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4.1 直线的方向向量与平面的法向量--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若过两点的直线的倾斜角为，则y=( )
A. B. C.-1 D.1
2．在平行六面体中，向量，，一定是( )
A.有相同起点的向量 B.等长向量
C.共面向量 D.不共面向量
3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( )
A. B.
C. D.
4．已知向量,,则平面的一个法向量( )
A. B. C. D.
5．直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
6．直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
7．已知直线l的一个方向向量，且直线l过和两点，则( )
A.0 B.1 C. D.3
8．已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D.如果向量a，b与平面共面，且向量n满足，，那么n就是平面的一个法向量
10．给定下列命题，其中不正确的有( )
A.若a是平面的斜线，直线b垂直于a在内的射影，则
B.若a是平面的斜线，平面内的一条直线b垂直于a在内的射影，则
C.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则
D.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在内的射影，则
11．如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，下列结论中正确的有( )
A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知直线l过点，，且是直线l的一个方向向量，则__________.
13．在空间直角坐标系中，已知三点，，，若向量n与平面ABC垂直，且，则向量n为__________.
14．直线的方向向量坐标可以是__________.（只需写出一个满足条件的一个向量）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．计算:
（1）已知直线l的倾斜角为,求l的方向向量和法向量;
（2）已知直线l经过点和,求直线l的方向向量和法向量.
16．如图，在正四棱柱中，，E，F分别为棱，的中点，G为棱上的动点.
（1）求证：B，E，，F四点共面.
（2）是否存在点G，使得平面平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，请说明理由.
17．如图，在棱长为3的正方体中，点M在棱上，且.以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量.
18．已知，.
(1)平面ABC的法向量共有多少个
(2)求平面ABC的单位法向量.
19．设a，b分别是直线和的方向向量，根据下列条件判断和的位置关系.
(1)，；
(2)，；
(3)，.
参考答案
1．答案：C
解析：
故选：C
2．答案：C
解析：如图所示，连接AC，因为，而，
所以，即，所以，，三向量共面.故选C.
3．答案：B
解析：根据题意进行类比，在空间任取一点，
则，
平面的法向量为，
，
所以该平面的方程为.
故选：B
4．答案：A
解析：设平面的一个法向量为,
则,即,即,
所以满足上述条件的只有A符合.
故选:A.
5．答案：A
解析：直线的斜率为,
所以,该直线的方向向量为,
故该直线的一个方向是.
故选：A.
6．答案：B
解析：直线的斜率为,则选项中是直线的一个方向向量,即B正确.
故选:B.
7．答案：D
解析：，，，直线l的一个方向向量为，故设，，解得，，，故选D.
8．答案：C
解析：由，，，得，，
设是平面的一个法向量，则即，
取，则，，故，则与共线的向量也是法向量，
经验证，只有C正确..
故选：C.
9．答案：ABC
解析：由法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A选项正确；一个平面的所有法向量互相平行，故B选项正确；由空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可知，如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直，故C选项正确；当a，b共线时，n不一定是平面的一个法向量，故D选项错误.选ABC.
10．答案：ABC
解析：对于A，b必须在内才满足.对于B，b也必须在内，或者此时与重合，否则结论不成立.对于C，b应垂直于a在内的射影.D正确，故选ABC.
11．答案：ABC
解析：，.连接（图略），，.直线平面，且，平面的一个法向量为.连接（图略），则，显然与平面不垂直.ABC正确，D错误.
12．答案：
解析：由题意，得.因为是直线l的一个方向向量，所以，所以，所以所以.
13．答案：或
解析：由，，，可得，.设向量.因为平面ABC，所以即解得或所以或.
14．答案：（只需满足即可）
解析：直线的斜率为，
所以，直线的方向向量坐标可以为.
故答案为：（只需满足即可）.
15．答案：（1）方向向量为,法向量为
（2）方向向量为,法向量为
解析：（1）先证明结论:若直线l的一个方向向量为,其中,则直线l的一个法向量可为.
因为直线l的一个方向向量为,其中,,则,
所以,直线l的一个法向量可为.
本题中,因为直线l的倾斜角为,则该直线的斜率为,
故直线l的一个方向向量为,则直线l的方向向量为,
直线l的法向量为.
（2）因为直线l经过点和,则直线l的一个方向向量为,
所以,直线l的方向向量为,法向量为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，此时DG的长度为
解析：（1）证明：如图，连接，，取的中点M，连接.
因为点E为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为M为的中点，F为的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
所以B，E，，F四点共面.
（2）如图，以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
假设存在满足题意的点G，设.
易得，，，
则，，.
设平面BEF的法向量为，
则即
取，得，，则.
设平面GEF的法向量为，
则即
当时，，易得此时平面GEF与平面BEF不垂直，所以.
取，得，，则.
因为平面平面BEF，所以，
所以，所以.
所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，此时DG的长度为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为x轴垂直于平面，
所以是平面的一个法向量.
(2)因为正方体的棱长为3，，
所以，，，
所以，.
设是平面的法向量，
则，，
所以
令，则，.
所以是平面的一个法向量.
18．答案：(1)有无穷多个
(2)
解析：(1)设平面ABC的法向量，则，，
可得即
令，则得
所以，其中且，
所以平面ABC的法向量有无穷多个.
(2)平面ABC的单位法向量为.
19．答案：(1)
(2)
(3)和的位置关系是相交或异面
解析：(1)因为，所以.
(2)因为，所以.
(3)因为，，可知a与b既不平行也不垂直，
所以和的位置关系是相交或异面.
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