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专题1 函数与导数
1.1 函数的性质（周期性、单调性、奇偶性、对称性综合）
考点分布 考查频率 命题趋势
函数的性质 2024年新高考II卷第11题，6分 2024年新高考I卷第8题，5分 2024年新高考I卷第6题，5分 2023年新高考II卷第4题，5分 2023年新高考I卷第4题，5分 2023年乙卷第5题，5分 2023年甲卷第14题，5分 2022年新高考II卷第8题，5分 2022年乙卷第12题，5分 预测2025年新高考，多以选填题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题中，相对独立，但概率不会太大。 （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理和解析能力。 （2）考查的热点是单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合运用和分析。
从近年的全国高考情况来看，函数的性质任是新高考的重点和热点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性、对称性、周期性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
1．（2024新高考Ⅰ卷）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023全国甲卷）若为偶函数，则 ．
3．（2023新高考Ⅱ卷）若为偶函数，则　　
A． B．0 C． D．1
4．（2022新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2021年甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）（2023新高考Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点
8．（2022年乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2022新高考Ⅰ卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（2024新高考Ⅱ卷）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心
高频考点一 函数单调性的综合应用
核心知识：
1）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
④导数法：先求导，再通过导函数的正负判别函数的增减区间。
2）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增（或减）函数，则函数为增（或减）函数，为减（或增）函数；
典例1：（2024·山东·校考一模）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
函数单调性常与奇偶性、对称性结合，用于求解最值、解不等式、证明数列单调性等。通过导数法或定义法判断单调性，结合图像直观分析，可简化复杂问题，提高解题效率。
变式训练
1.（2024·河南新乡·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·江苏·校考一模）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 函数奇偶性的综合应用
核心知识：
1）奇偶函数的图象特征
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称。
2）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足。
3）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
4）运算函数的奇偶性规律
①四则运算下：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶。
②复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇。
5）常见奇偶性函数模型
奇函数：①或；②；
③或函数；
④或函数。
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①；②；③类型的一切函数；④常数函数。
典例2：（2024·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数满足：对任意的，，，且是上的偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
通过验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义，我们可以利用这一性质来预测函数在对称区间上的行为，从而简化求解过程。此外，奇偶性还可以用于求解参数、判断函数图像的对称性、辅助求解最值问题。掌握函数的奇偶性，不仅能使我们的解题过程更加高效，还能培养我们的数学直觉和逻辑推理能力。
变式训练：
1．（2025·广东·高三校考期末）已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若不等式的解集为区间，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
2.（2024·高三·浙江·期中）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点3 已知f(x)=奇函数+M
核心知识：已知奇函数，，则（1）；（2）。
典例1：（2024·湖北·高三专题练习）设函数,的最大值为,最小值为,那么___________.
变式训练：
1.（2024·河南·校联考模拟预测）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
2．（2024·安徽·高三统考阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
高频考点4 对称性（对称轴）的综合运用
核心知识：
（1）若函数关于直线对称，则。
（2）已知函数满足，则的对称轴为直线。
（3）函数与关于轴对称。
等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。
典例1：（2024·四川宜宾·一模）已知函数满足，若函数与 图象的交点为，则
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·浙江·一模）函数满足：对，都有，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
高频考点5 对称性（对称中心）的综合运用
核心知识：
（1）已知函数满足，则的对称点为点（a，0）．
（2）已知函数满足，则的对称点为点（a，b）．
（3）已知函数满足，则的对称点为点．
（4）函数与关于原点对称．
特性：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
典例1：（2025·四川绵阳·校考一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·陕西汉中·高三校联考期中）已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A．0 B．m C． D．
2.（2024·浙江·一模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
高频考点6 周期性及双对称与周期性的综合运用
核心知识：
1）周期性常见结论：① ，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
2）函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
典例1：（2024·江苏高三校联考）设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
典例2：（2024·福建高三一模）已知定义在上的函数满足时，，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
变式训练：
（2024·贵州黔西·一模）已知函数的定义域为R，，为奇函数，且，则（ ）
A．4047 B．2 C． D．3
2.（2024·四川绵阳·校考二模）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称
高频考点7 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
