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10.2消元——解二元一次方程组
第十章 二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
1.了解代入消元法的含义，会运用代入消元法解二元一次方程组.
2.感悟代入消元法所体现的“化未知为已知”的转化思想，向学生渗透消元思想.
3.经历探索代入消元法解方程组的过程，培养小组合作、主动探索精神.
重点：用代入法解二元一次方程组，以及列方程组解决实际问题.
难点：对代入消元法的理解，以及灵活运用代入法解二元一次方程组
问题1:上节课我们采用列举两个未知数的具体数值，得出了方程组的解，那么下面这个方程组你要花多长时间来得出它的解呢 试解方程组(其中x,y属于有理数)
这里的x和y是有理数，用列举法找方程的解还方便吗？
问题2:通过直接设两个未知数：租用大型采棉机x台，小型采棉机y台，可以列方程组表示本章引言中问题的相等关系.
如果只设一个未知数：租用大型采棉机x台，则租用小型采棉机(6-x)台，那么这个问题也可以列一元一次方程2x+(6-x)=8来解.
观察这里的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系 你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗
探究：观察对照方程组中第二个方程2x+y=8与一元一次方程2x+(6-x)=8,发现了y= 这个方程，再把这个方程与方程组中第一个方程x+y=6对照，发现这两个方程 的，是可以互相变形的.
这样我们可以把方程组中的第一个方程变形为y= ,把方程组中第二个方程的y用 代替，从而把方程组的两个二元一次方程合并为一个一元一次方程.解这个一元一次方程就可以继续得出方程组的解.
6-x
相同
6-x
6-x
通过观察对照，可以发现，二元一次方程组中第一个方程x+y=6可以写为y=6-x,此时把第二个方程2x+y=8中的y换为6-x,这个方程就化为一元一次方程2x+(6-x)-2.=8.解这个方程，得x=2.把x=2代入y=6-x,得y=4.从而得到这个方程组的解是.
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.
上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解法叫作代入消元法，简称代入法.
【例1】用代入法解方程组
探究：代入法的前提是方程组中有用含一个未知数的式子表示另一个未知数的方程，若原方程组没有现成的，就得对其中一个方程进行变形.然后通过代入得到一个一元一次方程.本题方程组可以对方程 进行变形，得到x= 或y= ,这里需要同学们对两个方程的系数进行观察，找出最简便的变形式
y+3
x-3
解:由①,得x=y+3,③
把③代入②,得3(y+3)-8y=14.
解这个方程，得y=-1.
把y=-1代入③,得x=2.
所以这个方程组的解是.
这里可以用x的式子表示y吗 哪个更简便
这里能把③代入①吗 试试看.
把y=-1代入①或②可以吗 试试看.
从上面的分析过程我们可以总结出：
(1)当用含一个未知数的式子表示另一个未知数时，这里的“另一个未知数”的系数最好是1,这样代入消元后得到的一元一次方程的求解更简便；
(2)得出的新方程不能代入变形出这个新方程的二元一次方程，如上面的方程③不能代入方程①,因为这样会出现一个不含未知数的恒等式：3=3,这样就不能继续再解方程组了.
【例2】用代入法解方程组
方程②中的y的系数是 ,将方程②进行变形，得到y= ,再代入方程①.
解:由②,得y=2x-16.③
把③代入①,得3x—5(2x-16)=3.
解这个方程，得x=11.
把x=11代入③,得y=6.
所以这个方程组的解是
-1
2x-16
问题3:上面要解的二元一次方程组的两个方程中都有一个未知数的系数为1或-1.如果未知数的系数不是1或-1,该怎么办
【例3】用代入法解方程
本题方程组中方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x,再代入方程②.
解:由①,得.③
把③代入②,得
解这个方程，得y=3.
把y=3代人③,得x=2.
所以这个方程组的解是
当未知数的系数不是1或-1时，哪个未知数的系数的绝对值小，就用含有另一个未知数的式子表示这个未知数.
问题4:解上述方程组时，可以先消去y吗 试试看.
先消去y,我们可以把方程①变形为y= .然后把这个新方程代入方程②,从而得到一个关于y的一元一次方程.
解：由①,得y=.③
把③代入②,得9x+7()=39.
解这个方程，得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
所以这个方程组的解是
【例4】快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元
找出问题中的两个相等关系：
周一送120件的报酬+ =270.
周二 + =185.
周一揽45件的报酬
送90件的报酬
周二揽25件的报酬
解:设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元.
根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组
由①,得x=③
把③代入②,得90()+25y=185.
解这个方程，得y=2.
把y=2代入③,得x=1.5.
所以这个方程组的解是.
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
已知方程组，中，x，y的系数都已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，△也表示同一个数，是这个方程组的解，你能求出原方程组吗？
提示：把原方程组中的□和△看成两个未知数，首先把代入原方程组，从而得到关于□和△的二元一次方程组，解这个方程组得出□和△的值，再把它们的值代入原方程组，得解.
解:假设□和△分别为两个未知数m与n,把代入原方程组，得用代入消元法解方程组得,再把这组解代入原方程组得.
本节课的主要内容是什么 你有哪些收获
1.二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.
2.代入消元法的思路：把二元一次方程组中一个方程代入另一个方程，当方程不能直接代入时，应把方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.
3.代入消元法的一般步骤.
谢谢！

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