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中考数学易错题强化（101道题、74个题型）
目录
一、相反数（共1小题） 4
二、绝对值（共2小题） 4
三、非负数的性质：绝对值（共1小题） 4
四、平方根（共1小题） 4
五、算术平方根（共1小题） 4
六、立方根（共2小题） 4
七、无理数（共1小题） 4
八、实数与数轴（共2小题） 4
九、估算无理数的大小（共1小题） 4
十、整式的加减（共1小题） 5
十一、同底数幂的乘法（共1小题） 5
十二、幂的乘方与积的乘方（共1小题） 5
十三、完全平方公式的几何背景（共1小题） 5
十四、完全平方式（共1小题） 6
十五、分式有意义的条件（共1小题） 6
十六、分式的值为零的条件（共1小题） 6
十七、分式的基本性质（共1小题） 6
十八、分式的加减法（共2小题） 6
十九、等式的性质（共1小题） 7
二十、二元一次方程的解（共1小题） 7
二十一、一元二次方程的定义（共1小题） 7
二十二、一元二次方程的一般形式（共1小题） 7
二十三、根的判别式（共1小题） 7
二十四、由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 7
二十五、分式方程的解（共1小题） 8
二十六、解分式方程（共1小题） 8
二十七、不等式的性质（共1小题） 8
二十八、一元一次不等式组的整数解（共1小题） 8
二十九、坐标与图形性质（共1小题） 8
三十、一次函数的性质（共1小题） 8
三十一、一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 9
三十二、一次函数与一元一次不等式（共1小题） 9
三十三、一次函数的应用（共2小题） 9
三十四、一次函数综合题（共1小题） 10
三十五、反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 11
三十六、二次函数的图象（共1小题） 11
三十七、二次函数图象与系数的关系（共1小题） 11
三十八、抛物线与x轴的交点（共1小题） 12
三十九、二次函数综合题（共2小题） 12
四十、平行线的性质（共1小题） 13
四十一、三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 13
四十二、三角形内角和定理（共1小题） 13
四十三、全等三角形的判定与性质（共1小题） 14
四十四、含30度角的直角三角形（共1小题） 14
四十五、直角三角形斜边上的中线（共1小题） 15
四十六、三角形中位线定理（共1小题） 15
四十七、平行四边形的判定与性质（共1小题） 15
四十八、菱形的判定与性质（共1小题） 16
四十九、矩形的性质（共2小题） 16
五十、正方形的性质（共2小题） 17
五十一、梯形（共1小题） 17
五十二、四边形综合题（共1小题） 18
五十三、圆的认识（共1小题） 18
五十四、垂径定理（共1小题） 18
五十五、圆周角定理（共7小题） 19
五十六、点与圆的位置关系（共1小题） 21
五十七、切线的判定与性质（共4小题） 21
五十八、扇形面积的计算（共2小题） 23
五十九、圆的综合题（共1小题） 23
六十、利用轴对称设计图案（共1小题） 24
六十一、轴对称-最短路线问题（共2小题） 24
六十二、坐标与图形变化-平移（共1小题） 24
六十三、旋转的性质（共2小题） 25
六十四、中心对称（共1小题） 26
六十五、中心对称图形（共1小题） 26
六十六、相似三角形的判定（共1小题） 26
六十七、相似三角形的判定与性质（共5小题） 27
六十八、相似形综合题（共1小题） 29
六十九、解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 29
七十、总体、个体、样本、样本容量（共1小题） 29
七十一、算术平均数（共3小题） 30
七十二、众数（共1小题） 30
七十三、列表法与树状图法（共2小题） 31
七十四、利用频率估计概率（共1小题） 31
一、相反数（共1小题）
1．﹣5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C．0.2 D．﹣0.2
二、绝对值（共2小题）
2．2024的绝对值是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
3．若ab＞0，则++的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1
三、非负数的性质：绝对值（共1小题）
4．已知，|a﹣2|+|b+3|＝0，则ba＝　 　．
四、平方根（共1小题）
5．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　　，这个正数是　　．
五、算术平方根（共1小题）
6．的算术平方根是（　　）
A． B． C．±2 D．2
六、立方根（共2小题）
7．的平方根是　 　；16的算术平方根是　 　；27的立方根是　 　．
8．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是　 　．
七、无理数（共1小题）
9．在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
八、实数与数轴（共2小题）
10．如图，在数轴上，点A到点C的距离与点B到点A的距离相等，A，B两点所对应的实数分别是﹣和1，则点C对应的实数是　 　．
11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|＝　 　．
九、估算无理数的大小（共1小题）
12．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝　 　．
十、整式的加减（共1小题）
13．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（　　）
A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b
十一、同底数幂的乘法（共1小题）
14．已知x+y﹣3＝0，则2y 2x的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．8
十二、幂的乘方与积的乘方（共1小题）
15．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
十三、完全平方公式的几何背景（共1小题）
16．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式　 　．
(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
(3)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　．
(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　 　．
十四、完全平方式（共1小题）
17．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
十五、分式有意义的条件（共1小题）
18．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
十六、分式的值为零的条件（共1小题）
19．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
十七、分式的基本性质（共1小题）
20．如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍
十八、分式的加减法（共2小题）
21．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
22．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(2)若分式的值为整数，求x的整数值．
十九、等式的性质（共1小题）
23．下列等式变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则 B．若a＝b，则3a＝3b
C．若a＝b，则ax＝bx D．若a＝b，则
二十、二元一次方程的解（共1小题）
24．若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　 　．
二十一、一元二次方程的定义（共1小题）
25．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
二十二、一元二次方程的一般形式（共1小题）
26．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x
二十三、根的判别式（共1小题）
27．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C． D．且k≠1
二十四、由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
28．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
二十五、分式方程的解（共1小题）
29．已知关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值为（　　）
A．m＝1 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝1或m＝4
二十六、解分式方程（共1小题）
30．解分式方程：＝﹣．
二十七、不等式的性质（共1小题）
31．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　）
A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2
二十八、一元一次不等式组的整数解（共1小题）
32．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二十九、坐标与图形性质（共1小题）
33．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
(1)求点C到x轴的距离；
(2)求△ABC的面积；
(3)点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
三十、一次函数的性质（共1小题）
