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专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性【十二大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 3
【题型2 根据函数的单调性求参数】 5
【题型3 利用函数的单调性求最值】 7
【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 9
【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 12
【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 13
【题型7 函数的对称性与周期性】 14
【题型8 类周期函数】 16
【题型9 利用函数的性质比较大小】 19
【题型10 利用函数的性质解不等式】 21
【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 23
【题型12 函数性质的综合应用】 27
1、函数的性质
考点要求 真题统计 考情分析
(1)借助函数图象，会用符
号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义
(2)结合具体函数，了解奇
偶性和对称性的概念和几何意义
(3)了解周期性的概念和几何意义 2021年I卷：第8题，5分
2021年甲卷：第12题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2022年Ⅱ卷：第8题，5分 2023年I卷：第4题，5分、第11题，5分 2023年Ⅱ卷：第4题，5分 从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性、周期性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想
【知识点1 函数的单调性与最值的求法】
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
3．常见奇偶性函数模型
(1)奇函数：
①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
(2)偶函数：
①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数.
【知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)=，则T=2a；
(5)若f(x+a)=，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【解答过程】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.
故选：B.
【变式1-1】（2024·广东·一模）设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是　　
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．在上为增函数 D．在上为减函数
【解题思路】根据题意，依次分析选项：对于、、举出反例，可得其错误，对于，由单调性的定义分析可得正确，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，在上为增函数，依次分析选项：
对于，若，则，在上不是减函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，函数在上为增函数，则对于任意的、，设，必有，
对于，则有，
则在上为减函数，正确；
故选：D.
【变式1-2】（2024·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【解答过程】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
故选：D.
【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
【解题思路】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性.
【解答过程】对A，令，则，
，即，
故，所以A不正确；
对B，取代入：，
即，即在上为奇函数，
设，
所以，且，
故：
即：，故B错误；
对C，由B知函数在上单调递增，故C错误；
对D，由C结合函数为奇函数且，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：D.
【题型2 根据函数的单调性求参数】
【例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【解答过程】函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以的取值范围为.
故选：C.
【变式2-1】（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【解答过程】函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2-2】（2023·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.
【解答过程】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
故选：B.
【变式2-3】（2023·北京丰台·一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【解题思路】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.
【解答过程】因为存在常数，使得对任意，都有，
所以函数的周期为，
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，
因为在区间上单调递减，
所以有，
故选：B.
【题型3 利用函数的单调性求最值】
【例3】（2024·江西上饶·一模）.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－ C．－2 D．2
【解题思路】由题可知f(x)在上是减函数，从而可求出其最大值
【解答过程】解：因为函数和在上均为减函数，
所以f(x)在上是减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.
故选：A.
【变式3-1】（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解题思路】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.
【解答过程】若，即时，，其对称轴为，，
此时，因，故的最小值为16；
若，由可得，
（Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减，
在上递增，
在上递减，在上递增，又，
① 当时，，故，而在上单调递
减，则此时，；
② 当时，，故，而在上单调
递增，则此时，.
（Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则此时，而在上单调递减，则.
综上，函数最大值的最小值为8.
故选：D.
【变式3-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围.
【解答过程】①当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减
因此⑴当时，在上单调递增，所以
，
或或
⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以；
综上，的取值范围为，
故选：D.
【变式3-3】（2024·北京顺义·二模）已知函数，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出，进而可知，由，可知区间，且该区间长度为2，然后画出函数的图象，进而可得到在上的图象，结合图象可求得在区间上的最大值的取值范围.
【解答过程】由题意，当时，；当时，；当时，.
所以，则，
因为，所以区间，且该区间长度为2.
作出函数的图象，如图1，进而可得到在上的图象，如图2，
根据图象可知在区间上的最大值的取值范围是.
故选：D.
【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【解题思路】令，或，分类讨论可求，判断A；法一：令，可得，进而可求，判断B；法二：令，可求，判断B；
法一：由B可得，可判断CD；法二 令，可得，判断CD.
