资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 方程与不等式
2.1 一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等式的基本性质 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，一次方程（组）的部分，考查3道题左右，分值为18分左右，通常以选填题（1题）、 计算题（1题）、 应用题（1题）的形式考查。
考点2 一元一次方程 ☆☆
考点3 二元一次方程（组） ☆☆☆
考点4 一次方程（组）的应用 ☆☆☆
浙江中考数学对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。预计2025年各地中考还将继续考查一次方程（组）的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
2
4
■考点一　实数的分类及正负数的意义 4
■考点二　科学记数法 5
■考点三　相反数、绝对值与数轴 6
■考点四　实数的运算及其大小比较 7
■考点五　二次根式及其运算 8
12
17
■考点一　等式的基本性质
1.等式的基本性质
1）等式两边都加上（或减去） ，所得的结果仍是等式；
2）等式两边都乘以（或除以） ，所得的结果仍是等式；
3）若a=b，b=c，则 （传递性）。
■考点二　一元一次方程
1.方程：含有 的 叫做方程．
2.方程的解：使方程左右两边 的 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 。
3.一元一次方程：只含有 未知数，并且未知数的次数为 ，这样的 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。
4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 。
5.一元一次方程的求解步骤
变形名称 具体做法
去分母 在方程两边都乘以各分母的 。
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项 把方程化成的形式
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
■考点三　二元一次方程（组）
1.二元一次方程：含有 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。
方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。
4.解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
5.二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
■考点四　一次方程（组）的实际应用
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；
（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2.一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；
售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；
贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
■考点一　等式的基本性质
◇典例1：（2024·广东·统考二模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不为0）
B．如果，那么（a，b，c均不为0）
C．如果，那么（a，b，c均不为0）
D．如果，那么（a，b，c均不为0）
2.（2023·福建·统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
■考点二　一元一次方程
◇典例3：（2024·浙江绍兴·二模）要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（ ）
A． B．2 C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程：
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程．
解：去分母，得．
移项，得．
合并同类项，得．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
2．（2024·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
■考点三　二元一次方程（组）
◇典例5：（2024·浙江·模拟预测）（1）计算：；（2）解方程组：．
◆变式训练
1．（2023·浙江温州·模拟预测）二元一次方程组的解为 ．
2．（2024·浙江湖州·模拟预测）（1）计算： （2）解方程
◇典例6：（2024·浙江杭州·三模）已知方程组，则的值为 ．
◆变式训练
1．（2024·浙江衢州·模拟预测）已知是方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．4
2．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为 ．
◇典例7：（2024·浙江宁波·一模）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x、y满足，则的平方根为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
2．（2024·浙江宁波·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ．
3．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组
解
(1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
(2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）．
①猜想该方程组的解；②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
■考点四　一次方程（组）的实际应用
◇典例8：（2024·吉林长春·模拟预测）一片牧场（草以均匀的速度生长），12头牛吃4天，9头牛吃6天，（ ）头牛两天能吃完
A．20 B．21 C．30 D．18
◆变式训练
1．（2024·浙江·二模）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日．
2．（2024·浙江金华·一模）高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失利用图中信息解决下列问题：

物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温．
(1)若先接温水26秒，求再接开水的时间；
(2)设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为．
①若，求x的值；②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
◇典例9：（2024·浙江温州·三模）某社区积极响应“创文”活动，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木少8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练1．（2024·浙江杭州·模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．

