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第03讲 二项式定理
（13类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年新I卷，第13题,5分 两个二项式乘积展开式的系数问题 无
2020年全国甲卷（理）， 第8题,5分 求指定项的二项式系数 无
2020年全国丙卷（理）， 第14题,5分 求指定项的系数 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解
2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解
3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算
4.会三项式、乘积式的相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习
知识讲解
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0 Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数 Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数 Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数 Tr＋1是有理项．
注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)．
二项式系数的性质
性质 内容
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小
最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或
二项式系数和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝.
考点一、求二项展开式的第k项
1．（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 .
【答案】
【分析】写出二项式的通项公式，代值计算即得.
【详解】的展开式的通项为，
令，得
故答案为：.
1．（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
【答案】B
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】展开式的通项公式为，
所以,
故选：B
2．（2023·北京·校考模拟预测）在的二项展开式中，第四项为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.
【详解】在的二项展开式中，第四项为.
故答案为：.
考点二、求指定项的二项式系数
1．（2024·辽宁·模拟预测）二项式展开式的第3项的二项式系数是 .
【答案】28
【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，令即可求解.
【详解】由题意知，展开式的通项公式为，
令，得，即二项式展开式的第3项的二项式系数是28.
故答案为：28
2．（2024·上海·三模）若的二项展开式中第项与第项的系数相等，则该展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得，可求得，可求项的系数.
【详解】的展开式为，
因为二项展开式中第项与第项的系数相等，
所以，所以，
令，解得，
所以该展开式中的系数为.
故答案为：6.
1．（2024·全国·模拟预测）的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为 ．
【答案】15
【分析】由题意先求出，再求出的展开式的通项公式，令代入即可得出答案.
【详解】因为的展开式中第2项的二项式系数为6，所以，，
的展开式的通项公式为，
令，得，故展开式中的常数项为．
故答案为：15.
2．（2024·江苏无锡·模拟预测）在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【分析】由题意可得：，结合组合数的性质分析求解.
【详解】由题意可得：，则，
可得，所以.
故选：D．
考点三、二项式系数和
1．（2024·浙江·三模）若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 .
【答案】280
【分析】先由二项式系数和为128，求出，再求出展开式的通项，令，即可得出答案.
【详解】展开式的二项式系数之和为，解得：，
所以展开式的通项为：，
令，解得：，
所以展开式中的系数为：.
故答案为：280.
2．（2024·四川攀枝花·三模）若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 ．（以数字作答）
【答案】32
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【详解】根据的展开式的通项公式为，
当r＝3时，，解得；
故所有项的二项式系数之和为．
故答案为：32．
1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【分析】先利用二项式系数性质求出的值，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于31，求出的值，即可求得的系数．
【详解】根据的展开式中，二项式系数的和为 ．
而 的展开式中，通项公式为，
令，求得 ，可得展开式中的系数为，
故选：D．
2．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为 .
【答案】
【分析】由二项式系数和先求，再利用通项得到的指数确定值，由的系数为80，建立关于的方程求解可得.
【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，
所以，解得.
所以，
由，解得，
所以的系数为，解得.
故答案为：.
考点四、二项式系数的增减性和最值
1．（23-24高二下·广东深圳·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【答案】C
【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【详解】由的展开式中，项的二项式系数为，
根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大．
故选：C.
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】先计算出的展开式中二项式系数最大值，根据二项式定理得到展开式的通项公式，从而得到方程，求出.
【详解】的展开式中二项式系数最大值为，
的展开式通项公式为，
令得，，
故展开式中的系数为，故，解得.
故选：AB
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，得到展开式共有项，可求得的值．
【详解】因为展开式中，二项式系数最大的项只有第项即最大，
根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，
所以，解得.
故选：B.
2．（2024·贵州·模拟预测）的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】根据条件得到二项式系数最大的项为第项，再利用的展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为，所以二项式系数最大的项为第项，
又的展开式的通项公式为，
令，得到，所以二项式系数最大的项的系数是，
故答案为：.
考点五、求指定项的系数
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）展开式中含项的系数为（ ）
A．420 B． C．560 D．
【答案】D
【分析】由二项展开式的通项公式解出r的值，进而可得项的系数.
【详解】由题意知， 的二项展开式的通项公式为，
令，得，故含项的系数为.
故选：D.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则其展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项式系数相等可求得，再由二项展开式的通项可求得结果.
【详解】根据展开式中第3项与第7项的二项式系数相等可得，解得；
不妨设第项含有项，所以，
所以，即，解得；
所以含有项为.
