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专题2.6 函数的图象【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 作出函数的图象】 2
【题型2 函数图象的识别】 4
【题型3 根据函数图象选择解析式】 5
【题型4 借助动点研究函数图象】 7
【题型5 利用图象研究函数的性质】 9
【题型6 利用图象确定零点个数、解不等式】 10
【题型7 利用图象求参数的取值范围】 11
1、函数的图象
考点要求 真题统计 考情分析
(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数
(2)会画简单的函数图象 (3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题 2022年天津卷：第3题，5分
2022年全国甲卷：第5题，5分 2022年全国乙卷：第8题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第7题，5分 函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象函数性质、解不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.
【知识点1 函数的图象的作法与识别】
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【知识点2 函数图象的应用的解题策略】
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1 作出函数的图象】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)画出的图象；
(2)求不等式的解集．
【变式1-1】（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．

(1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象；
(2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值．
【变式1-2】（23-24高一上·上海·期末）在下面的坐标系中画出下列函数的图像：
(1)
(2)．
【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)请画出函数的图象，并求的解集；
(2)，，求的最大值.
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2024·陕西安康·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 根据函数图象选择解析式】
【例3】（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 借助动点研究函数图象】
【例4】（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【变式4-3】（2024·湖南·一模）图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
【题型5 利用图象研究函数的性质】
【例5】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【变式5-1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
【变式5-2】（23-24高一上·广西钦州·期中）定义在上的偶函数在上的图象如下图，下列说法不正确的是（ ）

A．仅有一个单调减区间
B．有两个单调减区间
C．在其定义域内的最大值是5
D．在其定义域内的最小值是
【变式5-3】（23-24高一上·湖北黄石·期中）记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ）
A．方程有三个根 B．的单调减区间为和
C．的最大值为 D．的最小值为
【题型6 利用图象确定零点个数、解不等式】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2024·河南商丘·三模）已知定义在R上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ）
A．4 B．5
C．3或4 D．4或5
【变式6-3】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 利用图象求参数的取值范围】
【例7】（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是
．
【变式7-1】（2024·陕西西安·一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 .
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【变式7-3】（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）函数在区间的大致图象如图，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·四川·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·安徽合肥·一模）已知，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则（ ）
A．方程在上有三个根
B．
C．在上单调递增
D．对任意，都有
三、填空题
12．（2024·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ．
14．（2024高三·全国·专题练习）设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图，则不等式的解集是 ．
四、解答题
15．（2024·山东济宁·模拟预测）已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如
(1)将的解析式写成分段函数的形式;
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象;
(3)根据图象写出函数的值域.
16．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若直线与的图象所围成的三角形的面积为，求实数的值．
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)画出的图像，并直接写出的值域；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有解．
(1)求a的取值范围；
(2)当a取最大值时，作出的图象，并求的图象与x轴围成的封闭图形的面积．
19．（23-24高一上·广西钦州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式，并画出函数的图象；
（2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（3）讨论方程解的个数.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.6 函数的图象【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 作出函数的图象】 2
【题型2 函数图象的识别】 7
【题型3 根据函数图象选择解析式】 9
【题型4 借助动点研究函数图象】 11
【题型5 利用图象研究函数的性质】 15
【题型6 利用图象确定零点个数、解不等式】 17
【题型7 利用图象求参数的取值范围】 20
1、函数的图象
考点要求 真题统计 考情分析
(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数
(2)会画简单的函数图象 (3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题 2022年天津卷：第3题，5分
2022年全国甲卷：第5题，5分 2022年全国乙卷：第8题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第7题，5分 函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象函数性质、解不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.
【知识点1 函数的图象的作法与识别】
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【知识点2 函数图象的应用的解题策略】
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1 作出函数的图象】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)画出的图象；
(2)求不等式的解集．
【解题思路】根据绝对值的定义去绝对值，然后画出函数的图象，解绝对值不等式即可；
【解答过程】（1）由题知，，①
作出 的图象如图所示．②

（2）由题知， 或或，③
解得，原不等式的解集为.
【变式1-1】（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．

