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专题强化1　摩擦力做功问题　变力做功的计算
[学习目标]　1.理解摩擦力做功的特点，会分析一对相互作用的摩擦力的做功情况(难点)。2.掌握一般的变力做功的求解方法(重难点)。
一、摩擦力做功问题
如图所示，在光滑的水平面上，物体A放在长为l的木板B的右端，现用水平力F向右拉木板。
(1)若物体A相对木板B滑动，当B前进s时，物体A从木板B左端滑下。已知A、B间的滑动摩擦力为f，求摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对滑动摩擦力做功的总和为多少？
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
(2)若物体A相对木板B没有滑动，已知当B前进s时，物体A受到的静摩擦力为f'，求静摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对静摩擦力做功的总和为多少？
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
1.不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，既可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不对物体做功。
2.一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W=Fscos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。
3.一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W=Fscos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值。
例1　(2023·鸡西市期末)如图所示，传送带以速度v=4 m/s逆时针运转，两传动轮O、P之间的距离为d=5 m，在传送带O轮的正上方，将一质量为m=1 kg的物块(可视为质点)轻放在传送带上。已知物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2。重力加速度g取10 m/s2，在物块由O处到P处的过程中，传送带对物块做的功为(　　)
A.4 J B.6 J C.8 J D.10 J
例2　如图所示，同一物体分别沿斜面AO、BO、CO自斜面顶点由静止开始下滑至底端O点，该物体与各斜面间的动摩擦因数均相同，在滑行过程中克服摩擦力做功分别为WA、WB和WC，则(　　)
A.WA>WB>WC B.WA=WB>WC
C.WA>WB=WC D.WA=WB=WC
二、变力做功问题
　求变力做功的方法
1.将变力做功转化为恒力做功
(1)平均值法
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力在这段位移内的平均值=，再由W=scos α计算功，如弹簧弹力做的功。
(2)微元法
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功。
例如：物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1=-μmgΔs1
W2=-μmgΔs2
W3=-μmgΔs3
…
W=W1+W2+W3+…=-μmg(Δs1+Δs2+Δs3+…)=-μmgs
(3)转换研究对象法
如图所示，人站在水平地面上以恒力拉绳，绳对小车的拉力是个变力(大小不变，方向改变)，但人拉绳的力是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车所做的功。
2.用图像法求功
若已知F-s图像，则图像中图线与s轴所围的“面积”表示功。如图所示，在位移s0内力F做的功W=s0。
例3　(2023·上海市控江中学高一期末)质量为m、初速度为零的物体，在按不同规律变化的合外力作用下都通过位移s0。下列各种情况中合外力做功最多的是(　　)
例4　(多选)(2023·泉州市高一月考)如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　)
A.甲图中若F'大小方向不变，物块从A到C过程中力F做的功为W=F'(OA-OC)
B.乙图中，全过程中F做的总功为72 J
C.丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W=πRf
D.图丁中，F方向始终保持不变，无论是缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W=Flsin θ
例5　如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态。用水平力F缓慢拉木块，使木块前进s0，求这一过程中水平力F对木块做了多少功。
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
答案精析
一、
(1)滑动摩擦力对A做的功为f(s-l)，对B做的功为-fs，这一对滑动摩擦力做功的总和为-fl。
(2)静摩擦力对A做的功为f's，对B做的功为-f's，这一对静摩擦力做功的总和为0。
例1　C　[由μmg=ma得a=2 m/s2，设物块的速度达到v，所经过的位移为s，则有s=，解得s=4 m例2　D　[设斜面的倾角为θ，O、D间的水平距离为s，则物体下滑过程中克服摩擦力做功为W==μmgs，与斜面的倾角大小无关，所以有WA=WB=WC，D正确。]
