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专题强化14　卫星的变轨和双星问题
[学习目标]　1.理解卫星变轨的原理，会分析卫星变轨前后物理量的变化(重难点)。2.知道航天器的对接问题的处理方法。3.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重难点)。
一、卫星的变轨和对接
1.变轨过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火　　　　(选填“加”或“减”)速，由于速度变　　　　，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火　　　　(选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。
2.变轨过程各物理量分析
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度
图中vⅢ　　　　vⅡB，vⅡA　　　　vⅠ(选填“>”“<”或“=”)。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度
从远地点到近地点线速度逐渐　　　　。
(3)两个不同轨道上的线速度
轨道半径越大，v越　　　，图中vⅠ　　　vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。
(4)不同轨道上运行周期T
根据开普勒第三定律=k知，内侧轨道的周期　　　　外侧轨道的周期，图中三个轨道周期关系：　　　　　　　　。
(5)两个不同轨道的“切点”处加速度
根据=ma得，同一点的加速度相同，图中aⅢ　　　　aⅡB，aⅡA　　　　aⅠ(选填“>”“<”或“=”)。
1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
例1　(多选)(2023·莆田市高一期末)“神舟十六号”载人飞船于2023年5月30日成功发射。如图，“神舟十六号”载人飞船发射后先在近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道a点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达b点时，再次点火进入圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是(　　)
A.飞船在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期
B.飞船在a处变轨要加速，在b处变轨也要加速
C.飞船在轨道Ⅰ上经过a点的加速度小于在轨道Ⅱ上经过a点的加速度
D.飞船在轨道Ⅱ上经过b点的速率小于在轨道Ⅲ上经过b点的速率
判断卫星变轨过程速度、加速度变化情况的思路
1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
4.判断卫星的加速度大小时，可根据a==G判断。
例2　(多选)(2023·北海市开学考)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接。以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动。且甲的轨道半径比乙小。如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是(　　)
A.在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙
B.甲可以通过增大速度来抬高轨道
C.在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大
D.返回地球后，月壤样品的重力比在月球表面时大
二、双星及多星问题
1.双星系统
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)特点
①两星围绕它们球心连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。
(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，=m2ω2r2。
2.多星系统
(1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如：
三星模型 四星模型
(2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。
(3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。
例3　(2023·福建省厦门一中模拟)厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的(　　)
A.角速度大于红矮星的角速度
B.线速度小于红矮星的线速度
C.轨道半径大于红矮星的轨道半径
D.向心力大小约为红矮星的2倍
例4　(2023·泰安市高一期中)宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星的距离均为L，三颗星绕中心点O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求：
(1)每颗恒星所受的万有引力的大小；
(2)每颗恒星运行的角速度大小。
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
　　　 　　　 　　　
答案精析
一、
1.(2)加　大　(3)加
2.(1)>　>　(2)增大　(3)小　>
(4)小于　TⅠ思考与讨论
1.不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，不会追上前面的航天器。
2.如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。
例1　BD　[根据开普勒第三定律可得，运行的轨道半径越大，周期越大，所以飞船在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期，故A错误；飞船在a处变轨和在b处变轨都是从低轨道变到高轨道，都需要加速，故B正确；飞船在轨道Ⅰ上经过a点和在轨道Ⅱ上经过a点时受到的万有引力相同，故加速度相等，故C错误；根据上述分析，飞船在b处变轨需要加速，所以飞船在轨道Ⅱ上经过b点的速率小于在轨道Ⅲ上经过b点的速率，故D正确。]
