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(共26张PPT)
7.2.1 平行线的概念
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
1. 用定义判断两条直线是不是平行时，注意前提条件“在同一个平面内”.
2. 两条线段平行，是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们所在的直线不相交.
1. 思考变式 教材 P11，思考改编 下列是平行线的一组是 （ ）
■考点1 平行线的定义
A
2. 思考变式 教材 P11，思考改编 在同一平面内，直线 m 和 n 满足下列关系，写出其对应的位置关系.
（1）直线 m，n 没有交点，则 m 与 n ________；
（2）直线 m，n 只有一个交点，则 m 与 n ______.
平行
相交
3. 练习高仿 教材 P12，练习改编 如图，在方格纸中有两条线段 AB，BC．利用方格纸完成以下操作：
（1）过点 A 作 BC 的平行线；
（2）过点 C 作 AB 的平行线，与（1）中的平行线交于点 D.
解：（1）如图所示，直线 AE 即为所求；
（2）如图所示，直线 CD 即为所求.
■考点2 平行线的画法
4. 练习高仿 教材 P12，练习改编 如图，过点 C 画 CE∥AD 交 BA 的延长线于点 E.
解：如图所示.
5. 思考变式 教材 P12，思考改编 在同一平面内有三条直线，若其中有且只有两条直线平行，则它们的交点有 （ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
C
■考点3 平行公理及推论
6. 思考变式 教材 P12，思考改编 下面推理正确的是（ ）
A． 因为 a∥b，b∥c，所以 c∥d
B． 因为 a∥c，b∥d，所以 c∥d
C． 因为 a∥b，a∥c，所以 b∥c
D． 因为 a∥b，c∥d，所以 a∥c
C
7. 思考变式 教材 P12，思考改编 直线 a 同侧有 A，B，C 三点，若过点 A，B 的直线 m 和过点 B，C的直线 n 都与 a 平行，则 A，B，C 三点______，原因是 ____________________________________________________.
共线
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8. 判断正误.
（1）不相交的两条直线是平行线. （ ）
（2）在同一平面内，两条不相交的线段是平行线. （ ）
■易错点 误认为两条线段不相交，这两条线段平行
易错归纳
×
×
9. 易错题 在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是 （ ）
A． 垂直或平行
B． 垂直或相交
C． 平行或相交
D． 平行、垂直或相交
C
10. 如图，在平面内过点 O 作已知直线 a 的平行线和垂线，可作的条数分别是 m 条和 n 条，则 m+n 的值为 （ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 无数
C
11. 应用意识 如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（ ）
A． 平行
B． 垂直
C. 平行或垂直
D． 无法确定
A
12. 如果 l1，l2，l3，l4 是同一平面内互不重合的四条直线，l1∥l2，l2∥l3，l3∥l4，那么 l1 与 l4 的关系是 （ ）
A． 平行 B． 相交 C． 重合 D． 垂直
A
13. 几何直观 观察如图所示的长方体，与棱AB 平行的棱有 （ ）
A． 4 条 B． 3 条 C． 2 条 D． 1 条
B
14. 数形结合思想 如图所示的网格纸中，AB∥_____，AB⊥_____.
CD
AE
15. 如图，PC∥AB，QC∥AB，则点 P，C，Q 在一条直线上．理由是 _________________________________________________.
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
16.（1）如图，因为直线 AB，CD 相交于点 P（AB，CD 不是同一条直线），AB∥EF，所以 CD 与EF 不平行.
理由：_____________________________________________________；
（2）因为直线 a∥b，b∥c，所以 a∥c.
理由：_____________________________________________________.
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平行于同一直线的两直线平行
17. 推理能力 如图，直线 a∥b，b∥c，直线 d 与 a 相交于点 A．
（1）判断直线 a 与 c 的位置关系，并说明理由；
（2）判断直线 c 与 d 的位置关系，并说明理由．
解：（1）直线 a 与 c 的位置关系是平行，理由：因为直线 a∥b，b∥c，所以a∥c；
（2）直线 c 与 d 的位置关系是相交，
理由：因为直线 c∥a，直线 d 与 a 相交于点 A，所以直线 c 与 d 的位置关系是相交．
18. 如图，在∠AOB 内有一点 P．
（1）过点 P 画直线 l1∥OA；
（2）过点 P 画直线 l2∥OB；
（3）用量角器测量，并比较l1 与 l2 相交形式的角与∠O 的大小关系.
解：（１）（２）如图所示；
（３）ｌ１ 与 ｌ２ 的夹角有两个：∠１ 和∠２；
∠１＝∠Ｏ，∠２＋∠Ｏ＝180°，所以 ｌ１ 和ｌ２的夹角与∠Ｏ 相等或互补．
19. 实际操作题 几何直观 在如图所示的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空．
（1）过点 A 作 BC 的垂线，垂足为点 D，该垂线经过的一个格点记为点E．
解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（2）过点 E 作 AC 的平行线 EF，该平行线经过的一个格点记为 F；过点 B 作 AC 的平行线 BG，该平行线经过的一个格点记为 G，连接 AB.
【发现】EF 与 BG 的位置关系为 ___________；
【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：________________________________________________________；
【发现】线段 AD 的长度是点 A 到直线 _____的距离；线段 AD，AB 的大小关系为 _______（用“＜”连接）；
【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________．
平行
平行于同一条直线的两条直线平行
BC
AD＜AB
垂线段最短(共42张PPT)
7.1.2 两条直线垂直 复习课件
第一课时 垂 线
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
第一课时 垂 线
1. 在同一平面内，可用三角尺或量角器画已知直线的垂线，步骤为：一落，二移，三画.
2.“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
1. 练习变式 教材 P6，T1 改编 如图，直线 AB 和 CD相交于点 O，OE⊥OC．若∠AOC=58°，则∠EOB的大小为 （ ）
A． 29° B． 32° C． 45° D． 58°
■考点1 垂直的定义
第一课时 垂 线
B
2. 练习变式 教材 P6，T1 改编 如图，已知直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，下列条件中不能说明AB⊥CD 的是 （ ）
A． ∠AOC=90°
B．∠AOC=∠BOC
C． ∠AOC=∠BOD
D．∠AOC+∠BOD=180°
第一课时 垂 线
C
3. 练习变式 教材 P6，T1 改编 如图，OA⊥OB，∠AOD= ∠COD，∠BOC =3∠AOD， 则 ∠COD的度数是 _______.
第一课时 垂 线
30°
4. 例题变式 教材 P5，例 2 改编 下列各选项中，过直线 l 外一点 P 画 l 的垂线 CD，三角板操作正确的是 （ ）
第一课时 垂 线
D
■考点2 垂线的画法
5. 例题高仿 教材 P5，例 2 改编 如图，在方格纸上，过点 A 作直线 l 的垂线，过点 B 作直线 m 的垂线．
第一课时 垂 线
解：如图所示.
6. 探究变式 教材 P5，探究改编 如图，在一张透明的纸上画一条直线 l，在 l 外任取一点 Q，并画出过点 Q 且与 l 垂直的直线，能画出这样的直线
（ ）
A． 0 条
B． 1 条
C． 2 条
D． 无数条
第一课时 垂 线
B
■考点3 垂线的性质
7. 已知 OA⊥OB，且∠AOC ∶∠AOB =1 ∶3，则∠BOC 的度数是 ______________.
第一课时 垂 线
■易错点 未给出图形，考虑不周而致错
易错归纳
60°或 120°
8. 下列四个图形中，过点 B 作 AC 的垂线，正确的是（ ）
第一课时 垂 线
A
9. 易错题 在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是 （ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 无数
第一课时 垂 线
B
10. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OM 平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°，则∠CON 的度数为 （ ）
A． 65°
B． 55°
C． 45°
D． 35°
第一课时 垂 线
B
11. 方程思想 如图，已知 OA⊥OB，直线 CD 经过顶点 O，若∠BOD∶∠AOC=5∶2，则∠BOC=（ ）
A． 28° B． 30° C． 32° D． 35°
第一课时 垂 线
B
第一课时 垂 线
12. 如图，OA⊥OB，∠AOC=120°，则∠BOC 等于_____.