核心知识：
典例1：（多选题）（2024·安徽·模拟预测）若定义在R上且不恒为零的函数满足：对于，总有恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．是偶函数 D．，则周期为6
技法点拨
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性解题技巧关键在于：首先，通过代入特殊值或利用已知条件判断函数的性质；其次，对于单调性，可利用导数或定义法判断；奇偶性则通过观察函数表达式或图像来判断；周期性需找出函数重复出现的规律；对称性则需找出函数图像的对称轴或对称中心。最后，结合这些性质，可以简化函数表达式，求解最值、解不等式或证明等式等问题，提高解题效率和准确性。
变式训练：
1.（多选题）（2025·江苏·高三校考一模）已知定义在上的函数满足，，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为4的奇函数 B．图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．
2.（多选题）（2024·重庆 高三二模）若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心 B．点是图象的一个对称中心
C．是周期函数 D．
高频考点8 似周期与倍增（减）函数
核心知识：
1、似周期函数：若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的似周期函数。
2、倍增（减）函数：若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数。
典例1：（2025·湖北·模拟预测）对于函数，有下列四个命题
①任取，，都有；
②（为正整数），对一切恒成立；
③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则；
④函数有5个零点。上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式训练：
1.（2025·成都·高三校考阶段练习）定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.（2025·河北唐山·高三校考期末）函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高频考点9 函数性质与导数综合
典例1：（多选题）已知函数，均是上的连续函数，，分别为函数和的导函数，且，，若为奇函数，则（ ）
A．是周期函数 B．为奇函数
C．关于对称 D．存在，使
技法点拨
（1）若函数关于直线对称，则导函数关于点（a，0）对称．
（2）若函数关于点（a，b）对称，则导函数关于直线对称．
（3）若函数为奇函数，则导数为偶函数；若函数为偶函数，则导数为奇函数．
（4）若导函数为奇函数，则函数为偶函数；若导函数为偶函数，则函数不一定为奇函数．
（5）若原函数为周期函数，则导函数一定为周期函数，且原函数和导函数周期相同．
（6）若导函数为周期函数，则原函数不一定为周期函数．
变式训练：
1.（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．的周期为4 D．
2．（多选题）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．
C． D．
1．（2024·重庆·高三校考一模）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.（2025·重庆·高三校联考阶段练习）已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知函数，若对任意，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·河南·模拟预测）已知，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
5.（2025·江苏镇江·高三校考期中）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
6.（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.（2025·浙江·高三培优）函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2025·黑龙江·高三校考期中）已知函数，则的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
9.（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·重庆·校联考模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
11.（2024·浙江·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
12.（2024·四川·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
13.（2024·河北唐山·校考一模）若，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
14．（2024·福建厦门·高三校考阶段练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．则下列结论正确的个数是（ ）
①；②若对任意，都有，则a的取值范围是；
③若方程恰有3个实数根，则m的取值范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
15．（2025·山西大同·高三统考阶段练习）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．（多选题）（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知定义域为的函数满足，为的导函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．
C． D．对，，
17．（多选题）（2025·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B． C． D．
18．（多选题）（2024·广西桂林·统考一模）已知函数满足：，，则（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
19．（2022全国乙卷真题）若是奇函数，则 ， ．
20．（2024·广西 高三模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则___________.
21.（2024·重庆·模拟预测）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为 .
22．（2025·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知函数，则在上的最大值与最小值之和为______．
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专题1 函数与导数
1.1 函数的性质（周期性、单调性、奇偶性、对称性综合）
考点分布 考查频率 命题趋势
函数的性质 2024年新高考II卷第11题，6分 2024年新高考I卷第8题，5分 2024年新高考I卷第6题，5分 2023年新高考II卷第4题，5分 2023年新高考I卷第4题，5分 2023年乙卷第5题，5分 2023年甲卷第14题，5分 2022年新高考II卷第8题，5分 2022年乙卷第12题，5分 预测2025年新高考，多以选填题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题中，相对独立，但概率不会太大。 （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理和解析能力。 （2）考查的热点是单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合运用和分析。
从近年的全国高考情况来看，函数的性质任是新高考的重点和热点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性、对称性、周期性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
1．（2024新高考Ⅰ卷）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.