3．（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）．
商品 荔枝 龙眼
成本/(元/箱) 30 40
售价/(元/箱) 48 60
这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱．
◇典例10：（2024·浙江宁波·一模）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
◆变式训练
1．（2023·浙江温州·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n的值可能是（ ）

A．130 B．140 C．150 D．160
2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）学校开展“阳光体育”活动，张老师准备花费400元在体育用品商店订购28个哑铃，共有甲、乙、丙三种哑铃供其选择，它们的单价分别为20元、16元、10元，那么张老师不同的订购方案有 种．
1.（2022·山东滨州·统考中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
2．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
4．（2024·湖北·中考真题）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
7．（2024·广东深圳·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
9．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（ ）
A．100元 B．105元 C．110元 D．125元
12．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
13．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
14．（2024·浙江·中考真题）解方程组：
15．（2024·广西·中考真题）解方程组：
16．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
17．（2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
18．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
19．（2024·江苏连云港·中考真题）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
20．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？
21．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 不分段 A档 4000米
小丽 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第二次休息
第三段 C档 1600米
(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；
(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足．问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头和46只脚，问兽、鸟各多少？设兽有x个，鸟有y只，列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江衢州·一模）今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问人与车各几何？（选自《孙子算经》）现假设有辆车，则有方程（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有牛五羊二，直金十两.牛二羊五，直金八两.问牛羊各直金几何 其大意是：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少 设每头牛值x两金，每头羊值y两金，则可列方程组为( )
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
6．（2023·浙江金华·模拟预测）已知满足和的x，y也满足，那么（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．（2024·四川广安·模拟预测）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图1的洛书，每一行、每一列以及每条斜对角线上的点数之和都相等，转换为数字如图2所示，它是一种三阶幻方．根据三阶幻方规则，由图3中已知数求出的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
8．（2024·河北邯郸·模拟预测）我国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两……”意思是：“今有生丝30斤，干燥后损耗3斤12两（我国古代1斤等于16两）……”据此，若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，则正确的是（　　）
A．依题意，得 B．依题意，得
C．需使用生丝 斤 D．得到14斤干丝，需损耗生丝 斤
9．（2024·浙江台州·模拟预测）某乐高创客小组自制了一台“滑轮塔吊”装置，如图，是平衡杆，点O处装有滑轮组，以的速度在平衡杆上滑动．现要将置于地面且距离障碍物的物体A搬运到障碍物后的置物台上，障碍物高为，置物台高为，两者宽度均为．在搬运过程中，滑轮滑动的同时，吊绳匀速收放．（物体体积、装置和滑轮组重力及摩擦力均忽略不计）

（1）物体在上升过程中，随着滑轮组向右滑动，吊绳匀速收起，若物体恰好能越过障碍物，则此时装置的收绳速度为 ；（2）在（1）的基础上，物体缓缓上升，在到达某一高度后装置开始放绳，通过调整放绳速度，使物体顺利运至置物台．在搬运过程中，若物体恰好能以最小速度运至置物台，物体离地面最大高度为 ．
10．（2024·浙江宁波·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ．
11．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ．
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
上海 a b
北京
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
上海 2 10
北京 3 23
则 ， ．
13．（2024·湖南常德·模拟预测）有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种．
14．（2024·河北·模拟预测）已知嘉嘉购买了红、绿、蓝三种颜色的筷子各只，将红、绿、蓝三种颜色的筷子分别放入甲、乙、丙桶中．
（1）若嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此时乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，则m的值为 ；
（2）若嘉嘉从甲、丙桶分别拿出只红、蓝筷子放入乙桶中，接下来，从乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只绿色筷子，此时乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和相等，则的值为 ．
