资源简介

第02讲 数列中的新定义综合
（8类核心考点精讲精练）
新高考改革后，数列作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限于传统的等差数列、等比数列等基础知识，还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具备较强的逻辑推理能力和创新思维。
在新定义数列的考题中，有以下几种情况：
新定义的数列类型：例如，斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义和性质可能与传统数列有所不同，需要考生仔细阅读题目，准确理解新定义。
数列性质的探究：考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。
数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用：新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合，考查考生的综合运用能力。例如，数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。
实际问题的数学建模：新高考数学注重考查学生的实际应用能力，因此，数列问题可能会与实际问题相结合，要求考生建立数学模型来解决实际问题。
为了应对新定义数列的考题，考生需要：
熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。
增强阅读理解能力，准确把握新定义数列的特点。
培养逻辑推理和创新思维，能够独立探究数列的性质。
加强与其他数学知识的联系，提高综合运用数学知识解决问题的能力。
注重实际问题的数学建模训练，提升解决实际问题的能力。
总之，新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力，考生需要在平时的学习中注重基础知识的积累，同时加强思维训练和实际应用能力的培养。
考点一、斐波那契数列
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项．
2．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
1．（2024·河南·模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前项和为，且，则的值可能是（ ）
A．100 B．201 C．302 D．399
2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（ ）
A．714 B．1870 C．4895 D．4896
3．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二、差数列及阶差数列
1．（23-24高二上·云南昆明·期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·全国·模拟预测）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……
(1)求的二阶差数列；
(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．
1．（2024·四川自贡·一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前项分别为，则该数列的第项（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
3．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.
考点三、平方数列与类平方数列
1．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列”
1．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知数列满足：①；②，，，，则称数列为“类平方数列”，若数列满足：①数列不是“类平方数列”；②将数列中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列为“变换类平方数列”，则（ ）
A．已知数列，则数列为“类平方数列”
B．已知数列为：3，5，6，11，则数列为“变换类平方数列”
C．已知数列的前顶和为，则数列为“类平方数列”
D．已知，.则数列为“变换类平方数列”
考点四、数列的单调性
1．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“数列”.
(1)已知：，，，数列中其中只有一个数列，它是： ；请从另外两个数列中任选一个证明其不是数列.
(2)已知数列满足：，为的前项和，试求的通项并判断数列是否为数列并证之.
(3)已知数列、均为数列，且，，求证：数列也为数列.
1．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．
(1)若，（），证明：为递减数列；
(2)若，且，的前项和记为．
①求；
②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．
(1)若，写出，及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，，求证：且．
考点五、数列的凹凸性
1．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列，对于任意的正整数，都有则称数列是严格凹数列．
(1)若数列，的通项公式分别为，判断数列，是否为严格凹数列，无需说明理由；
(2)证明：“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件；
(3)函数是定义在正实数集上的严格增函数，且数列是严格凹数列，严格增数列（正整数为常数且）各项均为互不相等的正整数，若恒成立，求实数λ的取值范围．
考点六、数列的周期性
1．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．
2．（2024·广东珠海·一模）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．
3．（2024·湖南长沙·一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.
1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列是常数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．
2．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
考点七、数列的新概念
1．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
3．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”.
(1)判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有
(3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列．
(1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值；
(2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和．
(3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
1．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
2．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”.
(1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”；
(2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式；
(3)若数列满足：求数列的前项和.
3．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
4．（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”．
(1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围．
(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”．
①求数列的通项公式．
②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
考点八、数列的新性质
1．（2024·山东青岛·三模）（多选）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（ ）
A．存在具有性质的
B．存在具有性质的
C．若具有性质，则中至少有两项相同
D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同
2．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.
(1)若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；
(2)若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.
2．（2024·湖北·模拟预测）若项数为的数列满足两个性质：①；②存在，使得，并记是数列的最大项，．则称数列具有性质．
(1)若，写出所有具有性质的数列；
(2)数列具有性质,若，求的最大项的最大值；
(3)数列具有性质,若，且还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得；（ⅱ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得．求满足上述性质的的最小值．
一、填空题
1．（2023·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和 .
2．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ．
①存在等差数列，使得是的“M数列”
②存在等比数列，使得是的“M数列”
③存在等差数列，使得是的“M数列”
④存在等比数列，使得是的“M数列”
3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 .
5．（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列（）的前项和为，且满足，.设为正整数.若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，则的最大值为 .
二、多选题
6．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ）
A．等差数列是等差比数列
B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列
D．若数列是等比数列，则数列等差比数列
7．（23-24高三上·上海普陀·期末）对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若为“s数列”，则为“t数列”
B．若，则为“t数列”
C．若，则为“s数列”
D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”
8．（2024·河北承德·二模）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．等差数列是“线性数列”
B．等比数列是“线性数列”
C．若且，则
D．若且，则是等比数列的前项和
9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数，使得对一切正整数，都有，则称为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收敛数列，如数列，显然对一切正整数都有，而的极限为，即数列既有界也收敛.如数列，显然对一切正整数都有，但不存在极限，即数列有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·河南·一模）对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A．若数列是递减数列，则为常数列
B．若数列是递增数列，则有
C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D．若，记为的前n项和，则
三、解答题
11．（2024·内蒙古包头·二模）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
①；
②对于，使得的正整数对有个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当时，若存在的6增数列，求的最小值.
12．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：
13．（2024·贵州贵阳·二模）给定数列，若满足且，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列".
(1)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;
(2)若数列是“指数型数列”，且，证明:数列中任意三项都不能构成等差数列.
14．（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．
(1)求，，；
(2)设，，求数列的前项和；
(3)设，，数列的前项和为，证明：，
15．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，．
(1)求，，；
(2)设．
（i）求数列的通项公式，
（ii）设，求数列的前n项和．
16．（2024·全国·模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：
①；②.
(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；
(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；
(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
17．（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．
18．（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．
(1)已知数列满足，．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：是一阶等比数列；
(2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．
19．（2024·贵州·模拟预测）若给定一个数列，其连续两项之差构成一个新数列：，，，…，，…，这个数列称为原数列的“一阶差数列”，记为，其中.再由的连续两项的差得到新数列，，，…，，…，此数列称为原数列的“二阶差数列”，记为，其中.以此类推，可得到的“p阶差数列”.如果数列的“p阶差数列”是非零常数数列，则称为“p阶等差数列”.
(1)证明由完全立方数组成的数列是“3阶等差数列”；
(2)若（且，），证明数列是“k阶等差数列”，并且若将的“k阶差数列”记作，则.
20．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．
(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；
(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；
(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．
21．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．
22．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.
(1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；
(2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.
23．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且
(1)若，，写出 ；
(2)若，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．
24．（2024·湖北荆州·三模）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
(3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
25．（2024·安徽芜湖·三模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；
(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：
26．（2024·新疆·二模）我们把满足下列条件的数列称为数列：
①数列的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；
(2)若数列满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．
27．（2024·浙江·模拟预测）已知正整数，设，，…，，，，…，是个非负实数，.若对于任意，取，，，都有，则称这个数构成—孪生数组.
(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成—孪生数组；
(2)求最小的，使得，，…，，，，…，构成—孪生数组；
(3)若，且，，…，，，，…，构成—孪生数组，求的最大值.
参考公式：（i），当且仅当时取等；（ii）当正偶数时，设，有；当正奇数时，设，有.
28．（2024·吉林·模拟预测）对于数列，若，对任意的，有，则称数列是有界的.当正整数n无限大时，若无限接近于常数a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记为.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.
(1)证明：对任意的，，恒成立；
(2)已知数列，的通项公式为：，，.
（i）判断数列，的单调性与有界性，并证明；
（ii）事实上，常数，以为底的对数称为自然对数，记为.证明：对任意的，恒成立.
