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西北师大附中
2024-2025学年度第二学期开学考试试卷
高三数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知随机变量，随机变量，若，，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
6.设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，|PF1|＝λ|PF2|（≤λ≤3），则椭圆的离心率的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．若函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．10 B．5 C． D．
二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：
学校 人数 平均运动时间 方差
甲校 2000 10 3
乙校 3000 8 2
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
11．已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx，下列结论中正确的是（　　）
A．函数f（x）在x＝时取得极小值﹣1
B． x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立
C．若0＜x1＜x2＜π，则＜
D．若a＜＜b， x∈（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1
三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则的值为______.
13．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为 .
14．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________．
四.解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，连接AD并延长到点E，使AE＝3DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
（2）若∠ABC＝，求线段BE的长．
（本小题满分15分）
为数列的前项和，已知，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
（本小题满分15分）
某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60）， ，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？
（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．
（本小题满分17分）
如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面∥.

（1）证明：∥平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
（本小题满分17分）
已如．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断极值点个数，并说明理由；
（3）解不等式．
师大附中开学考试高三数学参考答案
二、选择题（共 58 分,1-8题为单选,每题 5 分;9-11 题为多选,全对 6 分,选对但不全得3分，不选或错选得0分。）
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.【答案】7
13.【答案】/
14.【答案】
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.【解答】解：（1）∵DE＝1，AE＝3DE，∴AD＝2，
∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cos∠ADB+cos∠ADC＝0，
由题意设BD＝DC＝x，AB＝4，AC＝2，
则在△ADB中，由余弦定理得cos∠ADB＝＝＝，
在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝，
∴+＝0，解得x＝2，
∴BC＝2BD＝4，
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝﹣；
（2）∵AB＝4，AC＝2，∠ABC＝，
∴在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcos∠ABC，即8＝16+BC2﹣2×4×BC，解得BC＝2，
∵点D为BC的中点，∴BD＝BC＝，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB BDcos∠ABC＝16+2﹣2××4×＝10，即AD＝，
∵AE＝3DE，∴AE＝AD＝，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAE＝＝＝，
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB AEcos∠BAE＝16+（）2﹣2×4××＝，即BE＝．
16.【解答】解：（1）由，可知
两式相减得，
即，
∵，∴，
∵当时，，∴（舍）或，
则是首项为，公差的等差数列，
∴的通项公式；
（2）∵，
∴，
∴数列的前项和
.
17.【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006；
（2）由频率分布直方图可知，
评分在[40，60），[60，80），[80，100]内的顾客人数之比为：（0.004+0.006）：（0.022+0.028）：（0.022+0.018）＝1：5：4，
所以评分在[40，60）内的顾客应抽取（人）；
（3）用户对该APP评分的平均分为：＝76.2．
18.【解答】（1）证明：取线段的中点，连接，
因为四边形是矩形，且，
所以且
因为且且，
所以且，
所以且
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面平面，所以平面
（2）因为底面平面，所以，
因为
所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
设平面的法向量为，则
，令，则，
故平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
由，取，则，
故平面的一个法向量，
则.
设平面与平面的夹角为，则.
19.【解答】解：（1）函数的定义域为，导函数，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为1，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，则，
令，可得，又为上的增函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
所以存在使得，
当时，，即，函数在上单调递增，
当时，，即，函数在上单调递减，
当时，，即，函数在上单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数有两个极值点；
（3）因为函数在上单调递增，，，
所以当时，不等式的解为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
因为，，
所以，
所以当时，不等式的解为，
所以不等式的解集为.

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