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专题1 函数与导数
1.3 幂函数、指数函数、对数函数及函数建模的相关实际应用
考点分布 考查频率 命题趋势
二次函数模型，分段函数模型 2021年北京卷第8题，4分 2020年上海卷第19题，14分 预测2025年高考，可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考察。彰显数学知识的深度应用价值，体现其作为解决实际问题重要工具的不可或缺性。
指数函数、对数函数模型 2024年北京卷第7题，4分 2023年I卷第10题，5分 2022年北京卷第7题，4分 2021年甲卷第6题，5分
本节内容常以其他学科或与社会生活息息相关的背景来命题，如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题，在这些背景中我们需具备敏锐的洞察力以发掘、甄选并构建恰当的数学模型——包括但不限于二次函数、指数函数及对数函数等，进而通过对现实世界中复杂数据的精妙解析与处理，寻求问题的有效解答。
1．（2024北京卷）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）（2023新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则　　
A． B． C． D．
3. （2022北京卷）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A. 当，时，二氧化碳处于液态
B. 当，时，二氧化碳处于气态
C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
4．（2021全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据约为　　
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
5．（2021北京卷）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
等级 降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是　　
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
6．（2020山东卷）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　
A．1．2天 B．1．8天 C．2．5天 D．3．5天
7．（2023上海卷）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小．
8．（2021上海卷）已知一企业今年第一季度的营业额为1．1亿元，往后每个季度增加0．05亿元，第一季度的利润为0．16亿元，往后每一季度比前一季度增长．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？
9．（2020上海卷）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．
（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；
（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．
高频考点一 二次函数与幂模型
典例1：（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示.
(1)求，的值；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度.
典例2：（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
1、二次函数模型的应用：构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．
2、幂函数模型为（，为常数，），在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题．
变式训练
1．（2024·泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
2．（2024·湖北·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
（参考数据: ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
3．（2025·上海·模拟预测）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．

高频考点2 分段函数模型
典例1：（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A． B． C． D．
技法点拨
1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。
2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏。
变式训练：
1．（2024·云南·校考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
2．（2023·河南·一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚 全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元.
高频考点3 对勾函数模型
典例1：（2024·高三·湖南衡阳·期中）近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？(2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
技法点拨
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
2、利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
变式训练：
1．（2023·湖南·校联考一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
2.（2024·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149 C．165 D．195
3．（2024·江苏·高三校考期中）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（ ）
A．57600元 B．63400元 C．69200元 D．元
高频考点4 指数函数模型
典例1：（2024·四川绵阳·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：）
A．33h B．35h C．37h D．39h
技法点拨
在解题时，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．
变式训练：
1．（24-25高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·一模）高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约（ ）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：）
A．7 B．17 C．27 D．37
3．（2023·四川攀枝花·模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ）
A．2.9min B．3.4min C．3.9min D．4.4min
高频考点5 对数函数模型
典例1：（2024·江西九江·二模）已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（，）．
A．4 B．5 C．6 D．7
技法点拨
在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像 求解最值问题．
变式训练：
1．（2023·北京门头沟·一模）在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）当个相同的声强级为的声源作用于某一点时，就会产生声强级的叠加，叠加后的声强级，已知一台电锯工作时的声强级是，则10台电锯工作时的声强级与台电锯工作时的声强级的关系约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
高频考点6 函数模型的选择
典例1：（23-24高三·安徽·培优）某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
月份 1月 2月 3月
小型汽车数量（辆） 30 60 80
创造的收益（元） 4800 6000 4800
(1)根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；(2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？
技法点拨
对于给定模型供选择的问题， 需根据问题对每个模型进行验证，可结合函数图像、性质、函数值等多方面进行验证．
变式训练：
1.（2024·高三·湖北襄阳·期中）某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如下表所示：
1 2 3 4
4.00 5.61 7.00 8.87
若近似符合以下三种函数模型之一：①，②，③．则你认为最适合的函数模型的序号为 ．
2．（2024·上海·校考二模）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：
v 0 10 40 60
M 0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
1．（2024·哈尔滨·校考一模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建龙岩·三模）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
3．（2024·吉林·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
4．（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
6．（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024·吉林长春·一模）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒.
A．15 B．16 C．18 D．20
8．（2024·河南·模拟预测）为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场 超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据：）
A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月
9．（2024·福建福州·模拟预测）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
10．（2023·江苏南通·模拟预测）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，）
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（ ）
参考数据
A． B． C． D．
12．（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变” “行走速度保持不变” “将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量：
人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度
并构建模型如下：当人迎风行走时，人体总的淋雨量为.
