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第二课时　对数函数图象及其性质的应用
课标要求　1.进一步理解对数函数的图象和性质. 2.能运用对数函数的图象和性质解决比较大小,解决不等式、单调性、最值等问题.
一、对数函数图象的变换
例1 作出函数y=|log2(x+1)|的图象.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　(1)作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x≥0)的图象不变,x<0时,y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称.
(2)作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)在x轴及上方图象不变,把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
(3)有关对数函数的平移也符合“左加右减,上加下减”的规律.
(4)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
训练1 (1)函数f(x)=的大致图象为 (　　)
(2)作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、利用对数函数的性质比较大小
例2 (1)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)比较下列各组值的大小:
①lo0.5,lo0.6;
②log1.51.6,log1.51.4;
③log0.57,log0.67;
④log3π,log20.8.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量0或1,-1.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
训练2 (1)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则 (　　)
A.bC.c(2)若a=log67,b=log76,c=loπ,则 (　　)
A.aC.c三、利用对数函数的性质解不等式
例3 (链接教材P27例2)(1)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),满足f(a+1)>f(a+2),则f(2x2-x)>0的解集是 (　　)
A.(-∞,0)∪
B.
C.
D.∪(1,+∞)
(2)解关于x的不等式2loga(x-4)>loga(x-2).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　解简单对数不等式的方法技巧
(1)当a>1时,①logaf(x)>b f(x)>ab;
②logaf(x)>logag(x)
(2)当0b
②logaf(x)>logag(x)
提醒:解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件.
训练3 (1)不等式lo(2x+3)A.(-∞,3) B.
C.
(2)函数f(x)=lg(2x-b),若x≥1时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是 (　　)
A.a>1,c>1
B.a>1,0C.01
D.02.已知a=log45,b=,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.bC.c3.不等式log3(2x-1)≤1的解集为　　　　.
4.函数f(x)=的值域为　　　　.
第二课时　对数函数图象及其性质的应用
例1　解　第一步:作y=log2x的图象,如图(1)所示.
第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图象,如图(2)所示.
第三步:将y=log2(x+1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换,得y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
训练1　(1)A　[由题意,得f(-x)==f(x),
故函数f(x)为偶函数,故B,C错误;
因为2 023 ln <0,2 023x>0,2 023-x>0,
所以当x=时,
f<0,D错误,故选A.]
(2)解　先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).
例2　(1)D　[因为c=lo=log23>log2e=a.
因为b=ln 2=<1所以c>a>b.]
(2)解　①因为函数y=lox是减函数,
且0.5<0.6,所以lo0.6.
②因为函数y=log1.5x是增函数,且1.6>1.4,
所以log1.51.6>log1.51.4.
③因为0>log70.6>log70.5,
所以,
即log0.67④因为log3π>log31=0,
log20.8log20.8.
训练2　(1)D　(2)C　[(1)因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且3.6>2,
所以log23.6>log22=1,
因为函数y=log4x在(0,+∞)上是增函数,
且3.2<3.6<4,
所以log43.2所以log43.2(2)log67>log66=1,0=log71所以c例3　(1)C　[∵a+1而f(a+1)>f(a+2),
故f(x)在(0,+∞)上递减,
故00,
即0<2x2-x<1,
解得-(2)解　当a>1时,原不等式可化为
解得x>6.
当0原不等式可化为
解得4综上所述,
当a>1时,原不等式的解集为{x|x>6},
当0训练3　(1)D　(2)(-∞,1]　[(1)由题意可得
解得(2)f(x)=lg(2x-b)为增函数,且x≥1时,
f(x)≥0恒成立,
得
所以b≤1,即b的取值范围为(-∞,1].]
课堂达标
1.D　[由题意可知y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位长度得到的,结合图知02.D　[由题意,知a=log45>1,b==1,
c=log30.4<0,故c3.　[因为log3(2x-1)≤1,
所以0<2x-1≤31=3,所以所以不等式log3(2x-1)≤1的解集为.]
4.(-∞,2)　[当x≥1时,lo1=0,
所以当x≥1时,f(x)≤0,
当x<1时,0<2x<21,即0因此函数f(x)的值域为(-∞,2).](共48张PPT)
第二课时　对数函数图象及其性质的应用
第四章 4.2　对数与对数函数 4.2.3　对数函数的性质与图象
课标要求
1.进一步理解对数函数的图象和性质.
2.能运用对数函数的图象和性质解决比较大小，解决不等式、单调性、最值等问题.
课时精练
一、对数函数图象的变换
二、利用对数函数的性质比较大小
三、利用对数函数的性质解不等式
课堂达标
内容索引
对数函数图象的变换
一
例1
作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象.
第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示.
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示.
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，
得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示.
思维升华
训练1
√
先画出函数y＝lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y＝lg(x－1)的图象(如图②).
最后把y＝lg(x－1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变)，即得出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图③).
由图易知其定义域为(1，＋∞)，
值域为[0，＋∞)，单调递减区间为(1，2]，
单调递增区间为(2，＋∞).
利用对数函数的性质比较大小
二
例2
√
(2)比较下列各组值的大小：
③因为0>log70.6>log70.5，
思维升华
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同，找中间量0或1，－1.
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则
A.b＜a＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜c＜a
训练2
√
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，
所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，
所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.
√
利用对数函数的性质解不等式
三
例3
(链接教材P27例2)(1)已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，满足f(a＋1)＞f(a＋2)，则f(2x2－x)＞0的解集是
√
∵a＋1＜a＋2，而f(a＋1)＞f(a＋2)，
解得4当a>1时，原不等式的解集为{x|x>6}，
当0思维升华
思维升华
训练3
(1)不等式log(2x＋3)√
(2)函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是_________.
(－∞，1]
【课堂达标】
1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，且a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是
√
由题意可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位长度得到的，结合图知0A.a>1，c>1 B.a>1，0C.01 D.0√
3.不等式log3(2x－1)≤1的解集为________.