29．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
30．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
1．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
2．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
3．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
4．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 数列中的新定义综合
（8类核心考点精讲精练）
新高考改革后，数列作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限于传统的等差数列、等比数列等基础知识，还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具备较强的逻辑推理能力和创新思维。
在新定义数列的考题中，有以下几种情况：
新定义的数列类型：例如，斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义和性质可能与传统数列有所不同，需要考生仔细阅读题目，准确理解新定义。
数列性质的探究：考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。
数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用：新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合，考查考生的综合运用能力。例如，数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。
实际问题的数学建模：新高考数学注重考查学生的实际应用能力，因此，数列问题可能会与实际问题相结合，要求考生建立数学模型来解决实际问题。
为了应对新定义数列的考题，考生需要：
熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。
增强阅读理解能力，准确把握新定义数列的特点。
培养逻辑推理和创新思维，能够独立探究数列的性质。
加强与其他数学知识的联系，提高综合运用数学知识解决问题的能力。
注重实际问题的数学建模训练，提升解决实际问题的能力。
总之，新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力，考生需要在平时的学习中注重基础知识的积累，同时加强思维训练和实际应用能力的培养。
考点一、斐波那契数列
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第 项．
【答案】2025
【分析】根据“斐波那契数列”的递推关系可得结果.
【详解】依题意有：
，
所以：，
故答案为：2025.
2．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即（），则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据递推公式进行验证．
【详解】由已知，A正确；
，B正确；
，C错；
，D正确，
故选：ABD．
3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】利用对数运算将变形化简得到，结合的表达式可得，结合，即可求出答案.
【详解】因为，
所以，
即
故，
故，所以，
由斐波那契数列可知，则，
所以的最小值为9，
故选：D.
1．（2024·河南·模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前项和为，且，则的值可能是（ ）
A．100 B．201 C．302 D．399
【答案】C
【分析】根据题意求出的前若干项，找出规律，从而逐一检验各选项即可得解.
【详解】因为，，
所以，
所以数列的前若干项为：
，
则，
所以，，
，.
故选：C.
2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列定义为：，，，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据可得，所以，类比这一方法，可得（ ）
A．714 B．1870 C．4895 D．4896
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得，进而变形可得，据此可得，计算可得答案.
【详解】根据题意，数列满足，即，
两边同乘以，可得，
则
.
故选：C.
3．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A，根据题意求出斐波那契数列的前10项进行判断，对于B，当时，，，，三式相加判断，对于C，根据，对依次取1，2，……，2023，得到2023个式子相加进行判断，对于D，由，得，对依次取1，2，……，2022，然后相加进行判断.
【详解】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
所以，所以A错误，
对于B，当时，，，，
所以三式相加得，
所以，所以B正确，
对于C，因为数列满足：，，
所以，，，……，
，，，
以上2023个等式相加得,
因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，，
所以，,
,,
……,
,
所以，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查斐波那契数列的性质，解题的关键是理解斐波那契数列中项之间的关系，充分利用分析判断，考查推理能力和理解能力，属于较难题.
考点二、差数列及阶差数列
1．（23-24高二上·云南昆明·期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先得出递推公式，并用叠加法求出通项公式，再用基本不等式求最小值.
【详解】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，
依题知，，，，，
叠加可得：，
整理得，
当，，满足，
所以，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立，
又，所以等号取不到，所以最小值在时取得，
当时，，所以最小值为.
故答案为：
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数，）的数列 称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得 成立的最小正整数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据数列新定义可得，利用累乘法求得的表达式，解数列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则，
故，
将以上各式累乘得：，
故，令，由于，
故，即，
又的值随n的增大而增大，且，
当时，，
当时，，
故n的最小值为8，
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……
(1)求的二阶差数列；
(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据差数列的定义，依次求出数列的一阶差数列和二阶差数列即得；
（2）根据（1）的规律，猜想的阶差数列为，接着运用数学归纳法进行证明；再根据等比数列的前项和公式求解即得.
【详解】（1）由差数列的定义，数列的一阶差数列为
数列的二阶差数列为的一阶差数列，即
故数列的二阶差数列为．
（2）通过找规律得，的阶差数列为，下面运用数学归纳法进行证明：
①当时，显然成立；时，由（1）得结论也成立．
②假设该结论对时成立，尝试证明其对时也成立．
由差数列的定义，的阶差数列即的阶差数列的一阶差数列，即
故该结论对时也成立，证毕．
故的阶差数列为．该数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故其前项和为
故的阶差数列为，其前项和为.
1．（2024·四川自贡·一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前项分别为，则该数列的第项（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“高阶等差数列”的定义求得第项.
【详解】，
设，
，
设，
所以，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，即，
所以.
故选：D
2．（2024·四川南充·三模）对于数列，规定为数列的一阶差分，其中，规定为数列的k阶差分，其中．若，则（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】D
【分析】由数列的新定义计算即可.
【详解】由可得
，
，
由可得，
所以，
故选：D.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）
(3)对于（2）中的数列，令，其中.证明：.
【答案】(1)；
(2)成立，理由见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得，将，可得，构造等差数列即可求解；
（2）由一阶差分数列的定义可得，要证成立，即证，根据二项式定理即可证明；
（3）作差可得，故，根据等比数列的求和公式即可证明.
【详解】（1）因为为的二阶差分数列，所以，
将，代入得，整理得，即，
所以.故数列是首项为，公差为的等差数列，
因此，，即.
（2）因为为数列的一阶差分数列，所以，
故成立，即为.①
当时，①式成立；
当时，因为，且，
所以①成立，故对都有成立.
（3），因为，所以，
故，即，
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
考点三、平方数列与类平方数列
1．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列”
【答案】C
【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.
【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以.
又， 所以 则，，
所以，不是等差数列， 所以AB不正确.
对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确.
对于D，因为 ，
所以不是 “平方递推数列”， D 不正确.
故选：C
1．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知数列满足：①；②，，，，则称数列为“类平方数列”，若数列满足：①数列不是“类平方数列”；②将数列中的项调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列为“变换类平方数列”，则（ ）
A．已知数列，则数列为“类平方数列”
B．已知数列为：3，5，6，11，则数列为“变换类平方数列”
C．已知数列的前顶和为，则数列为“类平方数列”
D．已知，.则数列为“变换类平方数列”
【答案】CD
【分析】利用“类平方数列”的定义判断AC；利用“变换类平方数列”的定义判断BD.
【详解】对于A，，，当时，不是正整数的平方，数列不为“类平方数列”，A错误；
对于B，，当时，，
即无论为数列的第几项，都不可能为正整数的平方，数列不为“变换类平方数列”，B错误；
对于C，当时，，
而满足上式，则，当时，，
数列为“类平方数列”，C正确；
对于D，数列的4项依次为，将此数列调整为时，
有，因此数列为“变换类平方数列”，D正确.
故选：CD
考点四、数列的单调性
1．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“数列”.
(1)已知：，，，数列中其中只有一个数列，它是： ；请从另外两个数列中任选一个证明其不是数列.
(2)已知数列满足：，为的前项和，试求的通项并判断数列是否为数列并证之.
(3)已知数列、均为数列，且，，求证：数列也为数列.
【答案】(1)，证明见解析
(2)，不是数列，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用幂函数的单调性可得与都是递增数列；利用特殊项的大小比较可得与均不是数列；
（2）由已知等式变形裂项可得，再由累加法可求通项，进而可得，利用等差数列求和公式可得，由可证明不是数列；
（3）由“数列”的定义可得，，结合不等式的性质与放缩法得，由此分别证明与即可得证.
【详解】（1）空格处填.
原因如下：因为，则，
由幂函数与在上都是增函数，由，
故数列与都是递增数列，则为“数列”.
若选，下面证明不是数列.
证明：由，则 .
故，所以不是递增数列.
故不是数列；
若选，下面证明不是数列.
证明：由，则 .
所以不是递增数列.
故不是数列.