(1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象；
(2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值．
【解题思路】（1）把代入，再画出函数图象即可.
（2）作出函数与直线围成多边形，并求出面积表达式，再求出最大值即得.
【解答过程】（1）当时，，
在坐标平面内作出函数的图象，如图：

（2）依题意，，其图象如图：

令，得函数的图象与直线的两个交点，
直线与直线交于点，
显然，即点，
函数的图象与直线围成多边形为四边形，其面积为：
，
显然函数在上单调递增，当时，，
所以函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值为，此时.
【变式1-2】（23-24高一上·上海·期末）在下面的坐标系中画出下列函数的图像：
(1)
(2)．
【解题思路】（1）（2）利用描点法结合函数的性质求解.
【解答过程】（1）
1 2 3 4 5 6
1
由于的定义域为，且为偶函数，所以作图如下，
（2）先作出的图象，然后将轴下方图象沿着轴翻折即可得，
故作图如下
【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数.
(1)请画出函数的图象，并求的解集；
(2)，，求的最大值.
【解题思路】（1）分类讨论求得，即可作出图形；
（2）由（1）知的图象与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最小值为，则，，即可求解.
【解答过程】（1）∵，∴.
函数图象如右所示：
由图可知的解集为.
（2）由（1）知，的图象与轴交点的纵坐标为，
且各部分所在直线斜率的最小值为，
故当且仅当，时，恒成立，
此时有最大值.
即的最大值是.
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2024·陕西安康·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】判断函数的奇偶性从而排除选项A、D；再判断当时函数值的符号即可排除C.
【解答过程】因为为奇函数，所以排除；当时，，所以排除C.
故选：B.
【变式2-1】（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数奇偶性、在上的单调性、函数值的正负情况依次判断和排除ABC，即可得解.
【解答过程】由题定义域为关于原点对称，且，
故是奇函数，故A错；
当时，，
又是增函数，在上是增函数，
故在上是增函数，故BC错；
故选：D.
【变式2-2】（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可.
【解答过程】依题意，函数的定义域为，
，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足；
当时，，则，AD不满足，C满足.
故选：C.
【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合函数的定义域及特殊值的函数值的符号判断即可.
【解答过程】因为函数的定义域为，故排除B项、D项，
又因为，故排除C项.
故选：A.
【题型3 根据函数图象选择解析式】
【例3】（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.
【解答过程】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；
由图可知，当时，，
而对于D选项，当时，，故排除D.
故选：A.
【变式3-1】（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.
【解答过程】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，
对于A，，为偶函数，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，为奇函数，当时，，
因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；
对于D，当时，，，所以时，，
单调递增，当时，，单调递减，故D错误，
故选：C.
【变式3-2】（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【解答过程】对于A， 在处无意义，故A错误；
对于B：的定义域为，故B错误；
对于C：的定义域为，
且，则为偶函数，故C错误；
对于D，满足图中要求，故D正确.
故选：D.
【变式3-3】（2024·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解.
【解答过程】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，，
对于C，当时，，C不可能；
对于D，当时，，D不可能；
对于A，当时，，而当时，，则，A可能；
对于B，当时，，而当时，，则，B不可能.
故选：A.
【题型4 借助动点研究函数图象】
【例4】（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】分，，求出解析式，然后可知图象.
【解答过程】当时，，是一条过原点的线段；
当时，，是一段平行于轴的线段；
当时，，图象为一条线段.
故选：A．
【变式4-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.
【解答过程】当点在上时，，
当点在上时，
，
当点在上时，，
其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.
故选：A.
【变式4-2】（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【解题思路】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【解答过程】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，
从点到点的过程中，的值先减后增，
从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，
故选：D.
【变式4-3】（2024·湖南·一模）图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
【解题思路】先观察当变化时，面积的变化情况，再结合函数图像的平缓、陡峭程度判断即可得解.
【解答过程】解：由图观察，当时，随着的增大，面积越来越大，但变化越来越缓慢，即函数图像越来越平缓，显然选项A,B不满足题意，当与时，随着的增大，面积越来越大，但当时比时，面积增加的要快些，即当时比时，函数图像要更陡峭些，显然选项D不满足题意，只有选项C符合题意，
故选：C.
【题型5 利用图象研究函数的性质】
【例5】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【解题思路】
首先判断函数为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.
【解答过程】函数的定义域为，又，
所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称，
又的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
所以函数的图象关于点对称.
故选：A.
【变式5-1】（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
【解题思路】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误.
【解答过程】由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C.
【变式5-2】（23-24高一上·广西钦州·期中）定义在上的偶函数在上的图象如下图，下列说法不正确的是（ ）