因为log3(2x－1)≤1，
(－∞，2)
所以当x≥1时，f(x)≤0，
当x<1时，0<2x<21，即0因此函数f(x)的值域为(－∞，2).
【课时精练】
√
1.函数f(x)＝logax(0A.0 B.1 C.2 D.a
∵0∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
√
2.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
∵a＝20.2>1>b＝log43.2>0>c＝－1，∴a>b>c.
√
A.nC.1√
4.(多选)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是
A中，y＝22－x，令t＝2－x，
√
∵t＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，∴t∈(－∞，2).
∵y＝2t在(－∞，2)上单调递增，
∴y＝22－x在(0，＋∞)上单调递减.
√
5.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是
A.x2C.x1分别作出三个函数的大致图象，如图所示.
由图可知，x26.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(2)，则a的取值范围为_________________.
作出函数f(x)的图象，如图所示，
7.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则a，b，c的大小关系为________.
∵1＝log55>log54>log53>log51＝0，
b∴1>a＝log54>log53>b＝(log53)2.
又∵c＝log45>log44＝1，∴c>a>b.
ba＝log2π>1，b＝logπ<0，c＝π－2∈(0，1)，所以a>c>b.
9.已知函数y＝f(x)与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2).
(1)求函数f(x)的解析式；
∵g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象过点(9，2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，
∴g(x)＝log3x.
又∵函数y＝f(x)与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围.
由(1)知f(3x－1)>f(－x＋5)，
先作出函数y＝lg x的图象， 再将图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，于是得f(x)＝|lg x|的图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增.
11.已知函数f(x)＝logax(0＜a＜1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为
√
f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)，定义域为R，又0＜a＜1，故函数在(0，＋∞)上单调递减，故排除B、C、D.
12.(多选)下列各式中正确的是
√
y＝log0.5x为减函数，
√
√
故log0.50.4＞log0.50.6，A正确；
而log0.32＜0，log23＞log22＝1，
∴B错误；由ln x与lg x的图象知C正确；
设u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9≤9，又u>0，∴0∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称.
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
作出函数图象如图所示.4.2.3　对数函数的性质与图象
第一课时　对数函数的图象与性质
课标要求　1.理解对数函数的概念,会求简单对数函数的定义域. 2.初步掌握对数函数的图象,并能借助图象总结出性质. 3.掌握不同的底数对图象位置的影响.
【引入】 同学们,还记得我们是如何研究指数函数的吗 实际上,研究对数函数的思路和指数函数的思路是一致的,我们可以用类比的方法来研究对数函数.
一、对数函数的概念
探究1 已知函数y=2x,那么反过来,x是否为关于y的函数
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
一般地,函数　　　　称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
例1 (1)下列给出的函数:
①y=log5x+1;②y=logax2(a>0且a≠1);
③y=logx;④y=log3;
⑤y=logx(x>0且x≠1);⑥y=lox.
其中是对数函数的为 (　　)
A.③④⑤ B.②④⑥
C.①③⑤⑥ D.③⑥
(2)设f(x)是对数函数,且f,那么f()=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判断一个函数是对数函数的方法
训练1 (1)(多选)下列函数是对数函数的是 (　　)
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=ln x D.y=lg x
(2)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=　　　　.
二、对数函数的图象
探究2 请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的函数图象.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y=log2x … …
y=x … …
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 在所画函数y=log2x和y=lox图象的基础上,再画出函数y=log3x和y=lox的图象,观察新画出的这两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征.通过上述过程,你发现了什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
对数函数的图象
y=logax(a>0且a≠1)
底数 a>1 0图象
温馨提示　(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故过定点(1,0).
(3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
例2 (1)如图所示,曲线是对数函数y=logax的图象,已知a值取,,,,则相应于C1,C2,C3,C4的a值依次为 (　　)
A.,,, ,,,
C.,,, ,,,
(2)函数y=loga(x-5)2+1(a>0,且a≠1)恒过点　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.函数y=logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响(如图)
左右比较:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
2.关于定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x0,即得定点为(x0,m).
训练2 (1)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则 (　　)
A.0C.a>b>1 D.b>a>1
(2)函数y=lg(x+1)的大致图象是 (　　)
三、对数函数的性质
探究4 通过观察函数y=log2x和y=lox的图象,分析性质,并完成下表:
函数 y=log2x y=lox
定义域
值域
单调性
最值
奇偶性
特殊点
y的变 换情况 当01时,　　 当01时,　　
对称性 y=log2x和y=lox的图象关于x轴对称
【知识梳理】
函数y=logax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域 　　　
值域 R
单调性 在(0,+∞)上是　　　函数 在(0,+∞)上是　　函数
过定点 图象过定点　　　　,即当x=1时,y=0
函数值 的变化 当x∈(0,1)时,y∈　　;当x∈[1,+∞)时,y∈　　 当x∈(0,1)时,y∈　　　　;当x∈[1,+∞)时,y∈　　　
对称性 函数y=logax与y=lox的图象关于　　　　对称
温馨提示　作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象,观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们的共性即是对数函数的性质.这也是研究函数性质的一般方法.
例3 (链接教材P27例3)求下列函数的定义域:
(1)f(x)=loga(3-x)+loga(3+x);
(2)f(x)=.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移 (变条件)把本例(1)中的函数改为y=loga(x+3)(x-3)呢
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0;
(2)根指数为偶数时,被开方数非负;
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
训练3 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为 (　　)
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)
(2)函数y=的定义域为　　　　.
【课堂达标】
1.函数f(x)=+lg(2x+1)的定义域是 (　　)
A.
C.
2.函数y=loga(3x-2)+2的图象必过定点 (　　)
A.(1,2) B.(2,2)
C.(2,3) D.
3.已知f(x)为对数函数,f=-2,则f()=　　　　.
4.若函数f(x)=log2(kx+n)+m-1是对数函数,则m=　　　　,k=　　　　,n=　　　　.