15．（2024·舟山·一模）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
小明出发时刻 智能手表数据 小明结束时刻 智能手表数据 小红出发时刻 智能手表数据 小红结束时刻 智能手表数据
时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟）
信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，
问题：（1）起点与终点的距离为 米；
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 分钟．
16．（2023·浙江台州·三模）解方程组：．
17．（2024·浙江·模拟预测）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围．
18．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框：
解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
19．（2024·浙江宁波·二模）（1）计算：．（2）解方程组：
20．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元的销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：_______（用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
21．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．(1)求a，b的值；(2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？
22．（2024·河南·模拟预测）课余时间，三个同学用三个盒子中放有数量不同的小球来进行游戏，并邀请老师一起来参与，他们告诉老师，已知第一个盒子中小球的个数为a，第二个盒子中小球的数量是第一个盒子中小球数量的2倍，第三个盒子中小球的数量比第二个盒子中的个数少
(1)如果现在他们每个人都从三个盒中分别拿出一些小球后，使每个盒中剩下的小球个数相等．已知从第三个盒子中拿出的小球个数比第一个盒子中拿出的小球个数多3个，而从第二个盒子中拿出小球个数是其剩下小球个数的2倍，请老师来计算从三个盒中共拿出的小球个数；
(2)若把三个盒子中的小球的个数依次写出来得到一个多位数，将这个多位数的各数位上的数字进行调换得到新的多位数，求新的多位数与原来的多位数差的最大值．
23．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：．
解：设，则原式．
请你利用上述方法解答下列问题：(1)计算：；
(2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 方程与不等式
2.1 一次方程（组）
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 等式的基本性质 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，一次方程（组）的部分，考查3道题左右，分值为18分左右，通常以选填题（1题）、 计算题（1题）、 应用题（1题）的形式考查。
考点2 一元一次方程 ☆☆
考点3 二元一次方程（组） ☆☆☆
考点4 一次方程（组）的应用 ☆☆☆
浙江中考数学对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。预计2025年各地中考还将继续考查一次方程（组）的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
2
4
■考点一　实数的分类及正负数的意义 4
■考点二　科学记数法 5
■考点三　相反数、绝对值与数轴 6
■考点四　实数的运算及其大小比较 7
■考点五　二次根式及其运算 8
12
17
■考点一　等式的基本性质
1.等式的基本性质
1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式；
2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式；
3）若a=b，b=c，则 a=c （传递性）。
■考点二　一元一次方程
1.方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程．
2.方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。
3.一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。
4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。
5.一元一次方程的求解步骤
变形名称 具体做法
去分母 在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 。
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项 把方程化成的形式
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
■考点三　二元一次方程（组）
1.二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。
方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。
4.解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
5.二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
■考点四　一次方程（组）的实际应用
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；
（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2.一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；
售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；
贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
■考点一　等式的基本性质
◇典例1：（2024·广东·统考二模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，故B、C错误；
∵，∴，∴，
∴，故A错误，D正确；故选：D．
◆变式训练
1.（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵，且，∴，故该选项不正确，符合题意；故选：D．
◇典例2：（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设“▲”的质量为a，由甲图可得，即，
由乙图可得，即，∴，故选C．
◆变式训练
1.（2023·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不为0）
B．如果，那么（a，b，c均不为0）
C．如果，那么（a，b，c均不为0）
D．如果，那么（a，b，c均不为0）
【答案】A
【详解】解：观察图形，是等式的两边都减去c（a，b，c均不为0），
利用等式性质1，得到，即如果，那么（a，b，c均不为0）．故选：A．