例3　C　[F-s图像与s轴围成的面积表示做功多少，故C做功最多。]
例4　AB　[因沿着同一根绳的张力大小相等，则力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A到C过程中力F做的功为W=F'(OA-OC)，故A正确；F-s图像与s轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W=15×6 J+(-3)×6 J=72 J，故B正确；绳长为R，若空气阻力f大小不变，要用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W=-f·=-πRf，故C错误；F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W=Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘以位移计算，故D错误。]
例5　k
解析　由题意知，木块受力平衡，则力F与位移成正比，则平均力=，故W=s0=k。(共50张PPT)
DIYIZHANG
第1章
专题强化1　摩擦力做功问题　
变力做功的计算
1.理解摩擦力做功的特点，会分析一对相互作用的摩擦力的做功情况(难点)。
2.掌握一般的变力做功的求解方法(重难点)。
学习目标
内容索引
一、摩擦力做功问题
二、变力做功问题
专题强化练
摩擦力做功问题
一
如图所示，在光滑的水平面上，物体A放在长
为l的木板B的右端，现用水平力F向右拉木板。
(1)若物体A相对木板B滑动，当B前进s时，物体A从木板B左端滑下。已知A、B间的滑动摩擦力为f，求摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对滑动摩擦力做功的总和为多少？
答案　滑动摩擦力对A做的功为f(s-l)，对B做的功为-fs，这一对滑动摩擦力做功的总和为-fl。
(2)若物体A相对木板B没有滑动，已知当B前进s时，物体A受到的静摩擦力为f'，求静摩擦力分别对A、B做了多少功？这一对静摩擦力做功的总和为多少？
答案　静摩擦力对A做的功为f's，对B做的功为-f's，这一对静摩擦力做功的总和为0。
1.不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，既可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不对物体做功。
2.一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W=Fscos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。
3.一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W=Fscos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值。
提炼·总结
　(2023·鸡西市期末)如图所示，传送带以速度v=4 m/s逆时针运转，两传动轮O、P之间的距离为d=5 m，在传送带O轮的正上方，将一质量为m=
1 kg的物块(可视为质点)轻放在传送带上。已知物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2。重力加速度g取10 m/s2，在物块由O处到P处的过程中，传送带对物块做的功为
A.4 J 　　　B.6 J 　　　C.8 J 　　　D.10 J
例1
√
由μmg=ma得a=2 m/s2，设物块的速度达到v，
所经过的位移为s，则有s=，解得s=4 m=5 m，故物块前4 m做匀加速直线运动，受滑动摩擦力作用，后1 m做匀速直线运动，不受摩擦力作用，故物块由O处到P处的过程中，传送带对物块做的功为Wf=μmgs=8 J，C正确。
　如图所示，同一物体分别沿斜面AO、BO、CO自斜面顶点由静止开始下滑至底端O点，该物体与各斜面间的动摩擦因数均相同，在滑行过程中克服摩擦力做功分别为WA、WB和WC，则
A.WA>WB>WC
B.WA=WB>WC
C.WA>WB=WC
D.WA=WB=WC
例2
√
设斜面的倾角为θ，O、D间的水平距离为s，
则物体下滑过程中克服摩擦力做功为
W==μmgs，
与斜面的倾角大小无关，
所以有WA=WB=WC，D正确。
返回
变力做功问题
二
求变力做功的方法
1.将变力做功转化为恒力做功
(1)平均值法
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力在这段位移内的平均值=，再由W=scos α计算功，如弹簧弹力做的功。
(2)微元法
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功。
例如：物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1=-μmgΔs1
W2=-μmgΔs2
W3=-μmgΔs3
…
W=W1+W2+W3+…=-μmg(Δs1+Δs2+Δs3+…)=-μmgs
(3)转换研究对象法
如图所示，人站在水平地面上以恒力拉绳，绳对小车的拉力是个变力(大小不变，方向改变)，但人拉绳的力是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车所做的功。
2.用图像法求功
若已知F-s图像，则图像中图线与s轴所围的“面积”表示功。如图所示，在位移s0内力F做的功W=s0。
　(2023·上海市控江中学高一期末)质量为m、初速度为零的物体，在按不同规律变化的合外力作用下都通过位移s0。下列各种情况中合外力做功最多的是
例３
√
F-s图像与s轴围成的面积表示做功多少，故C做功最多。