34．在一次函数y＝﹣x+3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，则这样的点P共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
三十一、一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
35．如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是　　．
三十二、一次函数与一元一次不等式（共1小题）
36．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
三十三、一次函数的应用（共2小题）
37．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？
(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
38．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)请直接写出快、慢两车的速度；
(2)求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；
(3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．
三十四、一次函数综合题（共1小题）
39．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
(1)求k、b的值；
(2)若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
(3)将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
三十五、反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
40．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为　　 ．
三十六、二次函数的图象（共1小题）
41．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
三十七、二次函数图象与系数的关系（共1小题）
42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　．（填写正确结论的序号）
三十八、抛物线与x轴的交点（共1小题）
43．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
三十九、二次函数综合题（共2小题）
44．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
45．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
四十、平行线的性质（共1小题）
46．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　）
A．42°、138° B．都是10°
C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
四十一、三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
47．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2．
四十二、三角形内角和定理（共1小题）
48．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　　 ；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　　 ．
四十三、全等三角形的判定与性质（共1小题）
49．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
(1)求∠APO+∠DCO的度数；
(2)求证：AC＝AO+AP．
四十四、含30度角的直角三角形（共1小题）
50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
四十五、直角三角形斜边上的中线（共1小题）
51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝4∠BCD，点E是斜边AB的中点．则∠DCE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．54°
四十六、三角形中位线定理（共1小题）
52．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　 　．
四十七、平行四边形的判定与性质（共1小题）
53．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
(1)当t＝3时，BP＝　　；
(2)当t＝　　时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
(4)当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
四十八、菱形的判定与性质（共1小题）
54．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
四十九、矩形的性质（共2小题）
55．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
56．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
五十、正方形的性质（共2小题）
57．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．
58．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
(1)若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；
(2)如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
五十一、梯形（共1小题）
59．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为（　　）
A． B． C．2.5 D．2.3
五十二、四边形综合题（共1小题）
60．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示OP，OQ；是否存在t，使得PQ与AC平行？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
(2)求△POQ面积的最大值．
(3)如图，将△POQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，且点D的坐标（1，3），求t的值．
五十三、圆的认识（共1小题）
61．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　　个．
五十四、垂径定理（共1小题）
62．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
五十五、圆周角定理（共7小题）
63．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　）
A．45° B．60° C．45° 或135° D．60° 或120°
64．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（　　）
A． B． C． D．
65．如图，半圆的半径OC＝2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC＝CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE＝2，则弦BD的长为　　 ．
66．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为 　 　．
67．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
68．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
(1)求四边形AEOF的面积．
(2)设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围．
69．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝15°，OE＝2．
(1)求⊙O的半径；
(2)将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　 　．
五十六、点与圆的位置关系（共1小题）
70．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
五十七、切线的判定与性质（共4小题）
71．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
(1)求证：DH是圆O的切线；
(2)若＝，求证：A为EH的中点．
(3)若EA＝EF＝1，求圆O的半径．
72．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
73．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
74．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
(1)求证：BF与⊙O相切；
(2)若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．
五十八、扇形面积的计算（共2小题）
75．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
76．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ODE＝30°，BE＝1，则图中阴影部分的面积为　 　．
五十九、圆的综合题（共1小题）
77．如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．
(1)求证：AH是⊙O的切线；