根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释：①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大；
②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小；
③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大.
这些解释合理的个数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·北京朝阳·模拟预测）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率，依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%，则（ ）（精确到0.01）
A．20.16 B．20.68 C．21.56 D．21.79
14．（2024·陕西榆林·模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）（ ）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天
15．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（ ）
A．若不变，则比原来提高不超过 B．若不变，则比原来提高超过
C．为使不变，则比原来降低不超过 D．为使不变，则比原来降低超过
18．（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 .
19．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85）
20．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（）
21．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为 s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取）
22．（2024·江苏·模拟预测）为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：①；②；③.其中.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为 千元.
23．（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．

(1)请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式；
(2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据：）
24．（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大 最大利润是多少
25．（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
(1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到；(2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟．
参考数据：，，是自然对数的底数，
26.（2025·广东·一模）随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间如图建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数的图象，且正好与直线相切，而岛屿海岸线可近似看作函数的图象．每单位代表十万米
(1)试求的值及切点坐标．(2)已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过，试问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由．
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专题1 函数与导数
1.3 幂函数、指数函数、对数函数及函数建模的相关实际应用
考点分布 考查频率 命题趋势
二次函数模型，分段函数模型 2021年北京卷第8题，4分 2020年上海卷第19题，14分 预测2025年高考，可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考察。彰显数学知识的深度应用价值，体现其作为解决实际问题重要工具的不可或缺性。
指数函数、对数函数模型 2024年北京卷第7题，4分 2023年I卷第10题，5分 2022年北京卷第7题，4分 2021年甲卷第6题，5分
本节内容常以其他学科或与社会生活息息相关的背景来命题，如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题，在这些背景中我们需具备敏锐的洞察力以发掘、甄选并构建恰当的数学模型——包括但不限于二次函数、指数函数及对数函数等，进而通过对现实世界中复杂数据的精妙解析与处理，寻求问题的有效解答。
1．（2024北京卷）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
2．（多选题）（2023新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得，，，，，
，，可得，正确；，错误；，正确；
，，正确．故选：．
3. （2022北京卷）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A. 当，时，二氧化碳处于液态
B. 当，时，二氧化碳处于气态
C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D
4．（2021全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据约为　　
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
【答案】
【解析】在中，，所以，即，
解得，所以其视力的小数记录法的数据约为0．8．故选：．
5．（2021北京卷）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
等级 降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是　　
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】
【解析】圆锥的体积为，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分的半径为，
将，代入公式可得，图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以，则平地上积水的厚度，
因为，由题意可知，这一天的雨水属于中雨．故选：．
6．（2020山东卷）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　
A．1．2天 B．1．8天 C．2．5天 D．3．5天
【答案】
【解析】把，代入，可得，，
当时，，则，两边取对数得，解得．故选：．
7．（2023上海卷）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” ；（结果用含、的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长，又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为．当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系数” 最小．
【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：，
所以．
（2）由题意可得，，
所以，令，解得，
所以在，单调递减，在，单调递增，所以的最小值在或7取得，
当时，，当时，，/////
所以在时，该建筑体最小．
8．（2021上海卷）已知一企业今年第一季度的营业额为1．1亿元，往后每个季度增加0．05亿元，第一季度的利润为0．16亿元，往后每一季度比前一季度增长．
（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？
【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项，公差，
，
即营业额前20季度的和为31．5亿元．
（2）解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的，
则，令，，
即要解，则当时，，
令，解得：，即当时，递减；当时，递增，
由于（1），因此的解只能在时取得，
经检验，，，
所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的．
解法二：设今年第一季度往后的第季度的利润与该季度营业额的比为，
则，
数列满足，注意到，，，
今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的．
9．（2020上海卷）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度，交通流量．
（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；
（2）已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值．
【解析】（1）按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小，
故是单调递减函数，所以，
当时，最大为85，于是只需令，解得，
故道路密度的取值范围为．
（2）把，代入中，得，解得．
，
①当时，，．
②当时，是关于的二次函数，，
对称轴为，此时有最大值，为．
综上所述，车辆密度的最大值为．
高频考点一 二次函数与幂模型
典例1：（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示.
(1)求，的值；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度.
