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专题2.3 幂函数与二次函数【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 幂函数的定义】 2
【题型2 比较幂值的大小】 3
【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 5
【题型4 求二次函数的解析式】 7
【题型5 二次函数的图象问题】 9
【题型6 二次函数的最值问题】 12
【题型7 二次函数的恒成立问题】 14
1、幂函数与二次函数
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质 (2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等） 2020年江苏卷：第7题，5分 2024年天津卷：第2题，5分 幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、解不等式等考法，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质.
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 求二次函数解析式的方法】
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.
【知识点3 二次函数的图象与性质】
1．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
2．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
3．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 幂函数的定义】
【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由幂函数的定义可判断各选项.
【解答过程】由幂函数的定义,形如，叫幂函数，
对A，，故A正确；B，C，D均不符合.
故选：A．
【变式1-1】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．时，幂函数是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限
D．既是二次函数，又是幂函数
【解题思路】利用幂函数的简单性质判断即可．
【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确；
当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确；
由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；
函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确.
故选：B.
【变式1-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确.
【解答过程】由幂函数的概念可以排除B、D选项，
而在是减函数，在是增函数，
故选：C.
【变式1-3】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】由幂函数的定义即可求解.
【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：；
逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.
故选：C.
【题型2 比较幂值的大小】
【例2】（2023·上海青浦·一模）已知，，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解题思路】
直接根据充分性和必要性的定义判断即可.
【解答过程】因为函数在上单调递增，
所以，
即“”是“”的充要条件.
故选：C.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】化简， ，所以，再化简，，故可得出答案.
【解答过程】∵，
，∴，
，∵，
且在R上为增函数，∴，即，
故选：C．
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据幂函数的定义求出函数解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解.
【解答过程】因幂函数的图象过点，则，且，
于是得，，函数，函数是R上的增函数，
而，则有，
所以.
故选：D.
【变式2-3】（2023·湖北孝感·模拟预测）已知为奇函数，当时，，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用题给条件求得在上单调性，利用为奇函数求得的大小关系，再利用幂函数性质比较的大小关系，进而得到三者间的大小关系.
【解答过程】因为当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
且，所以在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
则
所以.

故选：A.
【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】
【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（ ）
A．2 B．3 C． D．-1
【解题思路】根据幂函数的性质即可得解.
【解答过程】由题意可得且为奇数，
所以.
故选：B.
【变式3-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据幂函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.
【解答过程】当时，，
因为函数的定义域，关于原点对称，且，
所以为奇函数，不合题意，故A错误；
当时，，因为函数的定义域，不关于原点对称，
所以为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；
当时，，定义域为，关于原点对称，且，
所以为偶函数，符合题意，故C正确；
当时，，定义域为，关于原点对称，且，
所以为奇函数，不合题意，故D错误.
故选：C.
【变式3-2】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
【解题思路】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.
【解答过程】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，
当时，，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
又互质，为偶数，为奇数.
故选：B.
【变式3-3】（2023·山东菏泽·三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数的奇偶性求出参数、、的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解答过程】因为函数在上为奇函数,
所以，解得，又，
即，
所以，解得，解得，
所以，，
由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，
则不等式，即，等价于，
所以，解得，即不等式的解集为.
故选：C.
【题型4 求二次函数的解析式】
【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：
或或或 ．
①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．
【解题思路】根据二次函数的特征，如顶点、对称轴设函数的解析式即可求解.
【解答过程】第一种情况：具有①②③三个性质，由②③可设，则根据①可得：，解得，所以．
第二种情况：具有①②④三个性质，由①④可设，则根据②可得：，解得，所以．
第三种情况：具有①③④三个性质，由①④可设，则根据③可得：，解得：，所以．
第四种情况：具有②③④三个性质，由②③可设，则根据④可得：，解得，所以．
故答案为：或或或.（不唯一）.
【变式4-1】（2023高三·全国·专题练习）已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ．
【解题思路】根据函数特征设然后判断并求解从而解得函数解析式.
【解答过程】设其对称轴为直线，又在区间上的最大值为12，
所以，所以
故答案为：
【变式4-2】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数 ，，对任意，，且恒成立．则二次函数的完整解析式为 ．
【解题思路】根据得到，结合得出，根据恒成立，求出的值，即可求出函数解析式．
【解答过程】对任意，，
二次函数对称轴为，
，
，
，
，
又对任意，恒成立，
，即在上恒成立，
，
，
，
，，即函数，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24高一上·浙江金华·开学考试）已知二次函数的对称轴是，且不等式的解集为，则的解析式是 ．
【解题思路】由不等式的解集得一元二次方程的两根，由韦达定理得两个关系式，又由对称轴得一关系式，结合起来可求得，得函数解析式.
