资源简介

第02讲 球体的外接与内切问题
（11类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年新I卷，第12题,5分 球体相关计算 正棱锥及圆柱体的相关计算
2022年新I卷，第8题,5分 球的体积的有关计算 多面体与球体内切外接问题 锥体体积的有关计算 由导数求函数的最值 (不含参)
2022年新Ⅱ卷，第7题,5分 球的表面积的有关计算 多面体与球体内切外接问题 无
2021年新Ⅱ卷，第4题,5分 球的表面积的有关计算 无
2020年新I卷，第4题,5分 球的截面的性质及计算 无
2020年新I卷，第16题,5分 球的截面的性质及计算 无
2020年新Ⅱ卷，第4题,5分 球的截面的性质及计算 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等或偏上，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握球体的表面积公式和体积公式
2.熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算
3.会利用（二级）结论快速解题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.
知识讲解
球的表面积和体积公式
球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3
球的切接概念
空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　
墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
直棱柱外接球之汉堡模型
（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理
直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）
底面外接圆的半径r的求法
（1）正弦定理
（2）直角三角形：半径等于斜边的一半
（3）等边三角形：半径等于三分之二高
（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半
正棱锥类型
, 解出
侧棱垂直与底面-垂面型
侧面垂直与底面-切瓜模型
如图：平面 平面 ( 为小圆直径)
（1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长;
（2）在中,可根据正弦定理,解出
如图：:平面平面
（1）确定球心的位置,由图知三点共线;
（2）算出小圆面半径,算出棱锥的高
（3）勾股定理:
，解出
内切球
如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为,建立等式:
（3）解出
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
考点一、特殊几何体外接球
1．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】
【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．
【详解】解：正方体的体对角线就是球的直径，设其体对角线的长为，
则，
所以，所以，所以.
故答案为：．
2．（天津·高考真题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
【答案】
【详解】试题分析：球的直径为长方体的对角线，即,因此球的表面积为
考点：球的表面积
3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

4．（2024高三·全国·专题练习）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意确定两个小球的表面积之和最大的情况，如图，根据勾股定理可得，则，解出r，结合球的表面积公式计算即可求解.
【详解】当两个小球的表面积之和最大时两小球相切，且两小球均与半球形封闭容器相切，
此时设两小球的球心分别为，，半球形封闭容器的底面圆心为O，
作出过，，O的截面如图所示，连接并延长，交半圆于点A，
则A为圆与半圆的切点，设两个小球的半径为r，
得，所以，解得，
所以这两个小球的表面积之和的最大值为．
故选：A
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据相切，可得，即可得，进而根据体积公式即可求解.
【详解】如图为该几何体的轴截面，
其中圆是等腰梯形的内切圆，
设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为．注意到与均为角平分线，
因此，从而，故．
设圆台的体积为，球的体积为，则
故选：A．
6．（2024·浙江·模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得截面圆半径，再求得球心到截面圆的距离即可得球的半径，结合球的表面积公式即可求解.
【详解】由对称性，球心与正方体重心重合，且每个面的交线半径为4.
连球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，
再连交线圆上一点与球心（即为球半径），由勾股定理得球的半径为5，
则表面积为.
故选：B.
1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解.
【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）,
由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故,
所以,
所以为外接球的半径，故外接球表面积为，
故选：D
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆锥外接球的半径为，由圆锥的结构特征求出的值，再由球的表面积公式计算可得．
【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，
则有，解得，
则该圆锥的外接球表面积．
故选：C．
3．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
【答案】
【分析】正四棱锥的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高线上，求解三角形可得球的半径，可求球的表面积.
【详解】如图，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记外接球半径为，
，，，底面正方形边长为2，
在中，，可得，解得，
∴球的表面积
故答案为：
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出球的半径以及圆柱的底面半径，在轴截面中，找到二者与圆柱的高之间的关系，即可求出圆柱的高，从而求得圆柱的体积.
【详解】球的表面积为，可得其半径，
圆柱的底面直径为，半径为，
在轴截面中，可知圆柱的高为，所以圆柱的体积为.
故选：D.

5．（2024·广西·模拟预测）已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】D
【分析】设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a，根据外接球的表面积求解球的半径，即可求得，从而求解正四棱柱的侧面积.
【详解】设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a，
因为其外接球的表面积为，设其外接球的半径为R，则，解得，
又正四棱柱外接球的直径为其体对角线，所以，解得，
则该正四棱柱的侧面积为.
故选：D
6．（2024·全国·模拟预测）已知圆柱的体积为，且圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先应用圆柱体积计算半径，再根据球的表面积公式计算即可.
【详解】设球O的直径为，则圆柱的底面直径和高均为，
又圆柱的体积为，则，即，解得，
所以球的表面积为.
故选：D.
考点二、墙角问题
1．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，，，底面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【详解】由题意可得三棱锥的外接球即为以、、为棱的长方体的外接球，计算出该长方体体对角线即的长度结合球的表面积公式即可得.
【点睛】由，故，又底面，
、平面，故，，
故三棱锥的外接球即为以、、为棱的长方体的外接球，
其中为该长方体体对角线，即该三棱锥的外接球的半径，
又，故，
则.
故答案为：.
2．（2023·天津·校考模拟预测）已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设，则，故,得球的体积为：
3．（2021春·广西柳州·高三柳铁一中校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积，选C
【点睛】求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题．充分体现补形转化思想．
1．（2022·四川达州·统考二模）四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何体特征可知球即为以为长、宽、高的长方体的外接球，根据长方体外接球半径为体对角线长一半可求得球的半径，由球的表面积公式可得结果.
【详解】四面体的外接球即为以为长、宽、高的长方体的外接球，
球的外接球半径，
球的表面积.
故选：B.
2．（2023·四川成都·石室中学校考三模）若三棱锥P-ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，，，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先补形为长方体，再根据长方体外接球计算球的体积即可.
【详解】因为PA⊥平面ABC，，所以可将该三棱锥进行补形，补成一个长方体，
从而长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，
则外接球的直径为，得，
故三棱锥P-ABC的外接球的体积为.
故选：D.
考点三、对棱相等问题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的表面积即可得.
【详解】由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：
记该长方体的棱长为，则，
即，所以外接球半径为，
．
故答案为：.
2．（2024·重庆·模拟预测）已知四面体ABCD中，，若四面体ABCD的外接球的表面积为7，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】将四面体放入长方体中，如图，设长宽高分别为，由题意列方程求出，再由三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】将四面体放入长方体中，如图，
设长宽高分别为，由
，
故选：A.
1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.
【详解】三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，
因此三棱锥外接球的直径为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故选：A
2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解.
【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.
所以四面体外接球表面积是.
故答案为：B.
考点四、侧棱垂直底面问题
1．（2024·河北·三模）已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用正弦定理求出外接圆的半径，根据球的表面积求出球的半径，再由平面，则求出，最后根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】因为，，所以，
，
设外接圆的半径为，则，即，
设三棱锥外接球的半径为，，解得（负值已舍去）；
因为平面，所以，即，解得（负值已舍去）；
所以.
故选：B
2．（2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
【详解】如图，
设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心，
在中，由3，，7，得，
故，设的外接圆的半径为，
则，，
．
三棱锥外接球的表面积为．
故选：B
3．（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点为，即可说明点为梯形外接圆的圆心，再证明平面，过的中点作交于点，则平面，即可得到为四棱锥外接球球心，外接球半径为，从而求出表面积.
【详解】取的中点为，因为，等腰梯形的面积为，
所以梯形的高为，所以，则，所以，连接、，
所以、为等边三角形，点为梯形外接圆的圆心，
连接，在中，根据余弦定理得，即，解得.
因为，，所以，所以.
因为，，平面，所以平面，
过的中点作交于点，则平面，且为的中点，
所以点为外接圆圆心，所以为四棱锥外接球球心，
所以外接球半径为，故表面积.
故选：D
1．（2024·福建厦门·模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取中点E，根据已知可得E为的外心，过E作底面的垂线，使，可得O为三棱锥外接球的球心，计算球的半径，由球的表面积公式可得结果.
【详解】在中，因为，，，所以，
所以，取中点E，则E为的外心，且外接圆的半径为，
过E作底面的垂线，使，又平面，则O为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故选：C.
2．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在三棱锥P－ABC中，，，且，，，，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知求得，根据勾股定理证明得到，进而推得平面，则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，求出长方体的体对角线长，即可得出外接球的半径，进而根据体积公式，即可得出答案.
【详解】如图1，
因为，，，
所以.
又，，
所以在中，有，
所以，，即.
又，平面，平面，，
所以平面.
则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图2
其中，，，，
则，
所以此三棱锥外接球的半径为，
所以，此三棱锥外接球的体积为.
故选：B.
3．（2023·山东德州·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圆半径为，根据勾股定理即可求解外接球半径，进而可求表面积.
【详解】由题意可得
所以在三角形中，由等面积法可得,
设三角形的外接圆半径为，圆心为,则由正弦定理得，
由于平面,设三棱锥外接球的半径为,球心到平面的距离为，
过作,则，因此,
故外接球的表面积为,
故选：A