(2)若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；
(3)若＝，求证：CD＝DH．
六十、利用轴对称设计图案（共1小题）
78．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　　 （结果用含a，b代数式表示）．
六十一、轴对称-最短路线问题（共2小题）
79．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
80．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
六十二、坐标与图形变化-平移（共1小题）
81．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．8
六十三、旋转的性质（共2小题）
82．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
83．阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　；
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
(3)能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
六十四、中心对称（共1小题）
84．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
六十五、中心对称图形（共1小题）
85．如所示图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
六十六、相似三角形的判定（共1小题）
86．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　 　s时△APR∽△PRQ．
六十七、相似三角形的判定与性质（共5小题）
87．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
88．如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）
A．16 B．17 C．24 D．25
89．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM＝AD+MC；②AM＝DE+BM；③DE2＝AD CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
90．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
(1)AG平分∠BAC；
(2)EF CG＝DF BG．
91．某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE＝　　cm，EF＝　　cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG＝BF．
你的任务：
(1)填充甲同学所得结果中的数据；
(2)写出在乙同学所得结果的求解过程；
(3)当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG＝BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF＝x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？
六十八、相似形综合题（共1小题）
92．(1)如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）
(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；
(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．
六十九、解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
93．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　）
A．5cosα B． C．5sinα D．
七十、总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
94．为了解某校480名八年级学生的睡眠时间，从中抽取80名学生进行调查，下列说法正确的是（　　）
A．480名学生是总体 B．样本容量是80名
C．每名学生是个体 D．80名学生的睡眠时间是总体的一个样本
七十一、算术平均数（共3小题）
95．x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　）
A．a+b B． C． D．
96．小明等五名同学四月份参加某次数学测验的成绩如下：100、100、x、x、80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为 　 　．
97．荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，下表图是荆州古城某历史景点一周的抽样统计参观人数和门票价格．
星期 一 二 三 四 五 六 日
人数 100 120 100 100 160 230 240
(1)把上表中一周的参观人数作为一个样本，直接指出这个样本的中位数，众数和平均数，分析表中数据还可得到一些信息，如双休日参观人数远远高于平时等，请你尝试再写出两条相关信息；
(2)若“五 一”黄金周有甲，乙两个旅行团到该景点参观，两团人数之和恰为上述样本数据的中位数，乙团不超过50人，设两团分别购票共付W元，甲团人数x人，①求W与x的函数关系式；②若甲团人数不超过100人，请说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少元？
七十二、众数（共1小题）
98．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．
(1)这组数据的中位数是　 ，众数是　 　；
(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；
(3)若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．
七十三、列表法与树状图法（共2小题）
99．点P的坐标是（m，n），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（　　）
A． B． C． D．
100．小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确．其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分．小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．
(1)对于剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率；
(2)从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
七十四、利用频率估计概率（共1小题）
101．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
其中合理的是（　　）
A．① B．② C．①② D．①③
中考数学易错题强化（101道题、74个题型）解析版
目录
一、相反数（共1小题） 37
二、绝对值（共2小题） 37
三、非负数的性质：绝对值（共1小题） 37
四、平方根（共1小题） 37
五、算术平方根（共1小题） 38
六、立方根（共2小题） 38
七、无理数（共1小题） 38
八、实数与数轴（共2小题） 39
九、估算无理数的大小（共1小题） 39
十、整式的加减（共1小题） 39
十一、同底数幂的乘法（共1小题） 40
十二、幂的乘方与积的乘方（共1小题） 40
十三、完全平方公式的几何背景（共1小题） 41
十四、完全平方式（共1小题） 42
十五、分式有意义的条件（共1小题） 42
十六、分式的值为零的条件（共1小题） 42
十七、分式的基本性质（共1小题） 42
十八、分式的加减法（共2小题） 43
十九、等式的性质（共1小题） 44
二十、二元一次方程的解（共1小题） 44
二十一、一元二次方程的定义（共1小题） 44
二十二、一元二次方程的一般形式（共1小题） 45
二十三、根的判别式（共1小题） 45
二十四、由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 45
二十五、分式方程的解（共1小题） 46
二十六、解分式方程（共1小题） 46
二十七、不等式的性质（共1小题） 46
二十八、一元一次不等式组的整数解（共1小题） 47
二十九、坐标与图形性质（共1小题） 47
三十、一次函数的性质（共1小题） 48
三十一、一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 49
三十二、一次函数与一元一次不等式（共1小题） 49
三十三、一次函数的应用（共2小题） 50
三十四、一次函数综合题（共1小题） 52
三十五、反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 55
三十六、二次函数的图象（共1小题） 56
三十七、二次函数图象与系数的关系（共1小题） 57
三十八、抛物线与x轴的交点（共1小题） 58
三十九、二次函数综合题（共2小题） 58
四十、平行线的性质（共1小题） 64
四十一、三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 65
四十二、三角形内角和定理（共1小题） 65
四十三、全等三角形的判定与性质（共1小题） 66
四十四、含30度角的直角三角形（共1小题） 68
四十五、直角三角形斜边上的中线（共1小题） 69
四十六、三角形中位线定理（共1小题） 69
四十七、平行四边形的判定与性质（共1小题） 70
四十八、菱形的判定与性质（共1小题） 73
四十九、矩形的性质（共2小题） 74
五十、正方形的性质（共2小题） 75
五十一、梯形（共1小题） 78
五十二、四边形综合题（共1小题） 79
五十三、圆的认识（共1小题） 81
五十四、垂径定理（共1小题） 82
五十五、圆周角定理（共7小题） 83
五十六、点与圆的位置关系（共1小题） 89
五十七、切线的判定与性质（共4小题） 90
五十八、扇形面积的计算（共2小题） 97
