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2025届高三模拟测试
数学
注意事项：
i .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上*
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需要改动，用椽皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡
上 写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题.每小整5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1 .二项式(X+1)'的展开式中，X的系数为
A. -10 B. -5 C. 10 D. 5
2,已知复数z满足z+2)= 6+i,则2 =
A. 2+i B. 2-i C. l-2i D. l+2i
3 .设p:0vavl；9:关于4的方程。58由1 + 8§1=4有实数解，则p是g的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
x2-2x.x<0
4 .已知/(力= < ,则方程/(x) = 8所有的根之和为
[2X0
A. 1 B. 2 C. 5 D. 7
5 .已知｛q｝为等比数列，若,+也=4%,则｛勺｝的公比g =
6 .直线y = 2x与圆3+y-〃-3 = 0交于43两点，]。4|=6，则
A.二 B.亚 C.前 d.迈
5 5 5 U 5
7 .我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点
分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知/(x) = e*-1ex2+(x-l)2,则下
2
列给出的函数其图象与丁 = /(力的图象“相似”的是
A. y=x2 B. 丁 = 一3
C. y-xi-Zx D. / = _/+3彳
8 .已知双曲线的左、右焦点分别为耳，玛，尸为双曲线C第一象限上一点，
4；尸鸟的角平分线为/，过点。作朋的平行线，分别与％交于两点，若
|加1=刍也I，则树;用的面积为
3
A. 20 B. 12 C. 24 c in
一高三数学第1页(共4页)一
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小鹿给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.
9.现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，各进行了 10次射击，射击成绩
(单位：环)如下表所示：
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 7 7 8 9 8 9 10 9 9 9
乙 8 9 7 8 10 7 10 10 7 10
依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是
A.甲的平均成绩高于乙的平均成绩
B.预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛
C.预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛
D.预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛
10 .如图，平行六面体45C。-451GA的体积为6,点尸为线段4"上的动点，则下列
三棱锥中，其体积为1的有
A.三棱锥P-GCD
B.三棱维
C.三棱锥P-D/C
D.三棱锥P-D/C
11 .已知/(x)是R上的连续函数，满足wR有/(x + y) + /(x-y) = ,且
/(I) = 1.则下列说法中正确的是
A. /(0) = 0 B. /(x)为偶函数
3
C. /(x)的一个周期为6 D. (：,0)是/(x)的一个对称中心
4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分.
12 .已知集合/ = {x|lnx13 .已知等差数列{勺}各项不为零，前〃项和为S.,若 ,=41ag「则.3=.
14 .三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：
性质1： △NSC的面积 /tanN；
2 2
性质2：对于△45C内任意一点P,有7瓦万+反 而+5 行=7瓦就+配 丽
+CACBi
性质3： Zi/BC内存在唯一一点P,使得〃"3 = NPBC = NPC4 = a.这个点P称为
△ 45C的“勃罗卡点，角。称为△4BC的“勃罗卡角”.
若△/8C的三边长分别为1JJ5.根据以上性质，可以计算出△/5C的“勃罗卡角”
的正切值为.
一高三数学第2页(共4页)一
四、解答题1本题共S小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步乘.
15. (13 分)
在&48c中，珀4B.C的对必a,b,c成公差为2的等差数列.
(I)若A48C为锐角三角形,求a的取色范困
(2)若7sin/l = 3sinC.求A48c的面税.
16. （15 分）
如图.在三极锥 P-45C 中,R4J.平面 45c. /B = BC = 1,44BC = 120°,
PA^AC,。为PC的中点.
(1)求证：BDLACx
(2)求80与平面以8所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知 /(x) = xln(x-1)-ax(a ? R).
(1)若/(外在定义域上单调递增，求a的取值范围:
(2)若y = /(x)有极大值雁，求证：m<-A.
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18. (【7分)
已知椭圆C:刍■ + 4 = 1(4>〃>0)的离心率。=正，过点P(4,0)作出线/与椭咧，
a b 2
交于46两点(/在8上方)，当/的斜率为-时，点｛恰与椭圆的上顶点通合.
4
(I)求椭网CfKj标准方程1
(2)已知设直线AUM5的斜率分别为3A ，设A/M"的外接网圆心为6
点B关于x轴的对称点为。.
⑴求勺+为的值；
(ii)求证 MEJlPD.