考点五、侧面垂直于底面问题
1．（2024·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为，证明为矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式可得.
【详解】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为.
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由球的性质可知，平面，
所以，同理，所以四边形为矩形，
因为，所以，，
所以，
所以外接球的表面积为.
故选：B
2．（2024·四川·模拟预测）已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意作出图形，由题设条件可得外接圆圆心即三棱锥外接球球心，利用正弦定理即可求出其半径即得.
【详解】
如图，因平面平面，，的外心为边的中点，
则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为.
在中，，,故由余弦定理可得，
，
即，由正弦定理，，则，
即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为．
故选：D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积.
【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使，
过点作平面的垂线，使，连接，
易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形，
所以，
因为平面，
所以，
所以，
因为为正三角形，为的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，即
又因为，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为为正三角形，为的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以平面，
又因为是的外心，所以，
所以，
所以即为四棱锥外接球的球心，
因为，，
所以
所以，
故选：C.
1．（2024·宁夏固原·一模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果.
【详解】因为平面平面，，
所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：
则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，
所以直三棱柱的外接球的半径，
则球的表面积，
故选：A.
2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到平面ABEF，进一步得出，，则MC为外接球直径，代入球的表面积公式即可求解．
【详解】由可知，，，可求，，，
因为平面平面ABEF，平面平面，
又，平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，所以，
由，，得，
又，同理可得得，又，
所以，所以.
所以MC为外接球直径，
在Rt△MBC中，即，
故外接球表面积为．
故选：A．
3．（2023·河南开封·统考三模）已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别取三角形，四边形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根据球的表面积公式求表面积即可.
【详解】
设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，，
因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积.
故选：C.
考点六、二面角与球体综合
1．（2024·全国·模拟预测）在菱形中，，，将沿翻折，使二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，取的中点，然后根据菱形的性质求解出,，得到是二面角的平面角.根据余弦值为，求解出，判断是正四面体，放置在正方体中，进而求出外接球的表面积.
【详解】如图所示，取的中点，连接，，则，，
故是二面角的平面角,
因为,所以,
在中，由余弦定理,得，故四面体是正四面体.
如图所示，将其放置在正方体中，使得，，，是正方体的四个顶点，
则正方体的棱长为，体对角线长，即四面体的外接球的半径为，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】依题意可得，球心在过的中点与平面垂直的直线上，
同时也在过的中心与平面垂直的直线上，即可得到，求出，从而求出三棱锥的外接球的半径为，即可得到外接球的体积.
【详解】解：如图，∵，即，∴.
∴球心在过的中点与平面垂直的直线上，
同时也在过的中心与平面垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心.
∵二面角的大小为，
易知，，
，，
，
∴三棱锥的外接球的半径为.
∴三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
3．（2024·湖北·模拟预测）已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为 .
【答案】
【分析】作出，的外心，根据线面垂直得到二面角的平面角，再通过余弦的定义和二倍角的余弦公式即可求出.
【详解】如图，设O为四面体ABCD外接球的球心，半径为R，
令，分别为正和正的外心，
则，，平面ABD，平面CBD.
则，于是平面，
平面交BD点于E，连接，，则，
因此为二面角的平面角.
设其大小为，，，，.
连接，则，，
.

故答案为：.
1．（2024·河北保定·三模）在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】/
【分析】设中点为，外接圆圆心为，根据条件得到，外接圆圆心为，由截面圆的性，找出外接球的球心，再由几何性质，即可求出结果.
【详解】设中点为，外接圆圆心为，球心为，因为，所以，
又是边长为2的正三角形，所以，结合题设有，
所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圆圆心为，
又因为，所以为二面角的平面角，结合已知该角为锐角，
由题意可知，，过，分别作平面，平面的垂线，相交于一点，
由截面圆的性质可知，两垂线的交点为球心，如图所示，
所以，，得到，
又易知，，所以，
所以外接球半径，
所以外接球表面积，
故答案为：.
2．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .

【答案】
【分析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积.
【详解】将沿折起后，取中点为，连接，，
则，，
可知即为二面角的平面角，即；
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
即 解得，
即，可得，
所以与是边长为的等边三角形，
分别记三角形与的重心为、，
则，；；
因为与都是边长为2的等边三角形，
所以点是的外心，点是的外心；
记该几何体的外接球球心为，连接，，

根据球的性质，可得平面，平面，
所以与都是直角三角形，且为公共边，
所以与全等，因此，
所以；
因为，，，平面，
所以平面；
又平面，所以，
连接，则外接球半径为，
所以外接球表面积为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.
3．（2024·河南·一模）在四棱锥中，已知平面平面，，若二面角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】/
【分析】分别取、的中点、，连接，即可证明平面，从而得到，再由，即可得到平面，从而得到为二面角的平面角，即可求出，又三棱锥外接球的球心在直线上，求出三棱锥外接球的半径，即可得到外接球的表面积，再由、、、四点共圆，即可得到三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，从而得解.
【详解】分别取、的中点、，连接．
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，平面，所以，，
因为，
所以，所以，
因为分别为的中点，所以，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
因为，所以，
所以三棱锥外接球的球心在直线上，由知在线段的延长线上．
设，则，即，所以，
所以三棱锥外接球的半径为，表面积为，
因为，，即，
所以、、、四点共圆，
所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，
故四棱锥外接球的表面积为．
故答案为：
【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
考点七、数学文化与球体综合
1．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴 踢的含义，“鞠”最早系外包皮革 内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴 踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P A B C，其中平面，，则该球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面垂直得到线线垂直，进而得到三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，求出长方体体对角线的长，得到该球的半径和体积.
【详解】因为平面，平面，
所以，
又，
所以两两垂直，
所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，
即该球的直径为长方体体对角线的长，
因为，
所以，
所以该球的半径为2，体积为.