五十九、圆的综合题（共1小题） 99
六十、利用轴对称设计图案（共1小题） 100
六十一、轴对称-最短路线问题（共2小题） 100
六十二、坐标与图形变化-平移（共1小题） 102
六十三、旋转的性质（共2小题） 103
六十四、中心对称（共1小题） 106
六十五、中心对称图形（共1小题） 107
六十六、相似三角形的判定（共1小题） 108
六十七、相似三角形的判定与性质（共5小题） 109
六十八、相似形综合题（共1小题） 115
六十九、解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 117
七十、总体、个体、样本、样本容量（共1小题） 117
七十一、算术平均数（共3小题） 118
七十二、众数（共1小题） 119
七十三、列表法与树状图法（共2小题） 120
七十四、利用频率估计概率（共1小题） 121
一、相反数（共1小题）
1．﹣5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C．0.2 D．﹣0.2
【答案】A
【解析】解：﹣5的相反数是：5．故选：A．
二、绝对值（共2小题）
2．2024的绝对值是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意得，|2024|＝2024．故选：B．
3．若ab＞0，则++的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1
【答案】D
【解析】解：因为ab＞0，所以a，b同号．
①若a，b同正，则++＝1+1+1＝3；
②若a，b同负，则++＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
故选：D．
三、非负数的性质：绝对值（共1小题）
4．已知，|a﹣2|+|b+3|＝0，则ba＝　 　．
【答案】9
【解析】解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
则ba＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
四、平方根（共1小题）
5．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝　　，这个正数是　　．
【答案】﹣1；9
【解析】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得：a＝﹣1．
则这个数是（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
故答案为：﹣1；9
五、算术平方根（共1小题）
6．的算术平方根是（　　）
A． B． C．±2 D．2
【答案】B
【解析】解：＝2，2的算术平方根是．故选：B．
六、立方根（共2小题）
7．的平方根是　 　；16的算术平方根是　 　；27的立方根是　 　．
【答案】±2；4；3
【解析】解：＝4，4的平方根是±2；
16的算术平方根是4；
27的立方根是3．
故答案为：±2；4；3．
8．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是　 　．
【答案】2
【解析】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，
∴，
解方程得：．
∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
七、无理数（共1小题）
9．在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：＝4，
无理数有，π，共有2个，
故选：B．
八、实数与数轴（共2小题）
10．如图，在数轴上，点A到点C的距离与点B到点A的距离相等，A，B两点所对应的实数分别是﹣和1，则点C对应的实数是　 　．
【答案】2+
【解析】解：∵A，B两点所对应的实数分别是﹣和1，
∴AB＝1+，
又∵CA＝AB，
∴OC＝OA+AC＝2+，
∴点C对应的实数是2+，
故答案为：2+．
11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则﹣|a﹣b|＝　 　．
【答案】﹣b
【解析】解：根据数轴可得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
则﹣|a﹣b|＝﹣a﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b+a＝﹣b，
故答案为：﹣b．
九、估算无理数的大小（共1小题）
12．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝　 　．
【答案】﹣17
【解析】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分＝3，小数部分为 ﹣3，
则（﹣a）3+（b+3）2＝（﹣3）3+（﹣3+3）2＝﹣27+10＝﹣17．
故答案为：﹣17．
十、整式的加减（共1小题）
13．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（　　）
A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b
【答案】B
【解析】解：根据题意得：2[a﹣b+（a﹣3b）]＝4a﹣8b．
故选：B．
十一、同底数幂的乘法（共1小题）
14．已知x+y﹣3＝0，则2y 2x的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．8
【答案】D
【解析】解：∵x+y﹣3＝0，
∴x+y＝3，
∴2y 2x＝2x+y＝23＝8，
故选：D．
十二、幂的乘方与积的乘方（共1小题）
15．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：
＝
＝
＝1×
＝．
故选：A．
十三、完全平方公式的几何背景（共1小题）
16．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式　 　．
(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
(3)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　．
(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　 　．
【解析】解：(1)∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
(2)证明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
(3)a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案为：30；
(4)由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案为：156．
十四、完全平方式（共1小题）
17．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
【答案】B
【解析】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴2m＝±6，
∴m＝±3，
故选：B．
十五、分式有意义的条件（共1小题）
18．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】见试题解析内容
【解析】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
十六、分式的值为零的条件（共1小题）
19．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
【答案】B
【解析】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
十七、分式的基本性质（共1小题）
20．如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（　　）
A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍
【答案】C
【解析】解：∵分式中的a，b都同时扩大2倍，
∴＝，
∴该分式的值扩大2倍．
故选：C．
十八、分式的加减法（共2小题）
21．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【解析】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤＜1
故表示﹣的值的点落在②
故选：B．
22．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(2)若分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】见试题解析内容
【解析】解：(1)由题可得，＝＝2﹣；
(2)＝＝＝x﹣1+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
十九、等式的性质（共1小题）
23．下列等式变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则 B．若a＝b，则3a＝3b
C．若a＝b，则ax＝bx D．若a＝b，则
【答案】D
【解析】解：根据等式的性质可知：
A．若a＝b，则＝．正确；
B．若a＝b，则3a＝3b，正确；
C．若a＝b，则ax＝bx，正确；
D．若a＝b，则＝（m≠0），所以原式错误．
故选：D．
二十、二元一次方程的解（共1小题）
24．若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　 　．
【答案】2
【解析】解：把代入方程2x+y＝0，得2a+b＝0，
∴6a+3b+2＝3（2a+b）+2＝2．
故答案为：2．
二十一、一元二次方程的定义（共1小题）
25．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
【答案】C
【解析】解：由一元二次方程的定义可知，
解得m＝﹣3．
故选：C．
二十二、一元二次方程的一般形式（共1小题）
26．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x
【答案】C