30°
13. 几何直观 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，求∠NOD 的度数；
（2）若∠1= ∠BOC，求∠AOC 与∠MOD 的度数．
第一课时 垂 线
第一课时 垂 线
解：（1）因为 OM⊥AB，所以∠AOM=∠1+∠AOC=90°，因为∠1=∠2，所以∠NOC=∠2+∠AOC=90°，所以∠NOD=180°-∠NOC=180°-90°=90°；
（2）因为OM⊥AB，所以∠AOM=∠BOM=90°，因为∠1= ∠BOC，所以∠BOC=∠1+90°=3∠1，解得∠1=45°，所以∠AOC =90° - ∠1 =90° -45° =45° ，∠MOD=180°-∠1=180°-45°=135°．
14. 推理能力 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OC平分∠BOE，∠AOE=2∠FOD．
（1）若∠FOD=21°，求∠AOD 的度数；
（2）猜想 OE 与 OF 之间的位置关系，并说明理由．
第一课时 垂 线
第一课时 垂 线
解：（1）因 为 ∠FOD = 21 ° ， ∠AOE =2∠FOD，所以∠AOE=42°，所以∠BOE=180°-∠AOE=180°-42°=138°，因为OC 平分∠BOE，所以∠COE=∠BOC= ∠BOE= ×138°=69°，所以∠AOD=69°；
（2）OE⊥OF，理由如下：设∠DOF=x,∠COE=y，则∠AOE=2x,∠BOE=2y,因为∠AOE+∠BOE=180°，所以 2x+2y=180°，所以 x+y=90°，即∠DOF+∠COE=90° ，因为∠EOF +∠DOF +∠COE=180°，所以∠EOF=90°，所以 OE⊥OF．
15. 分类讨论思想 运算能力 如图，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OE 平分∠AOD，∠BOD=44°.
（1）求∠COE 的度数；
（2）若射线 OF⊥AB 于点 O，请补全图形，并求∠EOF 的度数．
第一课时 垂 线
第一课时 垂 线
解：（1）因为∠BOD=44°，所以∠AOD=180° -∠BOD=136° ，因为 OE 平分∠AOD，所以∠DOE=∠AOE= ∠AOD=68°，所以∠COE=180°-∠DOE=180°-68°=112°；
（2）①如图 1，当射线 OF 在∠DOE内部时，因为 OF⊥AB，所以∠AOF=
90° ，所以∠EOF =∠AOF -∠AOE=90°-68°=22°；②如图 2，当射线 OF
在∠BOC 内部时，∠EOF =∠AOF +∠AOE=90°+68°=158°，综上所述，
∠EOF=22°或 158°．
第二课时 垂线段及点到直线的距离
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
第二课时 垂线段及点到直线的距离
点到直线的距离是一个长度，而不是一个几何图形，也就是垂线段的长度，是一个数量，而不是垂线段．点到直线的距离只能量出或求出，而不能画出，画出的是垂线段这个图形．
1. 练习衍生 教材 P6，T2 改编 下列说法正确的是（ ）
A． 垂线段就是垂直于已知直线的线段
B． 垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线相交的线段
C． 垂线段是一条竖起来的线段
D． 过直线外一点向该直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫作垂线段
■考点1 垂线段的定义
第二课时 垂线段及点到直线的距离
B
2. 练习变式 教材 P6，T3 改编 如图，把水渠中的水引到水池 C，先过点 C 向渠岸 AB 画垂线，垂足为点 D，再沿垂线 CD 开沟才能使沟最短，其依据是 （ ）
A． 垂线最短
B． 过一点确定一条直线与已知直线垂直
C． 垂线段最短
D． 以上说法都不对
第二课时 垂线段及点到直线的距离
C
■考点2 垂线段的性质
3. 练习变式 教材 P6，T3 改编 如图，想在河流两岸搭建一座桥，图中的几种搭建方式中，最短的是 __________，理由是 __________________.
第二课时 垂线段及点到直线的距离
PB
垂线段最短
4. 练习高仿 教材 P6，T2 改编 在下列图形中，线段PQ 的长度表示点 P 到直线 l 的距离的是 （ ）
第二课时 垂线段及点到直线的距离
C
■考点3 点到直线的距离
5. 习题变式 教材 P9，T6 改编 如图所示，点 B，C，D，E 在直线 a 上，点 A 在直线 a 外，连接点 A与 B，C，D，E 四点的线段被一块挡板遮住，则下面哪条线段的长可能是点 A 到直线 a的距离 （ ）
A. 线段 AB
B. 线段 AC
C. 线段 AD
D. 线段 AE
第二课时 垂线段及点到直线的距离
B
6. 练习变式 教材 P6，T3 改编 如图，量得直线 l 外一点 P 到 l 的距离 PB 的长为 3 cm，若 A是直线 l 上一点，则线段 PA 的长不可能是（ ）
A. 3.5 cm
B. 6 cm
C. 2.8 cm
D． 4 cm
第二课时 垂线段及点到直线的距离
C
7. 练习变式 教材 P6，T2 改编 如图，已知 AC⊥BC，CD⊥AB，AC=3，BC = 4 ， CD =2.4，则点 C 到直线 AB 的距离等于 ______.
第二课时 垂线段及点到直线的距离
2.4
8. 体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是（ ）
A． 过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
B． 两点之间，线段最短
C． 垂线段最短
D． 两点确定一条直线
第二课时 垂线段及点到直线的距离
C
9. 如图，点 A 在直线 l1 上，点 B，C 分别在直线l2 上，AB⊥l2 于点 B，AC⊥l1 于点 A，AB=4，AC=5，则下列说法正确的是 （ ）
A． 点 B 到直线 l1 的距离等于 4
B． 点 A 到直线 l2 的距离等于 5
C． 点 B 到直线 l1 的距离等于 5
D． 点 C 到直线 l1 的距离等于 5
第二课时 垂线段及点到直线的距离
D
10. 易错题 如图，已知 AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是点 C，D，那么以下线段大小的比较一定成立的是 （ ）
A． CD＞AD
B． AC＜BC
C． BC＞BD
D． CD＜BD
第二课时 垂线段及点到直线的距离
C
第二课时 垂线段及点到直线的距离
12. 如图，BD⊥AC 于点 D，DE ⊥BC 于 点 E，若 DE=9 cm，AB=12 cm，不考虑点与点重合的情况，则线段BD 的取值范围是 ____________________.
9 cm＜BD＜12 cm
11. 最值问题 如图，在△ABC 中，BC=4，点 D 是BC 的中点，点 P 是线段 BC 上一个动点，若S△ACD=2，则 AP 的最小值是 （ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
第二课时 垂线段及点到直线的距离
C
13. 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点H 的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短？ 并说明理由．
第二课时 垂线段及点到直线的距离
第二课时 垂线段及点到直线的距离
解：（1）因为两点之间线段最短，所以如图，连接 AD，BC 交于点 H，则点H 为蓄水池位置，它到四个村庄的距离之和最小；
（2）如图，过点 H 作 HG⊥EF，垂足为点 G，沿 HG 开渠最短．理由：过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短．
14. 数形结合思想 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，BC=4 cm，AC=3 cm，AB=5 cm.
（1）点 B 到 AC 的距离是 ______ cm；点 A到BC 的距离是 ______ cm；
（2）画出表示点 C 到 AB 的垂线段 CD，并求出 CD 的长；
第二课时 垂线段及点到直线的距离
4
3
第二课时 垂线段及点到直线的距离
解：如图，CD 即为所作；因为 S△ABC= BC·AC= AB·CD，所以 BC·AC=AB·CD，所以 4×3=5CD，所以 CD= cm；
（3）AC______CD（选填“＞”“＜”或“=”），理由是 ___________________．
第二课时 垂线段及点到直线的距离
＞
垂线段最短
15. 联系生活实际 应用意识 噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．
如图，一辆汽车在笔直的公路上由点 A 向点 B 行驶，M，N 是分别位于两侧的某两所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由．
（1）分别画出学校 M，N 受噪声影响最严重的点 P，Q；
（2）在什么范围内，学校 M 受噪声影响越来越小，而学校 N 受噪声影响越来越大？
第二课时 垂线段及点到直线的距离
第二课时 垂线段及点到直线的距离
解：如图，点 P，点 Q 即为所求．过点M 作 MP⊥AB，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校 M 影响最严重；过点 N 作 NQ⊥AB，根据垂
线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校 N 影响最严重；
（2）如图所示，在 PQ 范围内，学校 M受噪音影响越来越小，而学校 N 受噪音影响越来越大．(共21张PPT)
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题.