A．仅有一个单调减区间
B．有两个单调减区间
C．在其定义域内的最大值是5
D．在其定义域内的最小值是
【解题思路】补全函数图象，然后结合图象分析单调递减区间以及最值，由此可得错误选项.
【解答过程】将的图象补充完整如下图所示：

由图象可知在，，上单调递减，故AB错误；
由图象可知在定义域内的最大值为，最小值未知，故C正确，D错误；
故选：ABD.
【变式5-3】（23-24高一上·湖北黄石·期中）记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ）
A．方程有三个根 B．的单调减区间为和
C．的最大值为 D．的最小值为
【解题思路】由的定义可得图象，结合图象依次判断各个选项即可.
【解答过程】由的含义可得图象如下图所示，

由图象可知：
对于A，与有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确；
对于B，的单调递减区间为和，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，无最小值，D错误.
故选：AC.
【题型6 利用图象确定零点个数、解不等式】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据图象分段判断即可.
【解答过程】由图可知，当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
故的解集为，
故选：A.
【变式6-1】（2024·河南商丘·三模）已知定义在R上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据奇函数图像关于原点对称即得函数整体图像,利用图像即得.
【解答过程】根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示，
由，得，
等价于或
解得，或，或．
故不等式解集为：.
故选: C.
【变式6-2】（2024·四川攀枝花·模拟预测）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ）
A．4 B．5
C．3或4 D．4或5
【解题思路】求出函数的周期及在时解析式，转化为函数图象交点问题求解即可.
【解答过程】由可知，，即周期为，
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
即当时，，，
，所以函数在上单调递增，
而过定点，斜率，
在同一直角坐标系内作两函数图象，如图，
由图可知，当在之间绕转动时，，
其中，
当直线不过点时，有4个交点，当过点时有5个交点，
故选：D.
【变式6-3】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数解析式，作出函数图象，继而作出的图象，数形结合，求得不等式的解集.
【解答过程】根据题意当时,，
当时, ,
作出函数的图象如图，
在同一坐标系中作出函数的图象，
由图象可得不等式解集为，
故选：C.
【题型7 利用图象求参数的取值范围】
【例7】（2024·河北石家庄·三模）给定函数，用表示中的较大者，记．若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围是
．
【解题思路】在同一坐标系下画出的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线，进而求出的取值范围即可.
【解答过程】
由，，
因为，
所以图象变为：
其中，当且仅当时取最大值；
且设两函数在第一象限的交点为，即当， ，
解得：，
由题意与函数的图象有3个不同的交点，
由数形结合易知：，或，
故答案为：.
【变式7-1】（2024·陕西西安·一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 .
【解题思路】先求函数的值域，单调性，并画出图象，再设，结合复合函数的零点个数求实数的取值范围即可.
【解答过程】易知函数在R上增函数，函数在上减函数，
所以，当时，，当时，，
于是函数的值域为，
又函数的在上单调递增，在上单调递减，
函数图象如图所示：
设，由可知，，则.
因为有两个零点，所以，即，
于是，则方程，即有两个零点，
所以，由的图象可知，使方程有两个零点，
则满足，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【解题思路】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数的图象，结合图象，从而确定的取值范围.
【解答过程】由的解析式作出的大致图像．如图所示：