【解析】解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4，
去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4，
移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0，
其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．
故选：C．
二十三、根的判别式（共1小题）
27．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C． D．且k≠1
【答案】B
【解析】解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；
②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：B．
二十四、由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
28．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
【答案】B
【解析】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100（1+x），
三月份生产机器为：100（1+x）2；
又知二、三月份共生产280台；
所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280．
故选：B．
二十五、分式方程的解（共1小题）
29．已知关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值为（　　）
A．m＝1 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝1或m＝4
【答案】D
【解析】解：去分母得：3﹣2x﹣9+mx＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝9，
当m﹣1＝0，即m＝1时，该整式方程无解；
当m﹣1≠0，即m≠1时，由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：3m﹣3＝9，
解得：m＝4，
综上，m的值为1或4，
故选：D．
二十六、解分式方程（共1小题）
30．解分式方程：＝﹣．
【解析】解：原方程即＝﹣，
两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1＝3（2x﹣1）﹣2（2x+1），
x+1＝6x﹣3﹣4x﹣2，
解得：x＝6．
经检验：x＝6是原分式方程的解．
∴原方程的解是x＝6．
二十七、不等式的性质（共1小题）
31．已知a＜b，下列不等式成立的是（　　）
A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2
【答案】C
【解析】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，B选项没有乘以同一个负数，故B错误；
C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b
∴m﹣a＞m﹣b，故C正确；
D、∵m2≥0，a＜b
∴am2≤bm2，故D错误；
故选：C．
二十八、一元一次不等式组的整数解（共1小题）
32．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．故选：B．
二十九、坐标与图形性质（共1小题）
33．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
(1)求点C到x轴的距离；
(2)求△ABC的面积；
(3)点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【解析】解：(1)∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
(2)∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
(3)设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴6×|y﹣3|＝6，
∴|y﹣3|＝2，
∴y＝1或y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
三十、一次函数的性质（共1小题）
34．在一次函数y＝﹣x+3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，则这样的点P共有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】解：设P点的坐标为（a，b ）则矩形OAPB的面积＝|a| |b|即|a| |b|＝
∵P点在直线y＝﹣x+3上
∴﹣a+3＝b
∴|a| |3﹣a|＝
(1)若a＞3，则|a| |3﹣a|＝a （a﹣3）＝，解得：a＝，a＝（舍去）
(2)若3＞a＞0，则|a| |3﹣a|＝a （3﹣a）＝，解得：a＝
(3)若a＜0，则|a| |3﹣a|＝﹣a （3﹣a）＝，解得：a＝（舍去），a＝．
∴这样的点P共有3个．
故选：B．
三十一、一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
35．如图，已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P（1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是5，则c的值是　　．
【答案】5
【解析】解：∵点P（1，）在“勾股一次函数”y＝的图象上，
∴，即a+b＝，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是5，
∴ab＝5，即ab＝10，
又∵a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
即∴（）2﹣2×10＝c2，解得c＝5，故答案为：5．
三十二、一次函数与一元一次不等式（共1小题）
36．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
【答案】B
【解析】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故选：B．
三十三、一次函数的应用（共2小题）
37．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？
(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【解析】解：(1)设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
，解得：．
∴大货车用8辆，小货车用7辆．
(2)y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）．
(3)由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，
解得：x≥5，
又∵3≤x≤8，
∴5≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，
k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小，
最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．
38．快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)请直接写出快、慢两车的速度；
(2)求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；
(3)两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．
【解析】解：(1)慢车的速度＝180÷（﹣）＝60千米/时，
快车的速度＝60×2＝120千米/时；
(2)快车停留的时间：﹣×2＝（小时），
+＝2（小时），即C（2，180），
设CD的解析式为：y＝kx+b，则
将C（2，180），D（，0）代入，得
，解得，
∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝﹣120x+420（2≤x≤）；
(3)相遇之前：120x+60x+90＝180，
解得x＝；
相遇之后：120x+60x﹣90＝180，
解得x＝；
快车从甲地到乙地需要180÷120＝小时，
快车返回之后：60x＝90+120（x﹣﹣），解得x＝，
综上所述，两车出发后经过或或小时相距90千米的路程．
三十四、一次函数综合题（共1小题）
39．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
(1)求k、b的值；
(2)若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
(3)将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：(1)∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，
∴，解得：k＝﹣1，b＝4；
(2)存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB OP＝＝8+8；
(3)分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；
②当BP＝PQ时，如图3，
∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4，
∴P（4+4，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4，
∴P（4﹣4，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．
三十五、反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
40．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为　　 ．
【答案】