2．（2023全国甲卷）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.
3．（2023新高考Ⅱ卷）若为偶函数，则　　
A． B．0 C． D．1
【答案】
【解析】由，得或，由是偶函数，，
得，即，
即，则，
，得，得．故选：．
4．（2022新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则
，
所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
5．（2021年甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期．
所以． 故选：D．
6．（2021新高考Ⅱ卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.故选：B.
7．（多选题）（2023新高考Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法1：因，对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：因为，对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：.
8．（2022年乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，代入得，即，
所以，.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以
因为，所以.
所以.
故选：D
9．（多选题）（2022新高考Ⅰ卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC.
[方法三]：因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
10．（多选题）（2024新高考Ⅱ卷）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD
高频考点一 函数单调性的综合应用
核心知识：
1）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
④导数法：先求导，再通过导函数的正负判别函数的增减区间。
2）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增（或减）函数，则函数为增（或减）函数，为减（或增）函数；
典例1：（2024·山东·校考一模）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据定义域为且可知，
又，所以对，恒成立；
即可知函数在上单调递减；又，可得，
不等式可化为，解得，
可得不等式的解集为.故选：B
技法点拨
函数单调性常与奇偶性、对称性结合，用于求解最值、解不等式、证明数列单调性等。通过导数法或定义法判断单调性，结合图像直观分析，可简化复杂问题，提高解题效率。
变式训练
1.（2024·河南新乡·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，得.
令，得，解得，则不等式转化为，
因为是增函数，且，所以不等式的解集为.故选：A
2.（2025·江苏·校考一模）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数，
又，，，
又，所以，由函数的图象关于直线对称，知，
又，所以，故，故选：A．
高频考点2 函数奇偶性的综合应用
核心知识：
1）奇偶函数的图象特征
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称。
2）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足。
3）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
4）运算函数的奇偶性规律
①四则运算下：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶。
②复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇。
5）常见奇偶性函数模型
奇函数：①或；②；
③或函数；
④或函数。
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①；②；③类型的一切函数；④常数函数。
典例2：（2024·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数满足：对任意的，，，且是上的偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，
由函数满足对任意的，，，则函数在上是增函数，
又函数的图象关于直线对称，则函数在上是减函数，
若，则有，即，解得：或，
所以的取值范围是．故选：D．
技法点拨
通过验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义，我们可以利用这一性质来预测函数在对称区间上的行为，从而简化求解过程。此外，奇偶性还可以用于求解参数、判断函数图像的对称性、辅助求解最值问题。掌握函数的奇偶性，不仅能使我们的解题过程更加高效，还能培养我们的数学直觉和逻辑推理能力。
变式训练：
1．（2025·广东·高三校考期末）已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若不等式的解集为区间，且，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】∵函数的图象关于点对称，
∴函数的图象关于点对称，又是定义在上的增函数，
∴函数是定义在上的奇函数且在上的增函数，由，
可得，
∴的解集为区间，且，
作出函数与的图象，
函数表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，表示过定点的直线，由图象结合条件可知，又，
∴，即直线与半圆的交点的横坐标为2，故，∴.故选：B.
2.（2024·高三·浙江·期中）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，则，
令可得，所以，，
因为函数为奇函数，则，
所以，函数的图象关于直线对称，关于点对称，
又因为函数的定义域为，则，则，
、、的值都不确定.故选：D.
高频考点3 已知f(x)=奇函数+M
核心知识：已知奇函数，，则（1）；（2）。
典例1：（2024·湖北·高三专题练习）设函数,的最大值为,最小值为,那么___________.
【答案】4040
【解析】令，，
因为，，
故，所以为上的奇函数，故.