（2）由可得，
所以
设，则，，...，，
累加得，
又，故，
所以. 由，
故是以为首项，为公差的等差数列.
所以，则，.
即数列是递增数列，但不是递增数列，故不是数列.
（3）数列、均为数列，且，，
由题意可得，
且，，
由不等式的性质可得，，又，
则，所以为递增数列，
且有，
则，
故也是递增数列，故为数列.
1．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数．设的递归函数为．
(1)若，（），证明：为递减数列；
(2)若，且，的前项和记为．
①求；
②我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，．若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②
【分析】（1）根据定义得出，再根据即可证明；
（2）根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出，当时，，所以；当时，由放缩得出，结合得出进而求解．
【详解】（1）证明：若，显然．
又，所以，，，，
所以，．
因为，，所以，
，所以，所以是递减数列．
（2）①由题意得，
又，所以，所以，
所以是以为首项，6为公比的等比数列，
则．
②由①得，所以．
当时，，所以；
当时，．
所以当时，，
所以当时，，
又，所以，
所以，，所以，
所以．
【点睛】关键点睛：求解时，关键是求出的取值范围，根据不等式放缩得出是解题关键．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，特别规定：若时，．
(1)若，写出，及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，，求证：且．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据数列的定义，分别求出，，；
（2）假设，，均与数列是等差数列矛盾，进而得到数列是以为首项，为公差的等差数列，进而得到；
（3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立.
【详解】（1）因为，所以，，
由得，，所以，
由得，，所以；
（2）由题可知，所以，即，
若，则，，
所以，，与是等差数列矛盾，所以，
设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以，
假设存在使得，设，由得，
由得，，与是等差数列矛盾，
所以对任意都有，
所以数列是等差数列，；
（3）因为对于，，所以，所以，即数列是递增数列，
先证明，
假设，设正整数，
由于，故存在正整数使得，所以，
因为是各项均为正整数的递增数列，所以，
所以，，
所以，，
又因为数列是递增数列，所以，与假设矛盾，
所以；
再证明，
由题可知，所以要证，只需证，设且，
因为数列是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数，使得，
令，
若则，即，所以，所以，所以，
若，则，所以所以，
因为，所以，所以，
所以；
综上所述，且.
【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略
首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论.
考点五、数列的凹凸性
1．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；
（2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.
【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下：
因为，
令，
则．
当时，，
所以，
所以在区间上单调递减，
所以，
所以，
所以是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，
，
所以，
所以．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得当时，是“上凸数列”，
由题意可知，当时，．
因为，
即
．
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以．
综上所述，的最小值为．
1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．
【答案】(1)数列是“凹数列”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算出，故满足“凹数列”的定义；
（2）利用等差数列通项公式得到，由题意得对任意恒成立，化简得到，得到答案；
（3）先证明出必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，则有，即，所以为“凹数列”.
【详解】（1）因为，则，
又，故，即，数列是“凹数列”．
（2）因为等差数列的公差为，
所以，
因为数列是凹数列，
所以对任意恒成立，
即
所以，即，
因为，
解得．
所以的取值范围为．
（3）先证明必要性：
因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，
所以对任意的，当时，有
，
所以，
又，
所以．必要性成立，
再证明充分性：
对于任意的，当时，有，
取，则有，
即，所以为“凹数列”.
【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列，对于任意的正整数，都有则称数列是严格凹数列．
(1)若数列，的通项公式分别为，判断数列，是否为严格凹数列，无需说明理由；
(2)证明：“对于任意正整数的，当时，有”是“数列为严格凹数列”的充要条件；
(3)函数是定义在正实数集上的严格增函数，且数列是严格凹数列，严格增数列（正整数为常数且）各项均为互不相等的正整数，若恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)不是严格凹数列；是严格凹数列.
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据定义条件分析验证即可；
（2）充分性，赋特值令可证；必要性，结合定义转化为，再将拆项为，然后利用不等式放缩可得，同理可证，二者变形结合不等式传递性可得；
（3）先举特例探求条件，猜想结论并证明.结合是否为1，对给定常数，分与两大类讨论.特殊情况当时，利用定义分析证明即可.一般情况下，利用（2）结论结合可证明，利用该不等式，将“首尾两项和”逐次放缩可得恒成立.
【详解】（1）不是严格凹数列；是严格凹数列.
已知数列的通项公式为，
所以，
，
则，
所以，
故数列不是严格凹数列．
由数列的通项公式为，
则，，
，
所以，
故数列是严格凹数列．
（2）证明充分性：
若对于任意正整数的，当时，有.
对于任意的，令，则满足条件，，
则有,即,
所以数列 为严格凹数列.
证明必要性：
若数列为严格凹数列，
所以对任意的，都有，即.
所以对任意的，当时，
则有，
所以有，
由，则；
又有，
由，则；
又因为，
所以.
故“对于任意正整数的，当时，有” 是“数列为严格凹数列”的充要条件.
（3）特例1：令，
则函数是定义在正实数集上的严格增函数.
所以，
则，
故数列是严格凹数列，且，
令，且，则数列为严格增数列，
给定常数时，要使不等式恒成立，
则，即恒成立，
即，解得.
特例2：令，
则函数是定义在正实数集上的严格增函数.
所以，
则，
故数列是严格凹数列，且，严格增数列，
给定常数时，要使不等式恒成立，
则，即恒成立，
即，解得或.
猜想1：给定常数时，对任意满足题意的，数列，数列，
要使不等式恒成立，则.
特例3：给定常数，时，对严格增数列，
要使不等式恒成立，即使恒成立，
注意到：对于函数，，严格增数列，
为定义在正实数集上的严格增函数，满足，
且数列满足，
则，，
当时，恒成立.
考虑到满足题意的函数若不断逼近函数，则的值也不断接近于的值，给出猜想2.
猜想2：给定常数，时，对任意满足题意的，数列，数列，
要使不等式恒成立，则.
证明：由题意数列是严格凹数列，则由（2）所证结论可得，
对于任意，有，
即，
故对任意的，，
由，
所以，则；
故对任意的，，
又，
所以，则；
，依此类推可得，
当，且，时，则.
当时，令，
故，
又，则.
由题意，数列为严格增数列（正整数为常数且），且各项均为互不相等的正整数，
所以，且，
则，，
又，
①若给定常数，对任意满足题意的，数列，数列，
则，
要使，即恒成立.
（i）若且时，
任意满足题意的，数列，数列，
则
即当时， ，
故不成立.
当时，由，由单调性可得，
恒成立.
（ii）若且时，，
则，
而，
又是定义在正实数集上的严格增函数，
当时，，则，
则.
则当时，恒成立.
由（i）（ii）可知，给定常数时，任意满足题意的，数列，数列，
要使恒成立，则.
②若给定常数，时，
任意满足题意的，数列，数列，
由，，
.
又是定义在正实数集上的严格增函数，
则当时，，
则恒成立.
所以若给定常数，时，任意满足题意的，数列，数列，
要使不等式恒成立，则.
综上所述，给定常数，当时，要使恒成立，则；
当时，要使恒成立，则.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键点在于理解“严格凹数列”的定义，挖掘定义条件的变式结论并应用：如（2）问中拆项法中充分应用了结论再进行放缩处理从而得证；再如（3）问中探究应用结论再逐次放缩从而得到的取值范围.
考点六、数列的周期性
1．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．
【答案】(1)是周期为的周期数列，理由见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设定义，利用的周期，即可得出结果；
（2）分与两种情况讨论，当，易得到是周期为1的周期数列，当时，构造，则，利用导数与函数单调性间的关系，可得出是严格增（或减）数列，从而可得出结果；
（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.
