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2025年深圳市第一次调研考试数学试题详解版
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,则
A. B. C. D.
【题源】本题改编自人教A版必修第一册10页例1.
【答案】C
【解析】.
2.已知(为虚数单位),则
A.1 B. C.2 D.4
【题源】本题改编自人教A版必修第二册71页例2.
【答案】A
【解析】方法一:;
方法二:.
3.已知向量,若,则
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【题源】本题改编自人教A版必修第二册60页第8题.
【答案】B
【解析】由于,则,则;
4.已知,则
A. B. C.2 D.3
【题源】本题改编自人教A版必须第一册229页第9题.
【答案】C
【解析】由于,
那么,
,则,选C.
5.已知函数的周期为2,且在上单调递增,则可以是
A. B.
C. D.
【题源】本题改编自2024年新高考全国II卷第6题.
【答案】B
【解析】对于,不符合题意;
对于,函数图象如下:正确;
对于,不符合题意;
对于,在不单调,不符合题意;
6.已知双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线夹角为,且点
在上,则的离心率为
A. B. C.2 D.或2
【题源】本题改编自人教A版选择性必修第一册129页第13题.
【答案】C
【解析】由双曲线的两条渐近线夹角为,可知的渐近线方程为或,由或(其中为渐近线的斜率),解得或,若,如图,令,点不可能在双曲线是;
或设双曲线方程为:,则无解;
若,设双曲线方程为:,则,
此时双曲线方程为:,选C.
7.已知曲线与曲线只有一个公共点,则
A. B.1 C. D.
【题源】本题改编自2024年新高考全国I卷第13题.
【答案】B
【解析】方法一:由已知曲线与曲线只有一个公共点,
方程只有一个实数解,而,则只考虑,
即,令,则,
而在单调递增,且,
所以时,单调递减,
时,单调递增,
而时,时,,
所以.
方法二由已知曲线与曲线只有一个公共点,
则曲线与曲线只有一个公切点,设其坐标为,
根据函数的图像与函数的图像之间的关系
所以:,
即:,所以,
设,则在单调递减,而,所以,
所以.
方法三由于函数的反函数为,两函数关于对称,
由于,令,则,即函数与函数相切于点,
同理:,令,即函数与函数也相切于点,
于是函数与函数相切于点,由选项可知,.
8.如图,已知圆台形水杯盛有水(不计厚度),杯口的半径为4,杯底的半径为3,高为6.5.当杯底水平放置时,水面的高度为水杯高度的一半,若放入一个半径为的球(球被完全浸没),水恰好充满水杯,则
A.1.5 B.2 C.3 D.3.25
【题源】本题改编自人教A版必修第二册119页例4.
【答案】D
【解析】如图,,不妨设球的半径为,由于圆台的体积
由题可知:,则,此时小球恰好与上下底面相切,
下面考虑当小球与侧棱相切时,设球心为,
由于,则,则,
那么,则,那么在上方,
即该小球先与上下底面相切,选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.一组样本数据.其中,
求得其经验回归方程为:,残差为.对样本数据进行处理:
,得到新的数据,求得其经验回归方程为:,
其残差为分布如图所示,且,则
样本负相关 B.
C. D.处理后的决定系数变大
【题源】本题改编自人教A版选择性必修第三册112页思考.
【答案】ABD
【解析】由经验回归方程单调递增,可知样本点正相关,故A对;
由题意样本均值分别为,由样本中心在经验回归直线上,带入回归直线解得,B正确;
由残差分析可得比更集中,故,且(1)的拟合效果更好,所以错误,正确.
10.已知函数,则
A.为周期函数
B.存在,使得的图象关于对称
C.在区间上单调递减
D.的最大值为2
【题源】本题改编自人教A版必修第一册250页阅读与思考.
【答案】
【解析】由于,
,所以为的周期,正确;
若要图象关于对称,由奇函数可得为对称轴,又因为,所以图象不关于对称,B错误;
因为,化简整理得,当时,,对称轴为成立,故在区间上单调递减,正确;
因为,当且仅当时取等,因为当,即时,,所以,D不正确.
已知,其中.点分别满足,,其中,直线与直线交于点,则
当时,直线与直线斜率乘积为
当时,存在点,使得
当时,的面积最大值为
若存在,使得,则
【题源】本题改编自人教A版选择性必修第一册116页第11题.
【答案】AD
【解析】对于选项A,由于,
A正确;
对于选项,由可知,,此时点的轨迹方程为:,于是若,此时点与点重合,矛盾,不正确;
对于选项,直线,
联立,,
设,则,
若,则点的轨迹方程为,
设点,直线,
点到直线的距离,
由于,于是当时,,
的最大值为不正确;
由可知,点的轨迹方程为,
设,
于是,即
于是正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.的展开式中常数项是_____(用数字作答).