又，，故. 故答案为：.
变式训练：
1.（2024·河南·校联考模拟预测）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】1
【解析】，
设，则，记，
因为，
所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，所以，
又因为，所以，故答案为：1．
2．（2024·安徽·高三统考阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】一方面由题意有，
另一方面若有成立，结合以上两方面有，
且注意到，
所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，因此当且仅当；
又已知，所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C.
高频考点4 对称性（对称轴）的综合运用
核心知识：
（1）若函数关于直线对称，则。
（2）已知函数满足，则的对称轴为直线。
（3）函数与关于轴对称。
等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。
典例1：（2024·四川宜宾·一模）已知函数满足，若函数与 图象的交点为，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，），∴的图象关于直线 对称，、
又的图象关于直线对称，
当为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，∴．
当为奇数时，两图象的交点有个两两对称，另一个交点在对称轴上，∴
故选B．
变式训练：
1.（2024·浙江·一模）函数满足：对，都有，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为函数满足：对，都有，
所以，即，解得，
经检验满足题意，所以，故选：C.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】作出函数和的图象以及直线的图象，如图，
由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，
由题意知，也即,由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，而为和的图象与直线的交点,
故关于对称，故.故选：B.
高频考点5 对称性（对称中心）的综合运用
核心知识：
（1）已知函数满足，则的对称点为点（a，0）．
（2）已知函数满足，则的对称点为点（a，b）．
（3）已知函数满足，则的对称点为点．
（4）函数与关于原点对称．
特性：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
典例1：（2025·四川绵阳·校考一模）若函数满足，则说的图象关于点对称，则函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数定义域为，
定义域的对称中心为，所以可猜，
则，
，故
所以的对称中心为，故选：C．
变式训练：
1.（2024·陕西汉中·高三校联考期中）已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A．0 B．m C． D．
【答案】B
【解析】由得，函数的图象关于点中心对称，
显然也是函数的对称中心，
所以当为偶数时，；当为奇数时，；综上.故选：B.
2.（2024·浙江·一模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【解析】令函数，则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可得的图象关于点中心对称，即当，可得，
设 ，
所以
所以.故选：C.
高频考点6 周期性及双对称与周期性的综合运用
核心知识：
1）周期性常见结论：① ，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
2）函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
典例1：（2024·江苏高三校联考）设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
【答案】B
【解析】在上的函数的图象关于对称，则，
由为奇函数，得，于是，
，因此函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，
而，则，所以.故选：B
典例2：（2024·福建高三一模）已知定义在上的函数满足时，，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】由，即是周期为4的周期函数，结合函数的解析式，求出 的值，进而得到的值，求得，再根据周期性，即可求得，即可求解．
【详解】根据题意，函数满足，则，
即是周期为4的周期函数，
当时，，则，，
又由，则，所以，
所以．故选：D．
【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．
变式训练：
（2024·贵州黔西·一模）已知函数的定义域为R，，为奇函数，且，则（ ）
A．4047 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】由函数为奇函数，可得关于点对称，且，
所以，即，
又因为，可得，
即，则，所以，
所以函数是周期为的周期函数，
因为，，可得，，
所以.
故选：C.
2.（2024·四川绵阳·校考二模）已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称
【答案】B
【解析】因为函数是定义域为的偶函数，所以，
因为是奇函数，所以，
将换成，则有，
A：令，所以，因此本选项正确；
B：因为，所以函数关于点对称，
由，可得，的值不确定，
因此不能确定的值，所以本选项不正确；
C：因为，所以，
所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为，所以，
因此有，所以函数的图象关于对称，由上可知是以4为周期的函数，
所以的图象也关于对称，因此本选项正确，故选：B.
高频考点7 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
核心知识：
典例1：（多选题）（2024·安徽·模拟预测）若定义在R上且不恒为零的函数满足：对于，总有恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．是偶函数 D．，则周期为6
【答案】ACD
【解析】令，得，所以
且函数不恒为零,∴，A选项正确，B选项错误；
令，，即.