【解答过程】 A：令，得，即，所以或．
当时，不恒成立，故，A错误．
B：解法一 令，得，又，所以，
故，B错误．
解法二 令，得，又，所以，B错误．
C：解法一 由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．
解法二 令，得，又，所以，
所以，结合选项得C错误，D正确．
综上可知，选D．
故选：D.
【变式4-1】（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断.
【解答过程】因为定义域为，
则 ，所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，
该函数的对称中心为，故函数为奇函数.
故选：A.
【变式4-2】（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
【解题思路】令，求出，令，求出，再分别令，，即可求出函数的解析式，进而可得出答案.
【解答过程】令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减.
故选：A.
【变式4-3】（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【解题思路】利用赋值法推得，从而得到的对称性，再利用函数图象平移的性质可判断B，举反例排除ACD，由此得解.
【解答过程】因为，
令，可得，则；
令，则，
故的图象关于点对称，
则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；
对于C，令，可得，则，
当时，，此时不可能是奇函数，
由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误；
对于AD，取，满足题意，但易知D错误；
故选：B.
【题型5 根据函数的奇偶性求参数】
【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】利用奇函数的定义可得，计算可求的值.
【解答过程】，
得，所以.
故选：B.
【变式5-1】（2024·甘肃兰州·三模）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解题思路】由函数为奇函数，根据奇函数的性质得到，分别代入并列出关于的方程，即可求出的值.
【解答过程】由题意可得，，，
，
整理可得，对任意都成立，，.
故选：B.
【变式5-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知为奇函数，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【解题思路】
根据函数的奇偶性求函数在区间上的解析式，对比系数求得.
【解答过程】
当时，，所以，
通过对比系数得.
故选：A.
【变式5-3】（2024·辽宁·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【解题思路】借助奇函数的性质计算即可得.
【解答过程】，故，
故，解得.
故选：B.
【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】
【例6】（2024·山西吕梁·一模）已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据奇函数的性质进行求解即可.
【解答过程】当时，则，因为是奇函数，
所以.
故选：D.
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）若函数的图象关于原点对称，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解题思路】根据奇偶性及计算可得.
【解答过程】解：由题可知，当时，，且，
由题意知为奇函数，则，
又，，
则.
故选：A.
【变式6-2】（2024·青海西宁·二模）若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据题意得到，从而得到，再求的解析式即可.
【解答过程】因为是定义在上的奇函数，且是偶函数，
所以，即，
当时，，
所以．
故选：C.
【变式6-3】（2024·海南·三模）已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据解析式，分别代入和，再结合函数的奇偶性，即可求解和，再求其比值.
【解答过程】取得①，取得，
即②，①－②得，①＋②得，
所以．
故选：C.
【题型7 函数的对称性与周期性】
【例7】（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【解题思路】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值.
【解答过程】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，
故函数的图象关于直线对称，∴，故，
∴，∴是周期为4的周期函数．
则．
故选：A．
【变式7-1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】先由函数的图象关于直线对称，得函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，可得．再把代入，可得函数周期为4，求得，，即可求解．
【解答过程】因为的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有．
因为，都有，所以，
所以，又函数的图象在x轴上方，
所以，所以，即函数的周期为4．
当，可得，所以，
当，可得，所以，所以，
所以.
故选：C．
【变式7-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
【解题思路】由图象的对称中心得图象的对称中心，由，构造函数，求出图象的对称性和周期，由求值即可.
【解答过程】因为的图象关于点对称，所以，
即，从而，
则的图象关于点对称．
由，可得．
令，得，则的图象关于直线对称．
，
则的图象关于点对称，则有，
所以，，
两式相减得，故是以4为周期的函数．
因为，，，，
所以 ．
故选：D.
【变式7-3】（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【解题思路】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.
【解答过程】由函数的图象关于原点对称，，
即，即①，
由函数的图象关于y轴对称，可得②，
由可得，又得，
两式相加，，将①式代入，得，
则得，将②式代入得，，则，
于是，即的周期为12.
又，由①可得，得，
又由可得，即得.