【解析】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，
则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB＝∠OBA＝45°，
∴OA＝BA，∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∴∠AOM＝∠BAN，
∴△AOM≌△BAN，
∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k，
∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1
∴B（1+k，k﹣1），
∵双曲线y＝（x＞0）经过点B，
∴（1+k） （k﹣1）＝k，整理得：k2﹣k﹣1＝0，
解得：k＝（负值已舍去），故答案为：．
三十六、二次函数的图象（共1小题）
41．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
解法二：
①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；
②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；
故选：B．
三十七、二次函数图象与系数的关系（共1小题）
42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　．（填写正确结论的序号）
【答案】①③⑤
【解析】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a，
a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，
即a﹣2b+4c＞0，故②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），
当x＝﹣时，y＝0，即，
整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确；
∵b＝2a，
∴25a﹣20a+4c＝0，
∴5a+4c＝0，即c＝﹣a；
∵b＝2a，a+b+c＜0，
∴，
即3b+2c＜0，故④错误；
由二次函数的性质可知，当x＝﹣1时，y取最大值，
∴对任意﹣m的值，满足a﹣b+c≥am2﹣bm+c，
整理得，a﹣b≥m（am﹣b）；
故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
三十八、抛物线与x轴的交点（共1小题）
43．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
【答案】D
【解析】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，
当22﹣4（k﹣3）≥0，
k≤4
即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．
综上k的取值范围是k≤4．
故选：D．
三十九、二次函数综合题（共2小题）
44．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
【解析】解：(1)∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
(2)解法一：作点B关于y轴的对称点B'，作射线B'C交抛物线于点D，
∵B的坐标为（4，0），
∴B'（﹣4，0），
∴直线B'C的解析式为：y＝x+3，
则﹣x2+x+3＝x+3，
解得：x1＝0（舍），x2＝2，
∴D（2，）；
如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，
过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，
∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，
∴∠DCH＝∠ABC，
∵∠DHC＝∠COB＝90°，
∴△DCH∽△CBO，∴，
设点D的横坐标为t，则，
∵C（0，3），∴，
∵点B是y＝﹣+x+3与x轴的交点，
∴，解得x1＝4，x2＝﹣1，
∴B的坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴，
解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴点D的纵坐标为：，
则点D坐标为；
(3)设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设N（m，﹣m+3），
分两种情况：
①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形，
∵D（2，），F（0，），
∴M（m+2，﹣m+4），
代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4，
解得：m＝，
∴N（，3﹣）或（﹣，3+）；
②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形，
同理得：M（m﹣2，﹣m+2），
代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2，
解得：m＝4，
∴N（4+，﹣）或（4﹣，）；
③以DF为对角线时，设中点P的坐标为（1，4），
设M（t，﹣t2+t+3），N（n，﹣n+3），
∴，
此方程组无解，所以此种情况不成立；
综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）．
45．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．
(2)P（2，）或（3，4）．
(3)．
【解析】解：(1)将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．
(2)设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB＝×4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，
∴PN＝．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），
∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
(3)∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵＝＝，＝＝，
∴+＝．
设直线AB交y轴于点F．则F（0，），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），
由(2)可知，PG＝﹣n2+n﹣，
∴+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．
∵1＜n＜4，
∴当n＝时，+的最大值为．
四十、平行线的性质（共1小题）
46．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　）
A．42°、138° B．都是10°
C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
【答案】C
【解析】解：如图1，∵AB∥EF，∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2．
如图2，∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°
∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，
(1)两个角相等，则x＝4x﹣30°，
解得x＝10°，
4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°；
(2)两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°，
解得x＝42°，
4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°．
所以这两个角是42°、138°或10°、10°．
故选：C．
四十一、三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
47．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2．
【答案】1
【解析】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
四十二、三角形内角和定理（共1小题）
48．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　　 ；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　　 ．
【答案】17.5°；
【解析】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；
同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．
故答案为：17.5°，．
四十三、全等三角形的判定与性质（共1小题）
49．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
(1)求∠APO+∠DCO的度数；
(2)求证：AC＝AO+AP．
【解析】解：(1)连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，
在△OBD和△OCD中，，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴OB＝OC，
又∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
又∵∠BAC＝120°，
∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°；
(2)过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠HAO＝∠CAD＝60°，
又∵OH⊥BP，∴∠OHA＝90°，
∴∠HOA＝30°，∴AO＝2AH，
又∵BO＝PO，OH⊥BP，
∴BH＝PH，