故选：C
2．（2024高三·全国·专题练习）三星堆古遗址作为“长江文明之源“，被誉为人类最伟大的考古发现之一．3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为
【答案】
【分析】过圆柱的旋转轴和正方体的一条侧棱作截面，利用勾股定理列方程求解即可.
【详解】过圆柱的旋转轴和正方体的一条侧棱作截面，得截面图如图所示：
不妨设正方体的棱长为2a，球О的半径为R，则圆柱的底面直径为，
因为正方体的体对角线即为球О直径，故，得，
易知，截面中两个矩形的对角线都是球的直径，正方体的面对角线为，
所以，由勾股定理得：，解得，
球的表面积为，
故答案为：
3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为 ．

【答案】
【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6 cm的正四面体的内切球，设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，则由可求出，从而可求出蛋黄的体积.
【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6 cm的正四面体的内切球，
设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，
因为正四面体的棱长为6，
所以正四面体的高，
正四面体的表面积为，
因为，
所以，解得，
所以蛋黄的体积为，
故答案为：
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】结合题意，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则球心必在该直线上，设出球心，借助球心到各顶点距离相等，结合勾股定理计算即可得半径，运用球的体积公式即可得球的体积.
【详解】连接，分别取、、中点、、，连接、、，
由底面是正方形，平面，和均为等边三角形，
故，底面，又，故，
则，故，
由为底面正方形中心，，故羡除外接球球心在直线上，
连接、、，设半径为，，则,
由底面，平面，故，
又，、平面，故平面，
又平面，故，故，
又，故有，即，
又，
故有，解得，
故，即，
则这个几何体的外接球的体积为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球问题，关键在于借助题目条件，找出垂直底面且过底面外接圆圆心的直线，则该几何体的外接球球心必在该直线上，设出该点位置，从而可结合勾股定理计算出该球半径，即可得解.
1．（23-24高一下·浙江·期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件确定球心的位置，根据球的半径求得棱柱的高，可计算表面积.
【详解】设，的中点分别为，，连接，取的中点．
直三棱柱中，，，
四边形是平行四边形，有，
因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，
，分别是，的外接圆圆心．
因为平面，所以平面，
所以为的外接球的球心．
连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，
，则，，可得，，
所以三棱柱的表面积，
故选：C．
2．（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设截面圆半径为，球的半径为，求出截面圆的半径，利用几何关系可求出球体的半径，求出球体的表面积和一个球冠的表面积，
再利用球体的表面积减去个球冠的表面积并加上个截面圆的面积可得出该实心工艺品的表面积.
【详解】设截面圆半径为，球的半径为，
则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为，
根据截面圆的周长可得，得，故，得，
所以球的表面积．
如图，，且，则球冠的高，
得所截的一个球冠表面积，
且截面圆面积为，
所以工艺品的表面积．
故选：B.
3．（2024·四川雅安·模拟预测）如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，把多面体放在棱长为的正方体中，结合正方体的结构特征确定球心，求出球半径作答.
【详解】把该多面体放入正方体中，如图，
由于多面体的棱长为，则正方体的棱长为，
因此该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，于是得该多面体的外接球球心是正方体体对角线中点，
该多面体外接球半径等于球心到一个顶点的距离，即正方体面对角线的一半，则，解得，
所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积.
故选：A
4．（2023·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.
【详解】如图，取的中点，连接，，则，，
过点作⊥底面，垂足在上，且，
所以，故，
点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，
设最大球的半径为，则，
因为∽，所以，即，解得，
即，则，故
设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，
连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，
则，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九个球的表面积和为.
故选：B
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
考点八、最值与球体综合
1．（2024·河南·模拟预测）已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用棱锥的体积公式得到的关系式，进而得到球的半径关于的关系式，利用三元基本不等式求得其最小值，从而得解.
【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，
则体积，所以，
设球的半径为，则，即，

则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以球的表面积的最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得球的半径关于的关系式，从而利用三元基本不等式即可得解.
2．（2024·浙江温州·模拟预测）不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则这两个小球的体积之和的最大值是 .
【答案】
【分析】根据正方体内切球的特征结合球的体积公式及二次函数性质求最值计算即可.
【详解】
如上图所示，当两个小球内切于正方体，且两个小球也相切，
球心位于体对角线上时球的体积可取最大，设两个小球的半径分别为，
作出横截面如下图，不妨设分别切于，
则有，
不妨设，易知，则，
则两球体积之和为，
又，
显然当时取得最大值，此时.
故答案为：.
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由球的表面积公式得半径，确定球心和点在底面的投影，建立函数关系求解．
【详解】由球的表面积，得，
因为为直角三角形，所以的外接球球心在底面的投影为中点，
而，故在底面的投影为垂直平分线与垂直平分线的交点，即中点，
，，可得，
设，则，
设，令，则，
，
故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当即时，函数取最大值，此时四棱锥的体积最大，长为．
故选：D

4．（2023·河南·三模）已知四棱锥的高为，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为 ；三棱锥的外接球的表面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】第一空，利用切割法，结合棱体的体积公式即可得解；第二空，先分析出三棱锥的外接球的表面积取得最小值时的情况，再求得此时的半径，从而得解.
【详解】如图，设，连接，
，
易知分别为中点，，
所以，
，
四边形是菱形，，
为全等的正三角形，
，
；
因为是边长为的正三角形，记其中心为，
则的外接圆的半径为，
设三棱锥的外接球的半径为，球心为，则底面
过作底面交于，则，
结合图象可知，其中，，
因为到平面的距离为2，即，所以，
易知关于的函数在上单调递增，
所以当且仅当时，取得最小值，
此时，三点共线，由，解得，
所以棱锥的外接球的表面积的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
5．（2024·广东广州·二模）用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台．根据祖暅原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积，其中分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，是两个平行平面之间的距离．已知圆台的上、下底面的圆周都在球的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球所得的球台的体积比圆台的体积大，则球O的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设圆台的上下底面半径分别为，根据母线与底面所成的角为，可得圆台的高为，母线长为，表示出圆台体积，由题意，可求得，进而可得，求值域即可得解．
【详解】设圆台的一条母线为，过点作的垂线，垂足为，
则即为母线与底面所成的角为，
设圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为，
则，
即，即，
圆台体积为，
球台的体积为
，
由题意，
则，
即，
即，即，
设圆台外接球的球心为，半径为，则在所在直线上，
设，则，
由，
解得，
则球的表面积，
台体侧面积，
故，
，
由，可得，则，则，
故的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.
1．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴 踢的含义，“鞠”最早是外包皮革 内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴 踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球球心，用线段长表示出球半径，再借助均值不等式求解作答.
【详解】在三棱锥中，因为平面ABC，平面，
则，
而，平面，因此平面，
又平面，于是，
取中点，连接，从而，
则点是三棱锥的外接球球心，如图，
设该外接球半径为，
则，
当且仅当时取等号，因此三棱锥的外接球表面积，
所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球的半径即可.
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知圆台的上、下底面中心分别为，且，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意作出轴截面，利用直角三角形知识求得，即可求解球的表面积.
【详解】如图所示，
根据题意可知.
设圆台内能放置的最大球的球心为，且与底面和母线AB分别切于两点，
因为，所以，所以，
所以可知球的半径，
此时球的直径为，
即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的表面积.
故选：B
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
3．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.
【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，
则，，，
因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切，
，则，则，
过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则，
则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，