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
1. 一块含 30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点 A，C 分别落在直线 a，b 上，若直线 a∥b，∠1=35°，则∠2 的度数是 （ ）
A． 45°
B． 35°
C． 30°
D． 25°
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
D
类型一 一次“拐点”问题
2. 将一个直角三角板按如图方式放置在一个无刻度的直尺上，可知∠1+∠2 的度数为（ ）
A． 270° B． 260 C． 250° D． 180°
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
A
3. 在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（AM∥CN），且每两个支撑 架之间的索道均是直的，若∠MAB=65°，∠NCB=55°，则∠ABC= （ ）
A． 110° B． 115° C． 120° D． 125°
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
C
4. 应用意识 某中学将国家非物质文化遗产———“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图 1 所示．将图 1 抽象成图 2 的数学问题：在平面内，AB∥CD．若∠BAE=55°，∠DCE=80°，则∠AEC 的度数为 （ ）
A． 115° B． 135°
C． 145° D． 155°
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
B
5. 较难题 如图，AB∥CD，点 E 为 AB 上方一点，FB，HG 分别为∠EFG，∠EHD 的平分线，若∠E+2∠G=150°，则∠EFG 的度数为 （ ）
A． 90°
B． 95°
C． 100°
D． 150°
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
C
6. 如图，如果 AB∥CD，∠α=145°，∠β=60°，那么∠γ 的度数是 _________.
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
25°
7. 易错题 如图，已知 AB∥CD，点 E 在 AB，CD之间，点 F，G 分别在 AB，CD 上，连接 EF，EG，∠BFE 的平分线 FQ 的反向延长线与∠CGE的平分线交于点 H，GH 交 AB 于点 P，∠BFQ=35°，∠DGE=40°，下列结论：
①∠H=∠AFH，
②EF∥GH，
③∠HFE=∠GEF，
④∠DGH=110°，
其中正确的有 ____________.（ 填出所有正确结论的序号）
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
①②④
8. 实践与探究：已知AB∥CD，点P是平面内一点．
（1）如图 1，若点 P 在 AB，CD 内部，请探究∠BPD，∠B，∠D 之间有何数量关系，并证明你的结论；
（2）如图 2，若点 P 移动到 AB，CD 外部，那么∠BPD，∠B，∠D 之间的数量关系是否发生变化？ 请给出你的证明．
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
解：（1）∠BPD=∠B+∠D.
证明：如图，作 PQ∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
（2）发生变化，应该为∠BPD=∠B-∠D，
证 明 ：∵AB ∥CD，∴ ∠B = ∠BOD， 而∠BOD=180° -∠DOP =180°-（180°-∠BPD - ∠D）= ∠BPD+∠D，∴∠B =∠BPD+∠D，即∠BPD=∠B-∠D
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
9. 如图，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C=（ ）
A． 180° B． 360° C． 540° D． 720°
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
类型二 多次“拐点”问题
C
10. 如图 ，AB ∥CD，BE ⊥EF，DF ⊥CD， ∠B =40°，则∠EFD 的度数是 （ ）
A． 120° B． 130° C． 140° D． 150°
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
C
11. 如图，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若 α=50°，β=26°，则 γ 的度数为 ________．
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
24°
12. 抽象能力 如图是一款长臂折叠 LED 护眼灯示意图，EF 与桌面 MN 垂直，当发光的灯管 AB 恰好与桌面 MN 平行时，若∠BCD=110°，∠CDE=95°，则∠DEF 的度数为 _____°．
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
115
13. 几何直观 如图，已知∠BAE+∠AED=180° ，∠1=∠2，那么∠F=∠G 吗？ 为什么？
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
解：∠F=∠G， 理由：∵∠BAE+∠AED=180°，∠AED+∠AEC=180°，∴∠BAE=∠AEC，∵ ∠1 = ∠2，∴ ∠BAE - ∠1 =∠AEC-∠2，∴∠FAE=∠AEG，
∴AF∥EG，∴∠F=∠G．
14. 类比法 推理能力 小明在参加数学兴趣活动小组时，探究如图1 这一基本图形．
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
【问题】如图 1，AB∥CD，试探究∠B，∠BED，∠D 三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展】将图 1 变为图 2、图 3（其中 AB∥CD 不变），请你直接写出相应的结论：图 2：______________________；图 3：____________________；
【应用】如图 4，运用上面的结论解决问题：AB∥CD，BE 平分∠ABF，DE 平 分 ∠CDF，∠BFD=120°，求∠BED 的度数．
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
解：【问题】∠BED=∠B+∠D．
理由：如图 1，过点 E 作 EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D，
即∠BED=∠B+∠D；
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
【拓展】∠B+∠BED+∠D=360° ∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠FGD
提示：如图 2，过点 E 作 EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°；
如图 3，分别过点 E，F，G 作EH∥AB，MF∥AB，GN∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥MF∥GN∥CD，
同（1）可得，∠B+∠MFE=∠BEF①，∠MFG+∠D=∠FGD②，
①+②得，∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠FGD；
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练
【应用】如图 4，过点 E，F 分别作 EG∥AB，FH∥AB．∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABF，∠3=∠1，又 ∵AB∥CD，∴EG∥CD，FH∥CD，∴∠6=∠CDF，
∠4=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4．
∵BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF，∴∠ABF=2∠1，∠CDF=2∠2，
∴∠BED=∠3 +∠4 = ∠ABF + ·∠CDF= ∠5+ ∠6= ∠BFD= ×120°=60°．
专项三 平行线中的“拐点问题”强化练(共19张PPT)
7.1.1 两条直线相交
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
第七章 相交线与平行线
①理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质；②理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；③掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；⑤识别同位角、内错角、同旁内角；⑥理解平行线的概念；⑦掌握平行线基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑧探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截，如果同位角（或内错角）相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行；⑨掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截，同位角（或内错角）相等（或同旁内角互补）；⑩能
课标链接·核心素养学段目标
第七章 相交线与平行线
用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线； 了解平行于同一条直线的两条直线平行；輥輰訛通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义；輥輱訛结合具体实例，会区分命题的条件和结论；輥輲訛知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑；輥輳訛了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的；輥輴訛通过具体实例认识平移，探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；輥輵訛认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；輥輶訛运用图形平移进行图案设计.
课标链接·核心素养学段目标
7.1.1 两条直线相交
1. 互为邻补角的两个角一定互补，互补的两个角不一定是邻补角.
2. 分清邻补角和对顶角：对顶角无公共边，邻补角有一条公共边.
1. 练习变式 教材 P3，T1 改编 下列各图中，∠1 与 ∠2 互为邻补角的是 （ ）
■考点1 认识对顶角和邻补角
7.1.1 两条直线相交
D
2. 练习高仿 教材 P3，T1 改编 下列工具中，有对顶角的是 （ ）
7.1.1 两条直线相交
C
3. 练习变式 教材 P3，T1 改编 如图， 直线 AB 与 CD相交于点 O，OE 为射线．
（1）∠AOC 的对顶角是 _________；
（2）∠AOE 的邻补角是 _________．
7.1.1 两条直线相交
∠BOD
∠BOE
4. 练习高仿 教材 P3，T3 改编 如图，已知直线 AB，CD相交于点 O，如果∠AOC=2x°，∠BOD=7x°-100°，则∠AOD 的度数为 （ ）
A． 100° B． 120°
C． 130° D． 140°
7.1.1 两条直线相交
D
■考点2 邻补角和对顶角的性质
5. 练习变式 教材 P3，T3 改编 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE平分∠BOD，∠COB 与它的邻补角的差为 40°，则∠AOE=_______.
7.1.1 两条直线相交
145°
6. 两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x-10）°和（110-x）°，则 x=_________.
