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第17章　函数及其图象
17.2　函数的图象
2.函数的图象　
第1课时　函数的图象
1.函数的图象
函数的图象：由平面直角坐标系中的一系列点组成，图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的________________，它的横坐标x表示____________的某一个值，纵坐标y表示与它对应的____________.
注　　意：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线等.
2.画函数的图象
方　　法：描点法.
步　　骤：(1)列表：首先弄清自变量的取值范围，在自变量取值范围内取值.一般地，把自变量x的值放在表的第一行，其值从左到右，从小到大；
(2)描点：把关键点准确地描出，点取得越多，图象就越准确；
(3)连线：按自变量由小到大的顺序，用光滑曲线把所描的点连起来.
类型　用描点法画函数图象
　画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1；
(2)y＝－.
　如图1，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是－3.点P是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离AP用y表示.
图1
(1)填写下表，在平面直角坐标系内画出y关于x的图象(图2)；
图2
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 2 1 　 1 2 　 …
(2)若y＝5，则x的值是____________；
(3)下列说法正确的是________.(填序号)
①变量x是变量y的函数；
②y随x的增大而减小；
③图象经过第一、二、三象限；
④当x＝－3时，y有最小值.
1.下列曲线中不能表示y是x的函数的是 (　　)
2.下列各坐标表示的点中，在函数y＝x3＋1的图象上的是 (　　)
A.(－1，－2) B.(－1，4)
C.(1，2) D.(1，4)
3.画出函数y＝－x－3的图象.
1.(1)画出函数y＝的图象；
(2)从函数图象观察，当x＜0时，y是随x的增大而增大，还是随x的增大而减小？当x＞0时呢？
2.有这样一个问题：探究函数y＝x＋的图象与性质.
下面是小艺的探究过程，请补充完整.
(1)下表是y与x的几组对应值，补全表格，画出该函数的图象.
x … －2 －1 － － 1 2 …
y … 　 －2 － － 2 …
(2)已知点(x1，y1)、(x2，y2)在函数图象上，仔细观察函数图象填空：若1＜x1＜x2，则y1________y2；若－1＜x1＜x2＜0，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
(3)请写出该函数的一条性质.
3.小慧根据学习函数的经验，对函数y＝｜x－1｜的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成.
(1)函数y＝｜x－1｜的自变量x的取值范围是__________________________；
(2)列表，找出y与x的几组对应值.
x … －1 0 1 2 3 …
y … b 1 0 1 2 …
其中，b＝_______；
(3)在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)写出该函数的一条性质.
4.(创新意识)[2024·北京]小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯(记为2号杯)，并将其制作出来.
当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h1(cm)和2号杯的水面高度h2(cm)，部分数据如下表：
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h1/cm 0 　　　 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格(结果保留小数点后一位).
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象.
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为_________cm(结果保留小数点后一位)；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为_________cm(结果保留小数点后一位).
参考答案
【预习导航】
1.一对对应值　自变量　函数值
【归类探究】
【例1】略
【例2】(1)0　3　图略　(2)2或－8　(3)④
【当堂测评】
1.C　2.C　3.略
【分层训练】
1.(1)略
(2)当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而减小.
2.(1)　　－　　　作图略
(2)＜　＞
(3)当x＞1时，y随x的增大而增大.(答案不唯一)
3.(1)任意实数(或全体实数)　(2)2　(3)略
(4)①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x＝1；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④当x＜1时，y随x的增大而减小.(写出一条即可)
4.(1)1.0　(2)略　(3)①1.2　②8.6
。第17章　函数及其图象
17.2　函数的图象
2.函数的图象　
第2课时　函数图象的应用
由图象读取信息
注　　意：从函数图象获取信息，首先要正确画出函数图象，分清楚横轴和纵轴所表示的意义，在此基础上理解图象上各点的具体意义.
方　　法：当函数图象从左到右呈“上升”状态时，函数y随x的增大而增大；当图象从左到右呈“下降”状态时，函数y随x的增大而减小，反之也成立；当x在某个范围内取值时，函数y的值始终是一个常数，那么在这个范围内的函数图象是一条平行于x轴的线段(或直线).
类型之一　对函数图象定性的认识
　[2024·武汉]如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是 (　　)
类型之二　对函数图象定量的研究
　某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h(米)与操控无人机的时间t(分钟)之间的关系如图中的实线所示.根据图象回答下列问题：
(1)图中的自变量是_______________，因变量是_______________；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是_______分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分；
(4)图中a表示的数是_______，b表示的数是________；
(5)图中点A表示_________________________________________.
1.[2022·玉林]龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场.图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程(x表示兔子和乌龟从起点出发所用的时间，y1、y2分别表示兔子与乌龟所走的路程).下列说法错误的是 (　　)
A.兔子和乌龟的比赛路程是500米
B.中途，兔子比乌龟多休息了35分钟
C.兔子比乌龟多走了50米
D.比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点
2.[2024·江西]将常温中的温度计插入一杯60℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为 (　　)
1.[2022·随州]已知张强家、体育场、文具店在同一直线上.如图所示的图象中反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是 (　　)
A.张强从家到体育场用了15min
B.体育场离文具店1.5km
C.张强在文具店停留了20min
D.张强从文具店回家用了35min
2.[2022·临沂]甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y(km)与时间x(h)的对应关系如图所示，下列说法中，不正确的是(　　)
A.甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上
B.A城与B城的距离是300km
C.乙车的平均速度是80km/h
D.甲车比乙车早到B城
3.小明和朱老师一起从相同地点向同一方向跑步锻炼身体，朱老师先跑.当小明出发时，朱老师已经距起点200m了.他们距起点的距离s(m)与小明出发的时间t(s)之间的关系如图所示(不完整).据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是_______，因变量是_______；
(2)朱老师和小明跑步的平均速度分别是__________________；
(3)当小明追上朱老师时，小明距起点的距离是__________.
4.(模型观念)根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30m称为“加速期”，30～80m为“中途期”，80～100m为“冲刺期”.某市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时的速度y(m/s)与路程x(m)之间的观测数据，绘制成如图所示的曲线.
(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
(3)根据图中提供的信息，给小斌提一条训练建议.
参考答案
【归类探究】
【例1】D
【例2】(1)时间(或t)　高度(或h)　(2)5
(3)25　(4)2　15　(5)在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米
【当堂测评】
1.C　2.C
【分层训练】
1.B　2.D
3.(1)t　s　(2)2m/s，6m/s　(3)300m
4.(1)y是关于x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应.
(2)“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s.
(3)答案不唯一.例如，根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩.
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