第一课时　对数函数的图象与性质
探究1　提示　由于y=2x是单调函数,所以对于任意y∈(0,+∞),都有唯一确定的x与之对应,故x也是关于y的函数,其函数解析式是x=log2y,此处y∈(0,+∞).
知识梳理
y=logax
例1　(1)D　(2)-　[(1)①中对数式后面加1,所以不是对数函数;②中真数不是自变量x,所以不是对数函数;③和⑥符合对数函数概念的三个特征,是对数函数;④不是对数函数;⑤中底数是自变量x,而非常数a,所以不是对数函数.故③⑥正确.
(2)设对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1).
由条件得loga,
即loga,
则a=.因此f(x)=lox,
所以f()=lo.]
训练1　(1)CD　(2)4　[(1)选项A,B中的函数都不具有“y=logax(a>0,a≠1)”的形式,只有C,D选项符合.
(2)由题意可知
解得a=4.]
探究2　提示　(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5　2　1　0　-1　-2　-3　-4　-5
(2)描点、连线.
探究3　提示　
(1)①函数 y=x的图象从左到右是下降的.
②函数y=log2x和y=lox的图象关于x轴对称,同样,函数y=log3x和y=lox的图象也关于x轴对称.
(2)这四个函数的定义域均为(0,+∞),值域为R,都过定点(1,0).
例2　(1)A　(2)(4,1)或(6,1)　[(1)过点(0,1)作平行于x轴的直线,与C1,C2,C3,C4的交点的坐标为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),其中a1,a2,a3,a4分别为各对数的底数,显然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2,C3,C4的底数值依次由大到小,故选A.
(2)令(x-5)2=1得,x=4或6,此时y=1,
所以函数过定点(4,1)或(6,1).]
训练2　(1)B　(2)C　[(1)作直线y=1(图略),
则直线y=1与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0(2)由底数大于1可排除A,B,y=lg(x+1)可看作是y=lg x的图象向左平移1个单位(或令x=0得y=0,而且函数为增函数).]
探究4　提示　(0,+∞)　(0,+∞)　R　R　增函数　减函数　无最值　无最值　非奇非偶函数　非奇非偶函数　(1,0)　(1,0)　y<0　y>0　y>0　y<0
知识梳理
(0,+∞)　增　减　(1,0)　(-∞,0)
[0,+∞)　(0,+∞)　(-∞,0]　x轴
例3　解　(1)由得-3∴函数的定义域是{x|-3(2)由题意有且x≠0,
则函数的定义域为∪(0,+∞).
迁移　解　(x+3)(x-3)>0,
即
解得x<-3或x>3.
∴函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3,或x>3}.
训练3　(1)C　(2)(-1,+∞)　[(1)由x2-x>0,解得x<0或x>1,
则定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
(2)由已知得解得x>-1.
所以函数的定义域为(-1,+∞).]
课堂达标
1.C　[由.]
2.A　[因为y=loga(3x-2)+2,
当3x-2=1,即x=1时,loga1=0,
所以y=2,
故图象必过定点(1,2).]
3.　[设f(x)=logax(a>0且a≠1),
则loga=-2,
∴,即a=,
∴f(x)=logx,
∴f()=log=log2()2=log2.]
4.1　1　0　[f(x)=log2(kx+n)+m-1是对数函数,应有k=1,n=0,m=1.](共58张PPT)
第四章 4.2　对数与对数函数 4.2.3　对数函数的性质与图象
第一课时　对数函数的图象与性质
课标要求
1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域.
2.初步掌握对数函数的图象，并能借助图象总结出性质.
3.掌握不同的底数对图象位置的影响.
引入
课时精练
一、对数函数的概念
二、对数函数的图象
三、对数函数的性质
课堂达标
内容索引
对数函数的概念
一
探究1 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
提示　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数解析式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞).
一般地，函数______________称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
知识梳理
y＝logax
例1
√
①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数.故③⑥正确.
设对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1).
判断一个函数是对数函数的方法
思维升华
(1)(多选)下列函数是对数函数的是
A.y＝loga(2x) B.y＝log22x
C.y＝ln x D.y＝lg x
训练1
√
√
选项A，B中的函数都不具有“y＝logax(a>0，a≠1)”的形式，只有C，D选项符合.
(2)若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.
4
对数函数的图象
二
知识梳理
对数函数的图象
y＝logax(a>0且a≠1)
底数 a>1 0图象
温馨提示
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1，0).
(3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
例2
√
过点(0，1)作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的坐标为(a1，1)，(a2，1)，(a3，1)，(a4，1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底数，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底数值依次由大到小，故选A.
(2)函数y＝loga(x－5)2＋1(a＞0，且a≠1)恒过点______________.
令(x－5)2＝1得，x＝4或6，此时y＝1，
(4，1)或(6，1)
所以函数过定点(4，1)或(6，1).
思维升华
1.函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响(如图)
左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
思维升华
2.关于定点问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x0，即得定点为(x0，m).
(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则
训练2
√
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
作直线y＝1(图略)，
则直线y＝1与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0(2)函数y＝lg(x＋1)的大致图象是
√
由底数大于1可排除A，B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数).
对数函数的性质
三
知识梳理
函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象和性质
a>1 0图象
(0，＋∞)
增
减
(1，0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
温馨提示
作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即是对数函数的性质.这也是研究函数性质的一般方法.
例3
(链接教材P27例3)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
迁移
(变条件)把本例(1)中的函数改为y＝loga(x＋3)(x－3)呢？
思维升华
求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
训练3
(1)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为
A.(0，1) B.[0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
由x2－x>0，解得x<0或x>1，
√
则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).
(－1，＋∞)
【课堂达标】
√
√
2.函数y＝loga(3x－2)＋2的图象必过定点
因为y＝loga(3x－2)＋2，
设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
4.若函数f(x)＝log2(kx＋n)＋m－1是对数函数，则m＝________，k＝________，
n＝________.
f(x)＝log2(kx＋n)＋m－1是对数函数，应有k＝1，n＝0，m＝1.