7.1.1 两条直线相交
■易错点 未给出图形，没有分类讨论而致错
易错归纳
40 或 80
7. 跨学科 物理 如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与∠AOM 互为对顶角的是 （ ）
A. ∠MOE
B. ∠NOB
C. ∠B′OB
D. ∠B′ON
7.1.1 两条直线相交
D
8. 方程思想 如图， 直线 AB 交 CD 于点 O，OE 平分∠BOD，OF 平分∠COB，∠AOD∶∠BOE=4∶1，则∠AOF 等于 （ ）
A． 130° B． 120°
C． 110° D． 100°
7.1.1 两条直线相交
B
9. 如图，已知直线 AB 与 CD 相交于点 O，ON 平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON 的度数为 ______°．
7.1.1 两条直线相交
145
10. 如图，若∠3+∠6=190°，则∠1+∠5=________；若∠3+∠4=130°，则∠2+∠5=__________．
7.1.1 两条直线相交
190°
230°
11. 推理能力 如图，直线 MD，CN 相交于点 O，OA 是∠MOC 内的一条射线，OB 是∠NOD 内的一条射线，∠MON=70°．若∠AOD=2∠BOD，∠BOC=3∠AOC，求∠BON 的度数．
7.1.1 两条直线相交
解：因为∠MON=70°，所以∠COD=∠MON=70°，设∠AOC=x，则∠BOC=3x,∠AOD=x+70°，所以∠BOD=3x-70°，因为∠AOD=2∠BOD，所以 x+70°=2（3x-70°），解得 x=42° ，所以∠BOC=126°，所以∠BON=180°-∠BOC=54°．
7.1.1 两条直线相交
12. 几何直观 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，且∠1=∠2．
（1）写出∠1 的对顶角；
（2）若∠2 和∠3 的度数比是 2∶5，求∠4 和∠AOC 的度数．
解:(1)∠1 的对顶角是∠AOC;
(2)因为∠1=∠2,∠2 和∠3 的度数 比是 2∶5,所以∠1∶∠2∶∠3=2∶2∶5,设 ∠2=2x,则∠1=2x,∠3=5x,由题意, 得 2x+2x+5x=180°,解得 x=20°,所以 ∠1=40°,∠2=40°,∠3=100°,根据对 顶角相等,得∠4=∠BOC=∠2+∠3= 140°,∠AOC=∠1=40°.
13. 方案选择问题 应用意识 如图所示的是古城墙的一角，要测量墙角∠AOB 的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案：
7.1.1 两条直线相交
对于方案 I、II，说法正确的是 （ ）
A． I、II 都可行 B． I、II 都不可行
C． I 可行、II 不可行 D． I 不可行、II 可行
7.1.1 两条直线相交
A(共44张PPT)
7.2.3 平行线的性质
第一课时 平行线的性质
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
第一课时 平行线的性质
见平行、同位角，想同位角相等；见平行、内错角，想内错角相等；见平行、同旁内角，想同旁内角互补.
1. 练习变式 教材 P17，T1 改编 如图，直线 a∥b，∠1=50°，则∠2 的度数是 （ ）
A． 130° B． 50° C． 40° D． 150°
■考点1 两直线平行，同位角相等
第一课时 平行线的性质
B
2. 练习高仿 教材 P17，T2 改编 如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80° ，则∠2 的度数是______.
第一课时 平行线的性质
100°
3. 练习变式 教材 P17，T2 改编 如图，直线 a∥b，点 B在直线 b 上，且 AB⊥BC，∠1=55°，则∠2 的度数为 ______.
第一课时 平行线的性质
35°
4. 练习高仿 教材 P17，T3 改编 如图，小聪把含有 60°角的三角板的两个顶点 放 在 直 尺 的 对 边上，并测得∠1=25°，则∠2= （ ）
A． 25° B． 30°
C． 35° D． 60°
第一课时 平行线的性质
C
■考点2 两直线平行，内错角相等
5. 练习变式 教材 P17，T2 改编 如图，AB∥ED，∠ECF=70°，则∠BAF=______.
第一课时 平行线的性质
110°
6. 练习变式 教材 P17，T2 改编 如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A 的度数为______.
第一课时 平行线的性质
124°
7. 练习高仿 教材 P17，T3 改编 如图，已知 a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线 a 上．若∠1=40°，则∠2 的度数为 （ ）
A． 100° B． 110° C． 120° D． 130°
第一课时 平行线的性质
D
■考点3 两直线平行，同旁内角互补
8. 练习变式 教材 P17，T2 改编 如图，AB∥CD∥EF，则∠BAC+∠ACE+∠CEF= （ ）
A． 120° B． 180° C． 270° D． 360°
第一课时 平行线的性质
D
9. 例题变式 教材 P16，例 2 改编 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB 交 CD 于点 E，若 ∠ C = 48 ° ， 则∠AED 为 _______.
第一课时 平行线的性质
114°
■易错点 误认为两直线平行，同旁内角相等
10. 如图，已知直线 a∥b，∠1=120°，则∠2 的度数是 _________.
第一课时 平行线的性质
60°
易错归纳
11. 如图，直线 a∥b，c⊥a，则 c 与 b 相交所形成的∠1 的度数为 （ ）
A． 45° B． 60°
C． 90° D． 120°
第一课时 平行线的性质
C
第一课时 平行线的性质
12. 易错题 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线 AB 与表示水底的直线 CD 平行，光线 EF 从空气射入水中，改变方向后射到水底 G 处，FH 是 EF 的延长线，若∠1=42°，∠2=16°，则∠CGF 的度数是（ ）
A． 58° B． 48° C． 26° D． 32°
A
13. 如图，直线 a∥b，直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在直线 a 上，若∠1=35°，则∠2 等于（ ）
A． 65° B． 50° C． 55° D． 60°
第一课时 平行线的性质
C
14. 如图，CD 平分∠ECB，且 CD∥AB，若∠A=36°，则∠B=______.
第一课时 平行线的性质
36°
15. 如图，点 A，C，F，B 在同一直线上，CD 平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA 为 α°，则∠GFB 的度数为 __________（用含 α 的代数式表示）．
第一课时 平行线的性质
90°-
16. 应用意识 一大门的栏杆如图所示，BA 垂直地面AE 于点 A，CD 平行于地面 AE，则∠ABC+∠BCD=_____°．
第一课时 平行线的性质
270
17. 数形结合思想 如图，已知 AB∥CD，EF 交 AB于点 E，交 CD 于点 F，FG 平分∠EFD，交 AB 于点G．若∠1=50°，求∠BGF 的度数．
第一课时 平行线的性质
第一课时 平行线的性质
解：∵AB∥CD，∠1 =50° ，∴∠CFE=∠1=50°．∵∠CFE+∠EFD=180°，
∴∠EFD=180°-∠CFE=130°．∵FG 平分 ∠EFD，∴ ∠DFG = ∠EFD=65°．
∵AB∥CD，∴∠BGF+∠DFG=180°，∴∠BGF=180°-∠DFG=180°-65°=115°．
18. 推理能力 如图，已知射线 AB 与直线 CD 相交于点O，OF 平分∠BOC，OG⊥OF 于点 O，AE∥OF，且∠A=30°．
（1）求∠DOF 的度数；
（2）求证：OD 平分∠AOG．
第一课时 平行线的性质
第一课时 平行线的性质
解：（1）∵AE ∥OF，∴ ∠FOB = ∠A =30°，∵OF 平分∠BOC，∴∠COF=∠FOB=30°，∴∠DOF=180°-∠COF=180°-30°=150°；
（2）证明：由（1）知，∠DOF =150° ，∵OF ⊥OG，∴ ∠FOG =90° ，∴ ∠DOG =∠DOF-∠FOG=150°-90°=60°，
∵ ∠AOD = ∠BOC = ∠COF + ∠FOB =60° ，∴ ∠AOD = ∠DOG，∴OD 平 分∠AOG．
19. 跨学科 抽象能力 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G 的方向竖直向下，支持力 F1 的方向与斜面垂直，摩擦力 F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角 α=25°，则摩擦力 F2 与重力 G 方向的夹角 β 的度数为 （ ）
A． 155°
B． 125°
C． 115°
D． 65°
第一课时 平行线的性质
C
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
分清平行线的性质与判定：在已知平行的条件下，用的是平行线的性质；要证明平行时，用的是平行线的判定.
1. 例题变式 教材 P17，例 3 改编 如图，直线 a 与直线b 被直线 c 所截，若∠1=∠2，则∠3 与∠4 的数量关系为 （ ）
A． ∠3＞∠4
B． ∠3＜∠4
C． ∠3=∠4
D． 无法判断
■考点 平行线的性质与判定的综合运用
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
C
2. 例题变式 教材 P18，例 4 改编 如图，直线 l1 和 l2 被直线 l3 和 l4 所截，∠1=∠2=130°，∠3=75°，则∠4 的度数为 （ ）
A． 75° B． 105° C． 115° D． 130°
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
B
3. 例题变式 教材 P18，例 4 改编 如图，一个由 4 条线段 a，b，c，d 组成的“鱼”形图案，若∠1=45° ，∠2=45°，∠3=140°，则∠4 的度数为（ ）
A． 35° B． 40° C． 45° D． 50°
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
B
4. 习题变式 教材 P19，T5 改编 如图，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，则∠AED=_______.