【详解】（1）因为，
所以是周期为的周期数列．
（2）①当时，，，
所以当时，是周期为1的周期数列，
②当时，记，则，
，当且仅当时等号成立，
即，所以在上严格增，
若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列；
同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列．
综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列．
（3）必要性：
若存在，使得是周期数列，设的周期为，
则，所以是周期为的周期数列，
充分性：
若是周期数列，设它的周期为，记，则
，是关于x的连续函数；
，是关于x的连续函数；
…
，是关于x的连续函数；
，
令，则是连续函数，
且，，
所以存在零点，于是，
取，则，
从而，
，
……
一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列．
（说明：关于函数连续性的说明不作要求）
【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.
2．（2024·广东珠海·一模）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．
【答案】(1),,
(2)，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分别取，，，，，根据已知条件逐一验证即可求解；
（2）分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想；
（3）根据（2）的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可.
【详解】（1）因为对任意整数都有，
所以取，则，不符合题意；
取，，，
此时，数列为常数列；
取，，，不符合题意；
取，，，，
此时，数列的通项公式为；
取，，，
，
此时，数列的通项公式为；
所以满足条件的三个的值为,,；
（2）取，，，
此时数列为常数列，为纯周期数列；
取，则，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，
此时，数列为常数列，为纯周期数列；
取，，，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，，
此时，数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，
，
此时，数列的通项公式为，为混周期数列；
取， ，
，
此时，数列为常数列，为纯周期数列；
根据上述计算得出猜想，
当时，数列为常数列也是纯周期数列，
下面进行验证：
当时，，
，，
此时数列为常数列，也是纯周期数列；
（3）首先，根据（2）的分析，发现当时，数列为常数列，
也是纯周期数列，满足题意；
接下来证明，当时，也存在使得；
因为，
所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可，
当时，显然存在值为1的项，
当时，有或，
若为偶数，则，
若为奇数时，
则，
，
所以，
所以无论为奇数还是偶数，均有；
特别的，当为奇数时，且，
类似的，可得：无论为奇数还是偶数，均有；
特别的，当为奇数时，且；
所以无论无论为奇数还是偶数，均有；
若，则恒为奇数且，
于是，假设数列的且，
所以，恒为奇数且，
由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数；
设为第一个值为的项，
而，
故，
这与“是第一个值为的项”相矛盾，
所以，数列除第一项外，还存在不属于区间的项，
假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾，
所以，数列除第一项外，存在不属于区间和的项，
以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项，
得证.
【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给赋值，逐一根据已知题意进行验证.
3．（2024·湖南长沙·一模）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期.若周期数列满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可；
（2）根据同根数列的定义分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）.
因为，
所以.
所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）.
（2）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件.
假设，即对于，都有.
因为，
所以，
即，及.
又时，，
所以，与的最小值是矛盾.
其次证明存在数列满足条件.
取
及，
对于，都有.
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件.
假设，即对于，都有.
因为，
所以，
即，及.
又时，，
所以，与的最小值是矛盾.
其次证明时存在数列满足条件.
取
及
对于，都有.
综上，当是奇数时，的最大值为；
当是偶数时，的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解同根数列的定义，运用分类讨论思想进行求解是解题的关键.
1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列．记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：.
(1)若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
(2)若数列是常数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
(3)证明：不论为何值，总存在使得．
【答案】(1),,；
(2)，理由见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）分别取，，，，，根据已知条件逐一验证即可求解.
（2）分别取，，，，，，，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜想.
（3）根据（2）的分析，时，满足题意；再证明，当时，也存在使得即可.
【详解】（1）对任意整数都有，
当时，，不符合题意；
当时，，，数列为常数列；
当时，，，不符合题意；
当时，，，，
数列的通项公式为；
取时，，，，
数列的通项公式为，
所以满足条件的三个的值为,,；
（2）当时，，，
此时数列为常数列；
当时，则，，
此时数列的通项公式为，不为常数列；
当时，由（1）知，数列为常数列；
当时，，，，
此时数列的通项公式为，不为常数列；
当时，由（1）知，数列的通项公式为，不为常数列；
当时，由（1）知，数列的通项公式为，不为常数列；
当时， ，，数列为常数列，
根据上述计算得出猜想，
当时，数列为常数列，
证明如下：
当时，，
，，
所以当时，数列为常数列.
（3）由（2）知，当时，数列为常数列，则存在使得；
当时，也存在使得，
而，则只需要证明数列中始终存在值为1的项即可，
当时，则，即数列存在值为1的项，
当时，有或，
若为偶数，则，
若为奇数时，则，
，
则，于是，即无论为奇数还是偶数，均有，
特别地，当为奇数时，且，
类似地，无论为奇数还是偶数，均有；
特别地，当为奇数时，且，当且仅当取等号，
因此无论为奇数还是偶数，均有，
若，则恒为奇数且，当且仅当取等号，
于是假设数列的且，
则恒为奇数且，当且仅当取等号，
由于中仅有有限个正整数，则数列从某项起恒为常数，
设为第一个值为的项，而，
于是，有，
这与“是第一个值为的项”相矛盾；
因此数列除第一项外，还存在不属于区间的项，
假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾，
则数列除第一项外，存在不属于区间和的项，
以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项，
所以不论为何值，总存在使得.
【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给赋值，逐一根据已知题意进行验证.
2．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
【答案】(1)、均是周期数列，数列周期为1（或任意正整数），数列周期为6
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；
（2）由“同根数列”的定义求解即可；
（3）是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件,其次证明时存在数列满足条件．
【详解】（1）、均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．
因为，
所以．
所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．
（2）假设不成立，则有，即对于，都有．
因为，，所以．
又因为，，所以．
所以，
所以，与的最小值是3矛盾．
所以．
（3）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，与的最小值是矛盾．
其次证明存在数列满足条件．
取
及，
对于，都有．
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件．
假设，即对于，都有．
因为，
所以，
即，及．
又时，，
所以，与的最小值是矛盾．
其次证明时存在数列满足条件．
取
及，
对于，都有．
综上，当是奇数时，的最大值为；
当是偶数时，的最大值为．
【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件，其次证明时存在数列满足条件．
考点七、数列的新概念
1．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式.
【详解】因为数列是“”数列，则，
所以，而，
，
，
，
，
，，
，
.
故选：B
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①的可能值为.②证明见解析
【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可求解；
（2）若是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，进而求得的可能值；
②设数列公差为，得到，求得，鸡儿推得，得到答案.
【详解】（1）解：数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以 是“数列”.
（2）解：数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
3．（2024·辽宁·三模）若实数列满足，有，称数列为“数列”.
(1)判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有
(3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.
【答案】(1)数列是“数列”，数列不是“数列”；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“数列”的定义判断可得出结论；
（2）由可得出，利用累加法结合不等式的基本性质可得，以及，再结合可证得结论成立；
（3）首先当或2024时的情况，再考虑时，结合（2）中结论考虑用累加法可证得结论.
【详解】（1）因为，
所以数列是“数列”，
因为，
所以数列不是“数列”；
（2）令，因为数列为“数列”，所以
从而，所以
因为，所以
，
因为，所以.
（3）当或2024时，，
从而，
当时，因为，
由第(2)问的结论得，可推得，从而
对于，由第(2)问的结论得，从而也成立，从而
对于，由第(2)问的结论得，从而
也成立，从而
所以
由条件
可得，
所以.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导、求解；本题中，根据“数列”的定义“”结合作差法、不等式的性质进行推理、证明不等式成立，并在推导时，充分利用已有的结论进行推导，属于难题.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列．
(1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值；
(2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和．
(3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)1622
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列出“数列”的式子，变形后得，与无关，即可求解；
（2）由题意确定数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，结合等差和等比数列的前项和公式，即可求解；
（3）首先求解出，可得数列的前项和，并假设存在，通过验证求得，再利用放缩法，证明结论成立.