即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.
4．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用得共圆，且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，设，过作与平面的垂线，垂足设为，则为的中心，设，外接球的半径为，利用得与重合时，外接球表面积取得最小可得答案.
【详解】如图，连接，因为，
所以，所以，
所以，所以四边形必存在一个外接圆，
且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，则平面，
设，过作与平面的垂线，垂足设为，连接，
则为的中心，且必位于底面的上方，
设，外接球的半径为，则，
所以，所以，当且仅当时，
即与重合时，外接球表面积取得最小值为.

故选：C.
【点睛】思路点睛：利用外接球的球心的性质可确定出球心的位置，再根据半径满足的不等式组得到半径的最小值，从而可得外接球的最小表面积.
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到，且，求出点D到平面ABC的距离，求出点D所在球的截面的半径及三角形ABC的外接圆半径，设点D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，结合，求出CD长度的最大值.
【详解】因为球的体积为，故球的半径R满足，故，
而，，，故，故，
故，
设点D到平面ABC的距离为h，则，故，
点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为，所以平面α与平面ABC在球心的异侧，

设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为，则，
故球心到平面α的距离为，故截面圆的半径为，
设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点，
当CE最长时CD最长，此时，故CD长度的最大值为.
故选：B．
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
考点九、内切球综合
1．（2024高三上·全国·竞赛）若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 .
【答案】
【分析】由题意可得内切球的半径，进而可得正六棱柱的高，结合球的体积公式计算即可求解.
【详解】如图，在过球心与棱柱棱垂直的截面中，内切球的半径为，为边长是2的正三角形，
则，即内切球的半径为，所以正六棱柱的高为.
其外接球半径为，
则其体积为.
故答案为：
2．（2023·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.
【详解】因为，故，
故的内切圆的半径为.
因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为，
故外接球的的表面积为.
故选：D.
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为 ．

【答案】/
【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可.
【详解】中，，，，
由余弦定理得，
则折成的三棱锥中，，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，

设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为，
则，解得，
又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维的体积为，
又三棱锥四个侧面是全等的，
故三棱锥的表面积为，
设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故，故内切球表面积为.
故答案为：
4．（22-23高一下·安徽·阶段练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大表面积.
【详解】
如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.
易得，，，
由，
可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即小球的最大半径为.
所以小球的表面积最大值为.
故选：A
5．（2023·甘肃金昌·模拟预测）在底面是边长为4的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得为正四棱锥，由可得异面直线与所成的角为，取中点，连接、，即可求出、，再求出四棱锥的表面积与体积，从而求出内切球的半径，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解.
【详解】由题可得四棱锥为正四棱锥，即有．
因为，所以异面直线与所成的角为，
取中点，连接、，则，所以，
所以，．
从而可以求得四棱锥的表面积和体积分别为，，
所以内切球的半径为．
设四棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，则，
则，解得，所以．

故选：C
1．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球半径，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可.
【详解】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，
所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长，
由正弦定理可得底面圆的半径，
所以圆锥的高，
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径，
轴截面三角形面积为，
所以内切球半径，
内切球的表面积为，
圆锥的侧面积为，
所以其和为，
故选：C.
2．（22-23高三上·福建·阶段练习）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正三棱锥底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，求出三棱锥的高和侧高，利用勾股定理求出外接球半径，再利用等体积法求出内切圆半径即可.
【详解】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；
设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，
则有，也即，解得：，
正三棱锥的体积，
也即，解得：，
所以，
故选：B.
【点睛】内切球的球心到各面的距离是相等的，球心和各面可以组成四个等高的三棱锥，那么内切球的半径乘以正三棱锥的表面积再乘以三分之一就等于体积，通常用等体积法求解内切球的半径.
3．（2023·湖南郴州·三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 .
【答案】/
【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解．
【详解】如图所示：
依题意得 ，
底面的外接圆半径为，
点到平面的距离为 ，
所以 ，
所以
设球的半径为，所以
则，得
设球的半径为，则，又 得
所以球的表面积为
故答案为：.
4．（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出圆锥的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之比为，从而可得上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，从而可得解．
【详解】如图，作出圆锥的轴截面，
设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为，，半径分别为，，
即，，
根据题意可知为正三角形，易知，圆锥的底面半径，
，又，
，，
上部分圆锥的底面半径为，高为，
又圆锥的底面半径为，高为，
上部分圆锥的体积与圆锥的体积之比为，
上、下两部分几何体的体积之比是．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积之比.
5．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答.
【详解】如图，取中点，中点，连接，，，
因是正三角形，则，又是矩形，有，
而平面平面，平面平面，平面，平面，
因此平面，平面，
又，则平面，平面，则，，
，平面，则平面，又平面，
所以，而，则，显然，
由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆，
此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形，
设，又，，则球的半径，
又四棱锥的表面积为，
由，解得，
，，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和.
考点十、球心不确定类型
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别取，的中点，，连接，，，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，由勾股定理可得球的半径，即可求解.
【详解】根据题意画出图形，如图所示，
分别取，的中点，，连接，，，
又，
所以，，，
由图形的对称性可知：球心必在的延长线上，
设球心为，连接，，
设半径为，，，
可知，为直角三角形，
所以，所以，
解得，，
所以球的表面积为.
故选：.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示，在六面体中，，，，则该六面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标，进而求出球半径即得.
【详解】由，，，得，则，同理，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
由，，得，解得或，
即点或，由六面体，得点在平面两侧，点不符合题意，
因此点，令线段的中点为，则，
于是，因此六面体的外接球球心为，半径为，
所以六面体的外接球的表面积.
故选：B
3．（2024·湖北荆州·模拟预测）三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析出⊥，作出辅助线，得到点在底面的射影为的中点，点在底面的投影为的内心，先求出直角三角形的内切圆半径，由勾股定理得到方程，求出球的半径，得到球的表面积.
【详解】因为，，，所以，故⊥，
取的中点，则点在底面的射影为，连接，则，
又P到的三边距离均等于4，故点在底面的投影为的内心，
过点作⊥，垂足为，作⊥，垂足为，作⊥，垂足为，
故四边形为矩形，又，故四边形为正方形，
设，则，
所以，解得，则，
过点作⊥，垂足为，
设，则，
如图，以，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，则，
其中，
由勾股定理得，
，故，解得，
则，则外接球的表面积为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
1．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，取的中点为，连接，设为的中心，为的中心，由对称性可得在平面中，且平面，平面，结合解三角形可得，从而可求外接球半径，故可得其体积.
【详解】如图，取的中点为，连接，
因为，故为等边三角形且，
因为为等边三角形，故，
由余弦定理可得，
故，而为等边的边上的中线，
故，同理，故，
而为三角形内角，故.
设为的中心，为的中心，则在上且在上，
因为、均为等边三角形其它们有公共边，
由对称性可得在平面中，
设为外接球的球心，连接，则平面，平面，
而平面，平面，故，连接，
则由四点共圆可得，
故，所以即外接球半径为，
故棱锥的外接球的体积为.
故选：A
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，为的中点，，与平面所成的角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线面垂直和面面垂直的判定可得平面平面，结合交线可确定线面角，进而证得平面；分别取，外接圆圆心，根据球的性质可确定球心位置，根据长度关系可求得半径，进而得到外接球表面积.
【详解】为的中点，，，即为等腰三角形，
，，均为边长为的等边三角形，
，又，平面，平面，
平面，平面平面，
平面平面，为在平面内的射影，
即为与平面所成的角，即，
，，，
又，，平面，平面.
设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，外接圆的圆心为，
连接，则平面，平面，
均为边长为的等边三角形，
，，，
三棱锥外接球的半径，
三棱锥外接球的表面积.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中多面体外接球的求解问题，本题的解题关键是能够通过面面垂直关系确定已知中所给线面角，从而确定几何体的基本结构特征，进而根据外接球的性质来确定球心位置.
3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出的外接圆半径，矩形的外接圆半径，再利用几何关系求出球的半径，进而求出结果.
【详解】
根据正方体，得，，所以平面，
四边形是矩形，其中，，
的三边为，
，，
，
设的外接圆半径为，则，
于是，
设矩形的外接圆半径为，则，
设球心为，过作平面，垂足为，
过作平面，垂足为，
则是矩形的外心，是三角形的外心，
取中点，则，
于是平面，
所以四边形是矩形.
设球半径为，，
则，
于是球的表面积为.
故选：D.
考点十一、球体多选题综合
1．（2023·云南·一模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的体积为 B．正四棱锥的侧面积为16
C．外接球的表面积为 D．外接球的体积为
【答案】ACD
【分析】根据锥体的体积公式计算可判断选项A；先利用勾股定理计算出侧面的高，再根据侧面积公式计算可判断选项B；先计算出外接球的半径，再根据球的表面积公式和体积公式计算即可判断选项C、D.
【详解】如图所示：