例2　BD　[对在圆轨道上运转的卫星，由=m得v=∝，故v甲>v乙，A错误；甲需增大速度才能做离心运动，与高轨道上的乙对接，B正确；在甲抬高轨道的过程中，由F=G知，r增大，F减小，C错误；地球表面重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，故相同的物体在地球上重力大，D正确。]
二、
例3　B　[双星系统中，由于两星在相同时间内转过的角度相等，则双星系统的角速度相等，即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度，A错误；根据=m1ω2r1，=m2ω2r2，解得=，即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意中子星质量大，可知，中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径，C错误；根据v=ωr可知，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度，B正确；双星系统中，由星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，D错误。]
例4　(1)G　(2)
解析　(1)任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，
解得F=G。
(2)每颗恒星运行的轨道半径R=Lcos 30°=L，
根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，
解得ω=。(共56张PPT)
DISIZHANG
第4章
专题强化14　卫星的变轨
和双星问题
1.理解卫星变轨的原理，会分析卫星变轨前后物理量的变化(重难点)。
2.知道航天器的对接问题的处理方法。
3.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重难点)。
学习目标
内容索引
一、卫星的变轨和对接
二、双星及多星问题
专题强化练
卫星的变轨和对接
一
1.变轨过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射
卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火____(选填“加”或“减”)速，
由于速度变____，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ
上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火____(选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。
加
大
加
2.变轨过程各物理量分析
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度
图中vⅢ____vⅡB，vⅡA____vⅠ(选填“>”“<”或“=”)。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度
从远地点到近地点线速度逐渐_____。
(3)两个不同轨道上的线速度
轨道半径越大，v越____，图中vⅠ____vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。
>
>
增大
小
>
(4)不同轨道上运行周期T
根据开普勒第三定律=k知，内侧轨道的周期_____外侧轨道的周期，图中三个轨道周期关系：____________。
(5)两个不同轨道的“切点”处加速度
根据=ma得，同一点的加速度相同，图中aⅢ____aⅡB，aⅡA____aⅠ(选填“>”“<”或“=”)。
小于
TⅠ=
=
1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？
思考与讨论
答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，不会追上前面的航天器。
2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？
答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。
　(多选)(2023·莆田市高一期末)“神舟十六号”载人飞船于2023年5月30日成功发射。如图，“神舟十六号”载人飞船发射后先在近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道a点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达b点时，再次点火进入圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是
A.飞船在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的
周期
B.飞船在a处变轨要加速，在b处变轨也要加速
C.飞船在轨道Ⅰ上经过a点的加速度小于在轨道Ⅱ上经过a点的加速度
D.飞船在轨道Ⅱ上经过b点的速率小于在轨道Ⅲ上经过b点的速率
例1
√
√
根据开普勒第三定律可得，运行的轨道半径越大，
周期越大，所以飞船在轨道Ⅰ上运行的周期小于
在轨道Ⅲ上运行的周期，故A错误；
飞船在a处变轨和在b处变轨都是从低轨道变到高
轨道，都需要加速，故B正确；
飞船在轨道Ⅰ上经过a点和在轨道Ⅱ上经过a点时受到的万有引力相同，故加速度相等，故C错误；
根据上述分析，飞船在b处变轨需要加速，所以飞船在轨道Ⅱ上经过b点的速率小于在轨道Ⅲ上经过b点的速率，故D正确。
判断卫星变轨过程速度、加速度变化情况的思路
1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
4.判断卫星的加速度大小时，可根据a==G判断。
总结提升
　(多选)(2023·北海市开学考)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接。以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动。且甲的轨道半径比乙小。如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是
A.在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙
B.甲可以通过增大速度来抬高轨道