【答案】(1)，(2)行驶的最大速度为70千米时．
【详解】（1）由图象可知，点，在函数图象上，
，解得，，；
（2）令，得，解得，
又， ，即行驶的最大速度为70千米时．
典例2：（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设初始状态为，则，，又，，即，
，，，，．故选：D．
技法点拨
1、二次函数模型的应用：构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围．
2、幂函数模型为（，为常数，），在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题．
变式训练
1．（2024·泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【详解】由题意，设年平均增长率为，则，
所以，故年平均增长率为20%.故选：B
2．（2024·湖北·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
（参考数据: ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【答案】A
【详解】令，， ∵，
∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30.故选：A.
3．（2025·上海·模拟预测）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．

【答案】
【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.
【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，
则，，设方程为：，
所以，，方程为：，令矩形面积为，
当时，，当，设，则，
所以，则，
令，则，在上递增，
令，则或，在上递减，
又，，，所以当的长为时，该矩形面积最大.

故答案为：
高频考点2 分段函数模型
典例1：（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润，
当时，，当且仅当时，等号成立，则，
所以当时，取得最大值，且最大值为，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为，
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间.故选：.
技法点拨
1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。
2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏。
变式训练：
1．（2024·云南·校考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上
每件价格 37元 32元 30元 27元 25元
张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116件 B．110件 C．107件 D．106件
【答案】C
【详解】设购买的件数为，花费为元，
则，当时，，
当时，，所以最多可购买这种产品件，故选：C.
2．（2023·河南·一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚 全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元.
【答案】1000
【详解】由题意得，销售收入为万元，
当产量不足50万件时，利润；
当产量不小于50万件时，利润.
所以利润因为当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
所以在上单调递增，在上单调递减，则；
当时，，当且仅当时取等号.
又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元.故答案为：1000
高频考点3 对勾函数模型
典例1：（2024·高三·湖南衡阳·期中）近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？(2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为万元，
则．因为，所以，解得，
因为且，所以，故，
即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500．
（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，
上式两边同除以ax，得，整理得，
由条件②技术人员年人均投入不减少，得，解得．
假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即（）恒成立．
设，由在上单调递减，
因为且，所以在上单调递减，
则，当时，等号成立，所以．
又因为，当时，，所以，
所以，即存在这样的m满足条件，m的取值范围为．
技法点拨
1、解决此类问题一定要注意函数定义域；
2、利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
变式训练：
1．（2023·湖南·校联考一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
【答案】B
【解析】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为，
据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列.
则.
当且仅当，即时，取最小值38.所以这台冰激凌机的使用年限是7年. 故选:.
2.（2024·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149 C．165 D．195
【答案】B
【解析】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：B
3．（2024·江苏·高三校考期中）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（ ）
A．57600元 B．63400元 C．69200元 D．元
【答案】B
【解析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，
所以.
当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.故选：B
高频考点4 指数函数模型
典例1：（2024·四川绵阳·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：）
A．33h B．35h C．37h D．39h
【答案】C
【详解】依题意，，解得，即，
当时，，即，解得，
所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h.故选：C
技法点拨
在解题时，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型．
变式训练：
1．（24-25高三上·河南许昌·期中）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，即，即.故选：A.
2．（2024·湖北·一模）高三教学楼门口张贴着“努力的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是，那么一年后是，如果每天的落后率都是，那么一年后是，一年后“进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约（ ）天后，张三超过李四的100倍（参考数据：）
A．7 B．17 C．27 D．37
【答案】B
【详解】经过天后，张三超过李四的100倍，所以，
两边取以10为底的对数得，所以，
又，所以,
所以大约17天后，张三超过李四的100倍.故选：B
3．（2023·四川攀枝花·模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（ ）
A．2.9min B．3.4min C．3.9min D．4.4min
【答案】D
【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，
得，解得，
该物体的温度降至需要冷却的时间为，则，
于是，两边取对数得，
所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为.故选：D
高频考点5 对数函数模型
典例1：（2024·江西九江·二模）已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（ ）（，）．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足，
因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，
可得，火箭耗尽燃料时速度为，
两式相除得.故选：C．
技法点拨
在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像 求解最值问题．
变式训练：
1．（2023·北京门头沟·一模）在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【答案】D
【详解】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240对应的听觉下限阈值为20，，
令，此时，故C错误；对于D，1000的听觉下限阈值为0，
令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.故选：D.
2．（2023·陕西咸阳·模拟预测）当个相同的声强级为的声源作用于某一点时，就会产生声强级的叠加，叠加后的声强级，已知一台电锯工作时的声强级是，则10台电锯工作时的声强级与台电锯工作时的声强级的关系约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】10台电锯工作时的声强级，5台电锯工作时的声强级，所以. 故 选: C.
3．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【解析】由题意，以开头的数出现的概率为，
可得，所以.