1
1
0
【课时精练】
√
1.(多选)下列函数为对数函数的是
A.y＝ln x B.y＝loga(2x)(a>0且a≠1)
C.y＝log(a－1)x(a>1且a≠2) D.y＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)
y＝loga(2x)(a>0且a≠1)的真数不符合对数函数定义，B错误；
√
√
2.函数y＝1＋loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点
A.(1，1) B.(1，0)
C.(2，1) D.(2，0)
解析　令x－1＝1，得x＝2，此时y＝1，故函数y＝1＋loga(x－1)的图象一定经过点(2，1).
√
√
4.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是
令g(x)＝log2(x＋1)，函数g(x)的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g(x)的图象，如图，
A.{x|－1C.{x|－1√
5.(多选)已知等式log2m＝log3n，m，n∈(0，＋∞)成立，那么下列结论：(1)m＝n；(2)n＜m＜1；(3)m＜n＜1；(4)1＜n＜m；(5)1＜m＜n；其中可能成立的是
A.(1)(2) B.(2)(5) C.(3)(4) D.(4)(5)
如图所示，
√
作出y＝log2x与y＝log3x的图象，作出直线y＝t，
当t＝0时，由logam＝logan＝0，得m＝n＝1；
当t>0时，由图知n>m>1，
当t<0时，由图知n④
7.若函数f(x)＝mlog2(kx)是对数函数，则m＝________，k＝________.
f(x)＝mlog2(kx)是对数函数，应有m＝1，k＝1.
1
1
－2，2
8.若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________.
函数过定点(3，2)，即3＋b＝1，
∴b＝－2，而loga1＝0，∴c＝2.
9.求下列函数的定义域：
10.已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，
即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
又f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x).∴函数f(x)是偶函数.
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)写出函数f(x)的单调区间.
(2)由(1)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，如图所示.
(3)由图可得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞).
√
12.(多选)如图是三个对数函数的图象，则
√
由对数函数图象得a＞1，0＜b，c＜1，
A.a＞1 B.0＜b＜1
C.2b＜2c＜2a D.c＜b
√
√
令y＝1，由logbb＝logcc＝1及已知图象得b＜c，所以b＜c＜a.
而y＝2x是增函数，所以2b＜2c＜2a.
(2)若00成立的x的取值范围.
由不等式f(f(x)－2)>0，
得loga(f(x)－2)>loga1，
又因为0可得0a＝(lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25＝(lg 2)2＋lg 2×lg (2×52)＋lg 52习题课　对数函数的综合问题
课标要求　1.掌握对数型函数的单调区间的求法及单调性的判断. 2.掌握对数函数在现实生活中的应用.3.掌握对数函数的综合性问题.
一、对数型函数的单调性
角度1　对数型函数的单调性问题
例1 (1)函数y=lo(-x2+5x-6)的单调增区间为　　　　.
(2)求函数y=(log2x)2-4log2x+9的单调区间.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　利用函数的单调性求参数的取值范围
例2 若函数f(x)=ln(x2-ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　)
　　　　　　　　　　 　　　　
A.(-∞,4] B.
C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　与对数相关的复合函数的单调性
(1)首先求出函数的定义域,再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间;
(2)若已知函数在某个区间上的单调性,则该区间为函数相应单调区间的子区间,从而求参数的范围.
微提醒:函数在某区间上单调,前提是在该区间上有意义,不能忽视其对参数范围的限制.
训练1 (1)函数f(x)=lo(x2+2x-3)的定义域是　　　　,单调增区间是　　　　.
(2)若函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为 (　　)
A.
C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、对数函数的实际应用
例2 (1)2020年春季蝗灾波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5%,最初有N0只.则经过　　　　天能达到最初的16 000倍(参考数据:ln 1.05≈0.048 8,ln 1.5≈0.405 5,ln 1 600≈7.377 8,ln 16 000≈
9.680 3).
(2)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
①写出该公司激励销售人员的奖励方案;
②如果业务员小王获得了3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　关于对数性质在实际问题中的应用
首先确定对数函数的解析式,再利用对数函数的单调性解决实际问题中与范围、最值、变化趋势等相关的问题.
微提醒:注意变量的实际意义及函数的定义域对自变量范围的限制.
训练2 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙.研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+log2(其中a是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位,若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,其耗氧量至少需要　　　　个单位.
三、对数函数性质的综合应用
例3 (1)已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
①求f(x)的定义域;
②判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(2)求下列函数的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo(3+2x-x2).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　解决综合性问题的关注点
(1)定义域意识:无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域,符合定义域是满足性质的前提;
(2)对数函数常与函数的性质:奇偶性、单调性、值域等性质综合考查;
(3)求y=logaf(x)的值域时,先令t=f(x),并求出t的范围,再利用对数函数的单调性求log2t的范围,即为logaf(x)的值域.
训练3 已知函数f(x)=log4.
(1)若f(a)=,求a的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)解不等式f(x)>0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.函数f(x)=lg(x2-2x-3)的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(3,+∞)
2.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 (　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
3.已知log0.3(3x)4.已知函数f(x)=lo(x2-ax+a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
习题课　对数函数的综合问题
例1　(1)　[由-x2+5x-6>0
得x∈(2,3),
由y=lot为减函数,
t=-x2+5x-6在上为减函数,
故函数的单调增区间为.]
(2)解　令t=log2x,且t=log2x在(0,+∞)上单调递增.
又y=t2-4t+9=(t-2)2+5在[2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上单调递减,
由t=log2x≥2得x≥4,
由t=log2x<2得0故所求函数的单调递增区间为[4,+∞),单调递减区间为(0,4).
例2　C　[设g(x)=x2-ax+1,
则要使f(x)=ln (x2-ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增,由复合函数单调性可得,
满足
即,
即实数a的取值范围是.]
训练1　(1)(-∞,-3)∪(1,+∞)　(-∞,-3)
(2)C　[(1)函数f(x)=lo(x2+2x-3),
由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,
即定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞);
t=x2+2x-3在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
y=lot在(0,+∞)单调递减,
因此函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3).
