资源简介

专题2.5 对数与对数函数【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 对数的运算】 2
【题型2 指数、对数问题的应用】 2
【题型3 对数函数的图象及应用】 3
【题型4 利用对数函数的单调性比较大小】 5
【题型5 解对数不等式】 5
【题型6 对数函数性质的综合应用】 6
1、对数与对数函数
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数
(2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点 (3)了解指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数 2022年天津卷：第6题，5分 2022年浙江卷：第7题，5分 2022年新课标I卷：第7题，5分 2023年北京卷：第4题，5分 2024年新课标I卷：第6题，5分 2024年北京卷：第7题，5分 对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.
【知识点1 对数运算的解题策略】
1．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【知识点2 对数函数的常见问题及解题思路】
1．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 对数的运算】
【例1】（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）若，，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．1
【题型2 指数、对数问题的应用】
【例2】（2024·四川雅安·三模）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：）
A．万年 B．万年 C．万年 D．万年
【变式2-1】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据：）
A． B． C．6min D．
【变式2-2】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 对数函数的图象及应用】
【例3】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·二模）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 利用对数函数的单调性比较大小】
【例4】（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 解对数不等式】
【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【题型6 对数函数性质的综合应用】
【例6】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【变式6-1】（2024·陕西安康·一模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【变式6-2】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【变式6-3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，
(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.
一、单选题
1．（2024·广东·二模）已知正实数满足，则（ ）
A．1 B． C．4 D．1或
2．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（ ）
A． B．12 C． D．
3．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
5．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，，则，，大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广西·模拟预测）已知函数，，如图为函数的图象，则可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河南·三模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．
D．的单调递增区间为
11．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
三、填空题
12．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 .
13．（2024·吉林·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（2023·江苏连云港·模拟预测）计算：
(1)；
(2).
16．（2023·吉林长春·模拟预测）（1）求值：；
（2）已知，求的值.
17．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，且函数的图象经过点.
(1)求实数的值；
(2)求函数的最小值和最大值.
18．（2024·陕西榆林·一模）已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
19．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.5 对数与对数函数【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 对数的运算】 2
【题型2 指数、对数问题的应用】 3
【题型3 对数函数的图象及应用】 5
【题型4 利用对数函数的单调性比较大小】 7
【题型5 解对数不等式】 9
【题型6 对数函数性质的综合应用】 11
1、对数与对数函数
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数
(2)通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点 (3)了解指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数 2022年天津卷：第6题，5分 2022年浙江卷：第7题，5分 2022年新课标I卷：第7题，5分 2023年北京卷：第4题，5分 2024年新课标I卷：第6题，5分 2024年北京卷：第7题，5分 对数函数是常见的重要函数，对数与对数函数是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，对数函数往往与幂函数、指数函数结合考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.
【知识点1 对数运算的解题策略】
1．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【知识点2 对数函数的常见问题及解题思路】
1．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 对数的运算】
【例1】（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.
【解答过程】由，，可知，
.
故选：B.
【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）若，，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解题思路】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【解答过程】由 ，
所以
故选：A.
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．
【解答过程】依题意设，则，，，
所以，
则，故A，C错误；
则，故B错误；
则，故D正确.
故选：D.
【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【解答过程】由，，，可得，
所以，则.
故选：B.
【题型2 指数、对数问题的应用】
【例2】（2024·四川雅安·三模）二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：）
A．万年 B．万年 C．万年 D．万年
【解题思路】利用取对数法进行化简求解即可．
【解答过程】万年用掉个二维码，
大约能用万年，
设，则，
即万年．
故选：A．
【变式2-1】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据：）
A． B． C．6min D．
【解题思路】令，则，两边同时取对将代入即可得出答案.
【解答过程】由题可知，函数，
令，则，
两边同时取对可得：，即，
即 .
故选：B.
【变式2-2】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
【解题思路】根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解.
【解答过程】，
即，则，得.
故选：A.
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）万有引力定律是英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿提出来的，即任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引，其数学表达式为，其中表示两个物体间的引力大小，为引力常数，分别表示两个物体的质量，表示两个物体间的距离.若地球与月球的近地点间的距离为，与月球的远地点间的距离为，地球与月球近地点间的引力大小为，与月球远地点间的引力大小为，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，由对数的运算代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由题意知，，两边同时取对数得，，即.
故选：A.
【题型3 对数函数的图象及应用】
【例3】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【解答过程】，
因为当时，都为增函数，
所以，在上单调递增，故B，C错误；
又因为，
所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先判断函数奇偶性排除选项A，再根据函数值正负排除B,C, 即可得出答案.
【解答过程】因为的定义域为，，所以是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除A；
当时，，，所以，当时，，，所以，故排除B，C.
故选:D.
【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·二模）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用函数的奇偶性和特殊值判断出选项．
【解答过程】，是偶函数，排除C，D；
又，
故选：B.
【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.