因此可得的系数为.
故答案为：
1．（2024·浙江绍兴·三模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对有，
则，
故的展开式中的系数为.
故答案为：.
2．（2024·黑龙江大庆·三模）在的展开式中，含项的系数是 .
【答案】24
【分析】根据题意，写出其通项，再求其特定项的系数即可.
【详解】在的展开式中，.
令得，所以含项的系数是.
故答案为：24.
考点六、由项的系数确定参数
1．（2024·黑龙江·模拟预测）若的展开式中的系数为144，则 .
【答案】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为5，求出，再由的系数为144，可求出.
【详解】的展开式的通项公式: .
令，解得，
所以由题意得，解得.
故答案为：.
2．（2024·福建宁德·模拟预测）已知的展开式中含项的系数为160，则实数a的值为 .
【答案】
【分析】运用二项式展开式的通项公式，就可以出求指定项的系数，从而解得.
【详解】由二项式展开式通项公式得：，
当时，有，由展开式中含项的系数为160，
所以，解得：，
故答案为：2.
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）的展开式中的系数为15，则 ．
【答案】6
【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解n即可.
【详解】的二项展开式的通项为,
依题意,
解得,
故答案为：.
2．（2024·山东·模拟预测）二项式的展开式中，的系数为10，则 ．
【答案】2
【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.
【详解】易知二项式的展开式通项公式为，
显然时，.
故答案为：2
考点七、有理项（含常数项）、无理项及其系数
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）的展开式中，常数项的值为 ．
【答案】840
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为．
故答案为：840
2．（浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 .
【答案】
【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用二项式的展开式，可得结论.
【详解】的展开式为，
当时，二项式展开式的各项的系数分别为1，30，60，8均为有理数，
故系数为有理数的项共有共有4项.
故选：D.
2．（2024·河南·模拟预测）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
【答案】D
【分析】运用二项展开式的通项公式可得、的值，结合有理项的定义赋值求解即可.
【详解】展开式的第7项为，
由题意，得，，（），所以，，
则展开式的通项为，，
令，则，所以展开式中的有理项共有3项.
故选：D.
3．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）若的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（项中是整数）可以是（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
【答案】ACD
【分析】根据二项式系数的最值可得或，结合二项展开式分析求解.
【详解】由题意可知：的展开式通项为，
因为中第4项的二项式系数最大，
当为偶数，则，即，此时，
令为整数，可得，
即第1项，第4项，第7项为有理项，故C正确；
当为奇数，则或，即或，
且，可得，此时，
令为整数，可得，
即第2项，第5项，第8项为有理项，故AD正确；
故选：ACD.
考点八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和
1．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
【答案】10
【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.
【详解】令，，即，解得，
所以的展开式通项公式为，令，则，
．
故答案为：10．
2．（2024·福建泉州·一模）（多选）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项
【答案】AD
【分析】先根据展开式的项数确定的值，根据二项式系数的性质判断A；令可得所有项的系数和从而判断B，利用二项展开式的通项公式求解系数最大项及有理项可判断CD．
【详解】A项，因为的展开式共有8项，所以．
故所有项的二项式系数和为，故A正确；
B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误；
因为二项展开式的通项公式为：
．.
C项， 当，设项系数最大，
由，解得，则，
且，第3项系数为.
当时，，系数为1；
当时，，系数为；
由，故第3项的系数最大；故C错误；
D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．
故选：AD.
3．（2024·河南驻马店·二模）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先对式子进行化简，再根据二项式定理求解即可.
【详解】依题意得，所以945，故A项正确；
令，得，令，得，所以，故B项错误；
令，得①，
又②，
由①+②可得，故C项正确；
同理，由②-①得，故D项错误.
故选：AC.
4．（2024·四川乐山·三模）设，则（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【答案】C
【分析】令求得，令即可求得的值．
【详解】由，令，得；
令，得，
所以．
故选：C．
1．（2024·辽宁·三模）（多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．第三项系数为270 B．的系数为90
C．二项式系数和为 D．系数和为
【答案】ACD
【分析】求出二项式展开式的通项公式， 第三项的系数判断A，求含项的系数判断B，根据二项式系数的性质判断C，求系数和判断D.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
对于A，展开式中第项的系数为，A正确；
对于B，令，可得，故展开式中含的项为第四项，该项的系数为，B错误；
对于C，的展开式的二项式系数和为，C正确，
对于D，二项式的展开式的系数和为，D正确；
故选：ACD.