(2)由-x2+4x+5>0,即x2-4x-5<0,
解得-1二次函数y=-x2+4x+5的对称轴为x=2.
由复合函数单调性可得函数f(x)=lo(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
要使函数f(x)=lo(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
则(3m-2,m+2) (2,5),
即
解得≤m<2,故选C.]
例2　(1)199　[设过x天能达到最初的16 000倍,
由已知N0(1+0.05)x=16 000N0,
即1.05x=16 000,所以x=≈198.4,
又x∈N,所以过199天能达到最初的16 000倍.]
(2)解　①由题意得该公司激励销售人员的奖励方案为:
y=
②由①知,当0≤x≤10时,0≤0.15x≤1.5,
因为业务员小王获得3.5万元的奖金,即y=3.5,
所以x>10.因此1.5+2log5(x-9)=3.5,
解得x=14.
所以业务员小王的销售利润是14万元.
训练2　80　[由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s,此时耗氧量为20个单位,
故有a+log2=0,即a=-1.
所以v=-1+log2,
要使飞行速度不低于2 m/s,则有v≥2,
即-1+log2≥2,
也就是log2≥3,解得Q≥80,
即飞行的速度不低于2 m/s,
则其耗氧量至少要80个单位.]
例3　(1)解　①要使函数f(x)有意义,
则解得-2故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).
②f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),
设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),
且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),故f(x)为奇函数.
(2)解　①y=log2(x2+4)的定义域为R.
因为x2+4≥4,
所以log2(x2+4)≥log24=2.
所以y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
②设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4.
因为u>0,所以0又y=lou在(0,4]上为减函数,
所以lo4=-2,
所以y=lo(3+2x-x2)的值域为[-2,+∞).
训练3　解　(1)f(a)=log4,
所以=2,解得a=-3.
(2)由>0,得x<-1或x>1,
所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称,
f(-x)=log4=-log4=-f(x).
所以f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)=log4>0,
所以>1,即>0,
解得x<-1,
所以不等式的解集为(-∞,-1).
课堂达标
1.A　[令x2-2x-3>0,
所以(x-3)(x+1)>0,
所以x<-1或x>3,
所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞).
令u=x2-2x-3,u=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,
函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1).]
2.A　[因为3x+1>1,且f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以log2(3x+1)>log21=0,
故该函数的值域为(0,+∞).]
3.　[因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上单调递减,所以原不等式等价于.]
4.(-∞,4]　[令t=x2-ax+a,
则函数f(x)在区间(2,+∞)上是减函数,
可得函数t在区间(2,+∞)上是增函数,
且t(2)≥0,所以
解得a≤4,
所以实数a的取值范围是(-∞,4].](共55张PPT)
习题课　对数函数的综合问题
第四章
课标要求
1.掌握对数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.
2.掌握对数函数在现实生活中的应用.
3.掌握对数函数的综合性问题.
课时精练
一、对数型函数的单调性
二、对数函数的实际应用
三、对数函数性质的综合应用
课堂达标
内容索引
对数型函数的单调性
一
例1
由－x2＋5x－6＞0得x∈(2，3)，
角度1　对数型函数的单调性问题
(2)求函数y＝(log2x)2－4log2x＋9的单调区间.
令t＝log2x，且t＝log2x在(0，＋∞)上单调递增.
又y＝t2－4t＋9＝(t－2)2＋5在[2，＋∞)上单调递增，
在(－∞，2)上单调递减，
由t＝log2x≥2得x≥4，
由t＝log2x<2得0＜x＜4，
故所求函数的单调递增区间为[4，＋∞)，单调递减区间为(0，4).
角度2　利用函数的单调性求参数的取值范围
例2
√
若函数f(x)＝ln(x2－ax＋1)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
设g(x)＝x2－ax＋1，
思维升华
与对数相关的复合函数的单调性
(1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间；
(2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围.
微提醒：函数在某区间上单调，前提是在该区间上有意义，不能忽视其对参数范围的限制.
训练1
(－∞，－3)∪(1，＋∞)
(－∞，－3)
√
对数函数的实际应用
二
例2
(1)2020年春季蝗灾波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只.则经过________天能达到最初的16 000倍(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 1.5≈0.405 5，ln 1 600≈7.377 8，ln 16 000≈9.680 3).
设过x天能达到最初的16 000倍，
199
(2)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
①写出该公司激励销售人员的奖励方案；
②如果业务员小王获得了3.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
①由题意得该公司激励销售人员的奖励方案为：
②由①知，当0≤x≤10时，0≤0.15x≤1.5，
因为业务员小王获得3.5万元的奖金，即y＝3.5，
所以x＞10.因此1.5＋2log5(x－9)＝3.5，
解得x＝14.
所以业务员小王的销售利润是14万元.
思维升华
关于对数性质在实际问题中的应用
首先确定对数函数的解析式，再利用对数函数的单调性解决实际问题中与范围、最值、变化趋势等相关的问题.
微提醒：注意变量的实际意义及函数的定义域对自变量范围的限制.
训练2
80
由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为20个单位，
要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，
对数函数性质的综合应用
三
例3
(1)已知函数f(x)＝lg(x＋2)－lg(2－x).
①求f(x)的定义域；
②判断f(x)的奇偶性并予以证明；
①要使函数f(x)有意义，
②f(x)为奇函数.证明如下：
由(1)知f(x)的定义域为(－2，2)，
设任意的x∈(－2，2)，则－x∈(－2，2)，
且f(－x)＝lg(－x＋2)－lg(2＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.
①y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞).
思维升华
解决综合性问题的关注点
(1)定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提；
(2)对数函数常与函数的性质：奇偶性、单调性、值域等性质综合考查；
(3)求y＝logaf(x)的值域时，先令t＝f(x)，并求出t的范围，再利用对数函数的单调性求log2t的范围，即为logaf(x)的值域.