因，可得，，
于是，
故选：B.
【题型8 类周期函数】
【例8】（23-24高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围.
【解答过程】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍.
当时，，故，则， ；
当时，，故，则， ；
当时，，故，则，.
如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ．
故选：A.
【变式8-1】（23-24高一上·浙江台州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【解答过程】因为函数的定义域为，满足，
且当时，，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，设的最大值为，
则，所以，解得或，
结合图象知m的最大值为，即的取值范围是.
故选：C.
【变式8-2】（2024·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题可得，，然后利用函数的单调性即得.
【解答过程】∵时,，
∴当时,；
当时,，
即时,，
∵在上单调递增，
∴且，
解得，
∴实数的取值范围是.
故选：C.
【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期末）定义域为的函数满足，当时， ，若时，对任意的都有 成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由可求解出和时，的解析式，从而得到在上的最小值，从而将不等式转化为对恒成立，利用分离变量法可将问题转化为，利用二次函数单调性求得在上的最大值，从而得到，进而求得结果.
【解答过程】当时，
时，
当时，，
时，
时，，即对恒成立
即：对恒成立
令，，
，解得：
故选：B.
【题型9 利用函数的性质比较大小】
【例9】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意能得到函数关于直线轴对称，且在上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小.
【解答过程】由，时，得函数在上单调递减，
由得函数关于直线轴对称，
所以函数在上单调递增.
又因为（最远离），（最靠近），
所以.
故选：A.
【变式9-1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可.
【解答过程】当时，恒成立，
可知函数在上单调递增，
又因为函数是偶函数，
所以，
设，则，
所以，又，
所以，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以.
故选：A.
【变式9-2】（22-23高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递增，且是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意得到函数关于对称，所以，结合单调性，即可求解.
【解答过程】由函数是偶函数，可得函数关于对称，
所以函数关于对称，所以，
因为函数在上单调递增，且，所以.
故选：B.
【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】构造函数，利用其单调性比较a，c；构造函数，利用其单调性比较a，b.
【解答过程】设，，
所以，
令，，
则，
则在上单调递减，
所以，则，
故在单调递减，
所以，即，即，
因为，
构造，，
所以，即在上单调递增，
所以，即，即，
即，
综上：．
故选：D.
【题型10 利用函数的性质解不等式】
【例10】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.
【解答过程】任取，
从而
,
因为，所以，
所以，
则在R上单调递增．
不等式等价于不等式
，
即．
因为在R上单调递增，
所以，解得．
故选：A.
【变式10-1】（2023·河南洛阳·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．
【解答过程】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，
所以，解得．
故选：B.
【变式10-2】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，
则函数在上为增函数，
因为，由可得，则，解得，
因此，满足的的取值范围是.
故选：C.
【变式10-3】（2023·河南·模拟预测）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】构造函数，由题意可以推出函数的奇偶性、单调性，然后对进行分类讨论解不等式即可.
【解答过程】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，
所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有，
所以有，
所以为偶函数，
所以在上单调递增．
当，即时，有,由，得，
所以，解得，此时无解；
当，即时，由，得，
所以，解得或．
综上所述，不等式的解集为．
故选：C.
【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】
【例11】（2024·山西·一模）已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．．
(1)求的值，并证明为奇函数．
(2)若，，且，证明为上的增函数，并解不等式．
【解题思路】（1）赋值法令，可得；由给定性质，证明即可.
（2）证明的单调性，再由单调性解不等式.
【解答过程】（1）令，得，
又函数的值域为，∴．
∵，
∴，
∴，
∴为奇函数．
（2）任取，．
．
∵，∴．
∵当时，，∴，∴．
又函数的值域为，
∴，即，
∴为上的增函数．
由，即，化简得．
∵，
∴，∴．
又为上的增函数，∴，
故的解集为．
【变式11-1】（23-24高一上·北京·期中）设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断在区间内的单调性，并给出证明；
(3)解不等式.
【解题思路】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；
（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；
（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.
