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4.1 认识三角形
第3课时
三角形的高、中线、角平分线
第四章 三角形
1. 认识三角形的高、中线、角平分线，会画任意三角形的高、中线、角平分线.
2. 了解三角形的高、中线和角平分线都分别交于一点的性质.
3. 通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展他们的空间观念.
重点：三角形的高、中线和角平分线的定义与性质.
难点：钝角三角形的高的画法.
学习目标
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.
你知道怎样确定这个点的位置吗？
三角形的高
如图，在△ABC 中，点 F 是 BC 边上的一个动点，连接 AF，在点 F 的运动过程中，观察点 F或线段 AF 有哪些特殊的位置. 说说你的想法，并与同伴进行交流.
A
B
C
F
1
点击视频观看→
观察 ∠AFB 或线段 AF 的大小有什么特殊的？
↑
点击几何画板操作
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
如图，线段 AF 是△ABC 的 BC 边上的高.
A
B
C
F
知识要点
AF BC
活动1：每人准备一个锐角三角形纸片.
(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高直线交于同一点，并且这个点在三角形内部.
如图所示.
合作探究
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.
(1) 画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？
(2) 你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
（1）如图，直角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点是直角三角形的直角顶点.
议一议
（2）只能折出
其中一条高，画出如图：
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
O
E
钝角三角形的三条高互不相交，它们所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
三角形的三条高所在的直线交于一点.
1. 分别指出图中 △ABC 的三条高.
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(1) 斜边 AC 上的高是 ；
AB
CB
BD
(2) AC 边上的高是 ；
AB 边上的高是 ；
BC 边上的高是 ；
BF
CE
AD
练一练
第(1)题图
第(2)题图
三角形的中线
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观察 FB 与 CF 的长度有什么特殊的？
2
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
如图，AE 是 △ABC 中 BC 边上的中线.
B
A
C
BE = EC
E
让我们先看看三角形的中线有什么特点.
知识要点
活动2：(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系
三条中线，
相交于一点
合作探究
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心.
归纳总结：
重心
(3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断
△ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
(4) 通过题 (3) 你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
例1 如图，在△ABC 中，AC＝5 cm，AD 是△ABC的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 AB＝____cm.
提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长之差.
7
B
A
C
D
典例精析
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2.
12
所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC，
即 S△ADC = 6 cm2.
又因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC，
即 S△ABC = 12 cm2.
三角形的角平分线
3
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观察 ∠BAF 与 ∠CAF 的大小有什么特殊的？
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2
知识要点
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸
片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗？
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系？
合作探究
B
A
C
（1）用量角器画最简便，用圆规也能.
（2）在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
D
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的特征
归纳总结
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°，
例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
B
D
A
C
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B +∠ADB +∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
典例精析
2. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，G 为 AD 中点，延长 BG 交 AC 于点 E，F 为 AB 上一点，CF 交 AD 于 H，判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD 是△ABE 的角平分线. ( )
（2）BE 是△ABD 的边 AD 上的中线. ( )
（3）BE 是△ABC 的边 AC 上的中线. ( )
×
×
×
练一练
一、选择题
1. 下列图形中，线段BD是△ABC的高的是(　C　)
C
当堂检测
2. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝74°，
AD是角平分线，则∠BAD的度数为(　B　)
A. 24° B. 30°
C. 37° D. 45°
B
3. 如图，AD是△ABC的中线，若AB＝5 cm，
AC＝3 cm，则△ABD与△ACD的周长之差是(　B)
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 5 cm
B
二、填空题
4. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC
边上的中线，AC＝10 cm，则AE＝ cm.若
∠ABD＝30°，则∠ABC＝ °.
5　
60　
第6题图
5. 如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AB＝7，BC＝8，AD＝6.
则CE＝ .
　
6. 如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线.
若S△ACE＝3cm2，
则S△ABC＝ .
12cm2　
第5题图
三、解答题
7. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数.
解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB
＝180°－30°－110°＝40°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×40°＝20°.
∵∠B＝30°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°.
三角形中
几条重要线段
角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段
高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.

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