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
90°
5. 例题高仿 教材 P18，例 4 改编 如图，已知∠1+∠2=180°，∠4=∠A，试说明∠ACB=∠DEB．
解：∵∠1+∠2=180°（已知），∠_______+∠5=180°（平角的意义），
∴∠2=∠________（同角的补角相等），
∴AB∥EF（_________________________），
∴∠3=∠_______（两直线平行，内错角相等），
∵∠4=∠A（已知），∴∠_______=∠A（等量代换），
∴DE∥AC（______________________），
∴∠ACB=∠DEB（______________________）．
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
1
5
内错角相等，两直线平行
4
3
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
6. 练习变式 教材 P18，T2 改编 如图，已知 EF∥CD，∠A=110°，∠EFC=35°，CF 为∠ACD 的平分线，那么 AB 与 CD 平行吗？ 说明理由.
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
解：AB 与 CD 平行．
理由：∵CF 为∠ACD 的平分线，∴∠ACD=2∠FCD，∵EF∥CD，∴∠FCD=∠EFC=35°，∴∠ACD=70°，又 ∵∠A=110° ，∴ ∠A + ∠ACD =110° +70° =180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
7. 如图，∠1=∠2，∠4=130°，则∠3 等于（ ）
A． 30° B． 35° C． 50° D．65°
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
C
8. 将一个含有 45°角的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，∠1=20°，则∠2 的度数为（ ）
A． 45° B． 60° C． 70° D． 80°
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
C
9. 抽象能力 雯雯发现英文大写字母“F”中某一个部分也可以抽象成一个数学问题：如图，已知 AB∥CD，∠ABE=97°，∠CDE=136°，则∠E的度数是 （ ）
A. 33° B. 39° C. 43° D. 33°°
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
B
10. 易错题 如图，已知∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC=∠B，点 E 是线段 BA 延长线上一点，且∠ACB=∠ADE．以下四个结论：①ED∥AC；②BE∥CD；③CA 平分∠BCE；④∠BED=∠ACD．其中结论正确的个数是 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
C
11. 应用意识 某市为了方便市民绿色出行，如图 1 所示的某品牌共享单车，图 2 是其示意图，其中 AB，CD 都与地面 l 平行，∠BCD=62°，∠BAC=53°，当∠MAC 的度数为________ 时，AM 与 CB 平行.
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
65°
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
12. 如图，点 C，D 在直线 AB 上，∠ACE+∠BDF=180°，EF∥AB．
（1）求证：CE∥DF；
（2）∠DFE 的平分线 FG 交 AB 于点 G，过点 F作 FM⊥FG 交 CE 的延长线于点 M．若∠CMF=55°，先补全图形，再求∠CDF 的度数．
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
解：（1）证明：∵∠ACE+∠BDF=180°，∠ADF+∠BDF=180°，
∴∠ACE=∠ADF，∴CE∥DF；
（2）补全图形，如图所示，∵CE∥DF，即 CM∥DF∴∠CMF+∠DFM=180°，
∵∠CMF=55°，∴∠DFM=125°，∵FM⊥FG，∴∠GFM=90°，∴∠DFG=∠DFM-∠GFM=35°，
∵FG 是∠DFE 的平分线，∴∠DFE=2 ∠DFG =70° ，∵EF ∥AB，∴ ∠CDF +
∠DFE=180°，∴∠CDF=110°．
13. 如图是一个汉字“互”字，其中，GH∥EF，∠1=∠2，∠MEF=∠GHN．
求证：（1）∠MGH=∠GHN；（2）AB∥CD．
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
13. 证明：（1）∵GH∥EF，∴∠MEF=∠MGH，
又∵∠MEF=∠GHN，∴∠MGH=∠GHN；
（2）如图，延长 ME 交 CD 于点 P，
∵∠MGH=∠GHN，∴ME∥HN，∴∠3=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AB∥CD．
14. 动点问题 推理能力 如图，已知 AM∥BN，∠A=60°，点 P 是射线 AM 上一动点（与点 A 不重合），BC ，BD 分 别平分 ∠ABP 和∠PBN，交射线AM 于点 C，D（推理时不需要写出每一步的理由）.
（1）求∠CBD 的度数；
（2）当点 P 运动时，∠APB 与∠ADB 的度数的比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点 P 运动到使∠ACB=∠ABD 时，
求∠ABC 的度数．
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∵∠A=60°，∴∠ABN=180°-60°=120°，∴∠ABP+∠PBN=120°，
∵BC 平分∠ABP，BD 平分∠PBN，
∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=120°，∴∠CBP+∠DBP=60°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；
第二课时 平行线的性质与判定的综合运用
（2）不变，∠APB∶∠ADB=2∶1．
理 由 ：∵AM ∥BN，∴ ∠APB = ∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD 平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴ ∠APB ∶ ∠ADB = ∠PBN ∶ ∠DBN =
2∠DBN∶∠DBN=2∶1；
（3）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD 时，则有∠ABD=
∠CBN，∴ ∠ABC + ∠CBD = ∠CBD +∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，
由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，∴∠ABC+∠DBN=60°，∴∠ABC=30°(共10张PPT)
专项二 平行线的判定方法专练
在判定平行的过程中，主要是能找到对应角的关系，常用的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
1. 易错题 如图所示的为平面上五条直线 l1，l2，l3，l4，l5 相交的情形，根据图中标示的角度，下列说法正确的是 （ ）
A． l1 和 l3 平行，l2 和 l3 平行
B． l1 和 l3 平行，l2 和 l3 不平行
C． l1 和 l3 不平行，l2 和 l3 平行
D． l1 和 l3 不平行，l2 和 l3 不平行
C
2. 答案开放性问题 如图，已知∠B=∠D，要使 BE∥DF，还需补充一个条件，你认为这个条件应该是 _____________________________．（填一个条件即可）
∠B=∠COE（答案不唯一）
3. 如图，∠3 与∠1 互余，∠3 与∠2 互余．求证：AB∥CD．
证明：∵∠3 与∠1 互余，∠3 与∠2互余，即∠3+∠1=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
4. 如图，已知直线 AB，CD 被直线 EF 所截，点 H为 CD 与 EF 的交点，GH⊥CD 于点 H，∠2=30°，∠1=60°．求证：AB∥CD．
证明：∵GH⊥CD，∴∠CHG=90°，又 ∵∠2 =30° ，∴∠3 =∠CHG-∠2 =
60°，∴∠4=∠3=60°，又 ∵∠1=60°，∴∠1=∠4，∴AB∥CD．
5. 如图 ， 直线 AB ，CD 被直线 GH 所 截 ， 且∠AEG=∠CFG，EM，FN 分别平分∠AEG 和∠CFG．求证：EM∥FN．
证明：∵EM，FN 分别平分∠AEG 和∠CFG，∴∠GEM= ∠AEG，∠GFN= ∠CFG，∵∠AEG=∠CFG，∴∠GEM=∠GFN，∴EM∥FN．
6. 推理能力 如图，∠GEF=25°，∠1=65°，∠GEF+∠EGF=90°，则 AB 与 CD 平行吗？请说明理由．
解：AB∥CD.理由：∵∠GEF+∠EGF=90°，∠GEF=25°，∴∠EGF=90°-25°=65°，又 ∵∠1=65°，∴∠1=∠EGF，∴AB∥CD．
7. 如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC 交 CD 于点 E，DF 平分∠ADC 交 AB 于点 F，∠ABC+∠ADC=180° ，∠ADF+∠AFD=90°.
（1）若∠ABC=60°，则∠ADC=______，∠AFD=______；
（2）求证：BE∥DF．
120°
30°
证明：∵BE 平分∠ABC，DF 平分
∠ADC，∴∠ABE= ∠ABC，∠ADF= ∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABE+∠ADF= ×180°=90°，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD，∴BE∥DF．(共21张PPT)
7.4 平 移
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小.在平移过程中，对应线段相等，对应角相等，平移是一种保距变换，即图形在平移前后，其内部各点间的距离保持不变.
1. 练习变式 教材 P29，T3 改编 下列生活中的各个现象，属于平移变换的是 （ ）
A． 拉开抽屉
B． 用放大镜看文字
C． 时钟上分针的运动
D． 你和平面镜中的像
■考点1 平移的概念
A
2. 习题变式 教材 P29，T1 改编 下列各组图形可以通过平移互相得到的是 （ ）
C
3. 习题变式 教材 P29，T1 改编 如图，将直线 l1 沿着AB 的方向平移得到直线 l2，若∠1=50°，则∠2 的度数是 （ ）
A． 40° B． 50° C． 90° D． 130°
B
■考点2 平移的性质
4. 习题变式 教材 P29，T2 改编 如图，将三角形 ABC 水平向右平移到三角形 DEF 的位置，若 A，D 之间的距离为 2，CE=1，则 EF= （ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 2
A
5. 习题高仿 教材 P29,T2 改编 如图,图中有两个梯形 ABCD 和 EFGH,其中梯形 EFGH 是由梯形ABCD 向右平移 2 cm 后得到的,问:
(1)线段 AE,BF,CG,DH 有什么位置关系 有什么数量关系
(2)AB 与 EF,BC 与 FG,CD 与 GH,AD 与EH 之间有什么位置关系
(3)∠A 与∠E,∠B 与∠F,∠C 与∠G,∠D与∠H 的大小有什么关系
解:(1)线段 AE,BF,CG,DH 都平行且 相等;
(2)AB 与 EF,BC 与 FG,CD 与 GH, AD 与 EH 之间都对应平行;
(3)∠A 与 ∠E,∠B 与 ∠F,∠C 与 ∠G,∠D 与∠H 的大小都相等.