高频考点6 函数模型的选择
典例1：（23-24高三·安徽·培优）某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
月份 1月 2月 3月
小型汽车数量（辆） 30 60 80
创造的收益（元） 4800 6000 4800
(1)根据上表数据，从下列三个函数模型中：①，②，③选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量（辆）与创造的收益（元）之间的关系，并写出这个函数关系式；(2)利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？
【解析】（1）选取②，由题表可知，随着的增大，的值先增大后减小，
而函数及均为单调函数，故不符合题意，所以选取②，
将，，三点分别代入函数解析式，
可得二次函数对称轴为，故可将函数解析式设为，
即得到，解出，
∴，∴，，；
（2）设在一周内大约应生产辆小型汽车，根据题意，可得，
即，即，
因为，
所以方程有两个实数根，，
由二次函数的图象可知不等式的解为.
因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量且之间时，
这家工厂能够获得6020元以上的收益.
技法点拨
对于给定模型供选择的问题， 需根据问题对每个模型进行验证，可结合函数图像、性质、函数值等多方面进行验证．
变式训练：
1.（2024·高三·湖北襄阳·期中）某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如下表所示：
1 2 3 4
4.00 5.61 7.00 8.87
若近似符合以下三种函数模型之一：①，②，③．则你认为最适合的函数模型的序号为 ．
【答案】①
【解析】符合条件的是①，
若模型为，则由，得，即，
此时，，，与已知相差太大，不符合；
若模型为，则是减函数，与已知不符合；故答案为：①．
2．（2024·上海·校考二模）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：
v 0 10 40 60
M 0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】(1)符合，
(2)当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
【详解】（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数
与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型.
由，得：，所以
（2）由题意，高速路上的耗电量
任取，当时，
所以函数在区间上是增函数，所以Wh
国道上的耗电量
所以Wh
所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
1．（2024·哈尔滨·校考一模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，，
所以，且，所以，
又，所以，解得，即，
设，，则，
，所以在中，有，
令，所以，
所以，
因为，所以，则要使最大，
即要取得最小值，即取得最大值，
即在取得最大值，令， ，
所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，即最大，此时，即，
所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大），
则射门时甲离上方端线的距离为：.故选：B.
2．（2024·福建龙岩·三模）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
【答案】D
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，
由题意可得，解得，
因为，所以，所以，
所以一般说话时声音的等级约为60dB. 故选：D
3．（2024·吉林·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的（ ）
A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍
【答案】C
【详解】设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为和，
由，于是，则，因此，
所以它释放的能量是里氏3.1级地震的1000倍.故选：C
4．（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，，两式相减得，
解得，所以. 故选：D
5．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在进制的大量随机数据中，以开头的数出现的概率为，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（ ）倍（参考数据：
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【详解】由题意，以开头的数出现的概率为，
可得，所以.故选：C.
6．（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】由已知得，所以，
所以，因为，所以，所以.故选：B.
7．（2024·吉林长春·一模）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒.
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【详解】由题意可得：，解得：，
设达到50米的高度需要秒.，解得：，
所以达到50米的高度需要秒.故选：C
8．（2024·河南·模拟预测）为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场 超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（ ）（结果保留整数）（参考数据：）
A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月
【答案】A
【详解】由题意可得，，
即有，即，则，令，即，即，
则.
故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月.故选：A.
9．（2024·福建福州·模拟预测）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题知①，②，
①②两式相比得到，所以③，
当时，由④，②④得到，所以⑤，
由⑤④，得到，解得.故选：C.
10．（2023·江苏南通·模拟预测）2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：，）
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【详解】依题意，，，当时，，即，可得，
于是，由，得，即，
则，又，因此，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，故选：C.
11．（2024·浙江杭州·模拟预测）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（ ）
参考数据
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，，则，
因此，整理得，解得或（舍），
因此，解得.
所以大草履虫种群的比增长率约为.故选：C.
12．（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变” “行走速度保持不变” “将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量：
人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度
并构建模型如下：当人迎风行走时，人体总的淋雨量为.
根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释：①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大；
②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小；
③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大.
这些解释合理的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为，
则，
又，，，则，，
即，即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确；
②若某人迎风行走，则，
则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小；
若某人逆风行走，则，
当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小，
当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小，
当时，淋雨量与无关，②错误；
③若某人迎风行走了秒，则为定值，且 ，则，
所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确；综上所述合理的解释有个，故选：C.