　(多选)(2023·泉州市高一月考)如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是
A.甲图中若F'大小方向不变，物块从A到C
过程中力F做的功为W=F'(OA-OC)
B.乙图中，全过程中F做的总功为72 J
C.丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不
变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W=πRf
D.图丁中，F方向始终保持不变，无论是缓慢将小球从P拉到Q，还是F为
恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W=Flsin θ
例4
√
√
因沿着同一根绳的张力大小相等，则力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A到C过程中力F做的功为W=F'(OA-OC)，故A正确；
F-s图像与s轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W=15×6 J +(-3)×6 J=72 J，故B正确；
绳长为R，若空气阻力f大小不变，要用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W=-f·=-πRf，故C错误；
F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W=Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘以位移计算，故D错误。
　如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，弹簧处于自然状态。用水平力F缓慢拉木块，使木块前进s0，求这一过程中水平力F对木块做了多少功。
例5
答案　k
由题意知，木块受力平衡，则力F与位移成正比，则平均力=，故W=s0=k。
返回
专题强化练
三
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D AD BC D 正功　πμmgR 180 J A
题号 8 9 10 11 12 13
答案 C AC A A Fh(-) BC
对一对
答案
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考点一　摩擦力做功问题
1.关于摩擦力做功，下列说法中正确的是
A.滑动摩擦力总是阻碍物体间的相对运动，所以一定做负功
B.静摩擦力起着阻碍物体间相对运动趋势的作用，静摩擦力一定不做功
C.静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D.滑动摩擦力可以对物体做正功
√
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基础对点练
摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，但是摩擦力对物体既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功，故D正确。
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答案
2.(多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为s，木块与子弹间的摩擦力大小恒为F，则
A.F对木块做功为Fs
B.F对木块做功为F(s+d)
C.F对子弹做功为-Fd
D.F对子弹做功为-F(s+d)
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√
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答案
木块的位移为s，由W=Fscos α得F对木块做功为Fs，子弹的位移为s+d，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，W=-F(s+d)，故A、D正确。
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答案
3.(多选)如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用的力，则对力做功的情况，下列说法中正确的是
A.A、B都克服摩擦力做功
B.A、B间弹力对A、B都不做功
C.摩擦力对B做负功，对A不做功
D.弹力对A不做功，对B做正功
√
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√
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答案
判断A、B间是否有摩擦力时是看A、B间有无相
对滑动(或相对运动趋势)，计算功的大小时涉及
的位移都是相对地面的位移。A、B间相互作用
力为f1、f2、FAB与FBA，如图所示。A没有位移，
f2、FBA对A不做功；B有位移，f1做负功，FAB与位移成90°角，对B不做功，B、C正确，A、D错误。
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答案
考点二　变力做功问题
4.(2024·徐州市丰县中学高一月考)如图所示，在西部的某些偏远山区，人们至今还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用。假设驴拉磨的平均拉力大小F=300 N，驴做圆周运动的等效半径r=1.5 m，则驴拉磨转动一周所做的功约为
