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专题2 一元一次不等式与不等式组
题型归类 举一反三
题型一 不等式的概念和基本性质
【点悟】（1）不等式的基本性质：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
（2）“0”是很特殊的一个数，解答不等式的问题时，应密切关注“0”的存在，以防掉进“0”的陷阱.
例1 D
变式跟进
1．A 2．D
题型二 一元一次不等式的解法
【点悟】 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，不同的是在将未知数的系数化成1时，如果都乘以（或除以）的数是负数，不等号要改变方向.在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向.边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈.方向：大于向右，小于向左.
例2 （1） 解:去括号，得.
移项、合并同类项，得.
系数化成1，得.
解集在数轴上表示如答图①.
例2答图①
（2） 去分母，得.
去括号，得.
移项、合并同类项，得.
系数化成1，得.
解集在数轴上表示如答图②.
例2答图②
变式跟进
3．（1） 解:去括号，得.
移项、合并同类项，得.
系数化成1，得.
解集在数轴上表示如答图①.
变式跟进3答图①
（2） 去分母，得.
去括号，得.
移项、合并同类项，得.
系数化成1，得.
解集在数轴上表示如答图②.
变式跟进3答图②
题型三 一元一次不等式组的解法
例3 解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以原不等式组的解集为.
原不等式组的解集在数轴上表示如答图.
例3答图
【点悟】（1）确定不等式组的解集有两种方法：①口诀法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小题无解；②数轴法：将各个不等式的解集在数轴上表示出来，借助数轴确定各不等式解集的公共部分.
（2）求不等式组的特殊解（整数解、负整数解、非负整数解等），先要求出不等式组的解集，再求解集中满足条件的解.
变式跟进
4．解：解，得.
解，得.
所以原不等式组的解集为.
5．解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以原不等式组的解集为.
所以不等式组的整数解为0，.
题型四 确定不等式（组）参数的取值范围
例4 解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
因为不等式组有解，
所以原不等式组的解集为.
因为原不等式组有3个整数解，即，，0，
所以.
所以.
【点悟】（1）已知不等式（组）的解集求不等式（组）中字母系数（或有关字母的代数式）的值，一般先求出已知不等式（组）的解集，再结合给定的解集，得出等量关系或不等关系.
（2）确定不等式组的解集，利用口诀更有效，利用数轴更直观.
变式跟进
6．解：解不等式，得.
解不等式，得.
因为不等式组的解集为，
所以，即.
题型五 一元一次不等式的应用
【点悟】 列不等式解决实际问题时，要注意找到“小于”“大于”“不足”“不超过”“至少”“以上”等关键词语.解题时，要善于从这些词语中找不等关系，建立不等式，然后求出这个不等式的解集，再结合实际情况确定符合题意的解.
例5 （1） 解：设小明每做一个开合跳消耗热量大卡，每做一个深蹲消耗热量大卡.
由题意,得
解得
答：小明每做一个开合跳消耗热量0.5大卡，每做一个深蹲消耗热量0.8大卡.
（2） 设小明做个深蹲.
由题意,得，
解得.
答：至少要做50个深蹲.
变式跟进
7．解：设该班级在这场比赛中投中了个三分球.
由题意,得，
解得.
答：该班级在这场比赛中至少投中了4个三分球.
8．（1） 解：设购进圆柏棵，则购进鸡爪槭棵.
由题意,得，
解得.
所以的最大值为32.
答：圆柏最多可购进32棵.
（2） 由题意,得，
解得.
又因为，且，均为正整数，
所以可以为30，31，32，
所以该校共有3种购买树苗的方案.
方案1：购进鸡爪槭20棵，圆柏30棵；
方案2：购进鸡爪槭19棵，圆柏31棵；
方案3：购进鸡爪槭18棵，圆柏32棵.
选择方案1所需费用为（元）；
选择方案2所需费用为（元）；
选择方案3所需费用为（元）.
因为，
所以购进鸡爪槭20棵，圆柏30棵最省钱.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．C 3．D 4．D 5．C
6．
7．
8．
9．（1） 解:去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化成1，得.
（2）
解不等式①，得.
解不等式②，得.
所以原不等式组的解集为.
原不等式组的解集在数轴上表示如答图.
第9题答图
10．解：设这批跑步机有台.
由题意，得，
解得.
因为为正整数，
所以可取的最小值为76.
答：这批跑步机最少有76台.
B组·能力提升 强化突破
11．A 12．C 13．C
14．（1） 解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆.
由题意，得，
解得.
因为两种车型都要租用，所以.
因为为正整数，所以的最大值为5.