【详解】（1）数列是等比数列，则，，
则，
因为与无关，所以，即；
（2）由题意可知，，而，所以，
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项（含）前共有项，
令，结合，解得：，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和；
（3）因为数列是“数列”，，，，
则，，得，
所以数列的前项和，
假设存在正整数，使得不等式，对一切都成立，
即
当时，，得，
又为正整数，得
下面证明：对一切都成立，
由于，，
所以，
，
所以存在，使不等式对一切都成立.
【点睛】思路点睛：本题第3问首先利用特殊值，首先确定的值，再用到了放缩法，求和后说明存在.
1．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
【答案】C
【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得，结合单调性可得，即可得结果.
【详解】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列，
则，但不存在，使得，
所以不为内和数列，故AB错误；
对于选项C：因为，
对任意，，可知存在，
使得，
则，即，
且内和数列为递增数列，可知，
所以其伴随数列为递增数列，故C正确；
对于选项D：例如，
显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列，
但不是递增数列，故D错误；
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算.
2．（2024·湖北荆州·三模）“数列”定义：数列的前项和为，如果对于任意的正整数，总存在正整数使则称数列是“数列”.
(1)若数列的前项和为求证：数列是“数列”；
(2)已知数列是“数列”，且数列是首项为，公差小于的等差数列，求数列的通项公式；
(3)若数列满足：求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）利用求出，再利用题中“数列”的定义进行证明.
（2）数列即是“数列”，又是等差数列，表示出通项公式和前项和，利用“数列”的定义求出公差，进而求出通项公式.
（3）由（1），（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）证明：当时，；
当时，，
所以，即.
所以数列是“数列”.
（2）设数列的公差为d,.
对，使；
取时，得，解得，
，又，
故，是小于2正整数.
此时对于任意的正整数，总存在正整数使，故.
（3），
当时，，
，
，
.
当时，，满足上式.
综上，.
3．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
【答案】(1)不是“型数列”，理由见解析；
(2)
【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；
（2）利用为“型数列”和是等比数列，且不是“型数列”可求得的公比为，即可求出数列的通项公式为.
【详解】（1）易知当时，可得，即；
而当时，，可得；
此时，不满足“型数列”定义，
猜想：数列不是“型数列”，
证明如下：
由可得，当时，，
两式相减可得，可得，
此时从第二项起，每一项与它前一项的比为，因此不是“型数列”；
（2）设数列的公比为，易知，
又因为数列不是“型数列”，可得
可得，即得；
又数列为“型数列”，可得；
易知“型数列”为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得；
综上可得，即，可得；
所以数列是以为首项，公比为的等比数列；
即可得，可得；
所以数列的通项公式为.
4．（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”．
(1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围．
(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”．
①求数列的通项公式．
②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，
【分析】（1）由等差数列是“数列”，可得其公差，利用等差数列的前项和公式将原不等式化为对任意的恒成立，再对的范围进行分类讨论即可得的取值范围；
（2）①分别求数列中的最小项，再根据是“数列”，数列不是“数列”求的值；再分类讨论并分别检验数列是否为“数列”，可得，即‘
②根据题意得到关于的方程,并判断的大小关系，分类讨论，分别求得的值，再对结果进行检验即可得出结论.
【详解】（1）因为等差数列是“数列”，所以其公差．
因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
因为，所以．
综上，，
所以，
即的取值范围是．
（2）①设等比数列的公比为，则，
因为“数列”的每一项均为正整数，由得，所以且，
所以在数列中，“”为最小项，
在数列中，“”为最小项．
若是“数列”，则只需，即，
若数列不是“数列”，则，即，
因为数列的每一项均为正整数，所以，
所以或．
当时，，则，
令，则，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
当时，，则，
因为，所以数列不是“数列”，不合题意．
综上所述，数列的通项公式为；
②假设存在正整数，使成等差数列，
则，即．
由于，所以数列为递减数列．
因为，所以且至少为2，
所以．
易知，
当时，，
又，所以，这与矛盾，不合题意；
当时，，所以，即，
由于为递减数列，故有唯一解，即．
综上，存在正整数，使成等差数列．
【点睛】破解新定义问题的攻略：
（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、操作步骤和结论．
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，并归纳“举例”提供的解题方法．
（3）类比新定义的概念、原理、方法，解决问题．
考点八、数列的新性质
1．（2024·山东青岛·三模）（多选）若有穷整数数列满足：，且，则称具有性质.则（ ）
A．存在具有性质的
B．存在具有性质的
C．若具有性质，则中至少有两项相同
D．存在正整数，使得对任意具有性质的，有中任意两项均不相同
【答案】ACD
【分析】对A、D：举出符合题意的例子即可得；对B：根据所给定义，借助反证法设，，，中有个，个，从而有，推出矛盾；对C：，，，，中的最大值为，则存在，使得或，若存在，使，先证：，，，可以取遍到之间所有的整数，再对分类讨论，即可得证；
【详解】对A：取数列，易得其满足题意，此时该数列具有性质，故A正确；
对B：假设存在数列具有性质，则，
且，
设中有个，则有个，
则有
，即，
其与为整数矛盾，故假设错误，故B错误；
对C：设，，，，中的最大值为，
则存在，使得或，
若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数，
假设存在正整数使得，，，中各项均不为，
令集合，设是集合中元素的最大值，
则有，
这与矛盾，
所以，，，可以取遍到之间所有的整数，
若，则，，，，的取值只能为，中的数，
此时，，，，中必有两项相同，
若，则，，，，的取值只能为，，中的数，
此时，，，，中必有两项相同，
若，则，，，，中一定有异于和的正整数，
再由，，，可以取遍到之间所有的整数，
所以，，，，中必有两项相同，
当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数，
从而，，，，中必有两项相同，故C正确；
对D：取数列，此时该数列具有性质，
且中任意两项均不相同，即存在，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对“性质”的定义的理解，灵活利用反证法是解答的关键.
2．（2024·河南·三模）已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①；②的最小值为4.
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差，进而求出通项公式及前项和，再利用定义判断即得.
（2）①根据给定条件，可得，再按，探讨，当时，，又按且讨论得解；②由定义，消去结合基本不等式得，再迭代得，借助正项数列建立不等式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，
解得，则，
于是，即，
所以数列具有性质．
（2）①由数列具有性质，得，又等比数列的公比为，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
当时，，而，整理得，
若，则，解得，与为任意正整数相矛盾；
若，则，当时，恒成立，满足题意；
当且时，，解得，与为任意正整数相矛盾；
所以.
②由，得，即，
因此，即，
则有，
由数列各项均为正数，得，从而，即，
若，则，与为任意正整数相矛盾，
因此当时，恒成立，符合题意，
所以的最小值为4．
【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.
1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.
(1)若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；
(2)若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)，
【分析】(1)利用等比数列的性质求解即可；
(2)利用等差数列的性质结合题目的定义求解即可；
(3)利用枚举法，结合题目的新定义求解即可.
【详解】（1）
解得：则即
且
若则
则当对任意正整数，都存在正整数使得
则等比数列满足性质.
（2）因为数列具有“性质”，
则
若数列具有性质则，
则，
又则
则，
，
则，
又则当时上式成立，
当时.，
则
因为则时，则则则则
反之，若则则上面各式成立，则数列具有“性质”
综上数列具有“性质”，当且仅当.
（3）从这四个数中任选两个，共有以下6种情况：，；，；
，; ，; ，; ，.
①对于， 因为为正整数，可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1.