对于选项A：因为该棱锥的高，底面边长为2，
所以正四棱锥的体积为，故选项A正确；
对于选项B：因为侧面三角形的高为，
所以正四棱锥的侧面积为，故选项B错误；
对于选项C：设外接球的球心为，半径为，
则，.
因为，
所以在中，有，解得.
所以该球的表面积为，故选项C正确；
对于选项D：因为球半径，所以体积为，故选项D正确.
故选：ACD.
2．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最大值为
【答案】ABC
【分析】根据题意结合圆台与球的表面积、体积公式逐项分析判断.
【详解】由切线长定理易得，A正确；
由勾股定理知，解得，B正确；
因为，
，
所以正确；
因为，当且仅当时，等号成立，
这与圆台的定义矛盾，故D错误.
故选：ABC.
3．（2023·河北·模拟预测）已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，动点在其内切球上，动点在其外接球上，且线段长度的最小值为，设该正三棱锥内切球的球心为，外接球的球心为，则（ ）
A．，，三点共线
B．平面
C．正三棱锥外接球的体积为
D．正三棱锥内切球的表面积为
【答案】ABC
【分析】对A，将正三棱锥补成长方体，利用空间向量法证明线面垂直，从而判定AB选项，利用正方体外接球公式和等体积法结合的最值即可求出内外接球半径，即可判断CD.
【详解】由已知将正三棱锥补成正方体,如图所示.

设内切球与平面的切点为,
因为为正三棱锥内切球的球心,为正三棱锥外接球的球心,
而球与正相切于中心G，于是四点均在上，A正确；
设正方体棱长为1，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则,,,，，，
因为，则，
又因为平面，且所以平面,
故平面，B正确;
设正方体的棱长为,内切球的半径为,外接球的半径为,则,
由等体积法可得,整理得,
由等体积法可得,
整理得.将几何体沿截面切开,
得到如图所示的截面,大圆为外接球的最大截面,小圆为内切球的最大截面,

所以,两点间距离的最小值为,
解得,所以,
所以正三棱锥外接球的体积,C正确;
正三棱锥内切球的表面积,D错误.
故选：ABC.
4．（2023·安徽淮南·二模）如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则下列结论中正确的是（ ）

A．平面
B．球的体积为
C．球被平面截得的截面面积为
D．球被正四面体表面截得的截面周长为
【答案】ABD
【分析】根据题中条件，根据线线垂直，证明线面垂直，可判断球为正四面体的棱切球，可判断BCD.
【详解】
设 分别为 的中点，连接，，，，，，，
则，，，，
故，，则四边形为平行四边形.
故，交于一点，且互相平分，即点也为的中点，
又，，故，.
，，平面，故平面，
由于，平面，则平面，故，
结合点也为的中点，同理可证，
，，平面，
故平面，A正确；
由球的表面正好经过点，则球的半径为，棱长为2的正四面体中，
，为的中点，则，故，则，
所以球的体积为，B正确；
由平面，平面，故平面平面，
平面平面，由于平面，
延长交平面于点，
则平面，垂足落在上，且为正的中心，
故，所以，
即为球心到平面的距离为
故球被平面截得的截面圆的半径为，
则球被平面截得的截面圆的面积为，C错误；
由A的分析可知，也为棱，中点连线的中点，
则球与每条棱都交于棱的中点，
结合C的分析可知，
球被正四面体的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径都为，
故球被正四面体表面截得的截面周长为，D正确.
故选：ABD.
5．（2023·全国·模拟预测）与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的业绩．古希腊数学家阿基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球．这个球的直径恰与圆柱的高相等．这个称为“等边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球心为，圆柱上、下底面的圆心分别为，，四边形是圆柱的一个轴截面，为底面圆的一条直径，若圆柱的高为4，则（ ）