【题源】本题改编自人教A版选择性必修第三册35页第6题.
【答案】240
【解析】.
13.在等比数列中,已知,则_____.
【题源】本题改编自人教A版选择性必修第二册31页第3题.
【答案】6
【解析】设公比为,由于,则,
若,则矛盾,
则符合.
某次考试共5道试题,均为判断题.计分的方法是:每道题答对的给2分,答错或不答的扣1分,每个人的基本分为10分.已知赵、钱、孙、李、周、吴6人的作答及前5个人的得分情况如下表,则吴的得分为_____.
【题源】本题改编自《趣味数学100题》.
【答案】14分.
【解析】解法一分析可得,无论每道题的结果如何,每道题前五人的得分比吴的得分多2分,则吴的得分为:,加上基本分后为14.
人题号 赵 钱 孙 李 周 吴
1
2
3
4
5
得分 14 11 14 14 11
解法二由于前四个人只有钱的得分是11分,则钱答对两个题,答错三个题;
不妨将钱的答案全部考虑反面,则钱答对三个题,答错两个题,共14分;:
人题号 赵 钱 孙 李 周 吴
1
2
3
4
5
得分 14 14 14 14 11
对于6个人而言,前4个题,6个人的答案都是三个√,三个错,那前4个题,每个题都是3个人对,3个人错；前4个题的总分为:分；
现在考虑第5题,共5个人,一个×,若第5题正确答案是“×”,那么第5个题的得分是:
分,最终5个题的总得分为69分;
而从得分来看,分,于是吴得分是2分,矛盾;
于是第5题正确答案是“√”,第5题的得分是:分,
6个题的总分为:81分,于是吴得14分.
解法三:考虑第一,二题孙的答案是对的
(1)若孙第三题答案也是对的,与赵14分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 (-1) (-1) (-1) (-1)
2 (-1) (-1) (-1) (-1)
3 (-1) (-1)
4 √(2)
5 (-1)
得分 14 11 14 14 11
(2)若孙第三题答案是错的,钱最后两题只能全对,与周11分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 (-1) (-1) (-1) (-1)
2 (-1) √(-1) (-1) (-1)
3 √(2) √(2)
4 (-1) (-1)
5 (-1) √(-1) (-1)
得分 14 11 14 14 11
考虑孙第一题对,第二题答案是错的
(3)若孙第三题答案是对的,则赵最后两题全对,与孙14分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 (-1) (-1) (-1) (-1)
2 √(2) ×(-1) √(2) √(2) √(2)
3 (-1) (-1)
4 √(2)
5 (-1)
得分 14 11 14 14 11
(4)若孙第三题答案是错的,则孙最后两题全对,与赵14分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 (-1) (-1) (-1) (-1)
2 √(2) ×(-1) √(2) (2) (2)
3 √(2) ×(-1) √(2)
4 (-1)
5 √(2)
得分 14 11 14 14 11
考虑孙第一题错,第二题答案是对的(6)若孙第三题答案是错的,则孙最后两题全对,此时正确答案是,吴此时14分；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √(2) √(2) √(2) √(2)
2 (-1) (-1) (-1) (-1)
3 √(2) ×(-1) √(2) ×(-1)
4 (-1) (-1)
5 √(2) √(2) √(2) √(2)
得分 14 11 14 14 11 14
考虑孙第一题错,第二题答案是错的,则孙后三题全对,与赵14分矛盾;
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √(2) √(2) √(2) (2)
2 √(2) √(2) √(2)
3 (-1) (-1)
4 (-1)
5 √(2)
得分 14 11 14 14 11
综上所述:正确答案是,吴此时14分.
(5)若孙第三题答案是对的,则李最后两题全对,与孙14分矛盾；
赵 钱 孙 李 周 吴
1 √(2) √(2) √(2) √(2)
2 (-1) (-1) (-1) (-1)
3 (-1) (-1)
4
5 (2) (2)
得分 14 11 14 14 11
(
1
)2025年深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C B C B D
命题说明:
1.说明:本题改编自人教A版必修第一册10页例1.
2.说明:本题改编自人教A版必修第二册71页例2.
3.说明:本题改编自人教A版必修第二册60页第8题.
4.说明:本题改编自人教A版必须第一册229页第9题.
5.说明:本题改编自2024年新高考全国II卷第6题.
6.说明:本题改编自人教A版选择性必修第一册129页第13题.
7.说明:本题改编自2024年新高考全国I卷第13题.