下面说明此数列具有性质P：
=，=，任取，，则，
为正整数，因此此数列具有性质P，
②对于，.因为为正整数，认为是等比数列中的项，，
首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质P：
，，若不为等比数列中的项，
因此此数列不具有性质P，
同理可得，；，；，；，
每组所在等比数列不具有“性质P’’
【点睛】方法点睛：1.求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
2.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将新定义的数列类比已经学习了的等比、等差数列求解.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
2．（2024·湖北·模拟预测）若项数为的数列满足两个性质：①；②存在，使得，并记是数列的最大项，．则称数列具有性质．
(1)若，写出所有具有性质的数列；
(2)数列具有性质,若，求的最大项的最大值；
(3)数列具有性质,若，且还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得；（ⅱ）对于满足的项和，在的余下的项中，总存在满足的项和，使得．求满足上述性质的的最小值．
【答案】(1)或或；
(2)
(3)4067
【分析】（1）由条件②入手知或，或，由此得到数列的所有可能值，再验证条件即可；
（2）结合条件②的比值关系，由不等式性质分别利用累乘法可得两个通项范围，两式相乘可得，再给出一个最大项的最大值为的数列即可；
（3）根据题意数列满足的性质，将数列分为项数满足与前后两部分研究，由性质可得两部分分别具有“不减”与“不增”性质，再由求解最小值，使前部分各项尽可能大，后部分各项尽可能小，由此得到取最小值时的数列.
【详解】（1）所有具有性质的数列有三个：或或.
理由如下：
当，即数列有项，且，
条件②由存在，即存在，使得.
故或，或.由，可知或，或，
故满足题意的数列可能有；；；.
（i）令，条件②为存在，使得，
由，数列，满足题意；
数列与，都有，数列，均不合题意；
（ii）再令，条件②为存在，使得，
由，数列，也不合题意；
数列，；数列与，都有；
这3个数列均满足题意；
综上所述，所有具有性质的数列有三种：或或.
（2）当时，．
由，
累乘得①；
又由，
累乘得②；
将①②相乘得，
又，所以．
给出数列，通项公式为.
数列的最大项为.
综上所述，数列的最大项的最大值为.
（3）①讨论满足的项的取值情况：
因为数列满足：当时，则有恒成立.
所以，又因为当，都有，
所以或，
当时，，此时，
这与“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”矛盾，所以，
同理可得，，要使得值要尽量小，则需要每项尽可能大，，
则或，若，，由，
同样不存在项和，使得，故，
验证知，前项满足条件“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”；
再由每项尽可能大的原则，且满足，
且前项也满足条件“在剩下的项中总存在满足的项和，使得”；
同理，，
由对称性同理可得，
最后6项为，.
当中间各项为公比为2的等比数列时，可使得值最小，
且的最小值为，满足已知条件．
②讨论满足的项的取值情况：
因为数列满足：当时，则有恒成立.
类比①可知
，，，
．
综上所述，的最小值为.
故满足上述性质的的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键主要有以下两点：一是新定义具有性质的数列单调性的理解，由条件②，存在，使得，将抽象的符号语言转化，可以把分段数列单调性形象理解为：前段“不减性”与“不增性”；二是取最值时的特殊数列探究，根据数列变化的规律，确定好每段的前后6项后，为使取最小值，则数列各项增减最快即可，即前段中间的数列为公比为2等比数列，而后段中间的数列则为公比为的等比数列.
一、填空题
1．（2023·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和 .
【答案】1012
【分析】直接根据等和数列的概念找出规律然后求和.
【详解】由等和数列概念可得，，，，，
所以.
故答案为：1012
2．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ．
①存在等差数列，使得是的“M数列”
②存在等比数列，使得是的“M数列”
③存在等差数列，使得是的“M数列”
④存在等比数列，使得是的“M数列”
【答案】①②④
【分析】对于①取分析判断，对于②④取分析判断，对于③，根据题意结合等差数列的性质分析判断.
【详解】对于①：例如，则为等差数列，可得，则，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立，
所以是的“数列”，故①正确；
对于②，例如，则为等比数列，可得，则，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立 ，
所以是的“数列”，故②正确；
对于③，假设存在等差数列，使得是的“数列”，
设等差数列的公差为，
因为为严格增数列，则，
又因为为严格增数列，所以，即当时，恒成立，
取，满足，可知必存在，使得成立，
又因为为严格增数列，
所以对任意正整数，则有，即，
对任意正整数，则有，即，
故当时，不存在正整数，使得，故③不成立；
对于④，例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立，
所以是的“数列”，故④正确.
故答案为：①②④.
3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，对分奇数和偶数进行讨论，进而可以得到的表达式，再利用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】当时，，
所以，
当时，，
则，
故数列的前2024项的和为.
故选：C.
4．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为的数列中的任意一项，也是该数列中的一项，则称这样的数列为“可倒数数列”.已知正项等比数列是“可倒数数列”，其公比为，所有项和为，写出一个符合题意的的值 .
【答案】或（答案不唯一）
【分析】由题意依次得出，，进一步结合已知列方程求出即可.
【详解】已知正项等比数列是“可倒数数列”，
首先，
若，结合，解得，此时，但不在这5个数中，矛盾，故，
则若，则也在数列中，若在数列中，则（且）也在数列中，
因为正项等比数列是“可倒数数列”，
所以数列严格单调，而，
所以只能，
（否则，不妨设，那么或一定有三个数小于1，而他们的倒数都大于1，这必定导致有一个数的倒数不在中），
从而，所以，
解得或（舍去），
所以解得或.
故答案为：或（答案不唯一）.
5．（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列（）的前项和为，且满足，.设为正整数.若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】根据可得，即可判断数列为等差数列，即可求出通项公式；根据题意有，构造函数，利用导数可得，即可求解.
【详解】由，
得，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，经检验知也成立，
因此所求的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，
从而且，所以不存在，所以，
综上，所求的最大值为5.
故答案为：5
二、多选题
6．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ）
A．等差数列是等差比数列
B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列
D．若数列是等比数列，则数列等差比数列
【答案】BCD
【分析】考虑常数列可以判定A错误，代入等差比数列公式可判断BCD说法正确
【详解】等差数列若为常数列，则，无意义，
所以等差数列不一定是等差比数列，A选项错误；
若公比为的等比数列是等差比数列，则不是常数列，，
，即该数列的公比与公差比相同， B选项正确.
若数列是等差比数列，则，所以数列是等比数列，故C选项正确；
若数列是等比数列，公比为，则，
所以数列等差比数列，故D选项正确
故选：BCD.
7．（23-24高三上·上海普陀·期末）对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若为“s数列”，则为“t数列”
B．若，则为“t数列”
C．若，则为“s数列”
D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”
【答案】C
【分析】设，可判定A错误；对于，分为奇数和为偶数，不存在，使得，可判定B错误；若，推得满足①②，可判定C正确；
设，取，可判定D错误.
【详解】设，此时满足，
也满足，，
即，，为“s数列”，
因为，所以A错误；
若，则，满足①，
，令，
若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足，
若为偶数，此时，则此时不存在，使得，所以B错误；
若，则，满足①，
，，
因为，所以，，满足②，所以C正确；
不妨设，满足，且，，
当为奇数，取，使得；
当为偶数，取，使得，所以为“数列”，
但此时不满足，，不妨取，
则，而，
则为“数列”，所以D错误.
故选：C.
8．（2024·河北承德·二模）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．等差数列是“线性数列”
B．等比数列是“线性数列”
C．若且，则
D．若且，则是等比数列的前项和
【答案】AB
【分析】对A，B根据“线性数列”的定义进行判断；由构造法，根据数列递推公式求出通项公式可判断C; 设且，可判断D错误.
【详解】数列为等差数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，故A正确；
数列为等比数列，则，即，
满足“线性数列”的定义，故B正确；
设，则，解出，
则，因此，故错误；
若且，则，
数列的前项和为0，显然D错误.
故选：.
9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数，使得对一切正整数，都有，则称为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为收敛数列，如数列，显然对一切正整数都有，而的极限为，即数列既有界也收敛.如数列，显然对一切正整数都有，但不存在极限，即数列有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据数列的通项公式（递推公式）列出数列的前几项，结合所给定义判断即可.