【解答过程】解：为，其解集为，则
，，又函数的对称轴是，则，
两者结合解得，
所以.
故答案为：.
【题型5 二次函数的图象问题】
【例5】（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】本题可根据图像得出结果.
【解答过程】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象.
【解答过程】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，，
故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合.
故选：A.
【变式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.
【解答过程】由题可得和是方程的两个根，且，
，解得，
则，
则函数图象开口向下，与轴交于.
故选：C.
【变式5-3】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【解答过程】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.
则有，变形可得，
故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
【题型6 二次函数的最值问题】
【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面关于函数的说法正确的是（ ）
A．恒成立 B．最大值是5
C．与y轴无交点 D．没有最小值
【解题思路】根据二次函数的性质即可判断各选项.
【解答过程】函数，
对于A，恒成立，A正确；
对于BD，当时，的最小值为，无最大值，BD都是错误；,
对于C，当时，，即与轴有交点，C错误.
故选：A.
【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（ ）
A．0 B．1 C． D．
【解题思路】根据二次函数的性质求出，然后利用基本不等式即得.
【解答过程】在上有最大值，
且当时，的最大值为，
即且 ，
当且仅当时，即时，有最小值2，
故选：A．
【变式6-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）.则当变化时，的最小值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【解题思路】根据对称轴和区间的位置关系对的值进行讨论，从而求出，继而求出其最小值即可.
【解答过程】函数的对称轴为，
当，在上单调递增，
所以
；
当，即时，在上单调递减，
；
当，即时，此时
，
无最小值；
当，即时，
，
综上知，的最小值为，
故选：
【变式6-3】（21-22高一上·浙江台州·期末）已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（ ）
A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]
【解题思路】先讨论，再结合二次函数的图象与性质分析时，的最大值与最小值，同理可得时的情况即可得解.
【解答过程】若，，函数为增函数，时，则，所以，
当时，作图如下，
为使取最大，应使尽量大，尽量小，此时，
由，
即，
所以，
所以，即，
当时，即时，此时在对称轴同侧时最小，由抛物线的对称性，不妨设都在对称轴右侧，
则由，
解得，
，
当且仅当 ,即时取等号，但，等号取不到，
，
时，同理，当时，，当时，，
综上，的取值范围是，
故选：C.
【题型7 二次函数的恒成立问题】
【例7】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先由得，由基本不等式得，故.
【解答过程】当时，由得，
因，故，当且仅当即时等号成立，
因当时，恒成立，得，
故选：C.
【变式7-1】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【解答过程】，而当时，，当且仅当，即时取等号，
则，所以m的取值范围是.
故选：C.
【变式7-2】（2023·辽宁大连·模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用条件知，对，恒成立，从而求出的取值范围，再根据选项即可得出结果.
【解答过程】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，
当时，在上恒成立，所以满足条件，
当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，
当时，显然有不恒成立，
故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
【变式7-3】（2024·江西九江·模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题知，再解不等式即可得答案.
【解答过程】解：因为无论取何值时，不等式恒成立，
所以，，解得，
所以，的取值范围是
故选：D.
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
【解答过程】因为幂函数在上是增函数，
所以，解得.
故选：A.
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断.
【解答过程】由题意结合图象可知.
故选：B.
3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】令中，则，排除C，D；又由可得任意的恒成立，则，，排除B，即可得出答案.
【解答过程】因为对任意的，有，令，则，
所以，排除C，D；即，
设二次函数，
所以，，
由可得，则，
所以任意的恒成立，则，，故排除B.
故选：A.
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解答过程】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：.
故选：C.
5．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由对称轴求解.
【解答过程】解：函数的对称轴方程为：，
因为函数在区间上是减函数，
所以，解得，
故选：B.
6．（2023·四川泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【解题思路】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可
【解答过程】已知幂函数经过点，可得：，解得：.
即，易知在上为单调递减函数.
由于，可得：，即；
又因为，，可得：，即；
综上所述：.
故选：B.
7．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由幂函数所过的点求出解析式，分别构造、，结合其单调性判断各项正误.
【解答过程】设幂函数，图象过，则，即，
所以且，
为增函数，，故有.
为增函数，，故有.
所以A、B、C错，D对.
故选：D.
8．（2023·江西南昌·二模）已知函数的三个零点分别为1，，若函数为奇函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用，求得的表达式，由函数为奇函数，所以关于对称，可求得，利用二次函数零点分布的知识，求得满足的不等式组，求出的范围，即可求得的取值范围.
【解答过程】由，得.
所以 ，
对于函数，其开口向上，
因为函数为奇函数，所以关于对称，
其两个零点，则，且
且满足，解得：，
根据二次函数零点分布的知识有，解得：
，
故选：B.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.
【解答过程】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；
对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；
对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误；
对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.
故选：AD.