A.0 B.300 J
C.1 400 J D.2 800 J
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利用微元法，将全过程分为很多段累加得驴拉磨转动一周所做的功W=Fs=2πrF=2 826 J，故选D。
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答案
5.(2023·南安市侨光中学高一期中)水平桌面上，长R的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量为m的小球。现小球在一个水平外力F作用下从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数为μ，不计空
气阻力，重力加速度为g，则拉力F对小球做的功为
　　　(选填“正功”或“负功”)，小球克服摩擦
力做的功为　　　　。
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正功
πμmgR
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答案
将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1=Fl1cos 37°、W2=Fl2cos 37°、…
Wn=Flncos 37°，
故WF=W1+W2+…+Wn，
则拉力F对小球做的功为正功。
同理可得小球克服摩擦力做的功为W克f=μmg·=πμmgR。
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答案
6.如图所示，质量m=30 kg的儿童从滑梯顶端A点滑下，经长l=12 m的旋转滑道到达底端B点，A、B两点间的水平距离x=4 m，高度差h=3 m。若下滑过程中阻力F的大小恒为60 N，g取10 m/s2。求下滑过程中重力和阻力对儿童所做的总功。
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答案　180 J
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答案
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下滑过程中重力做功WG=mgh=30×10×3 J
=900 J，
由微元法可知，阻力做功WF=-Fl=-60×12 J
=-720 J，
所以重力G和阻力F对儿童所做的总功W总=WG+WF=900 J-720 J=180 J。
13
答案
7.如图所示，一物体(可视为质点)以一定的速度沿水平面由A点滑到B点，摩擦力做功W1；若该物体从A'沿两斜面滑到B'(此过程中物体始终不会离开斜面)，摩擦力做的总功为W2。若物体与各接触面的动摩擦因数均相同，则
A.W1=W2
B.W1>W2
C.W1D.不能确定W1、W2的大小关系
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能力综合练
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答案
设A、B间距离为L，则由A滑到B点，摩擦力做的功W1=-μmgL。设两段斜面长度分别为L1、L2，由A'滑到B'摩擦力做的功W2=-μmgcos α·L1-μmgcos β·L2=-μmgL，故W1=W2，A正确。
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答案
8.(2023·广东省实验中学期末)一辆质量为m的汽车，从静止开始运动，其阻力为车重的λ倍，其牵引力的大小F=kx+f，其中k为比例系数，x为车前进的距离，f为车所受的阻力，重力加速度为g，则当车前进的距离为s时牵引力做的功为
A.λmgs B.ks2
C.ks2+λmgs D.(ks2+λmgs)
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答案
汽车受到的阻力大小为f=λmg，当x=0时，牵引力大小为F1=f，当x=s时，牵引力大小为F2=ks+f，由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为==ks+λmg，牵引力做功为W=s= ks2+λmgs，故C正确。
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答案
9.(多选)(2023·芜湖市高一月考)A、B两物体的质量之比为2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v-t图像如图所示。那么A、B两物体所受摩擦阻力之比与A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比分别为
A.A、B两物体所受摩擦阻力之比为4∶1
B.A、B两物体所受摩擦阻力之比为2∶1
C.A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比为2∶1
D.A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比为4∶1
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答案
由v-t图像可知，A、B两物体的加速度大小分
别为aA=，aB=，根据牛顿第二定律可得fA
=mAaA，fB=mBaB，联立可得A、B两物体所受
摩擦阻力之比为==，A正确，B错误；