2．（2024·福建福州·模拟预测）（多选）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用赋值法令可计算得出A正确，令可知C错误，求出展开式中一次项的系数，经计算可得B错误；构造方程组计算可得D正确.
【详解】对于A，令，即可得，可得A正确；
对于B，因为展开式中代表一次项系数，所以的展开式中含有一次项，可得，即B错误；
对于C，令，即可得，可得，所以C错误；
对于D，令，即可得，
得，得，即D正确.
故选：AD
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：借助赋值法分别令、计算即可得；对C：结合B中所得，再令计算即可得；对D：借助导数结合赋值法计算即可得.
【详解】对A：对有，
则，故A正确；
对B：令，有，令，则有，
故，故B错误；
对C：令，则有，
故，
故C错误；
对D：令，
则，
则，故D正确.
故选：AD.
考点九、三项展开式的系数问题
1．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可；
【详解】，
项对应，，
项对应系数为，故展开后系数为.
故选：D.
2．（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．
【答案】A
【分析】根据，结合二项展开式的通项公式分析求解.
【详解】由题意可知：的通项为，
且的通项为，
令，解得，
所以的系数为．
故选：A
1．（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（ ）
A．10 B． C．60 D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求得展开式中项的系数，得到答案.
【详解】由多项式 展开式的通项为，
令，可得，
又由展开式的通项为，
当时，可得，
所以展开式中项系数为，
故选：C.
2．（2024·安徽·三模）的展开式中的系数为 .
【答案】-30
【分析】利用乘方的几何意义和二项展开式的通项公式求解.
【详解】解：因为是由5个相乘得到，
使用要想产生，则出1个，出2个，y出2个，
故所求系数为.
故答案为：-30
考点十、两个二项式乘积展开式的系数问题
1．（2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
【答案】C
【分析】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】依题意可知，含的项是
，
所以的系数是.
故选：C
2．（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数是 .
【答案】205
【分析】根据二项式的通项公式，结合乘法运算的法则进行求解即可.
【详解】，
所以的系数为，
故答案为：205
1．（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（ ）
A．147 B． C．63 D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得
【详解】二项式展开式中项分别为，
所以的展开式中的常数项为．
故选：C
2．（2024·江西宜春·模拟预测）在的展开式中，项的系数是 ．
【答案】380
【分析】由题意，利用二项式定理求出各项中的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为，
又，
其中中含的项为，
中含项为，
中不含项，
故系数为，
故答案为：380.
考点十一、求系数最大 (小) 的项
1．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
【答案】C
【分析】根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解.
【详解】因为的展开通项公式为，
又当时，取最大值，
则系数最大的项是第13项．
故选：C.
2．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】C
【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.
【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
故最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
1．（2023·上海嘉定·一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
【答案】
【分析】设系数最大的项为，则可得，直接求解即可.
【详解】设系数最大的项为，
则，解得，
因为且为整数，
所以，此时最大的项为.
故答案为：
考点十二、整除和余数问题
1．（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】化简得出，应用二项式展开式根据整除即可计算求出余数.
【详解】
其中是9的整数倍.
故被9除的余数为4.
故选：B.
2．（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
【答案】B
【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.
【详解】，
故
．
前面7项均能被7整除，则被7整除余5，
故天后是星期二．
故选：B.
1．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 .
【答案】1
【分析】先由题得再结合二项式定理展开，根据其展开式结构特征即可求解.
【详解】由题
，
因为可以被10整除，
所以被10除的余数为1.
故答案为：1.
2．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
【答案】B
【分析】借助二项式的展开式计算即可得.
【详解】由
，
故除以的余数为，故除以的余数为，
故年后是马年.
故选：B.
考点十三、杨辉三角
1．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．
若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据杨辉三角数字规律得到，再由组合数公式计算可得.
【详解】依题意可知第行的数从左到右分别为，
所以，即，得，解得或（舍去），
所以的值为.
故答案为：
2．（2023·海南·三模）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．
D．存在，使得为等差数列
【答案】BCD
【分析】根据杨辉三角的特征即可判断A，根据二项式系数和的性质即可判断B，根据组合数的性质即可求解C，根据等差数列的定义即可求解D.
【详解】对于A，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错；
对于B，由二项式系数的性质知，B对；
对于C，由于故C正确；
对于D，取，则，
因为，所以数列为公差为的等差数列，D对.
故选：BCD.