方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则．
故答案为：.
【变式7-3】（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围是 ．
【解题思路】作出的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到，且，再利用函数的单调性即可求出结果.
【解答过程】因为，所以，其图象如图所示，
又有四个实数根，由图知，得到，即，且，
由，得到或，所以，
所以，
令，，易知在区间上单调递增，所以，
所以的取值范围为，
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先得到函数为奇函数，图象关于原点对称，讨论参数，再利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案.
【解答过程】由题意可知，，又，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
当时，结合幂函数的性质可知，D选项符合；
当时，若，，A选项符合；
当时，，此时在和上单调递增， B选项符合；
结合选项可知，只有C.选项不可能.
故选：C.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【解答过程】函数与都是偶函数，其中，，
在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D.
3．（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【解答过程】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
4．（2023·全国·模拟预测）函数在区间的大致图象如图，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】主要采用排除法，通过奇偶性可排除A；通过定义域可排除C；通过最大值可排除B.
【解答过程】由函数图象可知，函数为奇函数，且函数在上的最大值大于1（关键点）.
对于选项A，定义域为R，
为偶函数，排除A选项；
对于选项C，x满足，排除C选项；
对于选项B，D，定义域为R，
因为，所以B，D选项都是奇函数，
因为在区间上，（提示：等号不同时成立），故排除B选项，
，，
故的最大值超过1，D选项符合题意.
故选：D.
5．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】取的中点，连接，设等边的边长为，求得，令，其中，结合导数，即可求解.
【解答过程】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得，
设等边的边长为，且，其中，
可得，
又由的面积为，可得，
且，
则的面积为，
令，其中，
可得，所以为单调递增函数，
又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项C符合题意.
故选：C.
6．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
由点在第二条边上运动时，的单调性可排除A，由图象的对称性可排除，由一开始与是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.
【解答过程】对于A，点在第一条边上时，，
但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大，
对比图象可知，A错误；
对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；
对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误；
对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为，
点在第一条边上时（即时），，
点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增，
点在第三条边上运动时（即时），，单调递减，
点在第四条边上运动时（即时），，单调递减，
且已知与的图象关于（其中）对称，D正确.
故选：D.
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数的图象向右平移1个单位长度，作出函数在上的图象，结合图象，即可求解.
【解答过程】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数，且，
所以当时，；
当时，，所以；
当时，，所以，
函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到，
作出函数在上的图象，如图所示．
由图可知不等式在上的解集为．
故选：B．
8．（2024·四川·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知函数的图象关于轴对称且周期为4，由此可画出函数在区间上的图象，若在区间内方程有5个不同的实数根，即函数与的图象有5个交点，数形结合列出不等式组求解即可.
【解答过程】因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于轴对称，
因为对任意的，都有成立，
所以，
所以函数的周期为4，
画出函数在区间上的图象，如图所示：