训练3
【课堂达标】
1.函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间是
A.(－∞，－1) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(3，＋∞)
√
令x2－2x－3>0，
所以(x－3)(x＋1)>0，
所以x<－1或x>3，
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
令u＝x2－2x－3，u＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，
函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1).
√
2.函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为
A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)
因为3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以log2(3x＋1)>log21＝0，
故该函数的值域为(0，＋∞).
3.已知log0.3(3x)因为函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，
令t＝x2－ax＋a，
(－∞，4]
【课时精练】
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝ln (x＋1)，则函数f(x)的图象为
由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A，B.
√
又x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，排除C.
√
3.已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是图中的
因为函数y＝loga(－x)中，－x>0，
√
所以x<0，故其图象应在y轴左侧，排除A，D；
又函数y＝ax与y＝loga(－x)的单调性相反，排除C.
√
4.(多选)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则
A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数
C.f(x)在(0，10)上单调递增 D.f(x)在(0，10)上单调递减
√
又由f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故f(x)为偶函数.
而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0，10)上单调递减，y＝lg x是增函数，
所以函数f(x)在(0，10)上单调递减.
√
因为a>1，
4
7.若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是________.
令g(x)＝x2－ax＋1(a>0，且a≠1)，
(1，2)
①当a>1时，y＝logax在R＋上单调递增，
所以要使函数有最小值，必须g(x)min>0，
所以Δ<0，解得－2②当0y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，不符合题意.
综上所述，a的取值范围为(1，2).
(－1，2)
8.已知函数f(x)＝lg (2＋x2)，则满足不等式f(2x－1)因为函数f(x)＝lg (2＋x2)，由不等式f(2x－1)所以(2x－1)2<9，
即－3<2x－1<3，
解得－1令x＞0，则－x＜0，
(2)若f(a－1)＜－1，求实数a的取值范围.
所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数.
因为f(a－1)＜－1＝f(1)，
所以|a－1|＞1，所以a＞2或a＜0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).
10.设f(x)＝loga(3＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(0)＝2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
由题意得f(0)＝loga3＋loga3＝2loga3＝2，所以a＝3，
√
√
因为f(|－x|)＝f(|x|)，
所以函数的定义域为(0，2)，
因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；
若0＜a＜1，所以1＋a＞1－a，
所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，
故|f(1＋a)|－|f(1－a)|
12.若函数f(x)＝loga(x＋5)＋1(a＞0且a≠1)，图象恒过定点P(m，n)，则m＋n＝________；函数g(x)＝ln (x2＋m)的单调递增区间为__________.
当x＋5＝1，即x＝－4时，函数值都为1，即恒过(－4，1)，
－3
(2，＋∞)
所以m＝－4，n＝1，所以m＋n＝－3；
所以函数g(x)＝ln(x2－4)，
定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，令u(x)＝x2－4，
u(x)的递增区间为(2，＋∞)，g(u)＝ln u在定义域内为增函数，
根据复合函数g(u(x))同增异减性质，
函数g(x)的递增区间为(2，＋∞).
(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值.
记t＝log2x，则y＝f(x)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝(t＋2)(t＋1)(－2≤t≤2).
14.已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6
＝(log3x＋3)2－3.
∵函数f(x)的定义域为[1，9]，
∴1≤x≤3，
∴0≤log3x≤1，
∴6≤(log3x＋3)2－3≤13，
∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13，此时x＝3.课时精练8　对数函数的图象与性质
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共18分.
一、基础巩固
1.(多选)下列函数为对数函数的是 (　　)
y=ln x
y=loga(2x)(a>0且a≠1)
y=log(a-1)x(a>1且a≠2)
y=loga(x+2)(a>0且a≠1)
2.函数y=1+loga(x-1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点 (　　)
(1,1) (1,0)
(2,1) (2,0)
3.函数y=的定义域为 (　　)
(-∞,2) (2,+∞)
(2,3)∪(3,+∞) (2,4)∪(4,+∞)
4.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是 (　　)
{x|-1{x|-15.(多选)已知等式log2m=log3n,m,n∈(0,+∞)成立,那么下列结论:(1)m=n;(2)n(1)(2) (2)(5)
(3)(4) (4)(5)
6.给出下列函数:①y=()2;②y=;③y=;④y=log22x.则上述函数中,与函数y=x相等的是　　　　(填序号).
7.若函数f(x)=mlog2(kx)是对数函数,则m=　　　　,k=　　　　.
8.若函数y=loga(x+b)+c(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b,c的值分别为　　　　.
9.(10分)求下列函数的定义域:
(1)f(x)=log(x-1)(3-x);
(2)f(x)=+log2(3x-1).
10.(10分)已知函数f(x)=lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)画出函数f(x)的草图;
(3)写出函数f(x)的单调区间.
二、综合运用
11.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 (　　)
12.(多选)如图是三个对数函数的图象,则 (　　)
a>1 02b<2c<2a c13.(13分)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在上的最大值为2.
(1)求a的值;
(2)若00成立的x的取值范围.
三、创新拓展
14.(14分)已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1).
若a=(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25,求使f(x)>0成立的x的取值范围.
课时精练8　对数函数的图象与性质
1.AC　[y=loga(2x)(a>0且a≠1)的真数不符合对数函数定义,B错误;
y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的真数为x+2,不符合对数函数定义,D错误.]
2.C　[令x-1=1,得x=2,此时y=1,故函数y=1+loga(x-1)的图象一定经过点(2,1).]
3.C　[要使函数有意义,则
即解得23,
所以函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).]
4.C　[令g(x)=log2(x+1),函数g(x)的定义域为(-1,+∞),作出函数g(x)的图象,如图,
由
得
结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-15.AB　[如图所示,
作出y=log2x与y=log3x的图象,
作出直线y=t,
当t=0时,由logam=logan=0,得m=n=1;
当t>0时,由图知n>m>1,
当t<0时,由图知n6.④　[对于①,y=()2 y=x(x≥0),
不相等;
对于②,y= y=|x|,不相等;
对于③,y= y=x(x>0),不相等;
对于④,y=log22x y=x,相等.]