又∵HP＝AP+AH，
∴BH＝AP+AH，
又∵AB＝BH+AH，
∴AB＝AP+2AH，
又∵AB＝AC，AO＝2AH，
∴AC＝AP+AO．
四十四、含30度角的直角三角形（共1小题）
50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【答案】(1)；
(2)或t＝1．
【解析】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
(1)当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
(2)若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
四十五、直角三角形斜边上的中线（共1小题）
51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝4∠BCD，点E是斜边AB的中点．则∠DCE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．54°
【答案】D
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝4∠BCD，
∴∠BCD＝∠ACB＝18°，
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BCD＝72°，
∵点E是斜边AB的中点，
∴CE＝BE＝AB，
∴∠B＝∠BCE＝72°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝54°，
故选：D．
四十六、三角形中位线定理（共1小题）
52．如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB＝12，AC＝22，则MP的长为　 　．
【答案】5
【解析】解：延长BP与AC相交于D，
因为∠BAP＝∠DAP，AP⊥BD，AP＝AP
所以△ABP≌△APD（ASA），
于是AB＝AD＝12，BP＝PD
又∵M是BC边的中点
故PM∥AC
所以PM＝DC＝×10＝5
故MP的长为5．
故答案为5．
四十七、平行四边形的判定与性质（共1小题）
53．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
(1)当t＝3时，BP＝　　；
(2)当t＝　　时，点P运动到∠B的角平分线上；
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
(4)当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【答案】(1)6；
(2)8；
(3)①S△ABP＝4t，（0＜t＜4）；
②S△ABP＝16，（4≤t≤6）；
③S△ABP＝﹣4t+40，（6＜t≤10）；
(4)t＝2或t＝3或t＝．
【解析】解：(1)BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
(2)作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
(3)根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
(4)当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE，
∴3×4＝5×PH+3×PC，
∴12＝8PH，
∴12＝8（2t﹣8），
解得t＝．
综上所述：t＝2或t＝3或t＝时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
四十八、菱形的判定与性质（共1小题）
54．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)AC的长为10．
【解析】(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴AF＝CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBF是菱形；
(2)解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，
∴AB AC＝40，
∴×8 AC＝40，
∴AC＝10，
∴AC的长为10．
四十九、矩形的性质（共2小题）
55．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故选：C．
56．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
【答案】(1)答案见解析；
(2)25．
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
(2)解：∵由(1)可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得：，
∴，
∴四边形BFDE的周长＝．
五十、正方形的性质（共2小题）
57．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．
【答案】+3
【解析】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故答案为：+3．
58．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
(1)若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；
(2)如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
(2)解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
(3)存在，
理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，
在△ADM与△BAE中，，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴DM＝AE，
由(2)AE＝EF，
∴DM＝EF，
∴四边形DMEF为平行四边形．
五十一、梯形（共1小题）
59．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为（　　）
A． B． C．2.5 D．2.3
【答案】D
【解析】解：延长AF、BC交于点G．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G．
又DF＝CF，∴△AFD≌△GFC．
∴AG＝2AF＝8，CG＝AD＝2.7．
∵AF⊥AB，AB＝6，
∴BG＝10．
∴BC＝BG﹣CG＝7.3．
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B．
∴∠EAG＝∠AGE．
∴AE＝GE．
∴BE＝BG＝5．
∴CE＝BC﹣BE＝2.3．
故选：D．
五十二、四边形综合题（共1小题）
60．将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示OP，OQ；是否存在t，使得PQ与AC平行？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
(2)求△POQ面积的最大值．
(3)如图，将△POQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，且点D的坐标（1，3），求t的值．
【解析】解：(1)∵O（0，0），A（6，0），C（0，3），
∴OA＝6，OC＝3，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝6，
∴B（6，3），
∵动点Q从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．
∴当点P的运动时间为t（秒）时，
AP＝t，OQ＝+t，
则OP＝OA﹣AP＝6﹣t；
存在，PQ与AC平行，
当时，PQ∥AC，
即，t＝；
(2)S△POQ＝＝＝﹣＝﹣，
∵Q运动到点C时，t＝3﹣＝，
P运动到点O时，t＝6，
∵﹣，
∴当0≤t≤时，S随t的增大而增大，
∴当t＝时，S的最大值为；
(3)∵D（1，3），
∴CD＝1，
设OQ＝a，则DQ＝a，CQ＝3﹣a，
在Rt△CQD中，CQ2+CD2＝DQ2，
∴（3﹣a）2+12＝a2，
a＝，
∵OQ＝t+＝，t＝1．
五十三、圆的认识（共1小题）
61．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　　个．
【答案】4
【解析】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，
设OC＝x，AC＝y，
∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，
∵△OAB的面积为18，
∴，则y＝，
∴，
解得x＝3或﹣3（舍），
∴OC＝3＞4，
∴4＜OP≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
解法二：设△AOB中OA边上的高为h，
则，即，
∴h＝6，
∵OB＝6，
∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，
∴AB＝6，图中OC＝3，
同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．
故答案为：4．
五十四、垂径定理（共1小题）
62．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】解：如图，连接OA，过O作OD⊥AB于D，
∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，
当OP⊥AB时OP有最小值，
则AD＝AB＝4cm，
由勾股定理得OD＝＝＝3cm，
∴当OP⊥AB时OP的最小值为3，
当OP与OA重合时P最大为5，
∴P在AD中间有3，4，5三个整数点，
在BD之间有4，5，两个整数点，
故P在AB上有5个整数点．故选：D．
五十五、圆周角定理（共7小题）
63．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（　　）
A．45° B．60°
C．45° 或135° D．60° 或120°
【答案】C