A．内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3
C．四面体的体积的最大值为
D．平面截得球的截面面积的取值范围为
【答案】AD
【分析】根据题意，结合内切球和圆柱的表面积公式，求得内切球和圆柱的表面积之比，可判定A正确；解球的体积和圆柱的体积公式，求得外接球和圆柱的体积比，可判定B错误；求得，得到的体积，可判定C错误；作结合，得到平面截得球的截面面积最小值，进而可判定D正确.
【详解】由题知，圆柱的高为4，底面圆的半径为2，内切球的半径，
则内切球的表面积为，圆柱的表面积为，
所以内切球的表面积与圆柱的表面积之比为，所以A正确；
由题意知，圆柱的外接球的半径为，
所以圆柱的外接球的体积为，圆柱的体积为，
所以圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为，所以B错误；
由题图易知，，又点到平面的距离，
，所以，
当时，四面体的体积取得最大值，最大值为，所以C错误；
过点作于点，如图所以，由题可得，
设点到平面的距离为，平面截球所得的截面圆的半径为，
则，，
所以平面截得球的截面面积最小值为，
当直径与重合时，平面截得球的截面面积最大，且最大值为，所以平面截得球的截面面积的取值范围为，所以D正确.
故选：AD．

1．（23-24高三上·全国·阶段练习）如图，球的半径为，球面上的三个点的外接圆为圆，且，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．若的面积为
C．若，则三棱锥的体积是
D．三棱锥体积的最大值为
【答案】ACD
【分析】由球的半径求表面积判断选项A；由有，计算的面积判断选项B；由体积公式计算三棱锥的体积判断选项C；由三棱锥体积的表达式，利用导数求最大值判断选项D.
【详解】A选项，球的表面积，故A正确；
B选项，， 有，则，故B错误；
C选项，设，由，可得，
因为，，为的外心，所以，
，，故，
由已知，，由，解得，
所以，，，由球的截面性质可得平面，
所以三棱锥的体积，故C正确；
D选项，设，则，，
，令，则，
令，，
时，，单调递增；时，，单调递减，
当时，，则有的最大值为，故D正确．
故选：ACD．
2．（2023·广东·二模）如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使平面，则下列判断正确的是（ ）

A．若点为的中点，则五棱锥的体积为
B．当点与点重合时，三棱锥的体积为
C．当点与点重合时，三棱锥的内切球的半径为
D．五棱锥体积的最大值为
【答案】ABD
【分析】设，根据题意得出五棱锥的体积为，结合B点所在位置和锥体的体积公式判断A、B、D选项；根据等体积法判断C选项.
【详解】设，因为，点为的中点，所以，
且，底面的面积为4），所以五棱锥的体积为.
当点为的中点时，五棱锥的体积为，A正确.
当点与点重合时，三棱锥的体积为，B正确.
连接，因为，所以三棱锥的表面积为，设三棱锥内切球的半径为，
则，解得，C错误.
五棱锥的体积，则，令，得；令，
得.所以，D正确.

故选：ABD
3．（23-24高三下·江西·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ）
A．正八面体的内切球表面积为
B．正八面体的外接球体积为
C．若点为棱上的动点，则的最小值为
D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
【答案】ACD
【分析】对于A项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即得；对于B项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，计算即得；对于C项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值；对于D项，通过发现并证明//平面，将的体积进行多次转化成三棱锥的体积，计算即得.
【详解】对于A项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积，
解得，故它的内切球表面积为，故A项正确；
对于B项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，,
在中，,利用对称性知,故点为正八面体外接球的球心，则，
所以正八面体外接球的体积为，故项错误；
对于C项，如图，因与是边长为2的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形.
连接与相交于点，此时,,则取得最小值为，故项正确；
对于D项，易知，因为平面平面，所以//平面，
所以，故D项正确.
故选：ACD.
4．（2023·湖南长沙·一模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列各选项正确的是（ ）
A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体的体积的取值范围为
C．平面截得球的截面面积最小值为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域可判断D.
【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；
对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，
四面体CDEF的体积，
所以四面体的体积的取值范围为，B正确；
对于C，过作于，如图，而，则，
又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，
又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；
对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，
当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，
因此，，
则，
令，则，而，即，
因此，解得，所以的取值范围为，D正确.
故选：ABD.
5．（2024·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（ ）
A．以四个球球心为顶点的四面体体积为
B．以四个球球心为顶点的四面体体积为
C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为
D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为
【答案】ACD
【分析】设半径为2的两球球心为A，B；半径为4的两球球心为C,D，根据内切关系可得三棱锥的各棱长，根据线线关系确定线面关系从而可求以四个球球心为顶点的四面体体积及与这四个球都外切或内切的球的半径，逐项判断即可得结论.
【详解】设半径为2的两球球心为A，B；半径为4的两球球心为C,D，易知，，,
取中点，连接，

因为，点为中点，
所以，，则，
故，则，
因为平面，所以平面，
则，故A正确，B不正确；
若另一小球与这四个球都外切，设小球中心为，半径为，则点在四面体内，取中点，中点，连接，

则，，又，，所以，
则球心在上，所以，
同理，代入解得或（舍），故C正确；
若另一小球与这四个球都内切，设小球中心为，半径为，则，，且点在上，
所以，
同理，代入得或（舍），故D正确.
故选：ACD.
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案.
【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，
记内切球和外接球的半径分别为和，
则
所以其外接球与内切球的表面积之比为.
故选：A．
2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.
【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为，
则，故该球的表面积为.
故选：C
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在轴截面中根据长度和角度关系以及三角形相似可得圆台的上底面半径和下底面半径及高，利用勾股定理建立等式解出方程，即可求得外接球半径，进而求得其表面积．
【详解】如图：上，下底面圆心分别为，外接球球心为，
连接如图所示：
因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为，即，
又母线与轴所在直线的夹角是,故，结合,
则有，故
记圆台外接球半径为，
在直角和直角中由勾股定理知：，
则有，解可得，
故圆台外接球的半径，
则该圆台外接球的表面积．
故选：C．
4．（2024·青海海西·模拟预测）如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设铁球的半径为，根据体积关系列出方程，求得，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】设铁球的半径为，有，解得，
则一个铁球的表面积为．
故选：B．
5．（2024·山西太原·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件先判定为正三角形，再作出圆锥及其内切球的轴截面，利用正三角形的性质计算球半径，最后根据球的体积公式计算即可.
【详解】由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形，
又，所以，则为正三角形，边长为，
如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面，
设中点分别为，内切球球心为O，
由正三角形内心的性质易知