3．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
【答案】ABD
【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A，利用组合数公式判断B，分析各行数据的特征，即可判断C，求出第行中从左到右第个数与第个数，即可判断D.
【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为；
而第行第个数字就是，故A正确；
对于B：因为，，
所以，故B正确；
对于C：由图可知：第行有个数字，
如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第行的第个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为，
所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确；
故答案为：ABD.
1．（2023·安徽黄山·二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则 .
【答案】
【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.
【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，，
所以，，所以，
所以，.
故答案为：.
2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解.
【详解】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，
因此，即D正确，ABC错误.
故选：D
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）

A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为
【答案】BC
【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断，即可求解．
【详解】对于A：第行是二项式的展开式的系数，
所以第行中第个数最大，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：第行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为，
所以第个数为，第个数为，所以第个数与第个数之比为，故C正确；
对于D：第行是二项式的展开式的系数，故第行的所有数字之和为，故D错误；
故选：BC
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）
A．80 B．240 C．1600 D．2400
【答案】D
【分析】先求出展开式的通项，令，代入即可得出答案.
【详解】的展开式的通项为：，
令，解得：，
故的系数为：.
故选：D.
2．（2024·山西太原·三模）的展开式中 的系数为（ ）
A．-20 B．20 C．-30 D．30
【答案】D
【分析】先把看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定的次数，最后根据指定项配凑出项的系数.
【详解】因为的展开式通项为，
当时，出现，即
此时中含的项为，
所以的系数为.
故选：D.
3．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得求出的值，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为零，求出，从而可求出展开式中的常数项.
【详解】因为的展开式中第3项的二项式系数等于36，
所以，得，
因为，所以，
所以展开式的通项公式为，
令，得，
所以该展开式中的常数项为，
故选：A
4．（2024·陕西·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】B
【分析】令根据各项系数和求出，再利用赋值法计算可得.
【详解】因为，
令可得，解得，
令可得，
令可得，
所以.
故选：B
二、多选题
5．（2024·吉林·模拟预测）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的绝对值的和为729
C．有理项有3项 D．常数项是第4项
【答案】AB
【分析】利用各二项系数和可判断A选项；根据二项式展开式的系数的绝对值和与二项式的展开式的系数和相等，可判断B选项；根据展开式的通项可判断C选项和D选项；
【详解】在的展开式中，各二项式系数的和为，故A正确；
各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等，
令，可得各项系数的绝对值的和为，故B正确；
展开式的通项为，
令，得时，展开式的项为有理项，
所以有理项有4项，故C错误；
令，得，所以常数项是第5项，故D错误.
故选：AB.
6．（23-24高二下·广东深圳·期中）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，令，则原式转化为，结合赋值法，以及二项展开式的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由，
令，则原式转化为，
对于A中，令，可得，所以A正确；
对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确；
对于C和D中，令，可得，
令，得，
所以，所以，
所以C、D 正确．
故选：ACD.
三、填空题
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）的展开式中的系数为 .
【答案】56
【分析】利用二项式定理展开式中的通项来进行计算得出结果
【详解】的展开式的通项公式为，
令，解得，故的展开式中的系数为.
故答案为：56.
8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）若，则 .
【答案】
【分析】根据二项式定理中的二项展开式通项公式即可求解
【详解】的展开式通项是：，
依题意得，，即，所以，
故答案为：
9．（2024·广东佛山·模拟预测）的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
【答案】70
【分析】根据二项展开式的通项可得，令，代入运算求解即可.
【详解】由题意可知：展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中常数项是.
故答案为：70.
10．（2024·福建南平·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．
【答案】240
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】，
二项式的通项公式为，
其中的展开式中不含的项，
含的项为，
所以的展开式中含的项为，故的系数为240．
故答案为：
一、单选题
1．（2024·山东·二模）展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解.
【详解】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个.
所以，总的选取方法数目就是.
每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数.
故选：C.
2．（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
【答案】D
【分析】先确定值，再由二项展开式的通项求解项的系数即可.
【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项，
即二项式系数中第5个即最大，
所以由二项式系数的性质可知，
展开式中共项，，又，
则二项展开式的通项公式
，.
令，所以的系数为．
故选：D．
3．（2024·河北邢台·二模）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先通过二项式定理得出在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，然后结合超几何分布求得相应的概率，进而结合均值公式即可得解.
【详解】的二项展开式为，
由题意，解得，
若要取到有理项，则需要能被3整除，则，
即在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，
若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，可知的所有可能取值分别为0，1，2，3，
，，
所以.