2.（2023·福建·统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
【答案】④
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；故答案为：④．
■考点二　一元一次方程
◇典例3：（2024·浙江绍兴·二模）要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，∴，故选：A．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，解得：，故答案为：．
◇典例4：（2024·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程：
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】圆圆解方程有错误，正确解答见解析
【详解】解：圆圆解方程有错误，正确解答为：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程．
解：去分母，得．
移项，得．
合并同类项，得．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析
【详解】解：亮亮的解答过程有错误．
正确的解答过程：
去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：．
2．（2024·浙江杭州·一模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】解答过程有错误，正确的解答过程见解析
【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：
去分母，得：，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得．
■考点三　二元一次方程（组）
◇典例5：（2024·浙江·模拟预测）（1）计算：；（2）解方程组：．
【答案】（1）2 （2）
【详解】解：（1）原式；
（2），
①②得：，解得：，
将代入②得：，解得：，
故原方程组的解为．
◆变式训练
1．（2023·浙江温州·模拟预测）二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：，
得出：，
将代入①得出：，
所以方程组的解为：，
故答案为：．
2．（2024·浙江湖州·模拟预测）（1）计算： （2）解方程
【答案】（1），（2）
【详解】解：（1）原式
；
（2），
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以方程组的解为．
◇典例6：（2024·浙江杭州·三模）已知方程组，则的值为 ．
【答案】2
【详解】解：，
，得，故答案为：2．
◆变式训练
1．（2024·浙江衢州·模拟预测）已知是方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：是方程组的解，
，两个方程相减，得，故选：D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程组，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：，得：，故答案为：．
◇典例7：（2024·浙江宁波·一模）表示小于a的最大整数，表示不小于b的最小整数，若整数x、y满足，则的平方根为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得：，解得：，
∵为整数，∴，∴，
∴的平方根是，故选：D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：由可得：，所以：
把③代入②得：，解得：，
代入可得：，解得：，故答案为：．
2．（2024·浙江宁波·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：方程组可化为，
关于、的方程组的解为，
方程组的解是，即，故答案为：．
3．（2024·浙江温州·二模）观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组
解
(1)通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
(2)已知关于x，y的二元一次方程组（，）．
①猜想该方程组的解；②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
【答案】(1)(2)①；②见解析
【详解】（1）解：由题意可得：的解是：；
（2）解：①关于x，y的二元一次方程组的解是：；
②把代入①的左边可得：右边，
把代入②的左边可得：右边，
∴是方程组的解．
■考点四　一次方程（组）的实际应用
◇典例8：（2024·吉林长春·模拟预测）一片牧场（草以均匀的速度生长），12头牛吃4天，9头牛吃6天，（ ）头牛两天能吃完
A．20 B．21 C．30 D．18
【答案】B
【详解】解：假设每头牛每天吃的草量为单位“1”，草场每天生长的草为x，根据题意得：
，解得：，
设y头牛两天能吃完，根据题意得：，解得：，
即21头牛两天能吃完．故选：B．
◆变式训练
1．（2024·浙江·二模）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为 里/日．
【答案】780
【详解】解：设主人的马的速度为x里/日，根据题意，得，
解得，即主人骑马的速度为780里/日．故答案为：780．
2．（2024·浙江金华·一模）高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失利用图中信息解决下列问题：

物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温．
(1)若先接温水26秒，求再接开水的时间；
(2)设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为．
①若，求x的值；②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
【答案】(1)12秒 (2)①②，
【详解】（1）解：设接开水的时间的时间为秒，
根据题意得：， 解得，答：接开水的时间为12秒；
（2）解：①由题意知，温水体积 ，开水体积为，
则，解得；
②由①得：，化简，得，
，，
关于的函数关系式为，达到最佳水温时的取值范围为．
◇典例9：（2024·浙江温州·三模）某社区积极响应“创文”活动，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木少8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵，乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵购进的乙种树木比甲种树木少8棵，∴；
∵购进这批树木共用去资金8000元，∴．
∴根据题意可列方程组．故选：B．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x，y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意列方程．故选：C．
2．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．

【答案】
【详解】解：设秤盘的质量为，秤砣的质量为，
由题意得：，解得：，秤盘的质量为，秤砣的质量为，
设这把杆秤的秤星E对应的刻度是克，由题意得：，解得：，
这把杆秤的秤星对应的刻度是克，故答案为：，．
3．（2024·广东·模拟预测）每年月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝箱，龙眼箱）．