【解答过程】的定义域为且，
因为，所以为奇函数，排除A，D，
当时，，B错误，
故选：C.
【题型4 利用对数函数的单调性比较大小】
【例4】（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】判断a，b，c与0和1的大小关系即可得到答案．
【解答过程】，
，
，则,
故.
故选：C.
【变式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“”分析大小即可.
【解答过程】因为在上单调递减，则，即；
又因为在上单调递减，则，即；
可得，且在上单调递增，
则，即；
综上所述：.
故选：D.
【变式4-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用指数函数单调性得到，利用指对运算和指数函数单调性得到，利用对数函数单调性得到，则比较出大小.
【解答过程】因为，且，则，
，
所以，
故选：A.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项.
【解答过程】由，得到对称轴为，则，
而，又在上单调递减，
则 ，得.
故选：D.
【题型5 解对数不等式】
【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合函数的图象和函数的图象，由，找到交点横坐标，即可得解.
【解答过程】在同一坐标系中画出函数的图象和函数的图象，
设两图象交于点A，且点A的横坐标为.
由图象可得满足的实数a的取值范围为.
对于，由，得，
所以，解得或（舍去），
故选：C.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数的单调性和奇偶性结合对数函数的单调性解不等式即可.
【解答过程】当时，，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在区间上单调递增，且，
又为R上的偶函数，
则，即，即，
所以，解得，即原不等式的解集为．
故选：C．
【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】取，即可说明不充分，结合对数函数单调性解不等式也可说明不必要由此即可得解.
【解答过程】取，可得，故充分性不成立；
若，根据对数函数的单调性可得，
故，得，并不能推出，所以必要性同样不成立，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【变式5-3】（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【解题思路】根据是偶函数求得，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于，解不等式即可.
【解答过程】∵是偶函数
∴，即
化简得
∴，（，）
,
时都能得到，
所以在上是增函数
∴（，）为偶函数且在上是增函数，
∴，，
即，即或
解得或.即.
故选：B.
【题型6 对数函数性质的综合应用】
【例6】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）根据函数奇偶性求解析式；
（2）求函数的值域，即可求的取值范围.
【解答过程】（1）当时，，
则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
故，
当时，，符合上式，
综上，所以的解析式为.
（2）当时，，
因为，所以，所以，
所以，
由对称性可知，当时，，
当时，，
综上，，
所以实数的取值范围是．
【变式6-1】（2024·陕西安康·一模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间.
（2）根据的最小值为列方程，从而求得的值.
【解答过程】（1）∵，∴，即，
，由，
解得，∴函数的定义域为，
∵函数在上单调递增，在上单调递减，
又∵在上为增函数，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）设存在实数a，使函数的最小值为0，，
∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②，
联立①②解得：，
∴存在实数，使函数的最小值为0.
【变式6-2】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.
（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.
（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【解答过程】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
（2）在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
所以在，上单调递减.
（3）函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
【变式6-3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，
(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据函数的值域为，可得函数的值域包含，再分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据，则只要即可，求出函数的最小值，再从分情况讨论，结合二次函数的性质求出的最小值即可．
【解答过程】（1）因为函数的值域为，所以函数的值域包含，
，
当时，，其值域为，不满足条件，
当时，令，则函数的对称轴为，
当时，，即的值域为，
所以，解得，
当时，，则函数的值域为，即函数的值域为，不满足条件，
综上所述，，所以满足条件的整数的值为；
（2）因为函数是定义域为的奇函数，
所以，即，解得或，
由函数不是常数函数，所以，
经检验，符合题意，即，
由，，，
得，，，
只要即可，
当时，，
所以函数，则，
，
令，因为，所以，
函数，
当时，，则时，恒成立，符合题意；
当时，函数的对称轴为，
当时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，则时，，所以，不等式组无解；
当，即时，则时，恒成立，符合题意；
当，即时，则时，，所以，解得，
综上所述，的取值范围为.
一、单选题
1．（2024·广东·二模）已知正实数满足，则（ ）
A．1 B． C．4 D．1或
【解题思路】利用对数运算法则化简等式，列出关于的方程求解即得.
【解答过程】由，得，因此，
整理得，解得，即，经检验符合题意，
所以.
故选：B.
2．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（ ）
A． B．12 C． D．
【解题思路】根据指对数的互化可得，，代入，即可计算得到的值.
【解答过程】因为且，易知且，
所以，，
所以，，
所以，则.
故选：D．
3．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】令，即可求解恒过定点，进而求解.
【解答过程】令，解得，此时，
所以恒过定点，则，
所以.
故选：C.
4．（2024·江西鹰潭·模拟预测）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
【解题思路】结合条件及对数的运算法则计算即可.
【解答过程】，，故．
故选：B.
5．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，，则，，大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知结合幂函数及对数函数单调性判断，，的范围，即可比较，，的大小．
【解答过程】因为，，
，
所以．
故选：A．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.