C.在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大
D.返回地球后，月壤样品的重力比在月球表面时大
例2
√
√
对在圆轨道上运转的卫星，由=m得v=∝
返回
，故v甲>v乙，A错误；
甲需增大速度才能做离心运动，与高轨道上的乙对
接，B正确；
在甲抬高轨道的过程中，由F=G知，r增大，F减小，C错误；
地球表面重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，故相同的物体在地球上重力大，D正确。
双星及多星问题
二
1.双星系统
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
(2)特点
①两星围绕它们球心连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。
(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，=m2ω2r2。
2.多星系统
(1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如：
三星模型 四星模型


(2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。
(3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。
　(2023·福建省厦门一中模拟)厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的
A.角速度大于红矮星的角速度
B.线速度小于红矮星的线速度
C.轨道半径大于红矮星的轨道半径
D.向心力大小约为红矮星的2倍
例3
√
双星系统中，由于两星在相同时间内转过的角度
相等，则双星系统的角速度相等，即中子星绕O
点运动的角速度等于红矮星的角速度，A错误；
根据=m1ω2r1，=m2ω2r2，解得=，即星体质量越大，轨道半径越小，根据题意中子星质量大，可知，中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径，C错误；
根据v=ωr可知，双星系统角速度相等，中子星的轨道半径小一些，则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度，B正确；
双星系统中，由星体之间的万有引力提供向心力，可知，中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小，D错误。
　(2023·泰安市高一期中)宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星的距离均为L，三颗星绕中心点O做匀速
圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常
量为G，三颗恒星均可视为质点。求：
(1)每颗恒星所受的万有引力的大小；
例4
答案　G　
任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。
(2)每颗恒星运行的角速度大小。
答案　
每颗恒星运行的轨道半径R=Lcos 30°=L，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。
返回
专题强化练
三
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B ACD B D BD 2∶1　1∶1
题号 7 8 9 10 11 12
答案 CD A AB B (1)2π　(2)1.01 B
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考点一　卫星的变轨和对接问题
1.1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的线速度大小分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则
A.v1>v2，v1= B.v1>v2，v1>
C.v1
√
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基础对点练
答案
根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地
点画出近地圆轨道，如图所示，由=
可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v=，由于“东方红一号”卫星从半径为r的圆轨道变轨到图示的椭圆轨道时应做离心运动，在近地点需要加速，所以v1>，故选B。
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答案
2.(多选)(2023·海南卷)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是
A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B.飞船在1轨道周期大于2轨道周期
C.飞船在1轨道速度大于2轨道
D.飞船在1轨道加速度大于2轨道
√
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√
√
答案
飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2，需要点
火加速做离心运动才能完成，故A正确；
由=m=mr=ma可得a=，v=，T=
2π可知，飞船在1轨道的速度大于在2轨道的速度，在1轨道的周期小于在2轨道的周期，在1轨道的加速度大于在2轨道的加速度，故C、D正确，B错误。
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答案
3.(2023·漳州市统考)2022年11月，“天舟五号”货运飞船仅用2小时就与“天宫”空间站快速交会对接，创造了世界纪录。飞船从预定轨道Ⅰ的A点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ，与空间站实现对接，假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为圆轨道，不计飞船质量的变化，则飞船
A.在轨道Ⅰ的线速度大于第一宇宙速度
B.在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期
C.第一次变轨需瞬间加速，第二次变轨需瞬间减速
D.从椭圆轨道Ⅱ的A点运动到B点，动能增加
