的距离，分别是30m和20m．
题型六：勾股定理的应用之解决水杯中筷子问题
【经典例题6】一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时x最大，．
当铅笔如图放置时x最小．
在中，，
∴，
∴．
∴x的取值范围：.
故选：B．
【变式训练6-1】如图为一个带盖的圆柱形铅笔筒，已知圆柱底面积为，笔筒高度为，则该圆柱形笔筒所能容纳铅笔的最大长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：圆柱底面积为，
该笔筒的底面半径为：，
该笔筒的直径为：，
圆桶内最长对角线的长为：，
则桶内能容下的最长的铅笔为，
故选：C．
【变式训练6-2】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺．
【答案】
【详解】解：如图，设水深是尺，
由题意可知，尺，尺，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴水深是尺，
故答案为：．
【变式训练6-3】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长；
当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长，高为，
由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度，
筷子露在收纳盒外的长度最短；
筷子露在盒外的部分的取值范围是，
故答案为：．
【变式训练6-4】如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？
【答案】米．
【详解】解：设为米，
∵在中，，，，
∴由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴湖水深为米．
【变式训练6-5】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
【答案】(1)12尺(2)见解析
【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，
由题意有：尺；
为中点，且丈尺，
(尺)；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
即尺；
答：水池的深度为12尺；
（2）证明：水池深度，则芦苇高度为，
由题意有：；
为中点，且，
；
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：；
表明刘徽解法是正确的．
题型七：勾股定理的应用之解决航行问题
【经典例题7】如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（ ）
A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里
【答案】D
【详解】
（海里/小时）
故选：D
【变式训练7-1】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（ ）
A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里
【答案】D
【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，
∴，
∴，
∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
故选：D ．
【变式训练7-2】如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【答案】9海里/时
【详解】解：由题意得：（海里），海里，
，
在中
∴（海里），
∴乙船的航速是（海里/时），
答：乙船的航速是9海里/时．
【变式训练7-3】如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里．
(1)求点与点之间的距离；
(2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
【答案】(1)点与点之间的距离为50海里(2)有0.7小时可以接收到信号
【详解】（1）解：由题意，得：，；
；
海里，海里；
（海里），
即：点与点之间的距离为50海里；
（2）解：过点作交于点，在上取点，，使得海里．
；
；
；
海里；
海里；
海里；
行驶时间为（小时）．
答：有0.7小时可以接收到信号．
【变式训练7-4】如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离．
【答案】
【详解】解：
为直角三角形
，
．
答：两点间的距离是．
【变式训练7-5】如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？
【答案】4小时后两船相距100海里
【详解】解：由题意，得，．
设小时后两船相距100海里，
根据题意得：，
解得：（舍去）或．
答：4小时后两船相距100海里．
题型八：勾股定理的应用之求地毯长度
【经典例题8】如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长，
∴长为米；宽为米．
于是最短路径为：米．
故选：B．

【变式训练8-1】如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米．
【答案】17
【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米，
则红地毯至少要米长，
故答案为：17．
【变式训练8-2】淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米．
【答案】
【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，
则矩形的长为：（米），
地毯的长度为：（米），
故答案为：．
【变式训练8-3】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为，
∴地毯面积为，
故答案为：
【变式训练8-4】如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．

【答案】
【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为，
．
答：护栏的长度为．
【变式训练8-5】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
【答案】
【详解】解：如图所示，

∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13．
【变式训练8-6】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
题型九：勾股定理的应用之判断是否超速
【经典例题9】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．
(1)求的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：）
【答案】(1)米(2)超速了，理由见解析
【详解】（1）解：在中，，
，
答：的长为米；
（2）解：小汽车的速度为：，
，
故小汽车超速了．
【变式训练9-1】某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【答案】没有超速
【详解】解：在中，，
根据勾股定理可得，
∴小汽车的速度为．
，
∴这辆小汽车没有超速．
【变式训练9-2】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【答案】这辆小汽车超速了
【详解】解：在中，；
根据勾股定理可得：，
∴小汽车的速度为；
∵；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【变式训练9-3】如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)新路长度是120米(2)该车没有超速，理由见解析
【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
【变式训练9-4】某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由．
【答案】这辆轿车违章，理由见解析
【详解】解：这辆轿车违章，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴汽车的速度为，
∵，
∴这辆轿车违章．
题型十：勾股定理的应用之判断是否受台风影响
【经典例题10】如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ．
【答案】16
【详解】解：过点A作，上取点，，使，
由题意可得，，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时，
∵，，
∴由勾股定理得：，，即，
∵火车在铁路上沿方向以的速度行驶，
∴影响时间应是：．
故A处受噪音影响的时间是．
故答案为：16．
【变式训练10-1】如图，经过村和村（将村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且．
(1)求两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【答案】(1)500米；(2)公路有危险而需要封锁．需要封锁的路段长度为140米．
【详解】（1）解：在中，米，米，
∴（米）．
答：A，B两村之间的距离为500米；
（2）公路有危险而需要封锁．
理由如下：如图，过C作于D．以点C为圆心，250米为半径画弧，交于点E，F，连接，，
∵，
∴（米）．
由于240米250米，故有危险，
因此段公路需要封锁．
∴米，
∴（米），
故米，
则需要封锁的路段长度为140米．
【变式训练10-2】如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响．
(1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
(2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？
【答案】(1)受噪音影响，见解析；
(2)秒
【详解】（1）解：货车开过学校受噪音影响，理由如下：
点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响，
，
∴货车开过学校受噪音影响；
（2）如图，设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则，
，
，
由勾股定理得：
，
∵汽车速度为
∴影响时间（秒），
答：学校受噪音影响秒钟．
【变式训练10-3】2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影响．据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由．
【答案】农场会受到台风的影响，见解析
【详解】解：会受到台风的影响．
理由：如图，过点作，垂足为．
在中，
，，，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴农场会受到台风的影响．
【变式训练10-4】我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】(1)受影响，理由见解析(2)6小时
【详解】（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下：
如图：过A作，垂足为，则，
在中，，
∴，
∵，
∴A城会受台风影响．
（2）解：设上点，使千米，
是等腰三角形，
，
是的垂直平分线，
，
在中，千米，千米，
∴（千米），
∴千米，
∴遭受台风影响的时间是：（小时）．
【变式训练10-5】如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)台风中心经过多长时间从点移到点？
(2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】(1)台风中心经过30h从点移到点；
(2)市受到台风影响的时间持续．
【详解】（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∴，
答：台风中心经过从点移到点；
（2）解：如图，在射线上取点，使得，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：市受到台风影响的时间持续．
题型十一：勾股定理的应用之选址使到两地距离相等
【经典例题11】如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？
【答案】E站应建在离A地的地方
【详解】解：设，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，即：，
解得：，
答：E站应建在离A地的地方．
【变式训练11-1】铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？
【答案】作图见解析，站应建在离站处
【详解】解：如图，点E即为所求：
由题意得，使得C，D两村到E站的距离相等，则直线l是的垂直平分线，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则．
∵，
∴，
解得：，
∴．
答：站应建在离点处．
【变式训练11-2】如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离．
【答案】
【详解】解：设，则，
在中，，
在中，，
，
∴，
∴，
解得，
∴．
【变式训练11-3】如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？
【答案】煤栈应建在距A点16千米处．
【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接，
设千米，则（千米），
∵，，
∴在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即千米，
∴煤栈应建在距A点16千米处．
【变式训练11-4】如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
【答案】图见解析，的最小值为．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点，
点即为中转站的位置；
过作的延长线于点，
则，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
的最小值为．
题型十二：勾股定理的应用之求最短路径
【经典例题12】如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形连接,
则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，
故.
故选：B.
【变式训练12-1】如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ．
【答案】5
【详解】将将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，
连接，
则最短路径
故答案为：5．
【变式训练12-2】如图，有一长方体容器（无盖），，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是 ．
【答案】10
【详解】解：在长方体容器，，，，
∴，
当从正面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图，
在中
．
当从下面和后面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图，
在中
．
∵，
∴从点A爬到点的最短爬行路程是10．
故答案为：10．
【变式训练12-3】如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
【答案】10
【详解】解：如图所示，米，米，
∴米，
故答案为： ．
【变式训练12-4】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ．
【答案】20
【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，
如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和，
∵底面周长约为6米，柱身高约16米，
∴，，
在中
，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米．
故答案为：20．
【变式训练12-5】如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ．（假设蜂蜜不会下滑）
【答案】20
【详解】解：如图，将圆柱形杯子的侧面展开，作关于的对称点，连接交于点，
由对称性可得，
，
从外壁处到达内壁处的最短距离为的长，
由题意得，，，
在中，．
故答案为：20．
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专题17.1.2勾股定理（二）十二大题型（一课一讲）
（内容:勾股定理实际应用）
【人教版】
题型一：以弦图为背景的计算题
【经典例题1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【变式训练1-2】如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，则正方形的边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练1-3】如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【变式训练1-4】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【变式训练1-5】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么下列结论：（1），（2），（3），（4）中，正确结论的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型二：勾股定理与无理数
【经典例题2】如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图， 中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于．若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为 ．
【变式训练2-3】如图，△ABC是直角三角形，点C表示，，，如若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 ．
【变式训练2-4】如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将△ABC沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，△ABC第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ．
【变式训练2-5】如图，已知，到数轴的距离为1，数轴上点所表示的数，为不超过的最大整数．
(1)数轴上点所表示的数为 ；
(2)求代数式的值．
题型三：勾股定理的应用之求梯子滑落的高度
【经典例题3】如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断
【变式训练3-1】一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为米，若梯子顶端沿墙下滑米，则梯子底端将向外滑动 米．
【变式训练3-2】【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
【变式训练3-3】如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面．
(1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长．
(2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？
【变式训练3-4】如图，一个长为15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，
(1)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端也向后滑动吗？请通过计算解答．
(2)梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由．
【变式训练3-5】云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）．
题型四：勾股定理的应用之求旗杆高度
【经典例题4】春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想让风筝沿方向下降2米，则他应该往回收线多少米？
【变式训练4-1】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，已知引线的长度为10米，两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至处，若位置不变，引线的长度应加长多少米？
【变式训练4-2】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数）
【变式训练4-3】如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测步骤如下：
①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长，高，旗杆正好在底座的正中间（B是的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为的长；
②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出长为．
请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度．
【变式训练4-4】某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，
他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点作，垂足为，求的长度．
【变式训练4-5】某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米．
实践探究小组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
(1)已知：如图，在中，．求线段的长．
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
题型五：勾股定理的应用之求小鸟飞行的距离
【经典例题5】如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
【变式训练5-1】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )

A． B． C． D．
【变式训练5-3】姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
(1)请用含有x的整式表示线段的长为 m；
(2)求这棵树高有多少米？
【变式训练5-4】如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【变式训练5-5】如图，有两根直杆隔河相对，杆高30m，杆高20m，两杆相距为50m，两杆顶各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，以同样的速度同时飞下来夺鱼，两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．两杆底部距鱼的距离，各是多少？
题型六：勾股定理的应用之解决水杯中筷子问题
【经典例题6】一只的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是，内壁高，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图为一个带盖的圆柱形铅笔筒，已知圆柱底面积为，笔筒高度为，则该圆柱形笔筒所能容纳铅笔的最大长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺．
【变式训练6-3】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ．
【变式训练6-4】如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？
【变式训练6-5】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
题型七：勾股定理的应用之解决航行问题
【经典例题7】如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（ ）
A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里
【变式训练7-1】如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（ ）
A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里
【变式训练7-2】如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【变式训练7-3】如图，在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距漓是40海里，在的南偏西方向上，与的距离是30海里．
(1)求点与点之间的距离；
(2)若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
【变式训练7-4】如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离．
【变式训练7-5】如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？
题型八：勾股定理的应用之求地毯长度
【经典例题8】如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练8-1】如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米．
【变式训练8-2】淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米．
【变式训练8-3】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
【变式训练8-4】如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．

【变式训练8-5】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
【变式训练8-6】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
题型九：勾股定理的应用之判断是否超速
【经典例题9】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米．
(1)求的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：）
【变式训练9-1】某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【变式训练9-2】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【变式训练9-3】如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【变式训练9-4】某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由．
题型十：勾股定理的应用之判断是否受台风影响
【经典例题10】如图，铁路和公路在点O处相交，公路上距离O点的点A到的直线距离为．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为 ．
【变式训练10-1】如图，经过村和村（将村看成直线上的点）的笔直公路旁有一块山地正在开发，现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为300米，处与村的距离为400米，且．
(1)求两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．
【变式训练10-2】如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响．
(1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？
(2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？
【变式训练10-3】2023年7月，五号台风“杜苏芮”登陆，我国很多地区受到严重影响．据报道，台风风力影响半径为（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由．
【变式训练10-4】我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【变式训练10-5】如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)台风中心经过多长时间从点移到点？
(2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
题型十一：勾股定理的应用之选址使到两地距离相等
【经典例题11】如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？
【变式训练11-1】铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？
【变式训练11-2】如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离．
【变式训练11-3】如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？
【变式训练11-4】如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
题型十二：勾股定理的应用之求最短路径
【经典例题12】如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练12-1】如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ．
【变式训练12-2】如图，有一长方体容器（无盖），，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是 ．
【变式训练12-3】如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕3圈绕到上底面的顶点B，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
【变式训练12-4】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ．
【变式训练12-5】如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 ．（假设蜂蜜不会下滑）
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