商品 荔枝 龙眼
成本/(元/箱) 30 40
售价/(元/箱) 48 60
这个星期网店销售荔枝和龙眼共，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱．
【答案】荔枝200箱，龙眼300箱
【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得：
，解得：．
答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱．
◇典例10：（2024·浙江宁波·一模）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【详解】解：设公鸡只，母鸡只，则小鸡只
由题意得，即 由于，，均为正整数
所以方程的正整数解只有或或故选：D．
◆变式训练
1．（2023·浙江温州·模拟预测）某公司用n张相同的大长方形纸板分别按如图所示进行裁剪，所得的正六边形和小长方形纸板恰好能搭配成若干个有盖直六棱柱纸盒，则n的值可能是（ ）

A．130 B．140 C．150 D．160
【答案】B
【详解】解：设剪成底面的长方形x张，则剪成侧面的长方形张，
每个直六棱柱由两个底面正六边形和六个侧面小长方形组成，
小长方形总数为正六边形总数的3倍，，解得：，
都是正整数，且为偶数，是28的倍数，的值可能是140，故选：B．
2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）学校开展“阳光体育”活动，张老师准备花费400元在体育用品商店订购28个哑铃，共有甲、乙、丙三种哑铃供其选择，它们的单价分别为20元、16元、10元，那么张老师不同的订购方案有 种．
【答案】5
【详解】解：设订购甲种哑铃个，乙种哑铃个，丙种哑铃个，
根据题意，可得，由，可得，
整理可得，根据题意，可知，，，且均为整数，
所以，可有或或或或，
所以，张老师不同的订购方案有5种．故答案为：5．
1.（2022·山东滨州·统考中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【答案】B
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解：去分母得，其变形的依据是等式的性质2，故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
2．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得：
，故选：A．
3．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
【答案】D
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，据题题意：，解得：．
答：快马20天可以追上慢马．故选：D．
4．（2024·湖北·中考真题）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金，
∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，∴，故选：A．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】解∶ 联立方程组，解得，∴P的坐标为，
∴点P在第四象限，故选∶D．
6．（2024·四川宜宾·中考真题）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
【答案】C
【详解】解：设用个大箱，个小箱，∴，∴，
∴方程的正整数解为：或，∴所装的箱数最多为箱；故选C．
7．（2024·广东深圳·中考真题）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故选：A．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】B
【详解】解：设单价分别为8元和10元的两种笔记本分别为个，
依题意，∴ ∵，为正整数，∴当时，，
当时，当时，当时，∴购买方案有4种，故选：B．
9．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设用A型钢板x块，用B型钢板y块，由题意得：，故选：C．
10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】解：设购买支笔记本，个碳素笔，依题意得：，．
又，均为正整数，或或或，共有4种不同的购买方案．故选：B．
11．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（ ）
A．100元 B．105元 C．110元 D．125元
【答案】A
【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，
，由（2）得：，由得：，
则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元，故选：A．
12．（2024·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键．
根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，设分钟追上，∴，解得，，
∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟，故答案为： ．
13．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
【答案】15
【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺，
根据题意得： ．解得： 故答案为15．
14．（2024·浙江·中考真题）解方程组：
【答案】
【详解】解：①×3＋②得，解得，
把代入①得，解得∴
15．（2024·广西·中考真题）解方程组：
【答案】
【详解】解：，得：，解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：.
16．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【详解】解：得，，解得，．将代入①得．
方程组的解是
17．（2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个
【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键个，
由题意得：，解得：，∴白色琴键：（个），
答：白色琴键52个，黑色琴键36个．
18．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．
【答案】小峰打扫了．
【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，由题意，得：，解得：，
答：小峰打扫了．
19．（2024·江苏连云港·中考真题）我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
【答案】两次邮购的折扇分别是40把和160把
【详解】解：若每次购买都是100把，则．
一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把．
由题意得：，解得．．
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．
20．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？
【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷．
