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第七章 统计案例--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,运用列联表进行检验,经计算,参考下表,则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过( )
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%
2．我们研究成对数据的相关关系,其中,,.在集合中取一个元素作为a的值,使得这组成对数据的相关程度最强,则( )
A.8 B.11 C.12 D.13
3．校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的,女生选学生物学的人数占女生人数.若有的把握认为选学生物学和性别有关,则调查人数中男生不可能有( )人.
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中,.
A.20 B.30 C.35 D.40
4．已知由样本数据组成的一个样本,变量x,y具有线性相关关系,其经验回归方程为,并计算出变量x,y之间的相关系数为,,,则经验回归直线经过( )
A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
5．某市政府调查市民收入与旅游欲望时,采用独立性检验法抽取3000人,计算发现,则根据这一数据查阅下表,市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )
… 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 …
k … 1.323 2.072 2.706 5.024 6.635 7.879 …
A.90% B.95% C.97.5% D.99.5%
6．已知x，y的对应值表为：
x 0 1 3 4 5 6
y
且x，y线性相关，由于表格污损，y的对应值看不到了，若，且线性回归直线方程为，则时，y的预报值为( )
A.6.1 B.22.1 C.12.6 D.3.5
7．某学习小组对一组数据进行回归解题思路,甲同学首先求出回归直线方程,样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查,发现甲将数据误输成,将这两个数据修正后得到回归直线方程,则实数( )
A. B. C. D.
8．下面是一个列联表,其中a、b处填的值分别为( )
总计
a 21 73
2 25 27
总计 b 46 100
A.52、54 B.54、52 C.94、146 D.146、94
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y（单位：）的5组数据为：，，，，，根据以上数据可得经验回归方程为：，则( )
A.
B.回归直线必过点
C.加工60个零件的时间大约为
D.若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化
10．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋林”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚的天气，得到如下列联表：
日落云里走 夜晚天气
下雨 不下雨
出现 25 5
不出现 25 45
临界值表
0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
计算得到，下列小明对地区A的天气判断正确的是( )
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为
C.出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨
D.有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
11．下列说法正确的是( )
A.对于独立性检验，的值越大，说明两变量的相关程度越大
B.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则c，k的值分别是和0.3
C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，，，则
D.通过回归直线及回归系数，可以精确地反映变量的取值和变化趋势
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则x的值是________.
对工作满意 对工作不满意
男
女
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 5.024 7.879 10.828
13．已知某种商品的广告费x（单位:万元）与销售额y（单位:万元）之间的对应数据如下表:
x 1 3 4 5 7
y 14 18 30 42 46
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为,则当广告费为10万元时,销售额预测值为________万元.
14．已知变量x与y的取值如下表:
x 2 3 5 6
y 7 12
若y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线必经过的定点为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．假期中,来自沿海城市的小明和小强去四川旅游,他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高,气压也随之降低,包装袋内的气压大于外面气压,从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.
海拔高度 10 50 100 500 1000
大气压 101.2 100.6 100.2 94.8 88.2
(1)利用线性回归解题思路求y与x之间的线性回归方程;（的值精确到0.001）
(2)小明和小强打算去九寨沟,可以利用(1)中的方程,估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01）
附：①对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：,.
②参考数据：,.
16．某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下:数学成绩的方差为,化学成绩的方差为,,其中,(且)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩,y关于x的线性回归方程为.
（1）求y与x的样本相关系数;
（2）从概率统计规律来看,本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布,用样本平均数作为的估计值,用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中,数学成绩位于区间的人数.
附:①回归方程中:
②样本相关系数
③若,则
④
17．某公司为了解某产品的客户反馈情况,随机抽取了100名客户体验该产品,并进行评价,评价结果为“喜欢”和“不喜欢”,整理数据得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男 45 5 50
女 35 15 50
合计 80 20 100
(1)根据上表,依据小概率值的独立性检验,能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
(2)为进一步了解客户对产品的反馈,现从评价结果为“不喜欢”的客户中,按性别用分层抽样的方法选取8人,收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人,求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：.