【解答过程】（1）由题意，函数对任意的正实数x，y都有恒成立，
令，可得，所以，
令，可得，即，解得；
（2）函数为增函数，证明如下：
设且，
令，根据题意，可得，即，
又由时，，
因为，可得，即，即，
所以函数在上的单调递增；
（3）由题意和（1）可得：，
又由不等式，即，
可得，解得，
即不等式的解集为.
【变式11-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数满足对一切都有，且，当时有．
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在R上的单调性；
（3）解不等式：．
【解题思路】（1）先令求得，再令可求；
（2）利用定义，任取，化简判断的正负可得；
（3）设，可将不等式化为，解得，再利用单调性求解.
【解答过程】解：（1）令，得，则，
再令，得，
即，从而．
（2）任取，
．
，即．
在R上是减函数．
（3）由条件知，，
设，则，即，
整理，得，解得，
而，不等式即为，
又因为在R上是减函数，，即，
，从而所求不等式的解集为或．
【变式11-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且满足：①，；②为偶函数，；③，，.
(1)求的值，并证明：为奇函数；
(2)，且，证明：
①；
②单调递增.
【解题思路】（1）用赋值法，令可求得，再令，使用恒成立可证得是奇函数；
（2）①由代入已知式可证；
②设，
由，，展开后相减，利用奇偶性及已知条件①②可证得单调性．
【解答过程】（1）证明：在中
令，则，所以，
令，则，是偶函数，
所以，又，所以，即，
所以是奇函数；
（2）证明：①；
②设，则，，又，
由①
可得，
又是奇函数，是偶函数，
所以
所以，
所以，所以是增函数．
【题型12 函数性质的综合应用】
【例12】（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【解题思路】（1）根据函数的奇偶性即可得，进而结合即可求解，
（2）将问题转化为，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者利用对勾函数的单调性求解.
【解答过程】（1），且，所以为奇函数，
将代入可得，即，所以，
即，因为，所以，代入可得，
解得，故；
，函数为奇函数，满足，故．
（2）只要，设，则，
∵，∴，∴，即，
故函数在[1，2]上单调递增，最小值为．
法一：在[1，2]上恒成立，只要，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故当时，，所以．
法二：，，
当时，，，解得，舍去；
当时，，，解得，因此，
综上所述：．
【变式12-1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【解题思路】
（1）先由函数的奇偶性得到，然后由求解；
（2）利用函数单调性定义证明；
（3）将，转化为，利用单调性求解.
【解答过程】（1）由题意可得，解得
所以，经检验满足奇函数.
（2）设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数在上是增函数．
（3），
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为．
【变式12-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性．
(3)解关于t的不等式：．
【解题思路】（1）由奇函数的性质可得，求出，再由求出，从而可求出函数解析式，
（2）利用单调性的定义判断即可，
（3）先利用函数的奇偶性将不等式转化，再利用函数的单调性解不等式
【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，
所以，
因为，
所以，解得，
所以
（2）任取，且，则
，
因为，且，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
（3）因为是定义在上的奇函数，
所以可转化为，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
【变式12-3】（2024·上海黄浦·一模）已知实数是常数，函数.
（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：
（i）求集合；
（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.
【解题思路】（1）由函数解析式，根据根式的性质列不等式组，即可求函数定义域，由函数奇偶性的定义说明的关系即可证函数的奇偶性.
（2）（i）由题设可得，由根式的性质，即可求的取值集合，（ii）任意的且，根据解析式判断大小即可确定单调性，利用与()的值域相同求最小值.
【解答过程】（1）实数是常数，函数，
由，解得.
函数的定义域是.
对于任意，有, ，即对都成立(又不恒为零)，
∴函数是偶函数.
（2）由，有.
（i）()，则.
，，即.
.
（ii）由（i）知：的定义域为.
对于任意的且，有 .
又且(这里二者的等号不能同时成立)，
，即.
函数在上是减函数.
.
又函数的值域与函数的值域相同，
函数的最小值为.
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先分析的单调性，再列不等式即可求解.