【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，
由题意可得，，解得，
答：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷．
21．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 不分段 A档 4000米
小丽 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第二次休息
第三段 C档 1600米
(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；
(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分(2)5分(3)42.5
【详解】（1）解：由题意可知，档速度为米/分，
则档速度为米/分，档速度为米/分；
（2）小丽第一段跑步时间为分，小丽第二段跑步时间为分，
小丽第三段跑步时间为分，
则小丽两次休息时间的总和分；
（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分）
可得：，解得：．
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足．问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头和46只脚，问兽、鸟各多少？设兽有x个，鸟有y只，列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵兽与鸟共有76个头，∴；∵兽与鸟共有46只脚，∴．
∴根据题意可列方程组．故选：B．
2．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，设石头下落的时间为∴从石头落水时，传到井口用的时间为，
∴从井底到井口的总路程，
将米/秒，石头下落的时间为，代入，得，
即，故选．
3．（2024·浙江衢州·一模）今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问人与车各几何？（选自《孙子算经》）现假设有辆车，则有方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设有辆车，根据题意，得，故选：A．
4．（2024·浙江·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有牛五羊二，直金十两.牛二羊五，直金八两.问牛羊各直金几何 其大意是：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少 设每头牛值x两金，每头羊值y两金，则可列方程组为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据“牛5头，羊2头，共值金10两”可得，
根据“牛2头，羊5头，共值金8两”可得，可列方程组为，故选B．
5．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，解得：，即1艘大船可以满载游客的人数为人，故选：C
6．（2023·浙江金华·模拟预测）已知满足和的x，y也满足，那么（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】解：，①②得：，，
把代入①得：，解得：．
把和代入得：，解得．故选：B．
7．（2024·四川广安·模拟预测）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图1的洛书，每一行、每一列以及每条斜对角线上的点数之和都相等，转换为数字如图2所示，它是一种三阶幻方．根据三阶幻方规则，由图3中已知数求出的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【详解】解：由题意，得：，∴；故选：A．
8．（2024·河北邯郸·模拟预测）我国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两……”意思是：“今有生丝30斤，干燥后损耗3斤12两（我国古代1斤等于16两）……”据此，若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，则正确的是（　　）
A．依题意，得 B．依题意，得
C．需使用生丝 斤 D．得到14斤干丝，需损耗生丝 斤
【答案】B
【详解】解：依题意，得，解得，∴（斤），
∴若得到14斤干丝，则需使用生丝16斤，损耗生丝2斤．故选:B．
9．（2024·浙江台州·模拟预测）某乐高创客小组自制了一台“滑轮塔吊”装置，如图，是平衡杆，点O处装有滑轮组，以的速度在平衡杆上滑动．现要将置于地面且距离障碍物的物体A搬运到障碍物后的置物台上，障碍物高为，置物台高为，两者宽度均为．在搬运过程中，滑轮滑动的同时，吊绳匀速收放．（物体体积、装置和滑轮组重力及摩擦力均忽略不计）

（1）物体在上升过程中，随着滑轮组向右滑动，吊绳匀速收起，若物体恰好能越过障碍物，则此时装置的收绳速度为 ；（2）在（1）的基础上，物体缓缓上升，在到达某一高度后装置开始放绳，通过调整放绳速度，使物体顺利运至置物台．在搬运过程中，若物体恰好能以最小速度运至置物台，物体离地面最大高度为 ．
【答案】 3 50
【详解】解：（1）根据题意得滑轮组向右滑动的距离为，
时间为秒，吊绳匀速收起，障碍物高为，
∴装置的收绳速度为：，故答案为：3；
（2）由（1），设从点A到最高点的时间为，则，如图：

设为两个矩形的顶点，由题意得，只有贴着障碍物右侧P点滑下来，滑到平台的最右侧Q点，物体恰好能以最小速度运至置物台，
∵从点P到点Q分析，水平方向是匀速的，即，从点P到点Q，即水平方向从点C到点E，距离为，则时间为，而竖直方向的时间也为，
∵点P与点Q的竖直高度差为，∴从点P到点Q的竖直速度为，
设从点F到点Q的时间为，∴竖直下落的高度，
∵，∵水平方向从点A到点E的距离为，∴，
∴，解得：，∴，故答案为：50．
10．（2024·浙江宁波·一模）已知二元一次方程组，则的值为 ．
【答案】4
【详解】解：对于方程组，①②得：．故答案为：4．
11．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ．
【答案】116
【详解】解：由题意得：，即，解得：，
x、y、z的平均数是，故答案为：116．
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表：
收费标准
目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克）
上海 a b
北京
实际收费
目的地 质量（千克） 费用（元）
上海 2 10
北京 3 23
则 ， ．
【答案】 8 2
【详解】解：根据题意：，解得：，故答案为：8，2．
13．（2024·湖南常德·模拟预测）有7个完全相同的小球，3个完全相同的盒子，他们都不加以区别，若将这7个小球分别放入这3个盒子中，允许有盒子空着不放，则不同放法有 种．
【答案】8
【详解】解：设放在三个盒子里的球数分别为、、，球无区别，盒子无区别，故可令，依题意有，于是，，故只有取3、4、5、6、7共五个值．
①时，，则只取3、2，相应取1、2，故有2种放法；
②时，，则只取3、2，相应取0、1，故有2种放法；
③时，，则只取2、1，相应取1、0，故有2种放法；
④时，，则只取1，相应取0，故有1种放法；
⑤时，，则只取0，相应取0，故有1种放法．
综上所求，故有8种不同放法．故答案为：8．
14．（2024·河北·模拟预测）已知嘉嘉购买了红、绿、蓝三种颜色的筷子各只，将红、绿、蓝三种颜色的筷子分别放入甲、乙、丙桶中．
（1）若嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此时乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，则m的值为 ；