【解答过程】根据题意，当时，，可得在上递增，
要使得函数 是上的单调函数，
则满足，且，解可得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
7．（2024·广西·模拟预测）已知函数，，如图为函数的图象，则可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数的奇偶性结合函数的定义域和图象逐项分析即可；
【解答过程】依题意可知，函数的定义域为R，，
所以函数为奇函数．
函数的定义域为，，
所以函数为偶函数．
对于A，的定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
对于C，函数的定义域为，，所以为奇函数，故C正确；
对于D，函数的定义域为且，故D错误；
故选：C．
8．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】依题意可得的奇偶性、对称性与周期性，即可得到的图象，即可得到，，解得即可.
【解答过程】因为，所以为奇函数；
又因为，所以关于直线对称；
由知的一个周期为.
因为当时，，所以在上单调递增，
函数的图象如图所示，
根据图象可知，若，则，，
解得，，
所以实数的取值范围是，.
故选：D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】对A：使用换底公式化简可判断a的范围；对B：使用换底公式化简证明；对C：根据基本不等式证明；对D：根据函数在上的单调性判断.
【解答过程】选项A：，故A错误．
选项B：，故B正确．
选项C：，（，，所以，所以不能取等号）,故C正确．
选项D：易知函数在上单调递增，所以，故D错误．
故选：BC.
10．（2024·河南·三模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．
D．的单调递增区间为
【解题思路】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出利用对数运算法则即可求解C，根据复合函数的单调性即可判断D.
【解答过程】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确；
对C，，C正确；
对D，因为，所以，外层函数为增函数，
，令，所以函数定义域为，
内层函数，在上单调递增，上单调递减，
所以的单调递增区间为不是D错误.
故选：ABC.
11．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
【解题思路】先判断函数为奇函数，再分和讨论的单调性，分和讨论函数的单调性，根据复合函数的单调性判断得出的单调性，利用单调性将进行等价转化成含参数的不等式，求解即得.
【解答过程】对于函数，因 ，则函数是奇函数.
不妨设，则，
对于A项，当时，在定义域内为增函数，
因，则在R上也是增函数，故在R上也是增函数.
由，则，即（*），
①当时，此时恒成立；② 当时，由（*）可得，解得，综上可知，，故A项错误；
对于B项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是减函数，故在R上是增函数，
由A项分析可得，恒成立可得，，故B项正确；
对于C项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上是减函数，故在R上是减函数，
由，则，即（*），
①当时，无解；② 当时，由（*）可得，解得或，综上可知，，故C项错误；
对于D项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是增函数，故在R上是减函数，
由C项分析可得，恒成立可得，，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 .
【解题思路】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解.
【解答过程】令，则，
由，得，
所以，解得或，
所以或，
所以或，
当时，则，
由，得，所以，
由，又，解得，
所以；
当时，由，得，所以，
由，又，解得，
所以，
综上所述，.
故答案为：.
13．（2024·吉林·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ．
【解题思路】根据题意，设，则，利用复合函数的单调性，可得在上为减函数，且恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设，则，若函数在上单调递减，
利用复合函数的单调性，可得在上为减函数且恒成立，
即，解得，即a的取值范围为．
故答案为：．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 8 ．
【解题思路】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【解答过程】因为，（且），
所以函数（且）的图象恒过定点，
所以，
所以，
，，当且仅当，即等号成立，
即的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023·江苏连云港·模拟预测）计算：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可；
（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.
【解答过程】（1） .
（2） .
16．（2023·吉林长春·模拟预测）（1）求值：；
（2）已知，求的值.
【解题思路】（1）化简即可求出该式子的值；
（2）解对数方程求出，即可得出的值.
【解答过程】（1）由题意，
（2）由题意，
在中，
，化简得，
两边同除得，解得：或1（舍），
∴.
17．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，且函数的图象经过点.
(1)求实数的值；
(2)求函数的最小值和最大值.
【解题思路】（1）将点代入函数的解析式，求实数的值即可；
（2）将函数的解析式经过变量代换，转化为一元二次函数形式，求最值即可；
【解答过程】（1）由题意，将点代入函数的解析式，
得：，即，解得.
（2）由换底公式得：，
所以函数，
令，因为，所以.
设，
显然函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
即函数的最小值为2，最大值为6.
18．（2024·陕西榆林·一模）已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）当时，可将代入解析式，结合偶函数定义可得此时的解析式，由此可得解析式；
（2）由复合函数单调性判断方法判断函数在上的单调性，结合偶函数性质利用单调性化简不等式求得结果.
【解答过程】（1）因为是定义在上的偶函数，
所以，
令，则
时，，
则.
（2）因为时，，
又函数，由函数，与函数，复合而成，
函数在上单调递增，
函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
故函数在上单调递减，
是定义在上的偶函数，所以，
所以不等式，可化为
，
或.
19．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【解题思路】（1）由偶函数的性质即可求解的值；
（2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解.
【解答过程】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