6. 习题变式 教材 P29，T3 改编 下列平移作图不正确的是（ ）
C
■考点3 平移作图
7. 练习高仿 教材 P29，T1 改编 如图，在下面的网格图中，按要求画出图形，并回答问题：
（1）画出三角形 ABC 向右平移 5 格，再向下平移 6 格后的三角形 A′B′C′；
（2）若 AB=5，∠A=55°，∠B=39°，
求 A′B′的长度和∠B′的度数.
解：（1）如图，三角形 A′B′C′即为所求；
（2）根据平移的性质可知 A′B′=AB=5，∠B′=∠B=39°．
8. 如图，在由图形 B 到图形 A 的变化过程中，下列描述正确的是 （ ）
A． 向上平移 2 格，向左平移 4 格
B． 向上平移 1 格，向左平移 4 格
C． 向上平移 2 格，向左平移 5 格
D． 向上平移 1 格，向左平移 5 格
B
9. 如图，面积为 6 cm2 的三角形 ABC 纸片 沿BC 方向平移至三角形 DEF 的位置，平移的距离是 BC 长的 2 倍，则三角形 ABC 纸片扫过的面积为 （ ）
A． 18 cm2 B． 21 cm2 C． 27 cm2 D． 30 cm2
D
10. 创新意识 如图，边长为 4 cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2 cm，再向右平移 1 cm，得到正方形 A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为 _______.
6 cm2
11. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD=4，三角形 ABC 的周长为 14，将三角形 ABC 平移到三角形 DEF 的位置．
（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）求四边形 ABFD 的周长．
解：（1）平移的方向是沿 AD（或者是沿 BC）方向，平移的距离是 4；
（2）根据平移的性质得 AD=CF=4，AC=DF，∵ 三角形 ABC 的周长=AB+BC+AC=14，∴ 四边形 ABFD 的周长=AB +BF +DF +AD =AB +BC +CF +AC +AD=三角形 ABC 的周长+CF +AD=14+4+4=22．
12. 分类讨论思想 运算能力 如图，在三角形 ABC 中，BC=6 cm, 将三角形 ABC 以每秒 1 cm 的速度沿线段 BC 所在直线向右平移，所得图形对应为三角形 DEF，设平移时间为 ts（t≤6），在 BC，BE，EC 三条线段中，两条线段之间存在 2 倍的关系． 三人的说法如下：甲：有两种情况，t 的值为 2 或 3．乙：有三种情况，t 的值为 2 或 3 或 4．丙：有四种情况，t 的值为 2 或 3 或 4 或 5．甲、乙、丙三人，判断正确的是 ________（甲，乙，丙选一个填入）．
乙
【模型展示】
周长=2（a+b） 空白部分面积=（a-x）（b-x）
利用平移的性质解决周长及面积问题的基本模型
【实践应用】
（1）如图 1，在一块长为 a m，宽为 b m 的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移 2 m 就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是 （ ）
A. a（b-2） m2
B.（a-2b） m2
C. ab m2
D. b（a-2） m2
D
（2）如图 2，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，对于这三条路线的长度，下列结论正确的是 （ ）
A. ①＞②＞③
B. ①＜②＜③
C. ①＜②=③
D. ①=②=③
D
（3）如图 3，从一个边长为 4 的正方形纸片中剪掉两个边长为 a 的小正方形，得到如图 4 所示的图形．若图 4 的周长为 22，则 a 的值为 ________．
1.5(共20张PPT)
7.2.2 平行线的判定
7.2.2 平行线的判定
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
7.2.2 平行线的判定
利用角度关系判定平行线时应先确定两角的关系是同位角、内错角还是同旁内角，再根据角度的相等或互补来判定平行.
1. 例题变式 教材 P14，例 1 改编 如图，如果∠B=∠D=∠AEF，那么 （ ）
A． AB∥CD
B． BC∥AD
C． AD∥EF
D． BC∥EF
■考点1 同位角相等，两直线平行
7.2.2 平行线的判定
D
2. 练习高仿 教材 P15，T2 改编 我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其原理是 （ ）
A． 同位角相等，两直线平行
B． 内错角相等，两直线平行
C． 同旁内角互补，两直线平行
D． 两直线平行，同位角互补
7.2.2 平行线的判定
A
3. 练习变式 教材 P15，T2 改编 如图，∠B=60°，∠1=____ 时，DE∥BC，理由是 _______________________________.
7.2.2 平行线的判定
60°
同位角相等，两直线平行
4. 习题变式 教材 P19，T4 改编 如图，下列条件中，不能判断直线 l1∥l2 的是 （ ）
A． ∠1=∠3 B． ∠1=∠4
C． ∠2=∠6 D． ∠3=∠5
7.2.2 平行线的判定
A
■考点2 内错角相等，两直线平行
5. 练习高仿 教材 P14，T1 改编 如图，要得到 BE∥CF，则需要条件 （ ）
A． ∠ABE=∠DCF
B． ∠ABE=∠BCF
C． ∠CBE=∠BCF
D． ∠CBE=∠DCF
7.2.2 平行线的判定
C
6. 练习变式 教材 P14，T1 改编 如图，下列条件能够推理得到 a∥b 的是 （ ）
A． ∠1=∠2
B． ∠2=∠4
C． ∠3=∠4
D． ∠1+∠4=180°
7.2.2 平行线的判定
D
■考点3 同旁内角互补，两直线平行
7. 练习高仿 教材 P14，T1 改编 如图 ，∠1 和 ∠2 互补，那么图中平行的直线有 （ ）
A． a∥b B． c∥d C． d∥e D． c∥e
7.2.2 平行线的判定
D
8. 如图，下列能判定 AB∥CD 的条件有 （ ）
①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；
④∠B=∠5；⑤∠2+∠4+∠5=180°；⑥∠D=∠5.
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
7.2.2 平行线的判定
■易错点 不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行
易错归纳
C
9. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列条件能判断a∥b 的是 （ ）
A． ∠1=∠2
B． ∠1=∠4
C． ∠3+∠4=180°
D． ∠2=30°，∠4=35°
7.2.2 平行线的判定
B
10. 几何直观 下列图形中，由∠1=∠2 能得到AB∥CD 的是 （ ）
7.2.2 平行线的判定
B
11. 易错题 如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB，AC，AE，ED，EC，DB 中，相互平行的线段有（ ）
A． 4 组 B． 3 组 C． 2 组 D． 1 组
7.2.2 平行线的判定
B
7.2.2 平行线的判定
12. 如图，直线 a 与直线 b 相交于点 A，与直线 c相交于点 B，∠1=120°，∠2=40°，若使直线 b与直线 c 平行，则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转 （ ）
A． 15° B． 20° C． 25° D． 30°
B
13. 如图是一条街道的两个拐角，∠ABC 与∠BCD 均为 140°，则街道 AB 与 CD 的关系是_________，这是因为 ________________________.
7.2.2 平行线的判定
平行
内错角相等，两直线平行
14. 答案开放性问题 如图，AD 平分∠BAC，点 E，F分别是 AD，AC 上的点，填写两个不一样的条件：______________ 或 ______________________________，可以使 EF∥AB．
7.2.2 平行线的判定
∠AEF=∠BAD
∠CFE=∠BAC（答案均不唯一）
15. 如图，已知∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠F，试判断 EC 与 DF 是否平行，并说明理由．
7.2.2 平行线的判定
解:EC∥DF.理由:∵∠ABC=∠ACB, ∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,即
∠3=∠ECB,又 ∵∠3=∠F,∴∠ECB= ∠F,∴EC∥DF.