∴对任意的实数总成立，∴为偶函数，C选项正确；
若，令，得，所以，
两式相加得
所以，即得
所以，可得函数周期为6. 故选：ACD.
技法点拨
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性解题技巧关键在于：首先，通过代入特殊值或利用已知条件判断函数的性质；其次，对于单调性，可利用导数或定义法判断；奇偶性则通过观察函数表达式或图像来判断；周期性需找出函数重复出现的规律；对称性则需找出函数图像的对称轴或对称中心。最后，结合这些性质，可以简化函数表达式，求解最值、解不等式或证明等式等问题，提高解题效率和准确性。
变式训练：
1.（多选题）（2025·江苏·高三校考一模）已知定义在上的函数满足，，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为4的奇函数 B．图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．
【答案】ABD
【解析】任意，有，令，则，解得，
任意，令，则，
即，所以是奇函数，则的图象关于原点对称；
又，则函数的图象关于直线对称；
又，则，
所以函数为周期函数，4为函数的一个周期，故A正确，B正确；
C项，对任意，都有，
故在单调递增，又图象关于原点对称，
则在单调递增，又的图象关于直线对称，则在单调递减，故C错误；
D项，由的周期为4，且的图象关于直线对称，
则，故D正确：故选：ABD.
2.（多选题）（2024·重庆 高三二模）若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心 B．点是图象的一个对称中心
C．是周期函数 D．
【答案】ABD
【解析】令，则，有，
令，则，得，
又，所以点是图象的一个对称中心，故A正确；
令，则，令，则，又，
所以点是图象的一个对称中心，故B正确；
设，符合题意，但不是周期函数，故C错误；
令，有，则，
令，有，，
所以时是3为首项1为公差的等差数列，
这样，故D正确. 故选：ABD
高频考点8 似周期与倍增（减）函数
核心知识：
1、似周期函数：若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的似周期函数。
2、倍增（减）函数：若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数。
典例1：（2025·湖北·模拟预测）对于函数，有下列四个命题
①任取，，都有；
②（为正整数），对一切恒成立；
③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则；
④函数有5个零点。上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，函数的图象如图所示，由图可知，，
任取，，都有，故①正确；
对于②，当时，，而由解析式可知，故②不正确；
对于③，函数与函数的图象如图所示，
若关于的方程有且只有两个不同的实根，，
则，由对称性可知，故③正确；
对于④，函数和的图象如图所示，
由图可知两函数图象有个交点，所以函数有个零点，故④不正确；
所以四个命题中正确的个数为. 故选：B.
变式训练：
1.（2025·成都·高三校考阶段练习）定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，的取值范围是；
当时，的取值范围是，
所以当时，的取值范围是,
因为函数满足，所以，
又当时,,故的取值范围是，
所以时，，故，解得，
所以实数的取值范围是，故选：D.