【解答过程】因为函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数在区间上不单调，所以，
故选：B．
2．（2023·全国·三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知可得当时，可得恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求的取值范围.
【解答过程】
因为，函数在上的最小值为，
所以对，恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
当时，，
当时，可得恒成立.
当或时，不等式显然成立；
当时，，
因为，所以，，，
所以；
当时，，
因为，所以，，，
所以.
综上可得，实数b的取值范围是.
故选：D.
3．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【解答过程】由，故在上单调递增，
由，有，即.
故选：A.
4．（2023·陕西西安·一模）已知是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3 B． C．255 D．
【解题思路】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【解答过程】由题意可知： ，即4为的一个周期，
所以.
故选：B.
5．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由，得到，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．
【解答过程】因为对都有，所以
又因为在上单调递减，且，
所以，即．
故选：A．
6．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.
【解答过程】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
对于A中，由，但无法判断的正负，所以A不正确；
对于B中，因为是定义在上的奇函数，可得，
又因为在上单调递减，可得，
因为在上单调递减，且为偶函数，所以在上为增函数，
所以，所以B不正确；
对于C中，由，在上单调递减，所以，所以C不正确；
对于D中，由，在上单调递减，，所以D正确.
故选：D.
7．（2023·广东·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据条件可求得时的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当时的解析式，分情况解出不等式即可.
【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，则，
则，所以，
则当时，，
当时，，
则 ，
则当时，不等式为，
解得，
当时，不等式为，
解得，
故不等式的解集为，
故选：A.
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得的图象关于点中心对称、的图象关于点中心对称，进而可知是以4为周期的周期函数．求出，，，，结合周期即可求解.
【解答过程】因为为奇函数，所以为奇函数，
所以，的图象关于点中心对称，．
因为为偶函数，所以，的图象关于直线对称．
由，得，则，
所以，所以的图象关于点中心对称．
因为的图象关于轴对称，所以，，
所以，即是以4为周期的周期函数．
因为，，所以，，，，
所以．
故选：D．
二、多选题
9．（2023·河南·模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【解题思路】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【解答过程】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，
所以在上的单调性无法判断，故C错误；
因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
10．（2024·全国·模拟预测）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．在上单调递减
【解题思路】利用赋值法可以逐次判断选项，A，取可得；B，取，再由条件当时，推理可得；对于C，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除.
【解答过程】对于A项，由，取，得，，故A项正确；
对于B项，由，取，因，故，即，
当时，，则，故，即，故B项正确；
对于C项，由，取，可得，，整理得，，
因，，当且仅当时取等号，但因的符号不能确定，故不一定有，
即不一定成立，故C项错误；
对于D项，任取，则，依题意，，而，
则，即，即在上是增函数.于是，对于，
任取，因，则，即，即函数在上单调递增，故D项错误.
故选：AB.
11．（2024·贵州贵阳·二模）定义在上的函数满足，对，，恒有，则下列命题是真命题的有（ ）
A．是图象的一个对称中心 B．在区间上单调递减
C．对，恒有 D．
【解题思路】由题意可得函数在区间上单调递增，由，可得直线是的一条对称轴，令，可得函数为奇函数，从而得点是的对称中心，即可得函数的周期为4，再逐一判断即可.
【解答过程】令，
由，得，
显然，，所以为奇函数，则关于点中心对称，
所以点是的对称中心，所以，
又因为，
所以直线是的一条对称轴．所以
又因为，，
所以
即
所以是周期为4的函数，
又因为对，，恒有，
即，所以在区间上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减．
对于因为点是的对称中心，
由周期性可得是图象的对称中心，故正确；
对于是周期为4的函数，且在上单调递增，
所以在区间上单调递增，故错误；
对于C，在上单调递增，在上单调递减，
且直线是的一条对称轴，
对，恒有，
故恒有故正确；
对于，根据的对称性和单调性可得，，，
故故正确，
故选：ACD．
三、填空题
12．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 .
【解题思路】由题意可得且，直接计算即可求解.
【解答过程】设函数的最小正周期为，则.