由v-t图像可知A、B两物体运动过程的位移分别为sA=t0，sB=×2t0，A、B两物体克服摩擦阻力做的功分别为WA=fAsA，WB=fBsB，A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比为==，C正确，D错误。
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答案
10.如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以某一初速度在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为
A.μMgl B.μMgl
C.μMgl D.2μMgl
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答案
(方法一：平均值法)小方块在进入粗糙水平面的过程中，滑动摩擦力由零开始随位移线性增大，当小方块全部进入粗糙水平面时摩擦力达到最大值μMg，总位移大小为l，平均摩擦力为=μMg，由Wf=l得Wf=-μMgl，所以摩擦力对所有小方块做功的大小为μMgl，A正确。
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答案
(方法二：图像法)由于小方块受到的滑动摩擦力f从零开始均匀增大至μMg，故可作出如图所示的f-s图像进行求解，其图线与横轴围成图形的面积即滑动摩擦力做功的大小，所以|Wf|=μMgl，故A正确。
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答案
11.轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m=0.5 kg的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示。物块运动至x=0.4 m处时速度为零，则此过程物块受到的力F和摩擦力做功之和为(g取10 m/s2)
A.3.1 J B.3.5 J
C.1.8 J D.2.0 J
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答案
物块与水平面间的摩擦力为f=μmg=1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F-x图像与x轴所围面积表示功可知F做功W=3.5 J，物块克服摩擦力做功W克f=fx=0.4 J。则物块受到的力F和摩擦力做功之和为W-W克f=3.1 J，故A正确。
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答案
12.如图所示，某人用恒力F通过绕过定滑轮的绳子拉着放在水平面上的物体(可视为质点)，使其缓慢移动。开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面间的夹角为β，滑轮距物体与绳子的连接点的高度为h。求绳子的
拉力F'对物体做的功。(绳的质量、滑轮的质量和
绳与滑轮之间的摩擦均不计，滑轮可视为质点)
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答案　Fh(-)
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答案
在物体向右运动的过程中，绳子对物体的拉力F'是一个变力(方向改变)，但绳子的拉力F'对物体做的功等于力F所做的功。由题图可知，力F的作用点的位移大小为
s=-=h(-)
则WF'=WF=Fs=Fh(-)。
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13.(多选)(2023·内蒙古阿拉善盟第一中学期末)如图所示，一质量为2 kg的木板静止放置在光滑水平面上，质量为1 kg的物块以6 m/s的速度滑上木板，最后相对静止在木板上。已知木板与物块间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列关于该过程的说法正确的是
A.物块滑上木板瞬间，木板的加速度大小为4 m/s2
B.木板加速运动的时间为1 s
C.摩擦力对物块做的功为-16 J
D.摩擦力对木板做的功为16 J
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尖子生选练
√
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答案
设物块质量为m，木板质量为M，物块滑上木板瞬间，木板受到物块对它水平向右的滑动摩擦力作用，将做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律，有μmg=Ma，代入数据可得木板的加速度大小为a== m/s2=2 m/s2，故A错误；
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物块滑上木板，受到木板对它水平向左的滑动摩擦力作用，将做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有μmg=ma'，代入数据可得物块的加速度大小为a'=μg=0.4×10 m/s2=4 m/s2，当木板与物块速度相同时，以后将一起匀速运动，设物块的初速度为v0，则有v0-a't=at，解得木板加速运动的时间为t=1 s，故B正确；
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物块在摩擦力作用下做减速运动时，发生的位移为s1=v0t-a't2=(6×1-×4×12) m=4 m，木板在摩擦力作用下做加速运动时，发生的位移为s2=at2=×2×12 m=1 m，所以，摩擦力对物块做的功为W1=-μmgs1 =-16 J，摩擦力对木板做的功为W2=μmgs2=4 J，故C正确，D错误。
