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【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
【答案】(1)见解析(2)120(3)9
【详解】（1）解：根据题意得，
，
则；
（2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80，
∴，
设，则，
由勾股定理可得，，
，
，
解得：，
∴，
∴该飞镖状图案的面积是；
（3）解：设每个三角形的面积都为y，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【题组训练2】三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．
(1)请利用所给的图形证明勾股定理；
(2)若，，求小正方形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)9
【详解】（1）证明：方法一：大正方形的面积为，
方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和，
则大正方形的面积为，
所以．
（2）解：由（1）已证：，
∵，，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
∴小正方形的面积为．
【题组训练3】第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题：
(1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：；
(2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积，
∴，整理，得．
（2）解：在中，，，
由勾股定理，得：，
是边上的高，
，
∴．
【题组训练4】本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)见解析
【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，
∴，
∴．
【题组训练5】同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为．
(1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____；
(2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接）
(3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____．
【答案】(1)3(2)见解析(3)76
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
小正方形的边长为：，
故答案为：3；
（2）（答案不唯一）
证明：如图，连接，
，
正方形的面积为，
，，，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形的面积为：，
正方形的面积与四边形的面积相等，
，
，
，
．
（3）解：如图，以为边的正方形面积为61,
,
由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5，
，
，
，
这个风车的外围周长是：
故答案为：76
【题组训练6】如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
【答案】见解析．
【详解】解：根据题意可知，
，
由题意得：，
，
整理得：．
【题组训练7】如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：，
另一方面，
即，
；
（2）解：由题意可得， 均为直角三角形，
由勾股定理可得， ①，②，③，④
可得；
可得；
即：，
，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【题组训练8】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：；
(2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，
外面大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积，
，
整理，得；
（2）在中，，，，
由勾股定理，得，
是边上的高，
，
．
【题组训练9】两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，△ABC的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出．
(1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理；
(2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：，
由图所示，，则由平移的性质可得到图中，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
或（舍去），
．
【题组训练10】如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）

(1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程；
(2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将△ABC沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处，
请写出、两点的坐标；
若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标．
【答案】(1)能；证明见解析
(2)， 、、、
【详解】（1）解：能，证明见下：
连接，
如图： ，
，
，
；
（2）解：设，则，又，
根据翻折可知：
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，，
所以、两点的坐标为，；
如图：

当点在轴正半轴上且时，
设，则，
在中，由勾股定理得：，解得，
，
；
当点在轴正半轴上且时，
，
，
；
当点在轴负半轴上且时，
，
；
当点在轴负半轴上且时，
，
；
综上，符合条件的所有点的坐标为：、、、．
【题组训练11】弦图（图1），在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将4个直角边长为、，斜边长为的直角三角形（图2中涂色部分）拼成如图所示的五边形．通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理，请利用图2完成勾股定理的验证．

【答案】见解析
【详解】证明：设直角三角形两直角边的长分别为、（），斜边的长为．做两个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．
在上截取，连结、，则，
，，
，
，，，
，
，，
，，
，
作，，则是一个边长为的正方形，
，
，
连结，在和△ADE中，
，，，
，
，，
点、、、在一条直线上，
在和中，
，，
，
，，，，
，
，
，
，
．
【题组训练12】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，
体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：；
(2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值．
【答案】(1)见解析(2)26
【详解】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积．
，
，
．
（2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积．
大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，
，
，
由题意知，
．
13．如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形．
(1)请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形；
(2)如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，请你利用图②拼成的图形证明勾股定理．
【详解】（1）解：如图所示正方形即为所求；
（2）证明：，，
，
．
【题组训练14】用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题：
(1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明．
(2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)小正方形的面积等于1．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：大正方形的面积是25，
，
，
，
，
．
由（1）得，
，
小正方形的面积等于1．
【题组训练15】为验证勾股定理，小明进行了如下的思考：如图，在中，，在边上截取，延长到点D，使得，连接，，并延长交于点F，已知，，．
(1)在验证之前小明发现和存在着一定的数量关系和位置关系，猜想和的数量关系和位置关系，并证明；
(2)通过以上条件验证勾股定理．
【答案】(1)，，见解析
(2)见解析
【详解】（1），．理由如下：
∵ ，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
（2）∵，
又∵，
∴，
∴．
【题组训练16】材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”． 实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．
（1）材料中的方法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想
灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点M，
（2）试说明；
（3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）C；（2）见解析（3）见解析
【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为： C；
（2）由题意可得：，
∴，
∵直线m，直线m，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，，
∴，
∴
又
∴ ，
∴，
∴．
【题组训练17】如图，E为上一点，，，，，交于点F，且．
(1)试说明；
(2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：如图，
，，
．
又，
．
，，
．
在和中，
，
．
，．
又，
；
（2）证明：，
，
，
．
【题组训练18】（1）结论探究：
如图，图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）结论推广：
在△ABC中，，，；若为锐角，则与的大小有何关系，并给以证明；
（3）结论应用：
在△ABC中，，，；若△ABC是钝角三角形，请直接写出第三边c的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）若△ABC是钝角三角形，第三边的取值范围为或．
【详解】解：（1）如图所示，图形是梯形；
根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=．
从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即．
∵梯形的面积和三个三角形的面积相等，
∴，
化简，得：；
（2），理由如下，
如图，过作于，则，
在中：，
在中：，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）当为钝角时，过点作，交的延长线于点，如图：
∵，，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴，
∵，，，
∴；
当为钝角时，，
即，
∴，
∴，
综上所述，若△ABC是钝角三角形，第三边的取值范围为或．
【题组训练19】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为．