16. 推理能力 如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．
（1）求∠DAB+∠B 的度数；
（2）AD 与 BC 平行吗？ AB 与 CD 平行吗？ 请说明理由．
7.2.2 平行线的判定
解:(1)∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°, 又 ∵∠1=30°,∴∠BAD=∠BAC+∠1=
90°+30°=120°,∵∠B=60°, ∴∠DAB+∠B=180°;
(2)AD∥BC,AB 与 CD 不一定平行.
理由:由(1)知,∠DAB+∠B=180°,
∴ AD∥BC.∵∠ACD 的度数不能确 定,∴AB 与 CD 不一定平行.
17. 补充过程型问题 创新意识 如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
则回答正确的是 （ ）
A. ◎代表∠FEC B. @ 代表同位角 C. ▲代表∠EFC D. ※代表 AB
7.2.2 平行线的判定
C(共22张PPT)
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
同位角、内错角和同旁内角是根据角的位置命名的，反映了角与角之间的位置关系，而不是大小关系.通常情况下，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
1. 例题变式 教材 P7，例 3 改编 下列图形中，∠1 与∠2 是同位角的是 （ ）
■考点1 认识同位角、内错角、同旁内角
A
2. 练习变式 教材 P8，T2 改编 如图所示的风筝骨架中，与∠3 构成同旁内角的是 （ ）
A. ∠1 B. ∠2 C.∠4 D. ∠5
A
3. 练习变式 教材 P8，T1 改编 如图，下列说法中不正确的是 （ ）
A． ∠1 和∠3 是同旁内角
B． ∠2 和∠3 是内错角
C． ∠2 和∠4 是同位角
D． ∠3 和∠5 是对顶角
C
4. 练习高仿 教材 P8，T2 改编 如图，与∠1 构成内错角的是 __________________.
∠DEF 和∠DEC
5. 练习高仿 教材 P8，T1 改编 如图，直线 a，b 被 c 所截，下列四个结论：①∠1 和∠3 互为对顶角；②∠4 和∠8 是同位角；③∠3 和∠7 是内错角；④∠4 和∠7 是同旁内角．其中，结论一定正确的有 （ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
A
■考点2 三线八角之间的关系
6. 练习变式 教材 P8，T2 改编 如图，如果∠1=40 ° ，∠2=100°，那么∠3 的同位角等于 ________，∠3 的内错角等于 ________，∠3 的同旁内角等于 ________.
80°
80°
100°
7. 例题变式 教材 P7，例 3 改编 如图，直线 a，b 被直线 l 所截，已知∠1=40°，试求∠2 的同位角及同旁内角的度数．
解：因为∠1=40°，所以∠3=∠1=40°，∠4=180°-∠1=140°，即∠2 的同位角是 140°，∠2 的同旁内角是 40°．
8. 下列图形中，∠1 和∠2 不是同位角的是（ ）
■易错点 考虑不全导致答案不完整
易错归纳
C
9. 电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示，其中∠2 的同位角是 （ ）
A．∠1
B．∠3
C．∠4
D．∠5
B
10. ∠1 与∠2 是内错角，∠1=40°，则 （ ）
A． ∠2=40°
B． ∠2=140°
C． ∠2=40°或∠2=140°
D． ∠2 的大小不确定
D
11. 易错题 如图，∠1 与∠2 是哪两条直线被哪一条直线所截形成的内错角 （ ）
A． AD，BC 被 BD 所截
B． AB，CD 被 BD 所截
C． AB，AD 被 BD 所截
D． CD，BC 被 BD 所截
B
12. 如图，点 E 在四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上，下列两个角是同位角的是 （ ）
A． ∠BAC 和∠ACB
B． ∠B 和∠DCE
C． ∠B 和∠BAD
D． ∠B 和∠ACD
B
13. 几何直观 如图，下列说法正确的是 （ ）
A． ∠1 和∠2 是内错角
B． ∠1 和∠5 是同位角
C． ∠1 和∠2 是同旁内角
D． ∠1 和∠4 是内错角
C
14. 如图，射线 DE，DC 被直线 AB 所截得的角中，∠4与 _______ 是同位角，∠4与 _____ 是内错角 ， ∠4与 _____ 是同旁内角．
∠1
∠2
∠５
15. 如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，如果∠1与∠2 互补，且∠1=120°，∠2=∠3，那么∠3，∠4 的度数各是多少？
解：因为∠1 与∠2 互补，所以∠1+∠2=180°，因为∠1=120°，所以∠2=180°-120°=60°，所以∠3=∠2=60°，因为∠4 与∠3 为对顶角，所以∠4=∠3=∠2=60°．
16. 几何直观 如图，a，b 两条直线相交于一点，生成∠9，探索∠9 与原有角的位置关系．
（1）直线 b，c 被直线 a 所截，∠9 与∠4 是 _________；
（2）∠9 与∠5 是直线 _____ 被直线 _____ 所截形成的 _________；
（3）∠9 还与哪些角成内错角？
（4）图中共有几对同旁内角？
同位角
a，c
b
内错角
∠9 还与∠2 成内错角
解：∠9 和 ∠1， ∠9 和 ∠6， ∠1 和∠6，∠4 和∠7，∠2 和∠12，∠5 和∠10，是同旁内角，共有 6 对．
17. 游戏问题 应用意识 已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始角∠1 跳到终点角∠3 写出其中两种不同路径.
路径 1：
路径 2：
试一试：（1）从起始角∠1 跳到终点角∠8；
解：（1）路径：∠1 ∠12 ∠8；（答案不唯一）
内错角
同旁内角
（2）从起始角∠1 依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？
解：从起始角∠1 依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角∠8．其路径为：∠1 ∠10 ∠5 ∠8．
同位角
内错角
同旁内角(共22张PPT)
章末提升
相交
线与
平行线
两条直线相交
相交线
基本事实：在同一平面内，过一点有且只有②______ 条直线与已知直线垂直
脑图体系构建
垂线
性质：对顶角①________
性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称“③____________”
两条直线被第三条直线所截
同位角、内错角、同旁内角
相等
一
垂线段最短
邻补角
对顶角
章末提升
相交
线与
平行线
平行线
脑图体系构建
平移
判定：④________________________；⑤_______________________；
⑥__________________________；⑦__________________________
同位角相等，两直线平行
定义、命题、定理
性质：⑧__________________________；⑨___________________________
⑩__________________________
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行于同一直线的两直线平行
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
本章知识可分为三部分，一部分是相交线的知识，另一部分是平行线的知识，最后一部分是命题与证明，均是初中几何的基础知识，为之后的推理证明奠定基础.本章主要考查相交线所形成的角的概念与性质，平行线的判定与性质，推理与证明，平移等相关内容.常见的热门考点可概括为四个概念、一个基本事实、一个判定、三个性质、两种思想.