故选：C.
4．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】根据题意，由进位制的换算方法代入计算，再由二项式展开式代入计算，即可得到结果.
【详解】由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：
，
因为是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，
由可得，末尾数字为5.
故选：C
二、多选题
5．（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法一一计算可判定A、D选项；利用二项式定理可判定B、C选项.
【详解】对于A，令，则，故A正确；
对于D，令，
令，
两式相减得，故D正确；
易知，
而中的常数项为1，含项为，
含项为，含项为，
同理中的常数项为，含项为，
含项为，含项为，
所以，故B错误；
，故C正确.
故选：ACD
6．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】写出展开式的通项，即可表示出，，从而求出，即可判断A，再利用赋值法判断B、C，将两边对求导可得，再令，即可判断D.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
，
所以，，
因为，所以，解得（舍去）或，故A正确；
由，
令可得，故B正确；
由，
令可得，
令可得，所以，故C错误；
将两边对求导可得，
，
令可得，故D错误.
故选：AB
7．（2024·山西·三模）已知函数，则（ ）
A． B．展开式中，二项式系数的最大值为
C． D．的个位数字是1
【答案】BD
【分析】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对于C：利用赋值法，令、即可得结果；对于D：因为，结合二项展开式分析求解.
【详解】对于选项A：的展开式的通项为，
令，可得，
所以，故A错误；
对于选项B：因为为偶数，可知二项式系数的最大值为，故B正确；
对于选项C：令，可得；
令，可得；
所以，故C错误；
对于选项D：因为，
且的展开式的通项为，
可知当，均为20的倍数，即个位数为0，
当时，，所以的个位数字是1，故D正确；
故选：BD.
三、填空题
8．（2024·山西朔州·一模）的展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】先变形为，写出通项得到；再写出的通项，得到，最后把两项系数相乘即可.
【详解】，
通项为，
所以，即，
又通项为，当时，才能得到，
所以展开式中的系数为，
故答案为：.
9．（2024·河北·模拟预测）已知的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为 .
【答案】
【分析】令即可求出，求出展开式通项即可求出常数项.
【详解】令，可得展开式中各项系数的和，解得；
的展开式通项为，
因为，所以展开式中常数项为，
故答案为：.
10．（2024·江西景德镇·三模）若关于，的三项式的展开式中各项系数之和为64，则 ；其中项系数的最大值为 .
【答案】 6 /
【分析】令，得，即可求得n的值，利用组合知识求得项系数为，然后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】三项式的展开式中各项系数之和为64，
则令，得，解得；
所以三项式的展开式中项系数为：，
当且仅当时等号成立，即项系数的最大值为.
故答案为：6；
1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选：A.
2．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为 .
【答案】15
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.
【详解】 展开式中令的项为，
所以 展开式中的系数为15.
故答案为：15
3．（2024·全国·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解.
【详解】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，
，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.
故答案为：5.
4．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为.
故答案为：20.
5．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
6．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
7．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
8．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
9．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 .
【答案】
【分析】由题意结合二项式定理可得的展开式的通项为，令，代入即可得解.
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
10．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 .
【答案】
【分析】利用二项展开通项公式即可得解.
【详解】的展开式的通项，
令，解得，故常数项为.
故答案为：.
11．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
12．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， .
【答案】 ; .
【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
13．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
【答案】10
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
14．（2020·全国·高考真题）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
15．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
16．（2020·浙江·高考真题）设，则 ； ．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】的通项为，
令，则，故；
.
故答案为：；.
【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
17．（2020·全国·高考真题）的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】
【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 二项式定理
（13类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年新I卷，第13题,5分 两个二项式乘积展开式的系数问题 无
2020年全国甲卷（理）， 第8题,5分 求指定项的二项式系数 无
2020年全国丙卷（理）， 第14题,5分 求指定项的系数 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解
2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解
3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算
4.会三项式、乘积式的相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习
知识讲解
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0 Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数 Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数 Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数 Tr＋1是有理项．
注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)．
二项式系数的性质
性质 内容
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小
最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或
二项式系数和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝.
考点一、求二项展开式的第项
1．（2024·浙江绍兴·二模）的展开式的第四项为 .
1．（2024·陕西宝鸡·一模）展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
2．（2023·北京·校考模拟预测）在的二项展开式中，第四项为 ．
考点二、求指定项的二项式系数
1．（2024·辽宁·模拟预测）二项式展开式的第3项的二项式系数是 .