13．（2024·北京朝阳·模拟预测）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：
甲 乙 丙
接单量t（单） 7831 8225 8338
油费s（元） 107150 110264 110376
平均每单里程k（公里） 15 15 15
平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7
出租车空驶率，依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%，则（ ）（精确到0.01）
A．20.16 B．20.68 C．21.56 D．21.79
【答案】B
【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为，
所以出租车空驶率，对于甲，，满足题意；
对于乙，，满足题意；所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为，即.故选：B
14．（2024·陕西榆林·模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）（ ）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天
【答案】C
【详解】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则，即，
∴（天）．故最少要经过12天故选：C
15．（2024·北京·三模）2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，建立平面直角坐标系，

设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，
因为，可得，
由题意可知：均与y轴垂直，且，
作垂足为，则，因为，即，解得；
又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，
所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.故选：B.
16．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】由已知可得，则.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为（平方米），
浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为（平方米），②对；
对于③，浮萍蔓延第至个月的增长率为，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，
则，，，所以，④错.故选：B.
17．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力满足公式 ，其中是空气密度，是该飞行器的迎风面积，是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率. 当不变，比原来提高时，下列说法正确的是（ ）
A．若不变，则比原来提高不超过 B．若不变，则比原来提高超过
C．为使不变，则比原来降低不超过 D．为使不变，则比原来降低超过
【答案】C
【详解】由题意，，所以，，
A：当，不变，比原来提高时，则，
所以比原来提高超过，故A错误；
B：由选项A的分析知，，所以比原来提高不超过，故B错误；
C：当，不变，比原来提高时，，
所以比原来降低不超过，故C正确；
D：由选项C的分析知，比原来降低不超过，故D错误.故选：C
18．（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为，
则甲工程整体报价为，
若乙队要确保竞标成功则，
所以，则，
因为，所以函数，
当且仅当时，即时，函数有最小值，
所以函数在上单调递增，故，
故，则，所以实数的取值范围是.故答案为：.
19．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85）
【答案】
【详解】设至少经过个小时后才能驾驶，则有，
即，两边同时取对数得，即，
因为，所以，
所以，即至少经过个小时才能驾驶.故答案为：.
20．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（）
【答案】74
【详解】由于，所以，依题意，则，则，
由，所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．故答案为：74.
21．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为 s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取）
【答案】
【详解】由已知得，木棒做自由落体运动，设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别为，位移分别为，
所以，则，
所以电子眼A记录到木棒通过的时间为．故答案为：
22．（2024·江苏·模拟预测）为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：①；②；③.其中.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为 千元.
【答案】
【解析】根据题意，当时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故模型选择：
根据题意，则有：解得：则模型为：
当时，故答案为：
23．（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．

(1)请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式；
(2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）．
（参考数据：）
【答案】(1)；(2)9个小时.
【详解】（1）开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设，
将代入，得，解得，因此；
当时，，又当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少，
则当时，，所以所求关系式为.
（2）设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即，
整理得，两边取常用对数，得，
则，解得，
所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效.
24．（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大 最大利润是多少
【答案】(1)(2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元
【详解】（1）由题意可知：.
（2）由（1）可知：，
若，则，可知其图象开口向上，对称轴为，
此时的最大值为；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为；
又因为，可知的最大值为，
所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元.
25．（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
(1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到；(2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟．
参考数据：，，是自然对数的底数，
【答案】(1)，；(2)要等待约分钟.
【详解】（1）依题意，，且当，时，，
则，，解得，所以.
（2）由（1）知，，当时，，即，
整理得，解得，王大爷要等待约分钟.
26.（2025·广东·一模）随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间如图建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数的图象，且正好与直线相切，而岛屿海岸线可近似看作函数的图象．每单位代表十万米
(1)试求的值及切点坐标．(2)已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过，试问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由．
【答案】(1)，； (2)不能，理由见解析
【分析】（1）由题意可设切点为，求出函数的导数，求出切点的斜率，得到切点的横坐标，求出纵坐标，得到结果.
（2）利用同底的指数函数、对数函数互为反函数，结合函数图象平移，将问题转化为两个函数图象间最短距离大于直线与直线之间的距离求解.
【详解】（1）依题意，设切点为，由函数求导得，
则，即，解得，
而，则，解得，，所以，切点坐标为.
（2）由（1）及函数与函数互为反函数，且的图象与相切，
得函数的图象与函数的图象有且只有一个公共点，
而的图象可由的图象向右平移个单位而得到，
因此函数与的图象之间的最短距离大于直线与直线之间的距离，
即（十万米）．则高铁穿过通道的时间.
所以高铁不能在半小时内穿过高速通道.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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