7.1　1　[f(x)=mlog2(kx)是对数函数,应有m=1,k=1.]
8.-2,2　[函数过定点(3,2),即3+b=1,
∴b=-2,而loga1=0,∴c=2.]
9.解　(1)由题意知
解得1故f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).
(2)由题意知
解得x>且x≠1,
故f(x)的定义域为∪(1,+∞).
10.解　(1)要使函数有意义,x的取值需满足|x|>0,解得x≠0,
即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
又f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),
∴f(-x)=f(x).
∴函数f(x)是偶函数.
(2)由(1)知函数f(x)是偶函数,则其图象关于y轴对称,如图所示.
(3)由图可得函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).
11.C　[因为函数f(x)=是R上的增函数,
所以
即,
所以实数a的取值范围是.]
12.ABC　[由对数函数图象得a>1,0令y=1,由logbb=logcc=1及已知图象得b而y=2x是增函数,所以2b<2c<2a.]
13.解　(1)由题意,当a>1时,函数f(x)=logax在上单调递增,
因此f(x)max=f(2)=loga2=2,解得a=;
当0因此f(x)max=f=2,
解得a=.
综上可知a=.
(2)由不等式f(f(x)-2)>0,
得loga(f(x)-2)>loga1,
又因为0可得0即2故x的取值范围是.
14.解　a=(lg 2)2+lg 2×lg 50+lg 25=(lg 2)2+lg 2×lg (2×52)+lg 52
=2(lg 2)2+2lg 2×lg 5+2lg 5=2lg 2×(lg 2+lg 5)+2lg 5=2lg 2+2lg 5=2,
所以f(x)=log2,故-1令f(x)>0,即log2>0=log21,
所以>1,故0所以x的取值范围为(0,1).课时精练9　对数函数图象及其性质的应用
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.函数f(x)=logax(00 1
2 a
2.若a=20.2,b=log43.2,c=log20.5,则 (　　)
a>b>c b>a>c
c>a>b b>c>a
3.已知lon<0,则 (　　)
n14.(多选)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是 (　　)
y=22-x y=
y=lo y=-x2+2x+a
5.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数图象交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 (　　)
x2x16.已知f(x)=|log3x|,若f(a)>f(2),则a的取值范围为　　　　.
7.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则a,b,c的大小关系为　　　　.
8.若a=log2π,b=loπ,c=π-2,则a,b,c的大小关系为　　　　.
9.(13分)已知函数y=f(x)与g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,且g(x)的图象过点(9,2).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(3x-1)>f(-x+5)成立,求x的取值范围.
10.(15分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,试借助图象比较f(a),f(b),f(c)的大小.
二、综合运用
11.已知函数f(x)=logax(0A B
C D
12.(多选)下列各式中正确的是 (　　)
log0.50.4>log0.50.6 log23ln
13.(15分)(1)求函数y=lo(8-2x-x2)的值域;
(2)求y=x+5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
三、创新拓展
14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式fx)>0的解集为　　　　.
课时精练9　对数函数图象及其性质的应用
1.C　[∵0∴f(x)=logax在[a2,a]上是减函数,
∴f(x)max=f(a2)=logaa2=2.]
2.A　[∵a=20.2>1>b=log43.2>0>c=-1,
∴a>b>c.]
3.D　[因为0<<1,lon<0,
所以m>n>1,故选D.]
4.BC　[A中,y=22-x,令t=2-x,
∵t=2-x在(0,+∞)上单调递减,
∴t∈(-∞,2).
∵y=2t在(-∞,2)上单调递增,
∴y=22-x在(0,+∞)上单调递减.
B中,y=,令t=x+1,
∵t=x+1在(0,+∞)上单调递增,
∴t∈(1,+∞).
∵y=1-在(1,+∞)上单调递增,
∴y=在(0,+∞)上单调递增.
C中,y=lo=log2x在(0,+∞)上单调递增.D中,y=-x2+2x+a图象的对称轴为直线x=1,所以函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故选BC.]
5.A　[分别作出三个函数的大致图象,如图所示.
由图可知,x26.∪(2,+∞)　[作出函数f(x)的图象,如图所示,
由于f(2)=f,
故结合图象可知02.]
7.blog54>log53>log51=0,
∴1>a=log54>log53>b=(log53)2.
又∵c=log45>log44=1,∴c>a>b.]
8.b1,b=loπ<0,c=π-2∈(0,1),所以a>c>b.]
9.解　(1)∵g(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2),
∴loga9=2,解得a=3,
∴g(x)=log3x.
又∵函数y=f(x)与g(x)=log3x的图象关于x轴对称,
∴f(x)=-g(x)=-log3x=lox.
(2)由(1)知f(3x-1)>f(-x+5),
即lo(3x-1)>lo(-x+5),
则,
∴x的取值范围为.
10.解　先作出函数y=lg x的图象, 再将图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,于是得f(x)=|lg x|的图象(如图),由图象可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
由>f(a)>f(b),
而f=|-lg c|=|lg c|
=f(c),∴f(c)>f(a)>f(b).
11.A　[f(|x|+1)=loga(|x|+1),定义域为R,又012.ACD　[y=log0.5x为减函数,
故log0.50.4>log0.50.6,A正确;
而log0.32<0,log23>log22=1,
∴B错误;由ln x与lg x的图象知C正确;
D中,lo3<0,lo>0,故D正确.]
13.解　(1)设u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,又u>0,∴0∴lo9=-2,
∴y=lo(8-2x-x2)的值域为[-2,+∞).
(2)因为2≤x≤4,所以lo4,
即-1≥lox≥-2.
设t=lox,则-2≤t≤-1,
所以y=t2-t+5,其图象的对称轴为直线t=,所以当t=-2时,ymax=10;当t=-1时,ymin=.