0.05 0.025 0.01 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
18．电容器充电后，电压达到，然后开始放电.由经验知道，此后电压随着时间变化的规律用公式表示，现测得时间时的电压U如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
U 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5
试求：电压U对时间t的回归方程.（提示：对公式两边取自然对数，转化为线性回归问题）
19．智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、学生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式.为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，某市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下：从城区学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
（1）补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
郊区学校 40
城区学校 60
总计 100 60 160
（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照分层随机抽样方法抽取6所学校进行解题思路，然后再从这6所学校中随机抽取2所学校，求这两所学校不全是郊区学校的概率.
附：，.
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考答案
1．答案：B
解析：因为,结合表格可知,所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010.
故选:B.
2．答案：B
解析：由可知前9个点在直线上.
,
要使相关性最强,应更接近10,四个选项中11最接近10.
故选:B.
3．答案：A
解析：设总人数为,则男生选学生物学的人数为,女生选生物学的人数为,
则,
即,又n为5的倍数,故男生最少有30人.
故选：A.
4．答案：B
解析：由相关系数为,知,负相关,所以又,,即点在经验回归直线上,且在第三象限,所以经验回归直线经过第二、三、四象限.
5．答案：C
解析：,
可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为97.5%.
故选：C.
6．答案：A
解析：由表格知，，
∵，
∴，代入
得：，
∴，则回归方程为，
当时，.
7．答案：D
解析：由题可知,假设甲令为,所以,,所以,
,改为正确数据时得,
,所以样本点的中心为,将其代入回归直线方程,得.故选:D
8．答案：A
解析：由题意可得,解得,
所以a、b值分别为52、54.
故选:A.
9．答案：BC
解析：，，
所以恒过，所以，
解得：，故A错误；B正确；
所以，令，则，
故加工60个零件的时间大约为，故C正确；
因为恒过，
所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D错误.
故选:BC.
10．答案：BD
解析：由题意，把频率看作概率，可得夜晚下雨的概率为，故A错误.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为，故B正确.因为，所以有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故D正确，C错误.选BD.
11．答案：ABC
解析：对于A，根据独立性检验的性质知，的值越大，说明两个变量的相关程度越大，故A正确.对于B，将两边取自然对数，得.设，则.因为，所以则故B正确.对于C，由于回归直线过点，则，故C正确.对于D，通过回归直线及回归系数，可预测变量的取值和变化趋势，故D错误.选ABC.
12．答案：5
解析：根据独立性检验思想可得，
，
得，
因为且，所以；
故答案为：5.
13．答案：66
解析：由题意知:,
,
将样本中心点代入,
即,解得:,故,
将代入,
即.
故答案为:66.
14．答案：
解析：因为，，
所以线性回归方程必过定点.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由表中数据得,
,
又,
所以,
,
所以经验回归方程.
(2)当时,,
所以九寨沟在景点处（海拔）的大气压约为
16．答案：（1）
（2）652
解析：（1）因为,,
所以,,
又,所以,
所以.
（2）因为,,
所以,解得,即,
因为,所以,
所以数学成绩服从正态分布,
因为
,
所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人.
17．答案：(1)有关
(2)
解析：(1)零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关.
,
根据小概率值的独立性检验,推断不成立,
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关.
(2)由题意得抽取的8人中,男性人数为,
女性人数为.
当3人中有2名女性和1名男性时,,
当3人全部为女性时,,
则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
18．答案：
解析：对两边取自然对数，得.
令，，，则，得y与x的数据如下表：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6
根据表中数据作出散点图，如图.
从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，
由表中数据求得，，
进而可以求得，，
所以.
由，，，得，
所以.
因此电压U对时间t的回归方程为.
19．答案：（1）列联表见解析；有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关
（2）
解析：（1）补充完整的列联表如下：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
郊区学校 40 40 80
城区学校 60 20 80
总计 100 60 160
由题意，得，
所以有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关.
（2）由题意知，偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，郊区学校抽取（所），分别记为A，B，C，D；
城区学校抽取（所），分别记为a，b.
从这6所学校中随机抽取2所的样本空间为
，共15种，
其中满足两所学校全是郊区学校的情况为，，，，，，共6种，
所以满足两所学校不全是郊区学校的概率.
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