(1)请利用图①完成勾股定理的证明．
(2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式．
(3)已知，，利用上面的等式求．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：图中阴影部分小正方形的边长可表示为，
图中大正方形的面积为或，
，
即；
（2）解：图形的体积为：或，
，
；
（3）解：，，，
，
解得：．
【题组训练20】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．
①设，，，请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？
(2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积．
【答案】(1)①见解析；②；(2)
【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为，
小正方形的面积为
又四个直角三角形的面积为：，
大正方形的面积为：
又大正方形的边长为c，
大正方形的面积还可以表示为，
；
②解：由①可知，
，
，
，
，
，
舍负，
即直角三角形两直角边之和为；
（2）解：设，
，
外围轮廓实线的周长为48，
，
则
在中，
，
解得，
即，
．
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【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
【题组训练2】三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．
(1)请利用所给的图形证明勾股定理；
(2)若，，求小正方形的面积．
【题组训练3】第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题：
(1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：；
(2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度．
【题组训练4】本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种．
(1)请写出勾股定理的内容_____．
(2)请写出一种勾股定理的证明方法．
【题组训练5】同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为，，斜边长为．
(1)在图1中，若，，则小正方形的边长为_____；
(2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点是正方形边上一点，连接，得到直角三角形，三边分别为，，，将裁剪拼接至位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接）
(3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以为边的正方形面积为61，则这个风车的外围周长是_____．
【题组训练6】如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．
【题组训练7】如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ．
【题组训练8】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：；
(2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度．
【题组训练9】两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，连接，△ABC的三边长分别为，，，四边形的面积可以表示为或，从而可推导出．
(1)将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止（如图2），此时与相交于点，连接，，请利用图2证明勾股定理；
(2)在图2的基础上，若四边形的面积为200，，求的长．
【题组训练10】如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）

(1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程；
(2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将△ABC沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处，
请写出、两点的坐标；
若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标．
【题组训练11】弦图（图1），在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将4个直角边长为、，斜边长为的直角三角形（图2中涂色部分）拼成如图所示的五边形．通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理，请利用图2完成勾股定理的验证．

【题组训练12】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，
体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：；
(2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值．
13．如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形．
(1)请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形；
(2)如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，请你利用图②拼成的图形证明勾股定理．
【题组训练14】用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题：
(1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明．
(2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积．
【题组训练15】为验证勾股定理，小明进行了如下的思考：如图，在中，，在边上截取，延长到点D，使得，连接，，并延长交于点F，已知，，．
(1)在验证之前小明发现和存在着一定的数量关系和位置关系，猜想和的数量关系和位置关系，并证明；
(2)通过以上条件验证勾股定理．
【题组训练16】材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”． 实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．
（1）材料中的方法体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．整体思想
灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点M，
（2）试说明；
（3）若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理．
【题组训练17】如图，E为上一点，，，，，交于点F，且．
(1)试说明；
(2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理．
【题组训练18】（1）结论探究：
如图，图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）结论推广：
在△ABC中，，，；若为锐角，则与的大小有何关系，并给以证明；
（3）结论应用：
在△ABC中，，，；若△ABC是钝角三角形，请直接写出第三边c的取值范围．
【题组训练19】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为．

(1)请利用图①完成勾股定理的证明．
(2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式．
(3)已知，，利用上面的等式求．
【题组训练20】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．
①设，，，请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？
(2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积．
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