【解析】解：连接OA，OB，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠AOB＝90°，
若点P在优弧ADB上，则∠APB＝∠AOB＝45°；
若点P在劣弧AB上，
则∠APB＝180°﹣45°＝135°．
∴∠APB＝45°或135°．
故选：C．
64．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：
∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴＝；
设BE＝2x，则DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）；
连接BC，则∠ACB＝90°；
Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，则BC＝x；
在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x；
由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2，
即：72＝（10﹣3x）2+（x）2，
整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣；
由于x＜，故x＝﹣；
则DE＝5﹣2x＝2．
解法二：连接OD，OC，AD，
∵OD＝CD＝OC
则∠DOC＝60°，∠DAC＝30°
又AB＝7，BD＝5，∴AD＝2，
在Rt△ADE中，∠DAC＝30°，
所以DE＝2．故选：A．
65．如图，半圆的半径OC＝2，线段BC与CD是半圆的两条弦，BC＝CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE＝2，则弦BD的长为　　 ．
【答案】
【解析】 解：如图，连接OD，AD，
∵BC＝DC，BO＝DO，
∴∠BDC＝∠DBC，∠BDO＝∠DBO，
∴∠CDO＝∠CBO，
又∵OC＝OB＝OD，∴∠BCO＝∠DCO，即OC平分∠BCD，
又∵BC＝DC，∴BD⊥CO，
又∵AB是直径，∴AD⊥BD，∴AD∥CO，
又∵AE＝AO＝2，
∴AD＝CO＝1，
∴Rt△ABD中，BD＝＝＝．
故答案为：．
66．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为 　 　．
【答案】4
【解析】解：如图，连接OP，PC，OC，
∵OP+PC≥OC，OC＝5，PC＝3，
∴当点O，P，C三点共线时，OP最短，
如图，∵OA＝OB，∠APB＝90°，∴AB＝2OP，
当O，P，C三点共线时，
∵OC＝5，CP＝3，∴OP＝5﹣3＝2，
∴AB＝2OP＝4，故答案为：4．
67．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【答案】(1)△BDE为等腰直角三角形．证明过程见解析部分；
(2)BC＝8．
【解析】(1)解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
(2)解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．
∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．
∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
68．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE＝CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
(1)求四边形AEOF的面积．
(2)设AE＝x，S△OEF＝y，写出y与x之间的函数关系式，求x的取值范围．
【解析】解：(1)∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，
∴∠B＝∠OAF＝45°，OA＝OB，
又∵AE＝CF，AB＝AC，
∴BE＝AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S四边形AEOF＝S△AOB＝OB OA＝2．
(2)∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，且AB＝AC＝2，
y＝S△OEF＝S四边形AEOF﹣S△AEF＝2﹣AE AF＝2﹣x（2﹣x）
∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．
69．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝15°，OE＝2．
(1)求⊙O的半径；
(2)将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为　 　．
【解析】解：(1)∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
∴弧BC＝弧BD，∴∠BDC＝∠BOD，
而∠CDB＝15°，∴∠BOD＝2×15°＝30°，
在Rt△ODE中，∠DOE＝30°，OE＝2，
∴OE＝DE，OD＝2DE，
∴DE＝＝2，∴OD＝4，
即⊙O的半径为4；
(2)有4种情况：如图：
①如图1所示：∵OA＝OB，∠AOB＝30°，
∴∠OAB＝∠OBA＝75°，
∵CD⊥AB，AB是直径，∴弧BC＝弧BD，
∴∠CAB＝∠BOD＝15°，
∴∠CAB＝∠BAO+∠CAB＝15°+75°＝90°；
②如图2所示，∠CAD＝75°﹣15°＝60°；
③如图3所示：∠ACB＝90°；
④如图4所示：∠ACB＝60°；
故答案为：60°或90°．
五十六、点与圆的位置关系（共1小题）
70．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
【答案】B
【解析】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；
故选：B．
五十七、切线的判定与性质（共4小题）
71．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
(1)求证：DH是圆O的切线；
(2)若＝，求证：A为EH的中点．
(3)若EA＝EF＝1，求圆O的半径．
【解析】证明：(1)连接OD，如图1，
∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，
由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
(2)如图1，在⊙O中，∵∠E＝∠B，
∴由(1)可知：∠E＝∠B＝∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵＝，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△ODF，
∴＝＝，
设OD＝3x，AE＝2x，
∵AO＝BO，OD∥AC，
∴BD＝CD，
∴AC＝2OD＝6x，
∴EC＝AE+AC＝2x+6x＝8x，
∵ED＝DC，DH⊥EC，
∴EH＝CH＝4x，
∴AH＝EH﹣AE＝4x﹣2x＝2x，
∴AE＝AH，
∴A是EH的中点；
(3)如图1，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD＝∠EAF，
则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF+EF＝r+1，
∴BD＝CD＝DE＝r+1，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r+1，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（1+r）＝r﹣1，
∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，
∴△BFD∽△EFA，
∴，∴，
解得：r1＝，r2＝（舍），
综上所述，⊙O的半径为．
72．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为5，sinB＝，求ED的长．
【解析】(1)证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；
(2)解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由(1)知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中点，
∵sinB＝，
∴cosB＝，
在Rt△BMD中，BM＝BD cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC cosB＝，
∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．
73．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；
(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【答案】(1)直线BE与⊙O相切，理由见解析；
(2)DE的长为6．
【解析】解：(1)直线BE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切；
(2)解法一：设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由(1)得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6；
解法二：设⊙O的半径为r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴OA＝3，
∵AD∥OE，
∴＝，
∴＝，∴DE＝6，
∴DE的长为6．
74．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．
(1)求证：BF与⊙O相切；
(2)若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的长．
【解析】(1)证明：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠

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