2.（2025·河北唐山·高三校考期末）函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且时，，
所以当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，，恒有，必有，即的取值范围是，故选：B
高频考点9 函数性质与导数综合
典例1：（多选题）已知函数，均是上的连续函数，，分别为函数和的导函数，且，，若为奇函数，则（ ）
A．是周期函数 B．为奇函数
C．关于对称 D．存在，使
【答案】ACD
【解析】函数，均是定义在上的连续函数，①，
②，将②式中换为得③，
①+③得，则的图象关于点中心对称；
将②式中换为得：④，
①-④得：，因此不是奇函数，B错误；
，即，所以关于对称，C正确；
由及为奇函数，得，
即，同时求导可得：，
即，所以是周期函数，周期为2，故A正确；
又为奇函数，，，则，结合
当时，数列是首项为3，公差为6的等差数列，
则，
当时，数列是首项为6，公差为6的等差数列，
则，因此时，，显然满足上式，
即，，令，解得：，D正确.故选：ACD
技法点拨
（1）若函数关于直线对称，则导函数关于点（a，0）对称．
（2）若函数关于点（a，b）对称，则导函数关于直线对称．
（3）若函数为奇函数，则导数为偶函数；若函数为偶函数，则导数为奇函数．
（4）若导函数为奇函数，则函数为偶函数；若导函数为偶函数，则函数不一定为奇函数．
（5）若原函数为周期函数，则导函数一定为周期函数，且原函数和导函数周期相同．
（6）若导函数为周期函数，则原函数不一定为周期函数．
变式训练：
1.（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．的周期为4 D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由为奇函数可得，
故关于对称，故A错误，
对于B，由于为奇函数，故，故关于点对称，B正确，
对于C，由和可得，
令，故，故，因此，
结合关于对称可得，
故的周期为4，C正确，
对于D，由于，故，
且，由于，令，则，
，故D正确，故选：BCD
2．（多选题）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得，两式相减可得①，
所以,令，可得,所以，
所以的图象关于对称，故A正确；
因为为奇函数，所以关于中心对称，
所以②，②式两边对求导可得，
结合，可得：
所以，令，可得：，
所以即，故B错，
因为，可知也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，故C正确；
是周期为4的周期函数，所以，
因为，令，则，即，
又，所以，又因为是周期为4的周期函数，
则，由可得，
所以，所以，D正确.故选：ACD
1．（2024·重庆·高三校考一模）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数满足对任意的实数，都有成立，
不妨设，则，则，即，
则函数在上为减函数，则，解得，
因此，实数的取值范围是，故选：D．
2.（2025·重庆·高三校联考阶段练习）已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
因为是奇函数，是偶函数，所以，
联立，解得，
又因为对于任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，所以由上述过程可得在单调递增，
（1）若，则对称轴，解得；
（2）若，则在单调递增，满足题意；
（3）若，则对称轴恒成立；综上，.故选：D.
3．（2025·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知函数，若对任意，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对函数求导得，
对函数继续求导得，
由基本不等式得，
所以在上单调递增，
又注意到，所以、随的变化情况如下表：
由上表可知在上单调递减，在上单调递增，
又函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数是偶函数，
结合函数的单调性可知，成立当且仅当，
而成立当且仅当，
所以原问题转化成了对任意，不等式组恒成立，
将不等式组变形为，所以对任意，只需，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，综上：满足题意的实数的取值范围是.故选：C.
4.（2024·河南·模拟预测）已知，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得：，的定义域为；
，为定义在上的偶函数，
，，
当时，，即，又，，
，在上单调递增，又为偶函数，
图象关于轴对称，在上单调递减，
由得：，解得：，
的解集为.故选：D.
5.（2025·江苏镇江·高三校考期中）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是定义域为的奇函数，
所以，所以函数关于点对称，且
因为是定义域为的偶函数，
所以，所以函数关于直线对称，所以，即.故选：A
6.（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，所以在上是减函数，
，即，
所以，所以，所以，即实数a的取值范围为.故选：.
7.（2025·浙江·高三培优）函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】设点在函数的图像上，则点关于直线的对称点，则，则，则，即与关于直线对称，则，得.故选：D
8．（2025·黑龙江·高三校考期中）已知函数，则的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先设函数判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数的对称性和单调性，再将，，以及转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，所以关于直线对称，且在单调递增.
∵，，，
∴，∴，
又∵关于直线对称，∴，∴.故选：A
9.（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，
当时，，因为在上单调递增且，
而在上单调递减，故在上单调递减，则在上单调递增，
故由可得，即，
则，故，故选：A
10．（2024·重庆·校联考模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】由题意可知，所以，令，则，
所以，由题意可知函数的对称中心为，
所以，即，
所以，
所以
，
所以.故选：C
11.（2024·浙江·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由为奇函数，得，
故①，函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得②，则函数的图象关于直线对称；
由①②得， 则，
故的周期为，所以，
由，令得，即③，
已知，由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，所以④，联立③④解得
故时，，由关于对称，可得.
故选：A.