因为是定义在上的偶函数，所以，
所以.
故答案为：.
13．（2023·上海徐汇·二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 .
【解题思路】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围.
【解答过程】①当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减
（i）当时，在上单调递增，
所以，则，
，
所以，，，
，，
，
或或
；
（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以
，即，
；
综上，的取值范围为.
故答案为：.
14．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 .
【解题思路】根据条件，构造，利用的奇偶性和单调性，将问题转化成求解，即可求出结果.
【解答过程】由，得，
设，则，取，得，
取，得；取，得，
所以是偶函数，所以，
因为当时，，两边同时乘以，
得，两边同时除以，得，
即，即，所以在上单调递减.
由，得，由，得，
所以可化为，
即，所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
四、解答题
15．（2023·湖北黄冈·模拟预测）设，，函数.
(1)求关于的不等式解集；
(2)若在上的最小值为，求的取值范围.
【解题思路】（1）由题可得，然后分类讨论即得；
（2）根据二次函数的性质结合条件可得，进而即得.
【解答过程】（1）因为，又，，
的解集等价于的解集，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；
（2）因为，，，函数的对称轴为，抛物线开口向下，
又在上的最小值为，
，即，
，即的取值范围为.
16．（2023·吉林长春·一模）函数的定义域为，对于，，，且当时，．
(1)证明：为减函数；
(2)若，求不等式的解集．
【解题思路】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明；
（2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解.
【解答过程】（1）设，且，
则，，
因为，
所以，
即为减函数.
（2）因为，
所以，
令，则，即，
所以，
又因为在上单调递减，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
17．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数是定义在上的奇函数,且．
(1)确定函数的解析式;
(2)当时,判断函数的单调性,并证明;
(3)解不等式．
【解题思路】(1)根据奇函数可得,结合代入可得的解析式;
(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.
(3)将移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为,再根据(2)的结论转化为,再加上均在定义域内,即可求出不等式解集.
【解答过程】（1）解:由题意可知为奇函数,
,
即,,
∵,∴,
∴;
（2）当时,函数单调递增,
证明如下:
设为上的任意两个数,且,
,
,
,
,
故函数在上为增函数;
（3）,
,
为奇函数,
∴,
当时,函数单调递增,
,
,
不等式的解集为．
18．（2023·河南·模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，.
(1)求的值;
(2)判断的单调性，并证明;
(3)解关于的不等式:.
【解题思路】（1）根据题意，令，即可求得；
（2）令，得到，所以为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）化简不等式为，结合函数的单调性，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【解答过程】（1）解：因为函数对任意实数恒有成立，
令，则，所以.
（2）
解：函数为上的减函数.
证明:令，则，所以，故为奇函数.
任取，且，则，
因为当时，，所以，
所以
，即，所以是上的减函数.
（3）
解：根据题意，可得，
由（2）知在上单调递减，所以，
即，可得，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19．（2023·上海宝山·一模）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；
（2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围；
（3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围.
【解答过程】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数.
（2）在处有极值，因为，则，故，得；
，此时，，
故和上，单调递增，上，单调递减，
因为关于x的方程有3个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故
（3），单调递减，对任意、且时，
，，
则对任意、且时，均有成立，
转化为，对任意、且时，均有成立，即
，
所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
①函数在上单调递减，即在上恒成立，
又因为，，，故，
得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故；
②函数在上单调递增，即在上恒成立，
又因为，，，故，得
在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，；
综上所述，实数的取值范围为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性【十二大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 3
【题型2 根据函数的单调性求参数】 4
【题型3 利用函数的单调性求最值】 4
【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 5
【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 5
【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 6
【题型7 函数的对称性与周期性】 6
【题型8 类周期函数】 7
【题型9 利用函数的性质比较大小】 7
【题型10 利用函数的性质解不等式】 8
【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 9
【题型12 函数性质的综合应用】 10
1、函数的性质
考点要求 真题统计 考情分析
(1)借助函数图象，会用符
号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义
(2)结合具体函数，了解奇
偶性和对称性的概念和几何意义
(3)了解周期性的概念和几何意义 2021年I卷：第8题，5分
2021年甲卷：第12题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2022年Ⅱ卷：第8题，5分 2023年I卷：第4题，5分、第11题，5分 2023年Ⅱ卷：第4题，5分 从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性、周期性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想
【知识点1 函数的单调性与最值的求法】
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2 函数的奇偶性及其应用】
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
3．常见奇偶性函数模型
(1)奇函数：
①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
(2)偶函数：
①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数.
