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10.2消元——解二元一次方程组
第十章 二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
1.了解加减消元法的含义，会运用加减消元法解二元一次方程组.
2.针对不同方程组会选择适当、简便的消元法来解方程组.
3.经历探索、总结加减消元法解方程组的过程，培养小组合作以及主动探索精神.
重点：用加减消元法解二元一次方程组，以及列方程组解决实际问题.
难点：对加减消元法的理解，以及灵活运用消元法解二元一次方程组.
问题1:一元二次方程x-y=5,若方程两边同加上1,那么x-y+1=_____;若原方程两边同加上x+y,那么有x-y+(x+y)=5+_____ ;若x+y=1,那么有x-y+(x+y)=5+_____,从中我们可以得出x,y的值分别是多少 以上过程利用了什么性质
5+1
(x+y)
1
整理这个方程左右两边得，2x=6,解得x=3.把x=3代入x-y=5,得y=-2.
上述过程利用等式的性质把方程x-y=5与方程x+y=1结合起来，并得出它们的公共解.
问题2:上节课我们用代入法解方程组结合问题1的推导过程，观察方程组中的两个方程，y的系数有什么关系 利用这种关系，你能发现新的消元方法吗
探究：我们发现方程组中两个方程y的系数 ,结合问题1我们可以利用等式的性质，使得两个方程的左边与左边相减的差等于右边与右边相减的差，即②-①或 可消去未知数y,从而达到消元的目的.
相同
①-②
解：②-①,得(2x+y)-(x+y)=8-6,
得x=2.
把x=2代入①,得y=4.
所以这个方程组的解是
这里也可以用①-②消去y
问题3:联系上面的解法，想一想怎样解方程组
探究：上面的解法我们是利用 性质，把两个相减达到消去未知数y的目的，本题两个方程相减能消去一个未知数吗 两个方程中未知数的系数有什么关系 要消去这个未知数，必须把两个方程相 .
等式
相加
互为相反数
解：①+②,得(3x+10y)+(15x-10y)=2.8+8,
得18x=10.8,解得x=0.6.
把x=0.6代入①,得y=0.1.
所以这个方程组的解是
这里也可以把x=0.6代入②得出y的值
当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种方法叫作加减消元法，简称加减法
【例5】用加减法解方程组
这两个方程中未知数y的系数互为相反数，直接相加，这两个方程就能消元.
问题4:当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，能用加减法解方程组吗
我们可以想办法将两个方程中的同一个未知数的系数转换成一样的或互为相反数.
【例6】用加减法解方程组
这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数.直接把这两个方程进行加减不能消元.观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将方程① 可以使两个方程中y的系数互为相反数.
加减法通过两个方程相加或相减实现消元.两个方程相加减前应先使要消去的未知数的系数相等或互为相反数，为此需要根据等式的性质(等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等)先进行必要的方程变形.
问题4:当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，能用加减法解方程组吗
【例7】我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何
意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两 你能解答这个问题吗
本题基本等量关系式： + =10两， + =8两，可根据相等关系列方程组并解答.
5头牛的价值
2只羊的价值
2头牛的价值
5只羊的价值
问题5:用加减法消去未知数y应如何解例7 解的结果与上面一样吗
如果要先消去y,可以①×5-②×2.解方程组时先消哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因先消哪个未知数而产生变化.一般地，先消哪个未知数简便就先消去它.
消去未知数y,那么方程①应 ,方程②应 ,然后两个新的方程相 ,可消去y.不同的解题方法会改变题目的结果吗
×5
×2
减
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
问题6:下列两个方程组选择哪种消元法(代入法或加减法)来解更加简便
可转换为y=1.5-2x，代入②
可直接相减消去y
加减法和代入法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同，应根据方程组的具体情况选择更适合的解法，观察方程组中未知数的系数，(1)用代入法更简便；(2)用加减法更简便.
1.已知(3x+2y-5) 与|5x+3y-8|互为相反数，则x= ,y= .师生
“平方数”与“绝对值”互为相反数，那么它们只有可能都是 .从而得到两个方程，列出方程组.
1 1
0
2.若方程组的解相同，则a= ,b= .
要求出a,b的值，我们要建立关于a,b的二元一次方程组，因此要先求出x,y的值，然后代入，而x,y的值可以通过解方程组得到.
-2 0
本节课的主要内容是什么 你有哪些收获
1.加减消元法利用了什么性质
2.怎样选择合适的消元法(代入法和加减法)来解题
谢谢！

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