10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
【解题思路】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可.
【解答过程】当时，不等式为恒成立，故满足题意；
当时，要满足，
而，
所以解得；
综上，实数a的取值范围是；
所以对比选项得，实数a可能是，0，1.
故选：ABD.
11．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（ ）
A．或
B．
C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
【解题思路】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD.
【解答过程】因为，，所以，
，依次类推，可得，故A正确；
由A选项知，，故B正确；
当时，的对称轴，
所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误；
当时，的对称轴，
所以当时，，解得，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 （不唯一） ．
【解题思路】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【解答过程】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，
所以可以为偶函数，不妨取，
此时，函数定义域为，
且，故为偶函数，
满足在区间上单调递减.
故答案为：（不唯一）.
13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ．
【解题思路】通过与变量无关得到定点，设出解析式，求解变量即可.
【解答过程】当时，的值与无关，且，故，设
将代入，解得，故
故答案为：.
14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ．
【解题思路】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案.
【解答过程】由函数，作出的图象如下：
由题得：，
当时，函数在上的最大值为，即，
要使，则，令，解得：，，，，
由图可得，要使函数在上的最大值为，且，
则，或，解得：.
当时，
由图，在上最大值，
在上单调递增，最大值，
不可能成立，
综上，实数的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的最小值和最大值．
【解题思路】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值.
【解答过程】（1）解：设二次函数为，
因为，可得，解得，
所以函数的解析式．
（2）解：函数，开口向下，对称轴方程为，
即函数在单调递增，在单调递减，
所以，．
16．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由二次函数顶点为可设，由即可求出a，则求出的解析式.
（2）根据二次函数的开口和对称轴即可求得实数的取值范围.
【解答过程】（1）设，
则由得：，
，
.
（2）由（1）知，开口向上，对称轴为，
则若函数在区间上单调递增，
需满足，
，
∴实数a的取值范围为.
17．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【解题思路】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可；
（2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解．
【解答过程】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，
可得，解得，
由于,故，1，2，
当和时，，此时为奇函数，符合要求，
当时，，此时为偶函数，不符合要求，
；
（2）不等式，即，
又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为 ．
18．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）根据幂函数的性质求解即可.
（2）首先根据题意转化为，恒成立．再利用换元法求解即可.
【解答过程】（1）或，
又因为函数在上单调递增，
，（舍），
，.
（2），恒成立，
，恒成立．
令，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
故．
19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【解答过程】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是；
(2)不等式对于实数时恒成立，即，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是；
(3) 不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.3 幂函数与二次函数【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 幂函数的定义】 2
【题型2 比较幂值的大小】 3
【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】 3
【题型4 求二次函数的解析式】 4
【题型5 二次函数的图象问题】 4
【题型6 二次函数的最值问题】 6
【题型7 二次函数的恒成立问题】 6
1、幂函数与二次函数
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质 (2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等） 2020年江苏卷：第7题，5分 2024年天津卷：第2题，5分 幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、解不等式等考法，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质.
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 求二次函数解析式的方法】
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.
【知识点3 二次函数的图象与性质】
1．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
2．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
3．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 幂函数的定义】
【例1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．时，幂函数是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限
D．既是二次函数，又是幂函数
【变式1-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【题型2 比较幂值的大小】
【例2】（2023·上海青浦·一模）已知，，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·湖北孝感·模拟预测）已知为奇函数，当时，，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】
【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数当时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在上单调递增，则（ ）
A．2 B．3 C． D．-1
【变式3-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（ ）
A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
【变式3-3】（2023·山东菏泽·三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求二次函数的解析式】
【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：
．
①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．
【变式4-1】（2023高三·全国·专题练习）已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12，则函数的解析式为 ．
【变式4-2】（23-24高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数 ，，对任意，，且恒成立．则二次函数的完整解析式为 ．
【变式4-3】（23-24高一上·浙江金华·开学考试）已知二次函数的对称轴是，且不等式的解集为，则的解析式是 ．
【题型5 二次函数的图象问题】
【例5】（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集为,则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 二次函数的最值问题】
【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面关于函数的说法正确的是（ ）
A．恒成立 B．最大值是5
C．与y轴无交点 D．没有最小值
【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式6-2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）.则当变化时，的最小值为（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．2017
【变式6-3】（21-22高一上·浙江台州·期末）已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（ ）
A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]
【题型7 二次函数的恒成立问题】
【例7】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·辽宁大连·模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·江西九江·模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函数，对任意的，有，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
7．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数的图象过，，（）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·江西南昌·二模）已知函数的三个零点分别为1，，若函数为奇函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
11．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（ ）
A．或
B．
C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
三、填空题
12．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ．
14．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的最小值和最大值．
16．（2023·山东·一模）已知二次函数满足，顶点为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
17．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
18．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
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