14.∪(2,+∞)　[∵f(x)是R上的偶函数,
∴它的图象关于y轴对称.
∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(-∞,0]上为减函数,
作出函数图象如图所示.
由f=0,得f=0.
∴fx)>0 lo,
∴x∈∪(2,+∞).]课时精练10　对数函数的综合问题
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=ln (x+1),则函数f(x)的图象为 (　　)
A B
C D
2.函数f(x)=lo(x+5)(1-x)的单调递增区间是 (　　)
(-5,-2) (-5,1)
(-2,1) (1,+∞)
3.已知a>0且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是图中的 (　　)
A B
C D
4.(多选)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则 (　　)
f(x)是奇函数
f(x)是偶函数
f(x)在(0,10)上单调递增
f(x)在(0,10)上单调递减
5.中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2.它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1 000提升至8 000,则C大约增加了(lg 2≈0.301 0) (　　)
10% 30%
60% 90%
6.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=　　　　.
7.若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是　　　　.
8.已知函数f(x)=lg (2+x2),则满足不等式f(2x-1)9.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=lo(-x+1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(a-1)<-1,求实数a的取值范围.
10.(10分)设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
二、综合运用
11.(多选)设函数f(x)=lox,下列四个命题正确的是 (　　)
函数f(|x|)为偶函数
若f(a)=|f(b)|,其中a>0,b>0,a≠b,则ab=1
函数f(-x2+2x)在(1,3)上为单调递增函数
若0|f(1-a)|
12.若函数f(x)=loga(x+5)+1(a>0且a≠1),图象恒过定点P(m,n),则m+n=　　　　;函数g(x)=ln (x2+m)的单调递增区间为　　　　.
13.(13分)设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为.
(1)若t=log2x,求t的取值范围;
(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.
三、创新拓展
14.(15分)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
课时精练10　对数函数的综合问题
1.D　[由f(x)是R上的奇函数,即函数图象关于原点对称,排除A,B.
又x>0时,f(x)=ln(x+1),排除C.]
2.C　[函数f(x)的定义域为(-5,1),函数f(x)=lo(x+5)(1-x)的单调递增区间即为y=(x+5)(1-x)=-x2-4x+5的单调递减区间(-2,1).]
3.B　[因为函数y=loga(-x)中,-x>0,
所以x<0,故其图象应在y轴左侧,排除A,D;
又函数y=ax与y=loga(-x)的单调性相反,排除C.]
4.BD　[由得x∈(-10,10),
故函数的定义域为(-10,10),关于原点对称.
又由f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故f(x)为偶函数.
而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)
=lg(100-x2),y=100-x2在(0,10)上单调递减,y=lg x是增函数,
所以函数f(x)在(0,10)上单调递减.]
5.B　[当=1 000时,C1=Wlog21 000,
当=8 000时,C2=Wlog28 000,
所以≈1.3,所以C大约增加了30%.]
6.4　[因为a>1,
所以f(x)=logax在[a,2a]上单调递增,
所以loga(2a)-logaa=,
即loga2=,
所以=2,解得a=4.]
7.(1,2)　[令g(x)=x2-ax+1(a>0,且a≠1),
①当a>1时,y=logax在R+上单调递增,
所以要使函数有最小值,必须g(x)min>0,
所以Δ<0,解得-2②当0综上所述,a的取值范围为(1,2).]
8.(-1,2)　[因为函数f(x)=lg (2+x2),由不等式f(2x-1)所以(2x-1)2<9,即-3<2x-1<3,
解得-19.解　(1)令x>0,则-x<0,
f(-x)=lo(x+1)=f(x),
所以x>0时,f(x)=lo(x+1),
则f(x)=
(2)因为f(x)=lo(-x+1)在(-∞,0]上为增函数,
所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.
因为f(a-1)<-1=f(1),
所以|a-1|>1,所以a>2或a<0.
所以实数a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).
10.解　(1)由题意得f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,所以a=3,
所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),
所以解得-3所以f(x)的定义域是(-3,3).
(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3(3+x)(3-x)=log3(9-x2),
且x∈(-3,3),所以log3(9-x2)在[0,]上单调递减,
所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,最小值是log33=1.
11.AB　[f(x)=lox,x>0.
函数f(|x|)=lo|x|,
因为f(|-x|)=f(|x|),
所以f(|x|)为偶函数,A正确;
若f(a)=|f(b)|,其中a>0,b>0,因为a≠b,
所以f(a)=|f(b)|=-f(b),
所以lo (ab)=0,所以ab=1.
因此B正确.
函数f(-x2+2x)=lo (-x2+2x)
由-x2+2x>0,解得0所以函数的定义域为(0,2),
因此在(1,3)上不具有单调性,C不正确;
若01-a,
所以f(1+a)<0故|f(1+a)|-|f(1-a)|=-f(1+a)-f(1-a)=-lo(1-a2)<0,
即|f(1+a)|<|f(1-a)|,因此D不正确.]
12.-3　(2,+∞)　[当x+5=1,即x=-4时,函数值都为1,即恒过(-4,1),
所以m=-4,n=1,所以m+n=-3;
所以函数g(x)=ln(x2-4),
定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
令u(x)=x2-4,
u(x)的递增区间为(2,+∞),
g(u)=ln u在定义域内为增函数,
根据复合函数g(u(x))同增异减性质,
函数g(x)的递增区间为(2,+∞).]
13.解　(1)∵t=log2x为单调递增函数,且x∈,∴t的取值范围为[-2,2].
(2)记t=log2x,则y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=(t+2)(t+1)(-2≤t≤2).
∵y=上是减函数,在上是增函数,
∴当t=log2x=-,
即x=时,
y=f(x)有最小值f;
当t=log2x=2,即x=22=4时,
y=f(x)有最大值f(4)=12.
14.解　∵f(x)=2+log3x,
∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足
∴1≤x≤3,
∴0≤log3x≤1,
∴6≤(log3x+3)2-3≤13,
∴函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13,此时x=3.

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