12.（2024·四川·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，令，得，所以，
由为奇函数，得，所以，故①．
又②，由①和②得，即，
所以，③ 令，得，得，
令，得，得， 又④，
由③-④得，即，所以函数是以8为周期的周期函数，
故，所以，
所以
，故选：B．
13.（2024·河北唐山·校考一模）若，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【答案】A
【解析】令，，得，得，
令，，
又，故，即，
故得到周期，
令，，即，故是偶函数，
又，，所以得到图象关于对称，
所以，，，，
所以. 故选：A
14．（2024·福建厦门·高三校考阶段练习）设函数的定义域为，满足，且当时，．则下列结论正确的个数是（ ）
①；②若对任意，都有，则a的取值范围是；
③若方程恰有3个实数根，则m的取值范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】依题意，，当时，，且在区间上的最大值为1，
当时，，，在区间上的最大值为2，
当时，，，在区间上的最大值为4，
当时，，，在区间上的最大值为8，
显然，①正确；作出函数的部分图象，如图，
当时，必有，由整理得：，于是得，
因为对任意，都有，因此，所以a的取值范围是，②正确；
方程恰有3个实数根，即直线与函数的图象恰有3个公共点，
显然直线与在区间上的图象有且只有1个公共点，
当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：
，则，解得，
而在区间上的最大值为，直线，
当时，，此时该直线与在区间上的图象有两个公共点，
因此直线与函数在时的图象有公共点时，公共点个数大于3，不符合题意，
当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：
，则，解得，
当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：
，则，解得，
观察图象知，方程恰有3个实数根，则m的取值范围是，③错误.
所以正确结论的个数是2.故选：C
15．（2025·山西大同·高三统考阶段练习）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是奇函数，是偶函数，
所以，解得，由，
当时，则，所以，
同理：当时，，以此类推，可以得到的图象如下：
由此可得，当时，，由，得，解得或，
又因为对任意的，恒成立，所以，所以实数的最大值为.故选：B.
16．（多选题）（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知定义域为的函数满足，为的导函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．
C． D．对，，
【答案】ABC
【解析】由题意定义域为的函数满足
令，则，
令，则，即，故为奇函数，A正确；
由于，故，即，则为偶函数，由可得，
由，令得，
故，令，则，B正确；
又，则，
令，则，
由柯西方程知，，故，
则，由于，故，即，则，C正确；
对
,故，D错误，故选：ABC.
17．（多选题）（2025·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象，
又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B：由为奇函数，则，
又为的导函数，所以，即，则，
又为奇函数，所以，即，
由上得，故，故，
即，即是奇函数，故B正确；对于C：由于，
故，即，故4是的一个周期，
又，即，所以为周期为4的周期函数，
因为，令可得，即，
所以，故C错误；
对于D：因为是上的奇函数，故，结合得，
，
故，故D正确．故选：ABD
18．（多选题）（2024·广西桂林·统考一模）已知函数满足：，，则（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
【答案】ACD
【解析】取，代入，
得，解得，故A正确，B错误；
令，则，即，
故，
所以是周期为6的周期函数，故C正确；
又，，所以，故D正确．故选：ACD
19．（2022全国乙卷真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且 且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，
由得，，，故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
，
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．
20．（2024·广西 高三模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则___________.
【答案】
【分析】依题意首先求出函数的周期，再结合周期及相关条件分别求得和，进而可得到结果.
【详解】函数满足：，
可得：对，都有，∴ 函数的周期.
∴ ，
由得， ∴.故答案为：.
【点睛】定义在上的函数，若存在非零常数，使得对，都有，则函数的周期.
21.（2024·重庆·模拟预测）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】根据题意，，是偶函数，
当时，，由二次函数的性质，在上的最大值为或，
由偶函数对称性，在上的最大值为或，
，则，
即.，即的最小值为. 故答案为：.
22．（2025·河南·河南省淮阳中学校联考模拟预测）已知函数，则在上的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【解析】；
令，当时，，；
令，，
，为定义在上的奇函数，，
，即，
在上的最大值和最小值之和为. 故答案为：.
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