即内切球球半径为1，所以体积.
故选：C
6．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一截面圆的周长为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设球的半径为，截面圆的半径为，两个截面圆间的距离为，依题意求出与，利用勾股定理求出，即可求出球的体积.
【详解】设球的半径为，截面圆的半径为，两个截面圆间的距离为，
因为截面圆的周长为，可得，解得，
又因为该工艺品可以看成是一个球被一个棱为8的正方体的六个面所截后剩余的部分，
所以两截面圆之间的距离为，解得，
根据球的截面的性质，可得，即（负值已舍去），
所以球的体积为.
故选：C.
7．（2024·安徽合肥·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，结合公式计算即可求解.
【详解】如图，km，
由，得，又，
则，得，
所以（）.
即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）.
故选：D
二、填空题
8．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正方体棱长为2，若点是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，取中点可证点为三棱锥的外接球的球心，从而得解.
【详解】根据题意，取中点中点，连接，
则，结合正方体结构特征易得，所以，
又，所以点为三棱锥的外接球的球心，且半径，
所以其表面积为.
故答案为：
9．（2024·贵州贵阳·三模）在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】由正弦定理可得 外接圆半径为2，由面，可得三棱锥 的外接球半径 为，再由球的表面积公式求解即可．
【详解】如图，在中，，，
所以，
则由正弦定理可得外接圆半径为，
因为面，
所以三棱锥的外接球半径为，
所以表面积为，
故答案为：.
10．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与其外接球的表面积的比值为 ．
【答案】
【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解.
【详解】令外接球的半径为，依题意，，，
过点作，则，
所以，，
所以，
所以圆台的侧面积
球的表面积，
所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·江西南昌·三模）已知三棱锥中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是线段的中点，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出图象，由面面垂直的判断定理可得平面平面，从而可得三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，即可得答案.
【详解】因为是边长为2的正三角形，是线段的中点，
所以，又因为，平面，，
所以平面，又因为平面，所以平面平面，
易知，
又因为，是以为斜边的等腰直角三角形，
所以，，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
则，，
在，，即，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故选：C.
2．（2024·四川内江·模拟预测）如图，四边形是一个角为且边长为的菱形，把沿折起，得到三棱锥.若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接，证明平面，设为的重心， 过作平面，且点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为，过作，交于，连接，在中，，在中，，列式即可求解外接球的半径.
【详解】取中点，连接，
因为四边形是一个角为且边长为的菱形，
所以，
所以为等边三角形，故,，
又因为，即，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，所以.
设为的重心， 过作平面，
且点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为，
过作，交于，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以四边形为矩形.
所以，
设，则，
在中，，
在中，，
解得，,
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D.

3．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.
【详解】如图所示：
由题意在菱形中，互相垂直且平分，点为垂足，
，
由勾股定理得，
所以，
设点为外接圆的圆心，
则外接圆的半径为，，
设点为外接圆的圆心，同理可得外接圆的半径为，
，
如图所示：
设三棱锥的外接球的球心、半径分别为点，
而均垂直平分，
所以点在面，面内的射影分别在直线上，
即，
由题意，且二面角为直二面角，
即面面，，
所以，即，可知四边形为矩形，所以，
由勾股定理以及，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知正方形ABCD的顶点均在表面积为的球O的球面上，则当四棱锥的体积取得最大值时，点O到平面ABCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正方形ABCD的中心为E，连接OE，设球O的半径为R，设正方形ABCD的边长为x，则由题意可得，，表示出，则四棱锥的体积为，令，换元化简后，利用导数可求出的最大值，从而可求得答案.
【详解】设正方形ABCD的中心为E，连接OE，由球的性质可知平面ABCD，
设球O的半径为R，所以，解得．
设正方形ABCD的边长为x，
因为正方形ABCD的顶点均在表面积为的球O的球面上，且不在大圆上，
所以，
所以，
所以四棱锥的体积为．
令，则，
令，则，令，
解得，，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，有最大值，
所以，当且仅当时等号成立，
此时，即点O到平面ABCD的距离为．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：此题考查球的表面积，考查棱锥的体积，考查导数的应用，解题的关键是将棱锥的高用底面边长表示，从而可表示出棱锥的体积，然后利用导数可求得答案，考查数学转化思想、空间想象能力和计算能力，属于难题.
二、填空题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和上下底面均相切，球的球心为.已知圆台上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为，母线与底面所成的角为，且.若该圆台的上下两个底面都在同一个球的球面上，该球的球心为，记圆台的表面积为，体积为，球的表面积为，则 ， .
【答案】
【分析】设圆台的母线长为,易得，，进而可得圆台的高，可求得圆台的体积与表面积，设圆台的上下底面圆心分别为，球的半径为,分球心在上与延长线上两种情况求解即可.
【详解】设圆台的母线长为, 由圆台的轴截面,易知，解得，
所以.
设圆台的高为，则，
所以，
，
设圆台的上下底面圆心分别为，球的半径为,

当球心在线段上时, 设,则,
由球的截面性质得:
解得:.
当球心在的延长线上时, 同理可得: 此方程组无解
所以.
故答案为：①；②.
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，探求点在平面内的投影的轨迹，确定当三棱锥体积最小时点的位置，进而可得并求出外接球半径，求出球的表面积.
【详解】设点在平面内的投影为，由直线与平面所成角分别为，且，

则，，，于是，
以为轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

令，由，，得，，，
则，化简得，
因此点在以为圆心，为半径的圆上，
当最小时，最小，即三棱锥的体积最小，
此时，，，，
因此点在底面上的射影在上，且，又，
显然的中点到点的距离相等，此时三棱锥的外接球的球心为的中点，
外接球的半径，表面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球半径即可.
7．（2024·青海海南·二模）已知直四棱柱的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，为棱上的一点，且，若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为 .
【答案】/
【分析】根据题意得出球的半径，再结合图形计算球与直四棱柱的公共部分体积.
【详解】由题意知，底面ABCD是边长为2的菱形，且，
因为以为球心的球经过点，所以球的半径为1，又，所以，
所以该球与直四棱柱的公共部分的体积为.
故答案为：.
8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为，求这个蛋壳型的半球的容积为 .
【答案】
【分析】根据相切得到，，然后利用勾股定理计算长度得到半径，最后求体积即可.
【详解】
取半球的球心为，三个小球的球心分别为，
则有，取的重心，则可有，
在中易求得，
则有，
则半球的半径，
半球的容积.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据相切得到，，然后求半径即可.
9．（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为 ．
【答案】
【分析】设分别为的中点，连接，结合三角形全等可证是线段的垂直平分线，同理可证是线段的垂直平分线，故而判断球心在上，由三角形两边之和大于第三边可得的范围，结合图形判断球心的位置以及半径，从而求出结果.
【详解】设分别为的中点，连接，
由已知，，故，因为是的中点，所以，
因为为的中点，故，即是线段的垂直平分线；
同理可得，是线段的垂直平分线，故球心在上，
设球的半径为，球心为，则，即，故，
此时为线段的中点，且，故所求外接球体积的最小值为．
故答案为：