章末提升
考点整合应用
1. 下列各图中，∠1 和∠2 是邻补角的是 ____，∠1 和∠2 是对顶角的是 __________
章末提升
四个概念
D
■概念 1 邻补角和对顶角
B
2. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥CD 于点 O，∠AOE=60°，则∠BOC 的度数为（ ）
A. 135°
B. 145°
C. 150°
D. 125°
章末提升
C
■概念 2 垂 线
3. 下列语句中，不是命题的是 （ ）
A． 相等的角是对顶角
B． 两条直线不平行
C． 延长 AB 到 C 使 BC=AB
D． 两点之间线段最短
章末提升
C
■概念 3 命 题
4. 平移如图所示的巴黎奥运会图标可以得到的图形是 （ ）
章末提升
■概念 4 平 移
D
5. 如果直线 ON⊥直线 a，直线 OM⊥直线 a，那么 OM 与 ON 重合（即 O，M，N 三点共线），其理由是 （ ）
A． 两点确定一条直线
B． 在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D． 两点之间，线段最短
章末提升
C
一个基本事实———垂线的基本事实
6. 应用意识 如图所示的是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC=120°，∠NBE=60°．
（1）已知驱逐舰在 AC 方向上航行，巡洋舰在 BE 方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？ 请说明理由；
（2）已知驱逐舰到达点 C 后沿 C-D 继续航行，巡洋舰到达点 E 后沿 E-F 继续航行，且MN∥EF，∠ACD=140°．若驱逐舰在原航向上向左转动 α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求 α 的值．
章末提升
一个判定———平行线的判定
章末提升
A
章末提升
解：不会，理由：∵∠MAC=120°，∴∠CAN=60°，∵∠NBE=60°，∴∠CAN=
∠NBE，∴AC∥BE，∴ 这两艘舰艇不会相撞；
（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，则 EF∥CG，∵MN∥EF，∴CG∥
MN，∴∠ACG=∠MAC=120°，
∵∠ACD=140°，∴α=∠ACD-∠ACG=20°
7. 如图，在三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=7，点 M 在 BC 边上（不与 B，C 两点重合），连接 AM，则 AM 的长不可能是 （ ）
A． 6
B． 5.5
C． 4.5
D． 3
章末提升
D
■性质 1 垂线段的性质
三个性质
■性质 2 平行线的性质
8. 数形结合思想 已知：如图，AE⊥BC 于点 M，FG⊥BC 于点 N，∠1=∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D=∠3+50°，∠CBD=60°，求∠C 的度数．
章末提升
解：（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥FG，∴∠A=∠2， 又 ∵∠2=∠1，
∴∠A=∠1，∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3 =180°，∵∠D=∠3+50°，∠CBD=60°，
∴∠3=35°，∵AB∥CD，∴∠C=∠3=35°．
9. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将△ABC 沿着 BC 方向平移得到△DEF．已知 AB=8，CF=3，DH=2，且 DE 交 AC 于点 H．
（1）线段 HE 的长为 ________；
（2）图中阴影部分的面积为 _________．
章末提升
■性质 3 平移的性质
6
21
■思想 1 转化思想
10. 如图所示，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要 ________ m2 的地毯．（各级台阶等高等宽）
章末提升
21.2
两种思想
11. 如图，已知 AB∥CD，OF 是∠AOD 的平分线，过点 O 作 OE⊥OF．
（1）∠BOE 的补角是 _________，∠DOE 的余角是 ________________；
（2）若∠BOE∶∠AOF=2∶1，求∠D 的度数．
章末提升
∠AOE
■思想 2 方程思想
∠DOF 或∠AOF
章末提升
解：（2）∵OE⊥OF，∴∠DOE+∠DOF=90°，∴∠BOE+∠AOF=90°，∵∠BOE∶∠AOF=2∶1，∴ 设∠AOF=x， 则∠BOE=2x，∴x+2x=90°，解得 x=30°，∵OF 是∠AOD的平分线，∴∠AOD=2∠AOF=2x=60°，
∵AB∥CD，∴∠D=180°-∠AOD=180°-60°=120°．
12.“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图 1 所示，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 A 转动的速度是每秒 4°，灯 B 转动的速度是每秒 2°，假定主道路是平行的，即 PQ∥MN，且∠BAM∶∠BAN=2∶1．
（1）∠BAN=________；
章末提升
综合实践与开放探究
60°
（2）若灯 B 射线先转动 15 s，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线到达 BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图 2，若两灯同时转动，在灯 A 射线到达 AN 之前，若射出的光束交于点 C，过点 C 作∠ACD 交 PQ 于点 D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化？ 若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
章末提升
章末提升
解：（2）设 A 灯转动 t s，两灯的光束互相平行，①当 0＜t＜45 时，如图 1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD，
∴4t=2×（15+t），解得 t=15；
②当 45＜t＜75 时，如图 2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA，∴∠PBD+∠CAN=180°，∴2（15°+t）+（4t-180°）=180°，解得 t=55；综上所述，当 t=15 s 或 t=55 s 时，两灯的光束互相平行；
章末提升
（3）∠BAC 和∠BCD 的数量关系不会变化．理由如下：设灯 A 射线转动时
间为 t s，∵∠MAC=4t，∠MAB=120°，∴∠BAC=4t-120°=4（t-30°），
又 ∵∠DBC=2t，∠ABD=120°，
∴∠ABC=120°-2t，
∴ ∠BCA =180° -（∠ABC + ∠BAC）=180°-2t，又 ∵∠ACD=120°，∴∠BCD=
120° - ∠BCA =120° -（180° -2t）=2t -60°=2（t-30°），∴∠BAC∶∠BCD=2∶1，即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC 和∠BCD 关系不会变化．(共21张PPT)
7.3 定义、命题、定理
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
定理是真命题，但真命题不一定是定理．要明确定理与命题的区别：命题分真假，定理必为真.
1. 习题变式 教材 P24，T1 改编 下列语句中不是命题的是 （ ）
A． 延长线段 AB
B． 自然数是整数
C． 两个锐角的和一定是直角
D． 同角的余角相等
■考点1 命题的定义及结构
A
2. 练习变式 教材 P23，T3 改编 将下列命题改写成
“如果……那么……”的形式．
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）同角的余角相等；
（3）三角形的内角和是 180°.
解：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；
如果三个角是同一个三角形的内角，那么它们的和是 180°.
3. 练习变式 教材 P23，T2 改编 命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题有（ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
C
■考点2 真命题与假命题
4. 习题高仿 教材 P24，T1 改编 下列命题中，是真命题的为 （ ）
A． 两个锐角之和一定是钝角
B． 等角的补角相等
C． 同位角相等
D． 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B
5. 习题变式 教材 P24，T1 改编 下列说法中是定理的是 （ ）
A. 有且只有一条直线垂直于已知直线
B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离
C. 内错角相等
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D
■考点3 定理与证明
6. 练习高仿 教材 P24，T1 改编 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．在下面的括号中填上推理依据．
证明：∵∠3=∠4（已知），∴CF∥BD（________________________），
∴∠5+∠CAB=180°（________________________），
∵∠5=∠6（已知），∴∠6+∠CAB=180°（等量代换），
∴AB∥CD（_________________________），
∴∠2=∠EGA（_________________________），
∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠EGA（_____________________），
∴ED∥FB（_________________________）.
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
7. 下列说法正确的是 （ ）
A. 命题是定理，定理是命题
B. 命题不一定是定理，定理不一定是命题
C. 真命题可以是定理，假命题不可能是定理
D. 定理可能是真命题，也可能是假命题
■易错点 混淆定理与命题
易错归纳
C
8. 易错题 下列语句是命题的个数为 （ ）
①画∠AOB 的平分线；②等角的补角都相等；
③同旁内角互补吗？④若 a =3，则 a=3.
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
B
9. 举反例法 对于命题“若 a2＞b2，则 a＞b”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是 （ ）
A． a=3，b=2 B． a=-3，b=2
C． a=3，b=-1 D． a=-1，b=3
B
10. 命题“若 a≠b，则 a2≠b2”的题设是 ____________，结论是 _____________.
ａ≠ｂ
ａ２≠ｂ２
11. 下列四个命题中：①等角的补角相等；②同旁内角互补；③两点之间，线段最短；④两直线平行，同位角相等，其中是真命题的有 ______（填序号）.
①③④
12. 如图，下列六个条件：①∠1=∠E；②∠2=∠F；③∠A+∠1=180°；④∠B+∠2=180°；⑤∠DCE+∠E=180°；⑥∠CDF+∠F=180°，从中选取两个条件作为题设，使得命题“如果 ____________________，那么 AB∥EF ”是一个真命题.（填序号）
①④（答案不唯一）
13. 答案开放性问题 对于下列假命题，各举一个反
例写在横线上：
（1）“如果 ac=bc，那么 a=b”是一个假命题；
反例：_________________________________；
（2）“如果 a2=b2，则 a=b”是一个假命题.
反例：_________________________________.
ａ＝5，ｂ＝7，ｃ＝0（答案不唯一）
ａ＝5，ｂ＝－5（答案不唯一）
14. 推理能力 如图，有下列三个条件：
①DE∥BC；②∠1=∠2；③∠B=∠C．
（1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？ 请你都写出来；
（2）请你就其中的一个真命题给出推理过程．
解：（１）一共能组成 ３ 个命题，它们是：
题设：①②，结论：③；
题设：①③，结论：②；
题设：②③，结论：①；
（２）题设：①②，结论：③，
∵ＤＥ∥ＢＣ，∴∠１＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ，
又 ∵∠１＝∠２，∴∠Ｂ＝∠Ｃ（. 答案不唯一，正确即可）
15.（1）如图，设 DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB；
（2）若把（1）的题设中的 DE∥BC”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？ 说明理由；
（3）若把（1）的题设中的“∠1=∠3”与结论中的“FG⊥AB”对调后，命题还成立吗？ 说明理由．
解：（1）∵DE∥BC，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴ ∠2 = ∠3，
∴CD ∥FG，∵CD ⊥ AB，∴FG⊥AB；
（2）成立，理由：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FG，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，∴DE∥BC；
（3）成立，理由：∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴CD ∥FG，∴ ∠2 = ∠3，∵DE ∥BC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3．
16. 框图推理 创新意识 如图，从入口进入，沿框内问题的正确判断方向，最后到达的是 （ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁
D

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