若在区间内方程有5个不同的实数根，
即函数与的图象有5个交点，
显然，则，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D．
二、多选题
9．（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.
【解答过程】由题意可知，函数的定义域为，
当时，，函数在上单调递增，故B正确；
当时，，，所以在上单调递增，故D正确；
当时，当时，；当时，；
故A正确；C错误.
故选：ABD.
10．（2024·安徽合肥·一模）已知，函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据给定的函数，按分类探讨，结合函数的单调性及函数增长速度的大小判断作答.
【解答过程】当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递增，而，函数图象为曲线，A可能；
当时，函数在上的图象是不含端点的射线，B可能；
当时，取，有，即函数图象与x轴有两个公共点，
又，随着的无限增大，函数呈爆炸式增长，其增长速度比的大，
因此存在正数，当时，恒成立，即，C可能，D不可能.
故选：ABC.
11．（2024·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则（ ）
A．方程在上有三个根
B．
C．在上单调递增
D．对任意，都有
【解题思路】根据正方形的运动，得到点B的轨迹，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.
【解答过程】分析正方形顶点的运动状态可知，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；
当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆；
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，
作出函数的图象如下图所示：
由图知：函数的图象与直线在上有三个交点，
即方程在上有三个根，A正确；
函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，B错误；
函数在上单调递增，C正确；
由图象知：，，，D错误.
故选：AC.
三、填空题
12．（2024·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 二 象限.
【解题思路】由指数函数的性质与图象的平移可得.
【解答过程】已知,
则指数函数单调递增，过定点，且，
函数的图象是由函数函数向下平移个单位，
作出函数的图象，可知图象必定不经过第二象限.
故答案为：二.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 2 ．
【解题思路】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.
【解答过程】对于，可以把的图象看作：
由的图象向上平移1个单位长度得到，
而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到；
对于的图象可看作由
的图象向上平移1个单位长度得到，
而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到．
易知与都为奇函数，
则易知与的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．
因为将函数图象向右平移不改变与两函数图象交点处函数值的大小，
所以与的图象交点的纵坐标之和为0，
又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，
则与的图象的两个交点的纵坐标与与的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，
故与的图象交点的纵坐标之和为2．
故答案为：2.
14．（2024高三·全国·专题练习）设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图，则不等式的解集是 ．
【解题思路】
由奇函数的性质即可得解.
【解答过程】因为函数是奇函数，所以利用函数的图象关于原点对称，
可得的解集为．
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·山东济宁·模拟预测）已知函数，其中[x]表示不超过的最大整数，例如
(1)将的解析式写成分段函数的形式;
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图象;
(3)根据图象写出函数的值域.
【解题思路】(1)根据已知条件给的新定义，可以将函数分为三段，分别求解析式即可.
(2)根据写出的分段函数画图.
(3)由图像就可以观察出函数的值域.
【解答过程】（1）当时，所以
当时，，所以
当时，，所以.
综上，
（2）函数的图象如图所示.
（3）由图象，得函数的值域为.
16．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若直线与的图象所围成的三角形的面积为，求实数的值．
【解题思路】（1）首先将函数写成分段函数，再分类讨论得到不等式组，解得即可；
（2）作出直线和函数的图象，设直线和函数的另一个交点为， 求出点坐标，代入方程求出的值.
【解答过程】（1）因为，
所以，即或或，
解得或或，
综上可得不等式的解集为.
（2）直线恒过点，
如图作出直线和函数的图象如下，
记与轴的交点为，，，则，
设直线和函数的另一个交点为，
则，所以，解得，
则，所以，代入，即，解得.
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)画出的图像，并直接写出的值域；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）将化为分段函数，根据分段函数的解析式画出图象，根据图象可得值域；
（2）化为，解不等式可得结果.
【解答过程】（1）当时，，
当时，，
当时，，
所以，
的图象如图：
由图可知，函数的值域是.
（2）若不等式恒成立，则，
则，即，
解得或.
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有解．
(1)求a的取值范围；
(2)当a取最大值时，作出的图象，并求的图象与x轴围成的封闭图形的面积．
【解题思路】（1）利用绝对三角不等式求出最大值，再根据有解，即，求解即可.
（2）根据绝对值不等式的讨论方法，进行分段处理，画出对应图像，求出对应的交点根据面积公式求解即可.
【解答过程】（1），（技巧：绝对值三角不等式的应用）
所以的值域为．因为有解，
所以，即，解得，所以a的取值范围为．
（2）由（1）知a的最大值为－1，
所以 ．
作出的图像如图所示．
由图可得的图像与x轴所围成的封闭图形为，
易得，，，所以．
19．（23-24高一上·广西钦州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式，并画出函数的图象；
（2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域；
（3）讨论方程解的个数.
【解题思路】（1）由偶函数的定义即可求得时的函数f(x)的解析式，进而得到解；
（2）画出函数图象，数形结合即可得函数的单调增区间；
（3）函数的图象与直线的交点个数，数形结合即可得解.
【解答过程】解：（1）因为时，，设，则，
，
又函数为偶函数， ，
故函数的解析式为.
函数图像如图：
（2）由函数的图象可知，
函数的单调递减区间为 ，
函数的值域为.
（3）方程的实数根的个数就是函数的图象与直线的交点个数，
由函数的图象可知，
当时，方程的解的个数为0；
当，或时，方程的解的个数为2；
当时，方程的解的个数为3；
当时，方程的解的个数为4.
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