【详解】对于A：因为，所以，所以，但是的极限不存在，
即有界但不收敛，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，且的极限为，
所以有界且收敛，故B错误；
对于C：因为，
所以，
，
所以，所以，但是的极限不存在，
所以有界但不收敛，故C正确；
对于D：因为，所以，所以的极限为，且，
所以有界且收敛，故D错误；
故选：AC.
10．（2024·河南·一模）对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A．若数列是递减数列，则为常数列
B．若数列是递增数列，则有
C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D．若，记为的前n项和，则
【答案】ABD
【分析】由“M值数列”的定义，对选项中的结论进行判断.
【详解】若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）（），
所以， 为常数列，A选项正确；
若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（），
所以，即，B选项正确；
满足为2，3，3，5，5，则，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5，
所有数列的个数为，C选项错误；
若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数，
则有，
所以，D选项正确.
故选：ABD.
三、解答题
11．（2024·内蒙古包头·二模）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
①；
②对于，使得的正整数对有个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当时，若存在的6增数列，求的最小值.
【答案】(1)所有4的1增数列有数列和数列1，3
(2)7
【分析】（1）利用给定的新定义，求出所有符合条件的数列即可.
（2）运用给定的新定义，分类讨论求出结果即可.
【详解】（1）由题意得，则或，
故所有4的1增数列有数列和数列1，3.
（2）当时，因为存在的6增数列，
所以数列的各项中必有不同的项，所以且，
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以
若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合的6增数列.
所以，当时，若存在的6增数列，的最小值为7.
12．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：
【答案】(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据新数列构造的定义，直接求解即可；
（2）根据递推公式构造，结合等比数列的定义和通项公式求解即可；
（3）利用放缩可得，再根据等比数列求和公式证明即可.
【详解】（1）设第次构造后得的数列为，则，
根据题意可得第次构造后得到的数列为，，，
所以，
即与满足的关系式为.
（2）由，可得，
且，，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
（3）由（2）得，
所以
13．（2024·贵州贵阳·二模）给定数列，若满足且，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列".
(1)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;
(2)若数列是“指数型数列”，且，证明:数列中任意三项都不能构成等差数列.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列是等比数列，求出，再结合定义即可证明；
（2）由递推式可得，继而假设数列中存在三项构成等差数列，结合可推出矛盾，即可证明结论.
【详解】（1）数列不是指数型数列；
证明：由，
所以数列是等比数列，且，
，
所以数列不是指数型数列，
（2）因为数列是指数型数列，故对于任意的，
有，，
适合该式；
假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当为偶数时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故不能成立；
当为奇数时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故也不能成立．
所以，对任意不能成立，
即数列的任意三项都不成构成等差数列．
14．（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．
(1)求，，；
(2)设，，求数列的前项和；
(3)设，，数列的前项和为，证明：，
【答案】(1)；；．
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据的定义，结合小于等于和的数的特征，即可求解；
（2）由（1）的结果可知，，再利用裂项相消法，即可求解；
（3）由（1）知，，再利用放缩法，转化为等比数列求和.
【详解】（1）1到6中与6互质的只有1和5，所以；
1到中，被3整除余1和被3整除余2的数都与互质，所以；
1到中，所有奇数都与互质，所以．
（2），从而．
（3）证明：，
从而，证毕．
15．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，．
(1)求，，；
(2)设．
（i）求数列的通项公式，
（ii）设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义，直接求解；
（2）由题意可得，得出，利用相加相消法求和即可得解.
【详解】（1）依题意可得：表示所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，
因为与互质的数为，所以；
因为与互质的数为，，所以；
因为与互质的数为，，所以．
（2）（i）因为中与互质的正整数只有奇数，所以中与互质的正整数个数为，所以，所以．
（ii）因为，
所以，
，
所以．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据数列新定义，找到项之间的规律，从而求出通项公式.
16．（2024·全国·模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：
①；②.
(1)若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；
(2)若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；
(3)记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
【答案】(1)或
(2)或
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；
（2）结合曼德拉数列的定义，首先得,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；
（3）记中非负项和为，负项和为，则，进一步，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为.
若，则由①得，得，
由②得或.
若，由①得，，得，不可能.
综上所述，.
或.
（2）设等差数列的公差为，
，
，
即，
当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，
当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，
，
，即，
由得，即，
.
当时，同理可得，
即.
由得，即，
.
综上所述，当时，，当时，.
（3）记中非负项和为，负项和为，则，
得，，，即.
若存在，使，由前面的证明过程知：
，，，，，，，，且.
若数列为阶“曼德拉数列”，
记数列的前项和为，则.
，
又，，
.
又，
，，，，
，
又与不能同时成立，
数列不为阶“曼德拉数列”.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到，，，，，，，，且，由此即可顺利得解.
17．（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用指数函数的性质判断数列的单调性，从而得出{pn}的通项，由分组求和法及等比数列的前n项和公式进行求解即可；
（2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义进行证明即可；
（3）根据等差数列的定义分类讨论进行证明即可．
【详解】（1）因为关于单调递增，
所以，
，
于是，
的前项和．
（2）由题意可知，，
所以，
因此，即是单调递增数列，且，
由“生成数列”的定义可得．
（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，是等差数列．
当是一个常数列，则其公差必等于0，，
则，因此是常数列，也即为等差数列；
当是一个非常数的等差数列，则其公差必大于0，，
所以要么，要么，
又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减，
记，则当时，有，
于是当时，，
故当时，，…，
因此存在正整数，当时，，…是等差数列．
综上，命题得证．
【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
18．（2024·山东潍坊·二模）数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列．
(1)已知数列满足，．
（ⅰ）求，，；
（ⅱ）证明：是一阶等比数列；
(2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值．
【答案】(1)（ⅰ），，；（ⅱ）证明见解析
(2)当时，为整数.
【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造即可证明；
（2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，可得，结合进而可得，从而分析为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可.
【详解】（1）（ⅰ）由，易得，……
由一阶等差数列的定义得：
，，.
（ⅱ）因为，所以当时有，
所以，即，
即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列，
即是一阶等比数列.
（2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，
则，，所以.
由题意，所以，
所以，
即.
所以为整数当且仅当为整数.
由已知时符合题意，时不合题意，
当时，，
所以原题等价于为整数，
因为①，
显然含质因子3，所以必为9的倍数，
设，则，将代入①式，
当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数；
当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数，
又因为2与9互质，所以①为整数.
综上，当时，为整数.
【点睛】方法点睛：
（1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解；
（2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析.
19．（2024·贵州·模拟预测）若给定一个数列，其连续两项之差构成一个新数列：，，，…，，…，这个数列称为原数列的“一阶差数列”，记为，其中.再由的连续两项的差得到新数列，，，…，，…，此数列称为原数列的“二阶差数列”，记为，其中.以此类推，可得到的“p阶差数列”.如果数列的“p阶差数列”是非零常数数列，则称为“p阶等差数列”.
(1)证明由完全立方数组成的数列是“3阶等差数列”；
(2)若（且，），证明数列是“k阶等差数列”，并且若将的“k阶差数列”记作，则.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由“3阶等差数列”的定义证明即可；
（2）若，先证明，再由二项式定理展开结合“k阶等差数列”的定义即可证明.
【详解】（1）证明：由题，，
的“1阶差数列”满足，
的“2阶差数列”满足，
的“3阶差数列”，记作，满足，，
由定义，为“3阶等差数列”.
（2）先证明引理：对于任意给定的
若，
则可表示为，，
且其最高次项系数
证明：由二项式定理展开式，
，
可知的最高次项为项，且其系数，
本题中，记中项的系数为，
则因为，所以
，由引理，
，由引理，
如此迭代下去，
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
20．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．
(1)若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；
(2)证明：若的通项公式为，则不是数列；
(3)设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．
【答案】(1)是T数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)或．
【分析】（1）由题知，再根据T数列的定义，即可作出判断；
（2）先假设是数列，从而有，再进行验证，即可证明结果；
（3）根据题设得到，取对数后可得，分类讨论后可求.
