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苏科版数学七年级下册8.4乘法公式（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·双流月考）下列计算中，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋3)(x－2) B．(－1－3x)(1＋3x)
C．(a2＋b)(a2－b) D．(3x＋2)(2x－3)
2．（2024七下·淮安期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·毕节月考）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·九江）如图，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片再沿着图中的虚线剪开，把剪成的两部分和拼成如图的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是(　　)
A． B．
C． D．
5．（2024七下·西安期末）计算：=　 　．
6．（2024七下·新津期中）已知，，则的值是　 　．
7．（2024七下·兴庆月考）计算：
（1）；
（2）．
8．（2024七下·杭州期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”．
（1）求2，的“和方差数”；
（2）若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值；
（3）若，求，的“和方差数”．
9．（2024七下·赫山期中）已知，，求：
（1）的值；
（2）的值．
10．（2024七下·淮安期中）先化简，再求值：，其中，．
二、巩固提高
11．（2023七下·石家庄期中）计算：=　 　．（结果中保留幂的形式）
12．（2024七下·双流月考）如果多项式，则p的最小值是　 　．
13．（2024七下·汝州月考）已知，则代数式的值为 　 　．
14．（2023七下·萧山期中）已知，则的值为　 　．
15．（2024七下·九江）如图，在边长为的正方形上截去边长为的正方形．
（1）图阴影面积是　 　；
（2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式　 　；
（3）运用得到的公式，计算：　 　．
16．（2024七下·义乌期末）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值
进阶实践：（2）若实数x满足，求的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积．
17．（2024七下·新津月考）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图，写出一个代数恒等式：______；
（4）已知，，利用上面的规律求的值．
三、拓展提升
18．（2024七下·新津月考）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即．例如：．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
19．（2024七下·岳阳期中）【探究】
若x满足，求的值．
设，则，
；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，则的值为 ；
【拓展】
（2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形．
① ， ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
20．（2024七下·淮安期中）【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________；
【应用】若，，则_______________；
【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．
21．（2024七下·成都期末）【知识回顾】
如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式：　 　；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值；
（3）【深入探究】
若满足，求的值；
（4）【应用迁移】
如图，长方形中，，、是边上的点在左侧，以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，为常数，且，正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
3．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】由图1知(1)和(2)的面积为a2-b2，图2中(1)和(2)的面积为(a+b)(a-b)，故
答案：B.
【分析】分别计算图1和图2中的(1)和(2)的面积，即可得平方差公式.
5．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
6．【答案】5
【知识点】平方差公式及应用
7．【答案】（1）
（2）
【知识点】平方差公式及应用
8．【答案】（1）解：
（2）解：是，的“和方差数”，即
，
（3）解：
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）令再按照“和方差数”的定义计算；
（2）因为两个非零数，的积是，的“和方差数”，所以有：；
（3）当两数和与两数积已知时，可借助完全平方公式求出这两数的平方和，再按照新定义 即可求出它们的 “和方差数”.
（1）解：
（2）是，的“和方差数”
，即
，
（3）
9．【答案】（1）26
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
10．【答案】，．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
11．【答案】216-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
【分析】多次运用平方差公式进行计算即可。
12．【答案】2022
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
13．【答案】14
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
14．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵，
∴a2-2a+1+b2+b+1=0
∴（a-1）2+（b+1）2=0
∴a-1=0且b+1=0
解之：a=1，b=-2，
∴.
故答案为：4
【分析】利用完全平方公式，将等式转化为（a-1）2+（b+1）2=0，再利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，然后将a，b的值代入代数式进行计算.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图1阴影部分的面积等于两正方形的面积之差即；
图2中阴影部分的面积为
(2)
故答案为：.
【分析】(1)分别利用图1和图2表示阴影部分的面积即可得乘法公式；
(2)利用平方差公式展开可消化首尾即可得结果.
16．【答案】（1）解：∵， ，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形的边长为a，正方形是边长为b，
∵正方形与正方形的面积之和为65，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴长方形的面积为28．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得，将 代入，即可求解；
（2）设，则，根据题意可得ab=48，根据完全平方公式进行计算，即可求解；
（3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，根据“正方形与正方形的面积之和为65”可得，结合题意可得，根据完全平方公式进行计算，即可求解.
17．【答案】（1）；
解：（2）由题（1）知：，
．
（3）
（4）由（3）可知，
把，代入得：
．
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，
可得：，
故答案为：
（3）根据题意得：
【分析】（1）观察图，大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；
（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．
（4）利用上题得出得关系式，进行变换，即可求出答案.
18．【答案】（1）
（2），，16
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-程序框图
19．【答案】解：（1）设，
则，
；
（2）①
②∵长方形的面积是 8 ，
，
阴影部分面积，
设，
则，
，
，
又，
，
．
即阴影部分的面积是 12 ．
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】（2）①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、
，
，，
故答案为：．
【分析】（1）设，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与；
②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可．
20．【答案】观察：；应用：；拓展：900
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
21．【答案】（1）
（2）解：把两边平方得：，
展开得：，
将代入得：，
整理得：；
（3）解：设，，则有，，
把两边平方得：，即，
把代入得：，即，则；
（4）解：设，则，
正方形，矩形，
，
，
正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为，
，即，
整理得：，
开方得：负值舍去，
，，，
则长方形周长为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图2中的大正方形的面积为4ab+(a-b)2，大正方形的面积为(a+b)2，故=+4；
【分析】(1)用两种方式表示正方形的面积，即可得；
(2)根据(1)中成立的等量关系，代入数据即可得，即得；
(3)利用换元法和(1)的结论，代入数据即可得的值；
(4)设AD=x，得AB=2x，再分别求出AM和AE的长即得，求得AM和AF的长，即可得长方形AMGF的周长.