（2）若嘉嘉从甲、丙桶分别拿出只红、蓝筷子放入乙桶中，接下来，从乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只绿色筷子，此时乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和相等，则的值为 ．
【答案】 6 2
【详解】解：（1）∵甲、乙桶中分别有只筷子，嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放甲乙桶中，
∴甲桶中有只筷子，乙桶中有只筷子．
∵乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，∴，解得：；
（2）甲、乙、丙桶初始状态和第一次拿放后每个桶中筷子数目情况列表如下：
甲 乙 丙
初始状态 红 绿 蓝
第一次 红 绿红蓝 蓝
第二次：从乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只绿色筷子，
则此时乙桶中有只绿色筷子，拿出的筷子中蓝色和红色筷子共只，
则乙桶中红色和蓝色筷子剩余只，
∵乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和相等，
∴，即，．
15．（2024·浙江舟山·一模）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
小明出发时刻 智能手表数据 小明结束时刻 智能手表数据 小红出发时刻 智能手表数据 小红结束时刻 智能手表数据
时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻 步数（步） 心率（次/分钟） 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟）
信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，
问题：（1）起点与终点的距离为 米；
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红 分钟．
【答案】
【详解】（1）设小红每步跑米，∴小明每步跑米，
∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步，
∴，解得：，
∴总路程为：（米）；故答案为：；
（2）∵跑完全程小明的用时为分钟，∴小明每分钟跑：（步），
∵小明每分钟比小红多跑步，∴小红每分钟跑：（步），
∴小红跑完全程的时间为：（分钟），
∴小明要在终点处等小红的时间为：．故答案为：．
16．（2023·浙江台州·三模）解方程组：．
【答案】
【详解】解：，得，，解得，，
把代入得，，解得，，
∴原方程组的解为．
17．（2024·浙江·模拟预测）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围．
【答案】
【详解】解：，整理得得：，
把代入得，，∴，
∵，∴，解得．故a的取值范围为．
18．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框：
解： 两边同时乘以10，得……① 合并同类项，得……② 系数化1，得……③
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
【答案】最早出现错误的步骤是，正确的解法见解析．
【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键．
【详解】解：最早出现错误的步骤是，正确的解法如下：
对于方程，
将系数化为整数，得，
合并同类项，得，
系数化，得．
19．（2024·浙江宁波·二模）（1）计算：．（2）解方程组：
【答案】（1）1；（2）
【详解】解：（1）；
（2），得，代入②，得，．
20．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元的销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：_______（用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；任务3：购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．
【详解】解：任务1：一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
．故答案为：．
任务2：由素材2，得，解得，（元），
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元．
任务3：设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套，
根据题意，得，．是非负整数，，
吉祥物钥匙扣每件利润为（元），明信片每套利润为（元），
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．
21．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．(1)求a，b的值；(2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？
【答案】(1)
(2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张
【详解】（1）解：根据题意得：，解得：；
（2）解：共有积分为：，
设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，∴∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
22．（2024·河南·模拟预测）课余时间，三个同学用三个盒子中放有数量不同的小球来进行游戏，并邀请老师一起来参与，他们告诉老师，已知第一个盒子中小球的个数为a，第二个盒子中小球的数量是第一个盒子中小球数量的2倍，第三个盒子中小球的数量比第二个盒子中的个数少
(1)如果现在他们每个人都从三个盒中分别拿出一些小球后，使每个盒中剩下的小球个数相等．已知从第三个盒子中拿出的小球个数比第一个盒子中拿出的小球个数多3个，而从第二个盒子中拿出小球个数是其剩下小球个数的2倍，请老师来计算从三个盒中共拿出的小球个数；
(2)若把三个盒子中的小球的个数依次写出来得到一个多位数，将这个多位数的各数位上的数字进行调换得到新的多位数，求新的多位数与原来的多位数差的最大值．
【答案】(1)21个(2)6399
【详解】（1）解：∵第一个盒中小球的个数为a，第二个盒子中小球的数量是第一个盒子中小球数量的2倍，∴第二个盒子中小球的个数为．
∵第三个盒中小球的个数比第二个盒中小球的个数少，
∴第三个盒中小球的个数为，
∵从第二个盒子中拿出小球个数是其剩下小球个数的2倍，
∴第二个盒中剩下的小球个数为 ，
∵每个盒中剩下的小球个数相等，∴三个盒中剩下的小球个数均为个．
，解得．∴从三个盒子中拿出的小球个数总和是
（个）；
（2）解：由（1）得：第一个盒子的个数为9，第二个盒子的个数为18，第三个盒子的个数为12，
∴得到的是五位数：91812．∴调换后得到最大的新的五位数是 98211，
∴新的多位数与原来的多位数差的最大值为．
23．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：．
解：设，则原式．
请你利用上述方法解答下列问题：(1)计算：；
(2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：依题意，设，
（2）解：方程组的解是，
同理方程组中
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