19. (17 分)
通过抛掷骰子产生随机数列｛4｝，具体产生方式为：若第2(2 = 1,Z3,…牌)次抛掷得
到点数= 1,2,3,4,5,6)，则/ = i.记数列 )的前〃项和为S,，％,为S.除以4的余数.
(1)若〃 =2,求S2=4的概率；
(2)若n=2,比较尸(占=0)与尸(兄=3)的大小，说明理由：
(3)若〃= 20, (x+x2 + x3 + x4 + x5 + x6)2° = b0 + +b2x2 +---+bl2f>xnot 试确
定该展开式中各项系数与事件S, =/(/GN),J4120)的联系，并求入2。=0的概率.
一高三 数学第4页(共4页)一
、I
2025届高三模拟测试
数学参考答案及评分意见
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A A D C C C
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。
题号 9 10 11
答案 CD ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 2 13. — 14.—.
2 5
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】(1)因为是公差为2的等差数列，
所以b = a + 2, c = a + 4,所以首先a + (a+ 2)>(a+ 4),则。>2； .......2分
7E
其次，因为A4BC为锐角三角形，所以最大角Cw(0,；),
. r2 _ 2
所以cosC>0,则— —— >0 , .................. 4分
2ab
所以即/一4。-12>0,解得。>6； .................. 6分
(2)因为7sin/ = 3sinC,由正弦定理可得7a = 3c,
即 7a = 3(a + 4),
解得 a = 3,则 b = 5, c = 7, 9分
a2 + b2-c2
所以cos C =
2ab 2
g、I C 1 , . Q c 6 158
所以 Susc = -^sinC = —x3x5x —=——.
16.【解析】(1)取/C的中点为E,连接B瓦。E,
因为。为PC的中点，所以DE〃P4,
因为PZJ_平面所以。E_L平面力BC,
所以DE上4C,
因为 48 = BC = 1,所以 ........... .
因为。=
所以4S_L平面)无，且BDu平面BDE,
所以即_LZC； .................. 7分
(2)以点4为坐标原点，以力民/尸为轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
一高三数学第1页(共5页)一
因为^B = 3C = 1, ZABC = 120°f PA = AC,
所以3(100), P(0。我, 吗奈0)，
则呜乎，当，所以丽二(—：,手，当，
I 1 4 T T 4
平面PAB的法向量为n = (0,1,0), ...............
一 旦
所以 cos v 而,n >= 2 - = -^―=—,
\BD\^\n\ 1x1 4
即皿与平面研所成角的正弦值为学 ......................... 15分
Y
17.【解析】(1)因为r(x) = ln(x-l) +二一一a,
x-1
1 1 _ X-2
广(x) = 2 分
因为lx>2时,/〃(x)>0,尸(x)单调递增,
所以 Omin =，'⑵=2 -a， ....................... 4 分
因为，(X)在定义域上单调递增，所以/'a)N0恒成立，
所以2—aNO,即aW2. ................... 6分
(2)由(1)可知，当y = /(x)-加有两个不同的零点时，a>2
此时，'a)min=/'(2) = 2-a<0，
且 X 1 时 f\x) -> 4-00 , X -> +00 时 f\x) -> +00 ,
所以/'(x) = 0，则工=演,、=工2(1 <$ <2<々)，其中 ln(x.-1) + " = a(i = 1,2),
一 ~ 苍-1
因为1VXVX］时,f\x) > 0, /(x)单调递增；
为<工)单调递减；
时，/V)>0, /(X)单调递增，
一高三数学第2页(共5页)一
所以x = X］为/（X）的极大值点，则加=/（X1）. ......................10分
且 /（%）=玉［In（玉一 1） 一 a］=玉［ln（± - 1） 一 ln（% 一 1） 一一^―］ = - ,
再一1 X| -1
设ga)= —1(l0,
x-\ x-\
所以g(x)在(1,2)单调递增， ........................15分
所以g(x) < g(2) =-4 ,即加 V—4.
18 【解析】（1）由条件可知直线/:歹=一23+ 1,
4
依题意可知6 = 1,
因为e = ,所以“=2'
尤2
所以椭圆。的标准方程为1 +必=1； ,4分
(2) (i)设直线/:x = my + 4, A(x],y]\B(x2,y2) f
x = my+4
联立方程 x2 ,消去 x 得：(疗+4)/+8冲+12 = 0,
—+ y =1
14/
一8加 12
则有弘+y2 =罚，必力二罚 6分
则K + &二人+上=色4+ X必一⑶+ 土),
1 2 玉-1 %-1 a-g-i)
12 4
其中分子=%%+%另一(弘+必)=2吵跖+3(弘+%) = 2/wx-^—+ 3x
m +4
所以收=2孙%+3(k+%) = o. .............................