√
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答案
第一宇宙速度是近地卫星的最大环绕速度，
近地卫星的轨道半径近似等于地球半径，
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根据G=m，解得v=，由于轨道Ⅰ
的半径大于地球半径，则在轨道Ⅰ的线速度小于第一宇宙速度，A错误；
根据G=m，解得T=2π，由于轨道Ⅰ的半径小于空间站的半径，可知在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期，B正确；
答案
第一次变轨与第二次变轨均是由低轨道运行到高轨道，则均需要在切点位置加速，C错误；
从椭圆轨道Ⅱ的A点运动到B点，速度减小，动能减小，D错误。
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答案
考点二　双星及多星问题
4.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是
A.两颗星有相同的角速度
B.两颗星的运动半径与质量成反比
C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比
D.两颗星的线速度大小与质量成正比
√
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答案
双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。
双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确；
由mrω2=MRω2可知两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确；
两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确；
根据v=rω可知，两星的角速度相等，而运动半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。
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答案
5.(多选)(2023·福建仙游县华侨中学高一期中)宇宙恒星中有许多双星系统，非常美丽，如图所示，为某星系的某一双星系统。质量分别为m1和m2的恒星绕着中心一点旋转。两颗恒星到中心点的距离分别为x1和x2，两颗恒星距离为L，下列说法正确的是
A.两颗恒星的周期各不相同
B.质量更大的恒星距离中心点更近
C.恒星的质量和距中心的距离满足m1x2=m2x1
D.两颗恒星的速度之和满足v1+v2=ωL
√
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√
答案
两颗恒星连线始终过中心点，运动周期相同，
故A错误；
根据G=m1x1，G=m2x2，联立
解得m1x1=m2x2可知，质量越大，恒星距离中
心点更近，故B正确，C错误；
由于两颗恒星运动周期相同，则角速度相同，根据v=ωr，可得v1=ωx1，v2=ωx2，则v1+v2=ω(x1+x2)=ωL，故D正确。
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答案
6.(2023·福建闽侯县第一中学高一月考)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者的连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。已知在某一“双星”系统中，两星球的质量比为1∶2，则其轨道的半径之比R1∶R2=　　　，角速度之比ω1∶ω2=　　　。
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2∶1
1∶1
“双星”系统中，两星球靠相互间的万有引力提供向心力，两星球角速度相等，根据G=m1ω2R1=m2ω2R2，m1∶m2=1∶2，可得R1∶R2
=2∶1。
答案
7.(多选)(2023·福建莆田市高二开学考)某一双星系统如图所示，双星之间的距离为L，其中靠近O点的星球质量为m1，轨道的半径为r1，另一个星球的质量为m2，轨道的半径为r2。引力常量为G，两星和O点在同一直线上，角速度为ω，下列说法正确的是
A.m1r2=m2r1 B.m1C.ω= D.m1+m2=
√
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能力综合练
√
答案
根据万有引力提供向心力有G=m1ω2r1，G
=m2ω2r2，整理得m1r1=m2r2，故A错误；
由题图可知r1m2，故B错误；
根据万有引力提供向心力有G=m1ω2r1，G=m2ω2r2，由题意知L=r1+r2，可得ω=，故C正确；
由C可知m1+m2=，故D正确。
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12
答案
8.(2023·福建福清市第一中学高一期末)北京时间2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星。这颗卫星属地球静止轨道卫星，是我国北斗三号工程的首颗备份卫星。其绕地飞行经历变轨到静止轨道过程可简化为如图所示，Ⅰ为近地轨道(轨道半径可视为等于地球半径)，Ⅱ为与轨道Ⅰ、Ⅲ相切的椭圆转移轨道，P、Q为切点，Ⅲ为轨道半径为r的静止轨道。已知地球半径为R，其自转周期为T。则北斗导航卫星
A.需要在P点点火加速才能由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅱ运行经过Q点的加速度大于沿轨道Ⅲ运行经过Q点的
加速度
C.沿轨道Ⅱ从P运动到对接点Q过程中，动能不断增大
D.沿轨道Ⅱ运行的周期为T()3
√
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答案
由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需点火加速做离心运动，
故A正确；
根据=ma，解得a=，可得在轨道Ⅲ经过
Q点时的加速度等于在轨道Ⅱ经过Q点时的加速度，故B错误；
卫星在轨道Ⅱ上从P运动到对接点Q过程中，卫星与地球的距离增加，万有引力减小，引力做负功，动能减小，故C错误；
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根据开普勒第三定律得=，解得T1=T，故D错误。
答案
