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专题02 求角的正弦余弦正切值中考问题
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（　　）
A．8 B．7 C．10 D．6
2. 在中，，分别为的对边，若，则的值为______．
3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为 　 　．
4．如图，在中，，，．过点作，垂足为，则_________．
5．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是 　　 ．
6. 如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
7．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　）
A． B． C． D．
8.计算：________．
9.= ______.
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝　 　．
11．如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A，B，C在格点上，连接AB，BC，则tan∠ABC＝　 　．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 　　．
13. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）
A. B. C. D.
14．如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，BC于点E，直线EF⊥
AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB＝6，cos∠ABE＝时，求tanH的值．
专题02 求角的正弦余弦正切值中考问题（解析版）
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（　　）
A．8 B．7 C．10 D．6
【答案】D
【解析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用正切的定义求BC的长．
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵tan∠BAC＝＝，
∴BC＝×8＝6．
2. 在中，，分别为的对边，若，则的值为______．
【答案】
【解析】如图所示：
在中，由勾股定理可知：，
，
，
， ，，
，即：，
求出或（舍去），
在中：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中， ，，．
3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝，AD＝4，则AB的长为 　 　．
【答案】3
【解析】易证∠ACD＝∠ADE，由矩形的性质得出∠BAC＝∠ACD，则＝，由此得到AC＝＝＝5，最后由勾股定理得出结果．
解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠ADE，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵sin∠ADE＝，
∴＝，
∴AC＝＝＝5，
由勾股定理得，AB＝＝＝3．
4．如图，在中，，，．过点作，垂足为，则_________．
【答案】
【解析】作，在中，
由等积法可得
易得，,,
∴
∴
5．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是 　　 ．
【答案】．
【解析】过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2a，易证△ABE≌△CDF（AAS），从而可求出AE＝CF＝a，BE＝FD＝1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，设CD＝2a，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠BAE＝30°，
∴AE＝CF＝a，BE＝FD＝a，
∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AE⊥BD，
∴∠BAE＝∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4a，
∴EF＝4a﹣2a＝2a，
∴tan∠DEC＝＝，
故答案为：．
6. 如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可．
【详解】连接OC，
CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5．
∴==
【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解．
7．在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在RtAOB中，sin∠ABO＝
故选：D．
【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．
8.计算：________．
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
9.= ______.
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值填空即可.
由特殊角的三角函数值，能够确定=.
故答案是
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝　 　．
【答案】．
【解析】连接PB，交CH于E，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB＝90°，即可得到AP∥HE，进而得出∠BAP＝∠BHE，依据Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，即可得出tan∠HAP＝．
解：如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，
又∵H为AB的中点，
∴AH＝BH，
∴AH＝PH＝BH，
∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，
∴∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠HEB＝90°，
∴AP∥HE，
∴∠BAP＝∠BHE，
又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，
∴tan∠HAP＝
【点拨】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
11．如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A，B，C在格点上，连接AB，BC，则tan∠ABC＝　 　．
【答案】
【解析】连接AD，根据网格利用勾股定理求出AB，AD，BD的长，利用勾股定理的逆定理判断出三角形ABD为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
连接AD，由勾股定理得：AD＝＝，AB＝＝2，BD＝＝，
∵（）2+（2）2＝（）2，即AD2+AB2＝BD2，∴△ABD为∠BAD是直角的直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 　　．
【答案】．
【解析】连接AO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根据勾股定理求出AD，根据正弦的定义计算，得到答案．
解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝＝2，
∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝.
13. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．
，
．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键．
14．如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
【答案】见解析。
【解析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出,∠OCA＝∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，进而得到∠OCD＝90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到＝＝,设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x＝1,即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB＝∠EOC,在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC＝2,即tan∠OCB＝2．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC,
∴∠OAC＝∠OCA,
∵∠DCB＝∠OAC,
∴∠OCA＝∠DCB,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠OCA+∠OCB＝90°,
∴∠DCB+∠OCB＝90°,
即∠OCD＝90°,
∴OC⊥DC,
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥AC，
∴＝,
∵CD＝4，CE＝6，
∴＝＝,
设BD＝2x,则OB＝OC＝3x,OD＝OB+BD＝5x,
∵OC⊥DC,
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2,
∴(3x)2+42＝(5x)2,
解得，x＝1,
∴OC＝3x＝3,即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE,
∴∠OCB＝∠EOC,
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2,
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据题意先得出AB切⊙O于点D，⊙O与AC边相切于点D，根据切线长定理即可得出AB＝AD；
（2）根据题意作出辅助线BD，根据角之间的互余关系推出∠EBD＝∠EDC，再根据正切函数的定义以及相似三角形的性质推出各边之间的关系，列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥OB，
又∵AB经过半径⊙O的外端点B，
∴AB切⊙O于点D，
又∵⊙O与AC边相切于点D，
∴AB＝AD．
（2）解：如图，
连接BD，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CDE+∠ADB＝90°，
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠EDC，
又∵，
∴，
即，
∵DE＝2，
∴BD＝4，，
又∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
设CE＝x，则DC＝2x，
∴，
∴x1＝0（舍去），，
即线段EC的长为．
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，BC于点E，直线EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB＝6，cos∠ABE＝时，求tanH的值．
【答案】（1）答案见解答；
（2）tanH＝．
【分析】（1）连接OE，先说明OE∥AC，再说明OE⊥HF，即可得到HF是⊙O的切线．
（2）过点E作EG⊥AH于G，分别在Rt△BGE和Rt△ABE中求出线段BG、GE、GO的长，最后根据锐角三角函数求出结果．
解（1）如图
证明：连接OE，
∵AB＝AC、OB＝OE，
∴OE∥AC，
又∵HF⊥AC，
∴OE⊥HF，
∴HF是⊙O的切线．
（2）过点E作EG⊥AH于G，
∴∠EGB＝90°，EB＝6，
∵cos∠ABE＝，
∴BG＝2，EG＝4，
∵∠H+∠HEG＝90°，∠GEO+∠HEG＝90°，∴∠H＝∠GEO，
在Rt△BEA中，
cos∠ABE＝，EB＝6，∴AB＝18，∴OB＝AB＝9，
∴GO＝OB﹣BG＝7，
∴tanH＝tan∠GEO＝＝．

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