10分
1 2 a-g-1)
解法一：（ii）因为垂直平分线方程为夕-互=-五」（X- $ +1
），
2 弘 2
x -1 3x：
即夕=一~!—x+U ①
弘 8弘
同理MB垂直平分线方程为歹=一强」"X +芥... ②
以2 8%
1 1 x — 1 V — 1
由于匕+&=0可得一+ —= 0,即」一+，一=0, ..............12分
k\ h 必 y2
所以①+②得：2;^=善+善=；（工+」--（*+%））=”.皿土把（1一弘必），
8必 8% 2弘% 2 y1y2
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;.如必（1 ）,
4 yty2
由的①得：研2f % -一芳）『3（五2+（%/））,
加2 2%力
因为直线48过点P（4,0）,所以％4 y , %二怎8,即
*一 4 x2 -4
则有玉% — =4（% 一弘），
所以小=；。+y跖）,
......................15分
沙+必）（1一弘力） -8/w
所"士----------- 3.(弘+ %)_ 3 疗+4- -------- ---- -------Hl ,
X— 幻… 2 %弘 2 12
乙 “ +4
因为 kpD=_k{B=_L，所以 kpD*ME =
m (--) = "1， m
所以朋E_L尸Q. ......................17分
解法二：（ii ）设圆后：X2+。+仍+纱+ / = （）,
因为"（1,0）在圆E上，则有l + d + / = 0 ......................12分
直线/与圆E交于43 ,则有卜2+「+〃 +”+ / = °,
[x = my + 4
消去x 得：(加2+1)/+(8m+血+ +16+4〃+/ = 0 (*)
则弘，必是方程（*）的两根.
由于（i ）可知为必是方程（加2+4）j +8叼+12 = 0的两根、
加2 +1 _8/n + d/n + e 16 + 4d + /
此两方程为同解方程，则有
加 2+4 Sm 12
-m2-16 _ (zn2 -8)zw
解得d = 15分
加2+4 ' m2+4
所以圆心之（加之:北（8一：2）加,
2（/w2+4） 2（w2+4）
（8-tw2）/w
2（m2 +4）
所以右L-痴+ 16 ]=加'
2（加 2+4）一
因为卜「0=-％=-工，所以须0%准=mx(-，) = _l,
tn m
所 ........................17 分
19.【解析】(1) 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 14-3,
1 , 1
所以尸62=4) = 3乂匕)2=3； ......................4分
6 12
(2)兄=0的情形有：4 = 3 + 1 = 2 + 2, 8 = 6 + 2 = 5 + 3 = 44-4, 12 = 6 + 6,
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1 9
因此，P(^2=0) = 4(2 + l + 2 + 2+l + l) = —,........... 7分
~ 6 36
匕=3的情形有：3 = 2 + 1,7 = 6 + 1 = 54-2 = 4 + 3, 11 = 6 + 5,
因止匕，。(丫2=3) = 4(2 + 2 + 2 + 2 + 2)=3，
6 36
所以P(X2 = 0)v 尸(丫2=3)； .............. 10分
(3) (x + x2 +x3 +x4 + jc5 +JC6)20 = bQ +b{x + b2x2 + +Z>120jc,2°，
^20 = J)= -^T(J = 1,2,3, ,120),其中优=8 =…=瓦=0，…12分
O
令X = 1 ,得到6 ° =%+[ +% +,+…+49 +420，
令 X = — 1，得到 0 =瓦—U + b2 - b3 T----419 + "120 ’
因此，—x620 = Z>0 + Z>2 + 64 + Z>6 +/>1 18 + bl2() 14分
令工="得到（_] +评。=（%_62+a_ 一 +10）+（4_63+庆一5_ +鬣7_49）「
又因为（一1 +评°=（一24°=一27
所以—210 = bQ—b2+b4--- 卜如0，
因此，ft0+/>4+fe8+-- + fe120 = ^x620 -29,
16分
1 29
所以，户(k0 =0) = 1—存........... 17分
一高三数学第5页（共5页）一

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