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*10.4 三元一次方程组的解法
第十章 二元一次方程组
1.了解三元一次方程组的含义，会用代入法或加减法解三元一次方程组.
2.通过用代入消元法或加减消元法解三元一次方程组，培养运算能力.
重点：运用代入法或加减法化三元一次方程组为二元一次方程组，进而化为一元一次方程求解.
难点：针对方程组的特点选择最佳解法.
问题1:在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
解:设这个球队胜、平、负的场数分别为x,y,z,根据题意，可以得到下面三个方程x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
问题2:二元一次方程组的概念是什么 类比二元一次方程组描述上述方程组的特征.
二元一次方程组概念：含有两个方程，两个方程都含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1.
上述方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含未知数的项的次数都是1,一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
问题3:解方程组
类比二元一次方程组的解法，此题先消去哪个未知数较好呢 用什么方法消去这个未知数
解:把方程组中的方程③代入方程①得，y+5z=20.
把方程③代入方程②得，y+12z=41.
即把三元一次方程组转化为二元一次方程组
解这个方程组，得
把z=3代入③,得x=14.
因此，这个三元一次方程组的解为
解三元一次方程组的基本思路是：消元，常用方法有代入法与加减法.即通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.
【例1】解三元一次方程组
探究：观察方程组，发现方程①与方程②、③不同之处在于方程① ;
方法一：对方程②和③用 消元法消去未知数 .得到一个新方程，把这个新方程与方程①组成一个关于x,z的 .
没有含y的项
加减
y
二元一次方程组
【例1】解三元一次方程组
方法二：把方程①变形为x= ,或z= ，再代入方程②与③,从而消去一个未知数,得到一个二元一次方程组.比较两种方法，哪种方法更加简便
当方程组中某个方程只含二元时，一般地，这个方程缺哪个元，另两个方程就利用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，把这个方程变形后代入另两个方程时不出现分数，那么用代入法求解也一样简捷.
【例2】在等式y=ax +bx+c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.
探究：把三对x,y的值代入等式，会得到什么 a,b,c的值要同时满足这三个方程吗
当我们把a,b,c看做三个未知数，分别把已知的x,y值代入原等式，这样我们就可以得到一个关于a,b,c的三元一次方程组：
在前面问题中我们解三元一次方程组都可以用到的消元法是 消元法，因此，本题一样可以把某个方程变形，然后代入到另外两个方程中去，组成一个二元一次方程组.
如果我们只把本题方程组其中的两个方程相加、减能得到一个二元一次方程组吗 加减消元时要观察未知数的系数，确定消去哪个未知数较为简捷.
代入
观察本题方程组未知数系数特点，发现c的系数都是1,先消去c比较容易.本题方程组只把其中两个方程相加减不能组成二元一次方程组，因此，其中一个方程必须同时与另外两个方程相加减两次.
以上这种列方程组求系数a,b,c的方法，叫作待定系数法.待定系数法是一种数学中常用的方法，简单来说，它就像解谜时用的“占位符”.当我们遇到一个多项式等式，但其中有些系数我们不知道时，我们可以用一个字母(比如a,b,c等)来代替这些未知数的系数，这就是“待定”的意思.将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式.然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，然后通过解方程或解方程组便可求出待定的系数，这种解决问题的方法叫作待定系数法.
【例3】一个三位数，各数位上的数的和为14,百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个3.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数位上的数的小99.求这个三位数.
把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组.
已知方程组的解x,y满足方程5x-y=3,求k的值.
原方程组的解x,y满足方程5x-y=3,说明了以上三个方程可以组成一个 来解决.
三元一次方程组
本节课的主要内容是什么 你有哪些收获
你能说一说“消元”的思想方法在解二元一次方程组中的体现吗
谢谢！

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