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答案作业2　摩擦力做功问题　变力做功的计算
[分值：100分]
1~4题每题7分，5题8分，6题9分，共45分
考点一　摩擦力做功问题
1.关于摩擦力做功，下列说法中正确的是(　　)
A.滑动摩擦力总是阻碍物体间的相对运动，所以一定做负功
B.静摩擦力起着阻碍物体间相对运动趋势的作用，静摩擦力一定不做功
C.静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D.滑动摩擦力可以对物体做正功
2.(多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为s，木块与子弹间的摩擦力大小恒为F，则(　　)
A.F对木块做功为Fs
B.F对木块做功为F(s+d)
C.F对子弹做功为-Fd
D.F对子弹做功为-F(s+d)
3.(多选)如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用的力，则对力做功的情况，下列说法中正确的是(　　)
A.A、B都克服摩擦力做功
B.A、B间弹力对A、B都不做功
C.摩擦力对B做负功，对A不做功
D.弹力对A不做功，对B做正功
考点二　变力做功问题
4.(2024·徐州市丰县中学高一月考)如图所示，在西部的某些偏远山区，人们至今还通过“驴拉磨”的方式把小麦颗粒加工成粗面来食用。假设驴拉磨的平均拉力大小F=300 N，驴做圆周运动的等效半径r=1.5 m，则驴拉磨转动一周所做的功约为(　　)
A.0 B.300 J
C.1 400 J D.2 800 J
5.(8分)(2023·南安市侨光中学高一期中)水平桌面上，长R的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量为m的小球。现小球在一个水平外力F作用下从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数为μ，不计空气阻力，重力加速度为g，则拉力F对小球做的功为　　　　(选填“正功”或“负功”)，小球克服摩擦力做的功为　　　　。
6.(9分)如图所示，质量m=30 kg的儿童从滑梯顶端A点滑下，经长l=12 m的旋转滑道到达底端B点，A、B两点间的水平距离x=4 m，高度差h=3 m。若下滑过程中阻力F的大小恒为60 N，g取10 m/s2。求下滑过程中重力和阻力对儿童所做的总功。
7~11题每题7分，12题12分，共47分
7.如图所示，一物体(可视为质点)以一定的速度沿水平面由A点滑到B点，摩擦力做功W1；若该物体从A'沿两斜面滑到B'(此过程中物体始终不会离开斜面)，摩擦力做的总功为W2。若物体与各接触面的动摩擦因数均相同，则(　　)
A.W1=W2 B.W1>W2
C.W18.(2023·广东省实验中学期末)一辆质量为m的汽车，从静止开始运动，其阻力为车重的λ倍，其牵引力的大小F=kx+f，其中k为比例系数，x为车前进的距离，f为车所受的阻力，重力加速度为g，则当车前进的距离为s时牵引力做的功为(　　)
A.λmgs B.ks2
C.ks2+λmgs D.(ks2+λmgs)
9.(多选)(2023·芜湖市高一月考)A、B两物体的质量之比为2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v-t图像如图所示。那么A、B两物体所受摩擦阻力之比与A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比分别为(　　)
A.A、B两物体所受摩擦阻力之比为4∶1
B.A、B两物体所受摩擦阻力之比为2∶1
C.A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比为2∶1
D.A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比为4∶1
10.如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以某一初速度在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为(　　)
A.μMgl B.μMgl
C.μMgl D.2μMgl
11.轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m=0.5 kg的物块相连，如图甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止，物块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示。物块运动至x=0.4 m处时速度为零，则此过程物块受到的力F和摩擦力做功之和为(g取10 m/s2)(　　)
A.3.1 J B.3.5 J C.1.8 J D.2.0 J
12.(12分)如图所示，某人用恒力F通过绕过定滑轮的绳子拉着放在水平面上的物体(可视为质点)，使其缓慢移动。开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面间的夹角为β，滑轮距物体与绳子的连接点的高度为h。求绳子的拉力F'对物体做的功。(绳的质量、滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计，滑轮可视为质点)
(8分)