【知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论】
1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)=，则T=2a；
(5)若f(x+a)=，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】
【例1】（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
【变式1-1】（2024·广东·一模）设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是　　
A．在上为减函数 B．在上为增函数
C．在上为增函数 D．在上为减函数
【变式1-2】（2024·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
【题型2 根据函数的单调性求参数】
【例2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2023·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·北京丰台·一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【题型3 利用函数的单调性求最值】
【例3】（2024·江西上饶·一模）.函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－ C．－2 D．2
【变式3-1】（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式3-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·北京顺义·二模）已知函数，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【变式4-1】（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
【变式4-3】（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【题型5 根据函数的奇偶性求参数】
【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式5-1】（2024·甘肃兰州·三模）若函数为奇函数，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式5-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知为奇函数，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【变式5-3】（2024·辽宁·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】
【例6】（2024·山西吕梁·一模）已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）若函数的图象关于原点对称，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式6-2】（2024·青海西宁·二模）若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2024·海南·三模）已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题型7 函数的对称性与周期性】
【例7】（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【变式7-1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式7-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0 B．50 C．2509 D．2499
【变式7-3】（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【题型8 类周期函数】
【例8】（23-24高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24高一上·浙江台州·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24高一上·福建福州·期末）定义域为的函数满足，当时， ，若时，对任意的都有 成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 利用函数的性质比较大小】
【例9】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（22-23高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递增，且是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型10 利用函数的性质解不等式】
【例10】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2023·河南洛阳·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-3】（2023·河南·模拟预测）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】
【例11】（2024·山西·一模）已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有．．
(1)求的值，并证明为奇函数．
(2)若，，且，证明为上的增函数，并解不等式．
【变式11-1】（23-24高一上·北京·期中）设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.
(1)求的值；
(2)判断在区间内的单调性，并给出证明；
(3)解不等式.
【变式11-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数满足对一切都有，且，当时有．
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在R上的单调性；
（3）解不等式：．
【变式11-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且满足：①，；②为偶函数，；③，，.
(1)求的值，并证明：为奇函数；
(2)，且，证明：
①；
②单调递增.
【题型12 函数性质的综合应用】
【例12】（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【变式12-1】（23-24高二下·黑龙江鹤岗·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【变式12-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性．
(3)解关于t的不等式：．
【变式12-3】（2024·上海黄浦·一模）已知实数是常数，函数.
（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：
（i）求集合；
（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西西安·一模）已知是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3 B． C．255 D．
5．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·广东·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·河南·模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
10．（2024·全国·模拟预测）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．在上单调递减
11．（2024·贵州贵阳·二模）定义在上的函数满足，对，，恒有，则下列命题是真命题的有（ ）
A．是图象的一个对称中心 B．在区间上单调递减
C．对，恒有 D．
三、填空题
12．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 .
13．（2023·上海徐汇·二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 .
14．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 .
四、解答题
15．（2023·湖北黄冈·模拟预测）设，，函数.
(1)求关于的不等式解集；
(2)若在上的最小值为，求的取值范围.
16．（2023·吉林长春·一模）函数的定义域为，对于，，，且当时，．
(1)证明：为减函数；
(2)若，求不等式的解集．
17．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数是定义在上的奇函数,且．
(1)确定函数的解析式;
(2)当时,判断函数的单调性,并证明;
(3)解不等式．
18．（2023·河南·模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，.
(1)求的值;
(2)判断的单调性，并证明;
(3)解关于的不等式:.
19．（2023·上海宝山·一模）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围；
(3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围.
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