1 / 1苏科版数学七年级下册8.4乘法公式（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·双流月考）下列计算中，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋3)(x－2) B．(－1－3x)(1＋3x)
C．(a2＋b)(a2－b) D．(3x＋2)(2x－3)
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
2．（2024七下·淮安期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
3．（2024七下·毕节月考）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
4．（2024七下·九江）如图，将边长为的正方形纸片，剪去一个边长为的小正方形纸片再沿着图中的虚线剪开，把剪成的两部分和拼成如图的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】由图1知(1)和(2)的面积为a2-b2，图2中(1)和(2)的面积为(a+b)(a-b)，故
答案：B.
【分析】分别计算图1和图2中的(1)和(2)的面积，即可得平方差公式.
5．（2024七下·西安期末）计算：=　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
6．（2024七下·新津期中）已知，，则的值是　 　．
【答案】5
【知识点】平方差公式及应用
7．（2024七下·兴庆月考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】平方差公式及应用
8．（2024七下·杭州期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”．
（1）求2，的“和方差数”；
（2）若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值；
（3）若，求，的“和方差数”．
【答案】（1）解：
（2）解：是，的“和方差数”，即
，
（3）解：
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）令再按照“和方差数”的定义计算；
（2）因为两个非零数，的积是，的“和方差数”，所以有：；
（3）当两数和与两数积已知时，可借助完全平方公式求出这两数的平方和，再按照新定义 即可求出它们的 “和方差数”.
（1）解：
（2）是，的“和方差数”
，即
，
（3）
9．（2024七下·赫山期中）已知，，求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）26
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
10．（2024七下·淮安期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
二、巩固提高
11．（2023七下·石家庄期中）计算：=　 　．（结果中保留幂的形式）
【答案】216-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
【分析】多次运用平方差公式进行计算即可。
12．（2024七下·双流月考）如果多项式，则p的最小值是　 　．
【答案】2022
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
13．（2024七下·汝州月考）已知，则代数式的值为 　 　．
【答案】14
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
14．（2023七下·萧山期中）已知，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵，
∴a2-2a+1+b2+b+1=0
∴（a-1）2+（b+1）2=0
∴a-1=0且b+1=0
解之：a=1，b=-2，
∴.
故答案为：4
【分析】利用完全平方公式，将等式转化为（a-1）2+（b+1）2=0，再利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，然后将a，b的值代入代数式进行计算.
15．（2024七下·九江）如图，在边长为的正方形上截去边长为的正方形．
（1）图阴影面积是　 　；
（2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式　 　；
（3）运用得到的公式，计算：　 　．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图1阴影部分的面积等于两正方形的面积之差即；
图2中阴影部分的面积为
(2)
故答案为：.
【分析】(1)分别利用图1和图2表示阴影部分的面积即可得乘法公式；
(2)利用平方差公式展开可消化首尾即可得结果.
16．（2024七下·义乌期末）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值
进阶实践：（2）若实数x满足，求的值．
高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积．
【答案】（1）解：∵， ，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形的边长为a，正方形是边长为b，
∵正方形与正方形的面积之和为65，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
∴长方形的面积为28．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得，将 代入，即可求解；
（2）设，则，根据题意可得ab=48，根据完全平方公式进行计算，即可求解；
（3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，根据“正方形与正方形的面积之和为65”可得，结合题意可得，根据完全平方公式进行计算，即可求解.
17．（2024七下·新津月考）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图，写出一个代数恒等式：______；
（4）已知，，利用上面的规律求的值．
【答案】（1）；
解：（2）由题（1）知：，
．
（3）
（4）由（3）可知，
把，代入得：
．
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，
可得：，
故答案为：
（3）根据题意得：
【分析】（1）观察图，大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；
（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．
（4）利用上题得出得关系式，进行变换，即可求出答案.
三、拓展提升
18．（2024七下·新津月考）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即．例如：．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【答案】（1）
（2），，16
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-程序框图
19．（2024七下·岳阳期中）【探究】
若x满足，求的值．
设，则，
；
【应用】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，则的值为 ；
【拓展】
（2）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形．
① ， ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】解：（1）设，
则，
；
（2）①
②∵长方形的面积是 8 ，
，
阴影部分面积，
设，
则，
，
，
又，
，
．
即阴影部分的面积是 12 ．
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】（2）①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、
，
，，
故答案为：．
【分析】（1）设，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与；
②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可．
20．（2024七下·淮安期中）【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________；
【应用】若，，则_______________；
【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．
【答案】观察：；应用：；拓展：900
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
21．（2024七下·成都期末）【知识回顾】
如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式：　 　；
（2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值；
（3）【深入探究】
若满足，求的值；
（4）【应用迁移】
如图，长方形中，，、是边上的点在左侧，以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，为常数，且，正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长．
【答案】（1）
（2）解：把两边平方得：，
展开得：，
将代入得：，
整理得：；
（3）解：设，，则有，，
把两边平方得：，即，
把代入得：，即，则；
（4）解：设，则，
正方形，矩形，
，
，
正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为，
，即，
整理得：，
开方得：负值舍去，
，，，
则长方形周长为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：(1)图2中的大正方形的面积为4ab+(a-b)2，大正方形的面积为(a+b)2，故=+4；
【分析】(1)用两种方式表示正方形的面积，即可得；
(2)根据(1)中成立的等量关系，代入数据即可得，即得；
(3)利用换元法和(1)的结论，代入数据即可得的值；
(4)设AD=x，得AB=2x，再分别求出AM和AE的长即得，求得AM和AF的长，即可得长方形AMGF的周长.
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