所以校方最多租用A型客车5辆.
（2） 因为共有360人参加本次活动.
由题意，得，
解得.所以，
所以可取3，4，5.
所以有三种租车方案：
方案一：租用A型客车3辆，B型客车7辆，租车费用为（元）;
方案二：租用A型客车4辆，B型客车6辆，租车费用为（元）;
方案三：租用A型客车5辆，B型客车5辆，租车费用为（元）.
因为,
所以最省钱的租车方式是租用A型客车3辆，B型客车7辆.专题2 一元一次不等式与不等式组
题型归类 举一反三
题型一 不等式的概念和基本性质
例1 若，则下列各不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
1．[2024蚌埠模拟]下列各式中是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[202绍兴模拟]若，下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 一元一次不等式的解法
例2 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1） ；
（2） .
变式跟进
3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） ；
（2） .
题型三 一元一次不等式组的解法
例3 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来.
变式跟进
4．解不等式组：
5．求不等式组的整数解.
题型四 确定不等式（组）参数的取值范围
例4 已知关于的不等式组有3个整数解，求实数的取值范围.
变式跟进
6．关于的不等式组的解集为，求的值.
题型五 一元一次不等式的应用
例5 [2024马鞍山模拟]周末小明在家开启日常锻炼，第一组运动是30个开合跳、40个深蹲，完成后，运动检测软件显示共消耗热量47大卡（大卡是热量单位）；第二组运动是做40个开合跳、30个深蹲，完成后，软件显示两组运动下来共消耗热量91大卡（每个动作之间的衔接时间忽略不计）.
（1） 小明每做一个开合跳和每做一个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2） 若小明只做开合跳和深蹲两个动作，每个开合跳耗时，每个深蹲也耗时，小明想要通过的锻炼，消耗至少75大卡，至少要做多少个深蹲？
变式跟进
7．[2024六安模拟]为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加.投篮得分规则：在三分线外投篮，投中一球可得3分；在三分线内（含三分线）投篮,投中一球可得2分.某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球）.所得总分不少于56分，该班级在这场比赛中至少投中了多少个3分球？
8．[2023宿州模拟]随着3月12日植树节的到来，某学校为绿化校园，购进两种小树苗，分别为鸡爪槭和圆柏.已知鸡爪槭和圆柏的单价分别是80元/棵，100元/棵.
（1） 学校计划购进鸡爪槭和圆柏共50棵，且购买费用不超过4 640元，则圆柏最多可购进多少棵？
（2） 在满足（1）的条件下，要求购进鸡爪槭的棵数不多于圆柏棵数的，该校购进树苗的方案有哪几种？哪种方案最省钱？
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．[2023达州模拟]已知，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列各组不等式中，解集不同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．[2023洛阳模拟]若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则不等式的解集是 （ ）
A． B． C． D．
6．[2023南宁模拟]若，则_ _ _ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
7．[2023汕头模拟]已知关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．不等式组的所有整数解的和为_ _ _ _ _ _ _ _ .
9．
（1） 解不等式：；
（2） 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来.
10．[2023广州模拟]某商店销售一批跑步机，第一个月以5 000元/台的价格售出20台，第二个月起降价，以4 500元/台的价格将这批跑步机全部售出,销售总额超过35万元.请问这批跑步机最少有多少台？
B组·能力提升 强化突破
11．[2023安庆模拟]已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2024深圳模拟]小玲搭飞机出国旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为，为了弥补这些碳排放量，她决定上、下班时从驾驶汽车改成搭公交车.依据下图的信息，假设小玲每日上、下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上、下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（ ）
每人使用各种交通工具每移动产生的碳排放量 ·自行车： ·公交车： ·机车：·汽车：
A．310天 B．309天 C．308天 D．307天
13．[2024合肥模拟]一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元
甲类 50 25
乙类 200 20
丙类 400 15
例如，购买甲类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买甲类会员年卡 B．购买乙类会员年卡
C．购买丙类会员年卡 D．不购买会员年卡
14．[2023合肥模拟]某中学计划组织七年级师生举行“春季研学游”活动，活动组织负责人从旅游公司了解到如下租车信息：
车型 A B
载客量/（人/辆） 50 30
租金/（元/辆） 400 280
校方从实际情况出发，决定租用A，B型客车共10辆，且两种车型都要租用,租车费用不超过3 500元.
（1） 请问校方最多租用A型客车多少辆？
（2） 在（1）的条件下，校方根据自愿原则，统计发现共有360人参加本次活动，请问合理的租车方案有哪几种？最省钱的租车方案是哪一种？

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