2．（2024·上海·三模）若的二项展开式中第项与第项的系数相等，则该展开式中的系数为 ．
1．（2024·全国·模拟预测）的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为 ．
2．（2024·江苏无锡·模拟预测）在的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与第11项的二项式系数之和，则（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
考点三、二项式系数和
1．（2024·浙江·三模）若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 .
2．（2024·四川攀枝花·三模）若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 ．（以数字作答）
1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．10 D．20
2．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为 .
考点四、二项式系数的增减性和最值
1．（23-24高二下·广东深圳·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知的展开式中二项式系数的最大值与的展开式中的系数相等，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2024·贵州·模拟预测）的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作答）
考点五、求指定项的系数
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）展开式中含项的系数为（ ）
A．420 B． C．560 D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则其展开式中的系数为 ．
1．（2024·浙江绍兴·三模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
2．（2024·黑龙江大庆·三模）在的展开式中，含项的系数是 .
考点六、由项的系数确定参数
1．（2024·黑龙江·模拟预测）若的展开式中的系数为144，则 .
2．（2024·福建宁德·模拟预测）已知的展开式中含项的系数为160，则实数a的值为 .
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）的展开式中的系数为15，则 ．
2．（2024·山东·模拟预测）二项式的展开式中，的系数为10，则 ．
考点七、有理项（含常数项）、无理项及其系数
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测）的展开式中，常数项的值为 ．
2．（浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 .
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·河南·模拟预测）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
3．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）若的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项（项中是整数）可以是（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
考点八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和
1．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
2．（2024·福建泉州·一模）（多选）已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项
3．（2024·河南驻马店·二模）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川乐山·三模）设，则（ ）
A．1 B． C．2024 D．
1．（2024·辽宁·三模）（多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．第三项系数为270 B．的系数为90
C．二项式系数和为 D．系数和为
2．（2024·福建福州·模拟预测）（多选）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点九、三项展开式的系数问题
1．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．
1．（2024·云南昆明·模拟预测）的展开式中，项的系数为（ ）
A．10 B． C．60 D．
2．（2024·安徽·三模）的展开式中的系数为 .
考点十、两个二项式乘积展开式的系数问题
1．（2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
2．（2024·江苏南京·模拟预测）的展开式中，的系数是 .
1．（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（ ）
A．147 B． C．63 D．
2．（2024·江西宜春·模拟预测）在的展开式中，项的系数是 ．
考点十一、求系数最大 (小) 的项
1．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
2．（2024·安徽·二模）已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
1．（2023·上海嘉定·一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
考点十二、整除和余数问题
1．（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
2．（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
1．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）被10除的余数为 .
2．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
考点十三、杨辉三角
1．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．
若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为 ．
2．（2023·海南·三模）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．
D．存在，使得为等差数列
3．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）
A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
1．（2023·安徽黄山·二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则 .
2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）

A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）
A．80 B．240 C．1600 D．2400
2．（2024·山西太原·三模）的展开式中 的系数为（ ）
A．-20 B．20 C．-30 D．30
3．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西·模拟预测）若的展开式中的各项系数和为243，则（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
二、多选题
5．（2024·吉林·模拟预测）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的绝对值的和为729
C．有理项有3项 D．常数项是第4项
6．（23-24高二下·广东深圳·期中）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）的展开式中的系数为 .
8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）若，则 .
9．（2024·广东佛山·模拟预测）的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
10．（2024·福建南平·模拟预测）在的展开式中，的系数为 ．
一、单选题
1．（2024·山东·二模）展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
3．（2024·河北邢台·二模）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多选题
5．（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山西·三模）已知函数，则（ ）
A． B．展开式中，二项式系数的最大值为
C． D．的个位数字是1
三、填空题
8．（2024·山西朔州·一模）的展开式中的系数为 ．
9．（2024·河北·模拟预测）已知的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为 .
10．（2024·江西景德镇·三模）若关于，的三项式的展开式中各项系数之和为64，则 ；其中项系数的最大值为 .
1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海·高考真题） 展开式中的系数为 .
3．（2024·全国·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
4．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
5．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ．
6．（2022·北京·高考真题）若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
7．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ．
8．（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
9．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 .
10．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 .
11．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
12．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， .
13．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ．
14．（2020·全国·高考真题）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
15．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
16．（2020·浙江·高考真题）设，则 ； ．
17．（2020·全国·高考真题）的展开式中常数项是 （用数字作答）．
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