8.说明:本题改编自人教A版必修第二册119页例4.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 ABD AC AD
命题说明:
9.说明:本题改编自人教A版选择性必修第三册112页思考.
10.说明:本题改编自人教A版必修第一册250页阅读与思考.
11.说明:本题改编自人教A版选择性必修第一册116页第11题.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.240 13.6 14.14
命题说明:
12.说明:本题改编自人教A版选择性必修第三册35页第6题.
13.说明:本题改编自人教A版选择性必修第二册31页第3题.
14.说明:本题改编自《趣味数学100题》.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
在中,角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若,求的面积.
【命题说明】本题改编自2024年新高考全国I卷第15题.
【参考答案】
(1)由余弦定理推论及得
由于,则,
又因为,且,
所以,则.
(2)解法1：由(1)可知,
且,
由正弦定理:,
得,
所以.
解法2:由(1),所以,
由正弦定理:,
得,
解法3:如图,过点作交于,
由于,则,
所以,
所以.
16.(15分)
如图,在直三棱柱中,,,为的中点,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
【命题说明】本题改编自2023年新高考全国I卷第18题.
【参考答案】
(1)取中点,连接,
因为,所以,
由于点为正方形对角线的交点,为的中点,所以为的中位线,所以,
又,所以四边形为平行四边形,
又因为平面平面,则,
由于平面,所以平面,
又因为,所以平面.
(2)解法1:由(1)可知:两两垂直,如图,以为坐标原点,以所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
在中,由余弦定理可得:,
则,于是,
则,
设平面,
于是,即,
令,则,
设直线与平面所成角为,
那么,
即直线与平面所成角的正弦值为.
解法2:在中,由余弦定理可得:,
则,
如图,连接,由(1),平面平面,则,
又因为,四边形为正方形,为的中点,,
由于平面,则平面,
如图,记,过点作,连接,由于平面,平面,则,又因为平面,
则平面,所以即为直线与平面所成角,
由于,则,
由于,则为的三等分点,则,
于是,
即直线与平面所成角的正弦值为.
解法3:设直线与平面所成角为,点到平面的距离为,
则,
在Rt中,,则,
过作交的延长线于,易得,
且易证平面,
由于,则,
在中,,且,
又,则.
17.(15分)
甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为,输的概率为,每局比赛的结果是独立的.
(1)当时,求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性,设置两种积分奖励方案.方案一:最终获胜者得3分,失败者得-2分;方案二:最终获胜者得1分,失败者得0分,请讨论选择哪种方案,使得甲获得积分的数学期望更大.
【命题说明】本题改编自2024年新高考全国II卷第18题.
【参考答案】
(1)记“甲最终以获胜”为事件,记“甲最终以获胜”为事件,
“甲最终获胜”为事件,
于是与为互斥事件,
由于,
则,
即甲最终获胜的概率为.
(2)由(1)可知,,
若选用方案一,记甲最终获得积分为分,则可取,
9分则的分布列为:
3
则,
若选用方案二,记甲最终获得积分为分,则可取1,0,
则的分布列为:
1 0
则,
所以,
由于,则,
【14分段:设,利用,则在上单调递增,且.】
于是时,两种方案都可以选,
当时,,应该选第二种方案,
当时,,应该选第一种方案.
18.(17分)
已知抛物线,过点作两条直线分别交抛物线于和(其中在轴上方).
(1)当垂直于轴,且四边形的面积为,求直线的方程；
(2)当倾斜角互补时,直线与直线交于点,求的内切圆的圆心横坐标的取值范围.
【命题说明】本题改编自2014年全国大纲卷第21题.
【参考答案】
解:(1)解法1:当轴,令,则,,,
设直线,由于,
则,
由于,则,则,
则,则,
所以直线的方程为或.
解法2:设,倾斜角为,由对称性知有两条,且关于对称,
不妨设,那么,
则,则,
由于,则,
则,
则由对称性,另一条直线:,
所以直线的方程为或.
(2)解法1：设点,
因为,同理:,
所以,,
又因为,直线和直线交于点,
所以,且,即,
,且,化简得:,于是,,
则,解得,所以点,
由于,则,所以,则轴平分,设的内切圆圆心,,则到的距离,
点到的距离,于是,
所以,
由于,当且仅当取等号(舍),
则,则.
【14-17分段:
令,当且仅当取等号(舍),
则,设,
则在单调递减,.】
解法2:点证明同解法1;
设的内切圆圆心,
设定点,由于,设半径为,
设,于是,
那么,
设,
由于,当且仅当取等号(舍),则,
则,则.
【13-14分段:在中,由角平分线定理:
,则.】
19.(17分)
已知无穷数列满足,为正整数,.