【详解】（1）是T数列，
理由：由题知，即，
所以，，
当时，，所以是T数列．
（2）假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项，
，
所以对任意正整数，存在正整数满足：，
显然时，存在，满足，
取，得，所以，
可以验证：当，2，3，4时，都不成立，
故不是T数列.
（3）已知是等比数列，其首项，公比，
所以，
所以，
由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
若，则，任意，这不可能成立；
若，
故对任意，总存在使得该等式成立，
故必为整数，
取，则有正整数解，故，
若，则，此时方程对任意，
必有正整数解；
若，则，
此时方程对任意，
必有正整数解；
综上，或．
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
21．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②：
①；
②．
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
(3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为；
（2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，并通过该恒等式得到新的恒等式，即可证明结论；
（3）先确定的全部可能值，然后计算使得是质数的情况数和总的情况数之比即可.
【详解】（1）若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
故，得，从而，所以.
此时，假设，则.
但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾；
所以.
由即知是“漂亮数”.
所以最小的“漂亮数”是.
（2）若是“漂亮数”，设满足.
则，所以，即.
此时有
.
再由，即知.
而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”.
（3）若，设满足.
则，所以，即.
而，故，即.
所以，得，即.
由于，故.
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
所以，故，得.
故只可能，从而，得，而，故.
但，矛盾.
所以只可能或.
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.
当时，有，所以.
从而，，得，即.
再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为.
综上，全体满足条件的有，，，，，.
这表明满足条件的全部为.
所以的全部可能值为，其中是质数的有.
从而是质数的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的问题.
22．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列，若存在一正实数，使得且，有，我们就称是-有限数列.
(1)若数列满足，，，证明：数列为1-有限数列；
(2)若数列是-有限数列，，使得且，，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用累加法可得，结合数列的单调性及1-有限数列的定义可知为1-有限数列；
（2）利用放缩法和裂项相消法可证不等式成立.
【详解】（1）因为且为正项数列，故，
而，，故当时，，
因为，故，
由累加法可得，
故，
故数列为1-有限数列；
（2）
因为且，，
故
.
23．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且
(1)若，，写出 ；
(2)若，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．
【答案】(1),，
(2)或，理由见解析，
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意直接代入即可；
（2）由中最大和最小元素是和, 所以有， 则，所以.进而分类讨论即可；
（3）受（2）问启发，分别找出和中最大和最小元素，根据已知，则对应元素相等，再由得到，又，是中元素，又，,所以中元素比大的只可能有，，，，进而得证.
【详解】（1）由，得，，，，所以；
由得,,,,所以.
（2）由，所以，，所以对于，有， 则，所以.
当，由得，又，所以不符合题意，舍去；
当，由得，又，所以，
经检验不符合题意，舍去, 或符合题意；
（3）
，，
中最小元素是，最大元素是，
同理，中最小元素是，最大元素是，
又因为，所以，，即，
又，，,
又，又，是中元素，
又，
,所以中元素比大的只可能有，，，
，又,，
， 使得 ．
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
24．（2024·湖北荆州·三模）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
(3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)数列是周期数列，其周期为1；数列是周期数列，其周期为6
(2)存在，
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可；
（2）由（1）可知，是周期为的数列，得到数列，求出，通过讨论得到的取值范围；
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，推导出数列是周期为的周期数列，进一步得到数列的周期为，推断出，而该方程无解，所以，不存在非零常数，使得是周期数列.
【详解】（1）均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1，
因为，
所以.则，所以，
所以数列是周期数列，其周期为6；
（2）由（1）可知，是周期为的数列，
计算数列为：，
故，
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故；
综上所述：存在，且.
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，
所以，即，
所以，，即，
所以，，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为，即，
因为，
所以，，，
所以数列的周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以，不存在非零常数，使得是周期数列.
【点睛】关键点点睛：（2）由（1）可知，是周期为的数列，求时要将分成六类，求的取值范围时也要分六类讨论；（3）先假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，推导出数列的周期为，推断出，通过该方程无解，得到不存在非零常数，使得是周期数列.
25．（2024·安徽芜湖·三模）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；
(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据的性质，由等量关系代换成关于的结论，紧扣定义，即可证明；
（2）由原函数有三个零点，且导函数为二次函数，分析出导函数有两个零点，判别式大于零，推得；有三个零点，得到有三个零点，再次借助导函数的零点个数，可以得到，即可得证；
（3）记，利用分析法，只需证，由数列为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可.
【详解】（1）因为，所以，因为正项数列是一个“凸数列”，
所以，所以，所以，
所以数列是一个“对数性凸数列”，，
所以，变形可得到，
所以数列是一个“对数性凸数列”，且有.
（2）因为有三个零点，
所以有两个不等实数根，
所以，
又，所以；
时，，所以不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
令，则有三个零点，
所以有两个零点，
所以，
因为，
所以正项数列对任意的相邻三项，都满足，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
（3）记，则要证，
即证，
即，即①，
因为数列为对数性凸数列，所以，，
所以，所以，
，
而，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故式①成立，所以原不等式成立．
【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解.
26．（2024·新疆·二模）我们把满足下列条件的数列称为数列：
①数列的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；
(2)若数列满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)数列是数列；证明见解析.
(3)1546.
【分析】（1）根据数列的定义证明即可；
（2）由条件可以得到数列 是等比数列，再判断该数列是否满足数列的两个条件即可；
（3）用赋值的方法可知数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 再对 进行化简，进而构造数列，进而再根据数列为数列进行求解.
【详解】（1）若 是 数列, 则 都是正偶数,
设 ，则
若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
若 , 则 除以 3 为 , 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
所以 不是 数列.
（2）在 中, 令 , 得 ,
所以数列 是首项为 8 , 公比为 8 的等比数列, 所以 ,
因为 是正偶数, 所以数列 的每一项都满足题中条件 (1),
因为,
能被 7 整除,
所以 除以 7 的余数为 1 , 即数列 的每一项被 7 除余 1 , 一定不是正整数,
所以一定不是正偶数, 即数列 的每一项都满足题中条件(2),
所以数列 是 数列.
（3）因为
,
所以 ,
,
得 .
因为 , 所以 ,
,
得 .
因为 , 所以 .
在 中,
分别令 , 得 ,
所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列,
所以 .
若数列 是 数列,
则 是正偶数, 除以 111 所得的商都不是正偶数,
因为 , 且 ,
所以当 为 3 或 37 的正偶数倍时, 数列 不是 数列,
所以满足条件的所有两位数 值的和为
.
【点睛】方法点睛：解答与数列有关的新定义问题的策略
(1)通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
(2)遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
(3)类比“熟悉数列"的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列"的性质靠拢.
27．（2024·浙江·模拟预测）已知正整数，设，，…，，，，…，是个非负实数，.若对于任意，取，，，都有，则称这个数构成—孪生数组.
(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成—孪生数组；
(2)求最小的，使得，，…，，，，…，构成—孪生数组；
(3)若，且，，…，，，，…，构成—孪生数组，求的最大值.
参考公式：（i），当且仅当时取等；（ii）当正偶数时，设，有；当正奇数时，设，有.
【答案】(1)2，2，2，2，0，4，0，4（答案不唯一）
(2)12
(3)4
【分析】（1）根据—孪生数组的含义写出即可；
（2）由题知，进而可以求出，再结合参考公式（i）即可证明；
（3）由题知，结合（2）可得.再利用参考公式（ii）放缩，进而求解最大值.
【详解】（1）根据—孪生数组的含义可知:构成—孪生数组，当然其答案不唯一;
（2）若，由题知:
所以.
由参考公式（i），有，
记是数列中奇数项的和，即，
不妨设，则有
因为，解得，当且仅当时取等.
故最小的为12.
（3）类比前问，得:.
由参考公式（ii），有
若为正偶数，.
由

展开更多......

收起↑