9.(多选)(2023·福建厦门市高一期末)2023年6月15日，长征二号丁运载火箭成功将41颗卫星准确送入预定轨道。如图所示火箭在圆轨道稳定运行时，某时质量相等的a、b两颗卫星在P点同时“下车”，“下车”时两卫星速度相等，接着a、b同时点火启动发动机，分别沿运动方向加速和减速，极短时间后关闭发动机，之后a、b各自绕地球沿椭圆轨道运动。忽略卫星的质量变化，则
A.刚“下车”时，两卫星加速度大小相等
B.变轨后a卫星机械能比b的大
C.变轨后a卫星先返回P点
D.变轨后a、b与地心连线在相等时间内扫过的面积相等
√
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√
答案
根据题意，由万有引力提供向心力有=ma，解得
a=，由于刚“下车”时，两卫星的轨道半径相等，
则刚“下车”时，两卫星加速度大小相等，故A正确；
“下车"时两卫星速度相等，接着a、b同时点火启动发动机，a卫星加速，外力对a做正功，机械能增大，b卫星减速，外力对b做负功，机械能减小，故B正确；
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答案
根据题意，由万有引力提供向心力有=mr，
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解得T=，a卫星加速，做离心运动，半径变
大，周期变大，b卫星减速，做近心运动，半径减小，周期减小，则变轨后b卫星先返回P点，故C错误；
根据开普勒第二定律可知，在同一轨道上运动的卫星，与地心连线在相同的时间内扫过的面积相同，而不同轨道间不满足该条件，故D错误。
答案
10.(2023·湖北省高一期中)在地月系统中，若忽略其他天体的影响，可将地球和月球看成双星系统，即地球和月球在彼此引力作用下做匀速圆周运动。科学探测表明，月球上蕴藏着极其丰富的矿物质，设想人类开发月球，月球上的矿藏被不断地搬运到地球上，假设经过长时间开采后，地球和月球仍可以看作均匀球体，地球和月球之间的距离保持不变，地球质量约为月球的81倍，则
A.地球与月球之间的引力增大
B.地球与月球之间的引力减小
C.月球运动的周期增大
D.月球运动的周期减小
√
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答案
设月球质量为m，地球质量为M，月球与地球之间的距离为r，根据万有引力定律可得地月间的万有引力F=，由于不断把月球上的矿藏搬运到地球上，所以m减小，M增大。由数学知识可知m与M的和不变时，当m与M相接近时，它们之间的万有引力较大，当它们的质量之差逐渐增大时，m与M的乘积将减小，故地球与月球之间的万有引力值将减小，A错误，B正确；
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答案
设地球做圆周运动的半径为r1，月球做圆周运动的半径为r2，则地月间距离r=r1+r2，对于地球有G=Mr1，对于月球有G=mr2，可得双星系统的周期T=2π，由于地月总质量不变，地月间距不变，所以地球、月球运动的周期不变，故C、D错误。
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答案
11.(2023·南昌市高一期中)如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期；
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答案　2π　
答案
A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提
供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A、B和
O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因
此有mω2r=Mω2R，r+R=L，联立解得R=L，r=
L，对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得G=m·L，化简得T=2π。
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答案
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比。(结果保留3位有效数字)
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答案　1.01
答案
将地月看成双星，由(1)得T1=2π，将月球
看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有
引力定律得G=mL，化简得T2=2π，所以T2与T1两者平方之比为==≈1.01。
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答案
尖子生选练
12.(2023·泉州市高一期末)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。
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答案
设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期为T=4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离为L=R
D.三角形三星系统的线速度大小为v=
√
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答案
直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，
运动半径相同，由v=ωR，甲星和丙星的
线速度大小相等，方向不同，故A错误；
对甲星，由万有引力提供向心力得G+G=MR，得T=4πR，故B正确；
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答案
两种系统的运动周期相同，根据题意可
得，三角形三星系统中任意星体所受合
返回
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力为F=2cos 30°·G=G=Mr，
轨道半径r与边长L的关系为L=r，联立以上各式，解得L=R，故C错误；
三角形三星系统的线速度大小为v=，得v=·，故D错误。
答案

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