(1)若,求；
(2)证明:“存在,使得”是“是周期为3的数列”的必要不充分条件；
(3)若,是否存在数列,使得恒成立？若存在,求出一组的值；若不存在,请说明理由.
【命题说明】本题改编自2006年北京卷第20题
【参考答案】
解:(1)因为对任意成立；
令得,所以,则或3,
若,由,则,则或3,
若,由,则,则或5,
因为,综上所述:或3或5.
(2)①记
必要性:若是周期为3的周期数列,或,
当时,数列前5项为:,
由得,该式当且仅当或时成立,
与为正整数矛盾;
当时,数列前5项为:,
由得,则或(舍,此时),
因此,,此时数列,存在,使得,
另一方面:取数列其中当时,,
此时数列不是周期数列,
综上,“存在,使得”是“是周期为3的周期数列”的必要不充分条件.
(3)不存在,理由如下:
等价于,
首先说明不存在,使得,否则由得记为,
所以,
依此类推得前项为(第项),则要么相等,要么有一项为0,矛盾,
因此对任意成立,·
其次,不存在,使得以及同时成立,
否则两式相加得,矛盾.
若(*)式只对有限个正整数才成立,不妨设当且仅当时(*)式成立,
其中,则当时,(**)式恒成立,此时恒成立,
由此易知当,因此数列是无界数列,
(ii)若存在无限个正整数使得(*)式成立,不妨设当且仅当时(*)式成立,
其中,考虑与,为方便书写记且,
则
若,则,
若,则,
则,
此时,
无论哪种情况总有成立,即恒成立,
记,则恒成立,由此易得数列是无界数列,
所以,存在使得,故不存在符合题意的.
(
1
)试卷类型:
2025年深圳市高三年级第一次调研考试
数学
2025.2
本试卷共6页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,则
A. B. C. D.
2.已知(为虚数单位),则
A.1 B. C.2 D.4
3.已知向量,若,则
A. B. C.1 D.2
4.已知,则
A. B. C.2 D.3
5.已知函数的周期为2,且在上单调递增,则可以是
A. B.
C. D.
6.已知双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线夹角为,且点在上,
则的离心率为
A. B. C.2 D.或2
7.已知曲线与曲线只有一个公共点,则
A. B.1 C. D.
8.如图,已知圆台形水杯盛有水(不计厚度),杯口的半径为4,杯底的半径为3,高为6.5,当杯底水平放置时,水面的高度为水杯高度的一半,若放入一个半径为的球(球被完全浸没),水恰好充满水杯,则
(第8题图)
A.1.5 B.2 C.3 D.3.25
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.一组样本数据.其中,求得其经验回归方程为:,残差为.对样本数据进行处理:,得到新的数据,求得其经验回归方程为:,其残差为分布如图所示,且,则
A.样本负相关 B.
C. D.处理后的决定系数变大
10.已知函数,则
A.为周期函数
B.存在,使得的图象关于对称
C.在区间上单调递减
D.的最大值为2
11.已知,其中.点分别满足,其中,直线与直线交于点,则
A.当时,直线与直线斜率乘积为
B.当时,存在点,使得
C.当时,面积最大值为
D.若存在,使得,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.的展开式中常数项是_____(用数字作答).
13.在等比数列中,已知,则_____.
14.某次考试共5道试题,均为判断题.计分的方法是:每道题答对的给2分,答错或不答的扣1分,每个人的基本分为10分.已知赵、钱、孙、李、周、吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表,则吴的得分为_____.
题号 人 赵 钱 孙 李 周 吴
1
2
3
4
5
得分 14 11 14 14 11
四、解答題:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
在中,角所对的边分别为,.
(1)求:
(2)若,求的面积.
16.(15分)
如图,在直三棱柱中,,,为的中点,为的中点.
(1)证明:平面；
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值,
(第16题图)
17.(15分)
甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为,输的概率为,每局比赛的结果是独立的.
(1)当时,求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性,设置两种积分奖励方案.方案一:最终获胜者得3分,失败者得分；方案二:最终获胜者得1分,失败者得0分,请讨论选择哪种方案,使得甲获得积分的数学期望更大.
18.(17分)
已知抛物线,过点作两条直线分别交抛物线于和(其中在轴上方).
(1)当垂直于轴.且四边形的面积为,求直线的方程；
(2)当倾斜角互补时,直线与直线交于点,求的内切圆的圆心横坐标的取值范围.
19.(17分)
已知无穷数列满足,为正整数,且.
(1)若,求；
(2)证明:“存在,使得是“是周期为3的数列”的必要不充分条件:
(3)若,是否存在数列,使得恒成立？若存在,求出一组的值:若不存在,请说明理由.
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