10．（2024·广西·二模）在三棱锥中，，，，第02讲 球体的外接与内切问题
（11类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年新I卷，第12题,5分 球体相关计算 正棱锥及圆柱体的相关计算
2022年新I卷，第8题,5分 球的体积的有关计算 多面体与球体内切外接问题 锥体体积的有关计算 由导数求函数的最值 (不含参)
2022年新Ⅱ卷，第7题,5分 球的表面积的有关计算 多面体与球体内切外接问题 无
2021年新Ⅱ卷，第4题,5分 球的表面积的有关计算 无
2020年新I卷，第4题,5分 球的截面的性质及计算 无
2020年新I卷，第16题,5分 球的截面的性质及计算 无
2020年新Ⅱ卷，第4题,5分 球的截面的性质及计算 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等或偏上，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握球体的表面积公式和体积公式
2.熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算
3.会利用（二级）结论快速解题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.
知识讲解
球的表面积和体积公式
球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3
球的切接概念
空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　
墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
直棱柱外接球之汉堡模型
（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理
直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）
底面外接圆的半径r的求法
（1）正弦定理
（2）直角三角形：半径等于斜边的一半
（3）等边三角形：半径等于三分之二高
（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半
正棱锥类型
, 解出
侧棱垂直与底面-垂面型
侧面垂直与底面-切瓜模型
如图：平面 平面 ( 为小圆直径)
（1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长;
（2）在中,可根据正弦定理,解出
如图：:平面平面
（1）确定球心的位置,由图知三点共线;
（2）算出小圆面半径,算出棱锥的高
（3）勾股定理:
，解出
内切球
如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为,建立等式:
（3）解出
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.
考点一、特殊几何体外接球
1．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
2．（天津·高考真题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2024·浙江·模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知圆柱的底面直径为，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为的球面上，该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广西·模拟预测）已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
6．（2024·全国·模拟预测）已知圆柱的体积为，且圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点二、墙角问题
1．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，，，底面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
2．（2023·天津·校考模拟预测）已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
3．（2021春·广西柳州·高三柳铁一中校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为
A． B． C． D．
1．（2022·四川达州·统考二模）四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·石室中学校考三模）若三棱锥P-ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，其中PA⊥平面ABC，，，，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点三、对棱相等问题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ．
2．（2024·重庆·模拟预测）已知四面体ABCD中，，若四面体ABCD的外接球的表面积为7，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
考点四、侧棱垂直底面问题
1．（2024·河北·三模）已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·湖南常德·一模）已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·福建厦门·模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在三棱锥P－ABC中，，，且，，，，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东德州·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点五、侧面垂直于底面问题
1．（2024·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·宁夏固原·一模）已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·河南开封·统考三模）已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点六、二面角与球体综合
1．（2024·全国·模拟预测）在菱形中，，，将沿翻折，使二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为 .
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
3．（2024·湖北·模拟预测）已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为 .
1．（2024·河北保定·三模）在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
2．（2024·四川南充·二模）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .

3．（2024·河南·一模）在四棱锥中，已知平面平面，，若二面角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为 ．
考点七、数学文化与球体综合
1．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴 踢的含义，“鞠”最早系外包皮革 内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴 踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P A B C，其中平面，，则该球的体积为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）三星堆古遗址作为“长江文明之源“，被誉为人类最伟大的考古发现之一．3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为
3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为 ．

4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ．
1．（23-24高一下·浙江·期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川雅安·模拟预测）如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
考点八、最值与球体综合
1．（2024·河南·模拟预测）已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则这两个小球的体积之和的最大值是 .
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023·河南·三模）已知四棱锥的高为，底面为菱形，，分别为的中点，则四面体的体积为 ；三棱锥的外接球的表面积的最小值为 ．
5．（2024·广东广州·二模）用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台．根据祖暅原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积，其中分别是两个平行平面截球所得截面圆的半径，是两个平行平面之间的距离．已知圆台的上、下底面的圆周都在球的球面上，圆台的母线与底面所成的角为，若圆台上、下底面截球所得的球台的体积比圆台的体积大，则球O的表面积与圆台的侧面积的比值的取值范围为 ．
1．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴 踢的含义，“鞠”最早是外包皮革 内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴 踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知圆台的上、下底面中心分别为，且，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点九、内切球综合
1．（2024高三上·全国·竞赛）若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 .
2．（2023·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为 ．

4．（22-23高一下·安徽·阶段练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·甘肃金昌·模拟预测）在底面是边长为4的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·福建·阶段练习）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南郴州·三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 .
4．（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点十、球心不确定类型
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示，在六面体中，，，，则该六面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北荆州·模拟预测）三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，为的中点，，与平面所成的角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点十一、球体多选题综合
1．（2023·云南·一模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的体积为 B．正四棱锥的侧面积为16
C．外接球的表面积为 D．外接球的体积为
2．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最大值为
3．（2023·河北·模拟预测）已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，动点在其内切球上，动点在其外接球上，且线段长度的最小值为，设该正三棱锥内切球的球心为，外接球的球心为，则（ ）
A．，，三点共线
B．平面
C．正三棱锥外接球的体积为
D．正三棱锥内切球的表面积为
4．（2023·安徽淮南·二模）如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则下列结论中正确的是（ ）

A．平面
B．球的体积为
C．球被平面截得的截面面积为
D．球被正四面体表面截得的截面周长为
5．（2023·全国·模拟预测）与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的业绩．古希腊数学家阿基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球．这个球的直径恰与圆柱的高相等．这个称为“等边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球心为，圆柱上、下底面的圆心分别为，，四边形是圆柱的一个轴截面，为底面圆的一条直径，若圆柱的高为4，则（ ）

A．内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3
C．四面体的体积的最大值为
D．平面截得球的截面面积的取值范围为
1．（23-24高三上·全国·阶段练习）如图，球的半径为，球面上的三个点的外接圆为圆，且，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．若的面积为
C．若，则三棱锥的体积是
D．三棱锥体积的最大值为
2．（2023·广东·二模）如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使平面，则下列判断正确的是（ ）

A．若点为的中点，则五棱锥的体积为
B．当点与点重合时，三棱锥的体积为
C．当点与点重合时，三棱锥的内切球的半径为
D．五棱锥体积的最大值为
3．（23-24高三下·江西·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式） 金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为2，则（ ）
A．正八面体的内切球表面积为
B．正八面体的外接球体积为
C．若点为棱上的动点，则的最小值为
D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
4．（2023·湖南长沙·一模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列各选项正确的是（ ）
A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体的体积的取值范围为
C．平面截得球的截面面积最小值为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
5．（2024·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（ ）
A．以四个球球心为顶点的四面体体积为
B．以四个球球心为顶点的四面体体积为
C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为
D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·青海海西·模拟预测）如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山西太原·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一截面圆的周长为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽合肥·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正方体棱长为2，若点是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为 .
9．（2024·贵州贵阳·三模）在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的表面积为 .
10．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与其外接球的表面积的比值为 ．
一、单选题
1．（2024·江西南昌·三模）已知三棱锥中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，分别是线段的中点，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川内江·模拟预测）如图，四边形是一个角为且边长为的菱形，把沿折起，得到三棱锥.若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形中，，，将沿对角线折起，使点到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知正方形ABCD的顶点均在表面积为的球O的球面上，则当四棱锥的体积取得最大值时，点O到平面ABCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和上下底面均相切，球的球心为.已知圆台上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为，母线与底面所成的角为，且.若该圆台的上下两个底面都在同一个球的球面上，该球的球心为，记圆台的表面积为，体积为，球的表面积为，则 ， .
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 .
7．（2024·青海海南·二模）已知直四棱柱的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，为棱上的一点，且，若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为 .
8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为，求这个蛋壳型的半球的容积为 .
9．（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体满足，则该四面体外接球体积的最小值为 ．
10．（2024·广西·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ．
1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
5．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
7．（2020·全国·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国·高考真题）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2019·全国·高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
10．（2017·江苏·高考真题）如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是
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