13.(多选)(2023·内蒙古阿拉善盟第一中学期末)如图所示，一质量为2 kg的木板静止放置在光滑水平面上，质量为1 kg的物块以6 m/s的速度滑上木板，最后相对静止在木板上。已知木板与物块间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列关于该过程的说法正确的是(　　)
A.物块滑上木板瞬间，木板的加速度大小为4 m/s2
B.木板加速运动的时间为1 s
C.摩擦力对物块做的功为-16 J
D.摩擦力对木板做的功为16 J
答案精析
1.D　[摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，但是摩擦力对物体既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功，故D正确。]
2.AD　[木块的位移为s，由W=Fscos α得F对木块做功为Fs，子弹的位移为s+d，木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反，故木块对子弹的摩擦力做负功，W=-F(s+d)，故A、D正确。]
3.BC　[判断A、B间是否有摩擦力时是看A、B间有无相对滑动(或相对运动趋势)，计算功的大小时涉及的位移都是相对地面的位移。A、B间相互作用力为f1、f2、FAB与FBA，如图所示。
A没有位移，f2、FBA对A不做功；B有位移，f1做负功，FAB与位移成90°角，对B不做功，B、C正确，A、D错误。]
4.D　[利用微元法，将全过程分为很多段累加得驴拉磨转动一周所做的功W=Fs=2πrF=2 826 J，故选D。]
5.正功　πμmgR
解析　将圆弧分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1=Fl1cos 37°、W2=Fl2cos 37°、…
Wn=Flncos 37°，故WF=W1+W2+…+Wn，则拉力F对小球做的功为正功。
同理可得小球克服摩擦力做的功为
W克f=μmg·=πμmgR。
6.180 J
解析　下滑过程中重力做功WG=mgh=30×10×3 J=900 J，由微元法可知，阻力做功WF=-Fl=-60×12 J=-720 J，
所以重力G和阻力F对儿童所做的总功W总=WG+WF=900 J-720 J=180 J。
7.A　[设A、B间距离为L，则由A滑到B点，摩擦力做的功W1=-μmgL。设两段斜面长度分别为L1、L2，由A'滑到B'摩擦力做的功W2=-μmgcos α·L1-μmgcos β·L2=-μmgL，故W1=W2，A正确。]
8.C　[汽车受到的阻力大小为f=λmg，当x=0时，牵引力大小为F1=f，当x=s时，牵引力大小为F2=ks+f，由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为==ks+λmg，牵引力做功为W=s=ks2+λmgs，故C正确。]
9.AC　[由v-t图像可知，A、B两物体的加速度大小分别为aA=，aB=，根据牛顿第二定律可得fA=mAaA，fB=mBaB，联立可得A、B两物体所受摩擦阻力之比为==，A正确，B错误；由v-t图像可知A、B两物体运动过程的位移分别为sA=t0，sB=×2t0，A、B两物体克服摩擦阻力做的功分别为WA=fAsA，WB=fBsB，A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比为==，C正确，D错误。]
10.A　[(方法一：平均值法)小方块在进入粗糙水平面的过程中，滑动摩擦力由零开始随位移线性增大，当小方块全部进入粗糙水平面时摩擦力达到最大值μMg，总位移大小为l，平均摩擦力为=μMg，由Wf=l得Wf=-μMgl，所以摩擦力对所有小方块做功的大小为μMgl，A正确。
(方法二：图像法)由于小方块受到的滑动摩擦力f从零开始均匀增大至μMg，故可作出如图所示的f-s图像进行求解，
其图线与横轴围成图形的面积即滑动摩擦力做功的大小，所以|Wf|=μMgl，故A正确。]
11.A　[物块与水平面间的摩擦力为f=μmg=1 N。现对物块施加水平向右的外力F，由F-x图像与x轴所围面积表示功可知F做功W=3.5 J，物块克服摩擦力做功W克f=fx=0.4 J。则物块受到的力F和摩擦力做功之和为W-W克f=3.1 J，故A正确。]
12.Fh(-)
解析　在物体向右运动的过程中，绳子对物体的拉力F'是一个变力(方向改变)，但绳子的拉力F'对物体做的功等于力F所做的功。由题图可知，力F的作用点的位移大小为
s=-=h(-)
则WF'=WF=Fs=Fh(-)。
13.BC　[设物块质量为m，木板质量为M，物块滑上木板瞬间，木板受到物块对它水平向右的滑动摩擦力作用，将做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律，有μmg=Ma，代入数据可得木板的加速度大小为a== m/s2=2 m/s2，故A错误；物块滑上木板，受到木板对它水平向左的滑动摩擦力作用，将做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有μmg=ma'，代入数据可得物块的加速度大小为a'=μg=0.4×10 m/s2=4 m/s2，当木板与物块速度相同时，以后将一起匀速运动，设物块的初速度为v0，则有v0-a't=at，解得木板加速运动的时间为t=1 s，故B正确；物块在摩擦力作用下做减速运动时，发生的位移为s1=v0t-a't2=(6×1-×4×12) m=4 m，木板在摩擦力作用下做加速运动时，发生的位移为s2=at2=×2×12 m=1 m，所以，摩擦力对物块做的功为W1=-μmgs1=-16 J，摩擦力对木板做的功为W2=μmgs2=4 J，故C正确，D错误。]

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