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第18章　平行四边形
18.1　平行四边形的性质
第4课时　平行四边形的性质定理的综合
平行四边形的性质定理
定　　义：平行四边形的对边　　　　.
定　　理1：平行四边形的对边　　　　.
定　　理2：平行四边形的对角　　　　.
定　　理3：平行四边形的对角线　　　　　　.
推　　论：两条平行线之间的距离处处　　　　.
类型　平行四边形的性质定理的综合[
　[2024春·达川期末]如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连结EF交BD于点O，延长EF交AD的延长线于点G.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若BD⊥AD，∠BEG＝90°，∠A＝45°，FG＝，求AD的长.
　如图，在 ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连结AE、BF.求证：AE＝BF.
1.如图，在 ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于点E，则∠DAE的度数为　　　　　.
第1题图
2.如图，在 ABCD中，AB＝5，BD＝12，∠ABD＝90°，对角线AC与BD相交于点O，E为AD上一点，连结EO.若△EDO的周长比四边形ABOE的周长大3，则ED的长为　.
第2题图
3.[2024·重庆模拟]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E.若AE＝2，DE＝1，AB＝，则AC的长为　　　.
1.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，求BD的长.
2.[2024春·泸县期末]如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝2AB＝10，点M为OD的中点，若CM＝4，则AD的长为 (　　)
A. B.9 C. D.10
3.[2022春·青羊区期末]如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，连结BE并延长，交AD的延长线于点F，且AB＝AF.
(1)求证：D是AF的中点；
(2)若AE＝4，BE＝2，求BC的长.
4.(推理能力)如图，在 ABCD中，分别以边BC、CD为腰作△BCF、△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连结AF、AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
(2)若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.
参考答案
【预习导航】
平行　相等　相等　互相平分　相等
【归类探究】
【例1】(1)略　(2)AD＝4
【例2】略
【当堂测评】
1.20°　2.　3.2
【分层训练】
1.(1)略　(2)BD＝6　2.C
3.(1)略　(2)BC＝　4.略
。第18章　平行四边形
18.1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形的性质定理1、2的综合
平行四边形的性质定理
定　　义：平行四边形的对边　　　　.
定　　理1：平行四边形的对边　　　　.
定　　理2：平行四边形的对角　　　　.
推　　论：两条平行线之间的距离处处　　　　.
类型　平行四边形的性质定理1、2的综合运用
　[2024·新疆]如图，已知 ABCD.
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作∠A的平分线交CD于点E；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，求证：△ADE是等腰三角形.
　如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA＝DE.
1.如图，在 ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是 (　　)
第1题图
A.16° B.22° C.32° D.68°
2.如图，在 ABCD中，连结AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(　　)
第2题图
A. B.2 C. D.4
3.如图，在 ABCD中，AB＝10 cm，边AB上的高DH＝4 cm，BC＝6 cm，DF为边BC上的高，则DF的长为　cm.
第3题图
4.如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的度数是　　　　　　.
第4题图
1.[2022·内江]如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交边CD于点M，则DM的长为　　　.
第1题图
2.如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是　　　.
第2题图
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)∠APB＝　　　　°；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长.
4.[2023·宜兴市一模]如图，在 ABCD中，E是边BC上一点，连结AE、AC、ED，AC与ED相交于点O，AE＝AB.求证：
(1)AC＝DE；
(2)OE＝OC.
5.(推理能力)如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点F，∠ADC的平分线交AB于点E，连结BD.
(1)求证：DE＝BF；
(2)若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长.
参考答案
【预习导航】
平行　相等　相等　相等
【归类探究】
【例1】(1)作图略　(2)略
【例2】略
【当堂测评】
1.C　2.C　3.　4.119°
【分层训练】
1.4　2.2　3.(1)90　(2)24cm　4.略
5.(1)略　(2)BD＝
。第18章　平行四边形
18.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形的性质定理1、2
1.平行四边形的概念
定　　义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
表示方法：如图，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
易错点：不能误认为一组对边平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的性质定理1、2
性质定理1：平行四边形的对边　　　　.
性质定理2：平行四边形的对角　　　　.
注　　意：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
3.两条平行线之间的距离
定　　义：两条直线平行，其中一条直线上的　　　　　　到另一条　　　　　　　，叫做这两条平行线之间的距离.
性　　质：两条平行线之间的距离　　　　　　.
注　　意：距离是指垂线段的长度.
类型之一　平行四边形性质的证明
　如图，已知四边形ABCD是平行四边形.求证： ABCD的对边相等，对角相等.
类型之二　平行四边形性质的应用
　如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF.求证：
(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
1.在 ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C的度数是　　　　　.
2.已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是　　　　　　　　　.
3.在 ABCD中，若AB＝2x＋1，BC＝3x，CD＝x＋4，则 ABCD的周长是　　　　.
1.[2022·泸州]如图，E、F分别是 ABCD的边AB、CD上的点，AE＝CF.求证：DE＝BF.
2.[2024·吉林]如图，在 ABCD中，点O是AB的中点，连结CO并延长，交DA的延长线于点E.求证：AE＝BC.
3.如图，在 ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF.连结EF，分别与BC、AD交于点G、H.求证：EG＝FH.
4.(推理能力)如图，在 ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E、F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE＝DF.
参考答案
【预习导航】
2.相等　相等
3.任意一点　直线的距离　处处相等
【归类探究】
【例1】略
【例2】略
【当堂测评】
1.36°　2.8cm或2cm　3.32
【分层训练】
1.略　2.略　3.略
4.(1)∠ABC＝60°　(2)略
。第18章　平行四边形
18.1　平行四边形的性质
第3课时　平行四边形的性质定理3
平行四边形的性质定理3
性质定理3：平行四边形的对角线　　　　　　.
说　　明：(1)互相平分指两线段有公共的中点；
(2)如果一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积.
方法技巧：(1)利用对角线互相平分可以解决有关中点或线段相等的问题；
(2)平行四边形的性质常与平行线、三角形、面积等有关知识综合在一起进行论证和计算.
类型之一　平行四边形的对角线互相平分
　如图， ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为36，CD的长为7，求△OCD的周长.
类型之二　平行四边形的性质与勾股定理的综合
　如图，在 ABCD中，BD⊥AB，AB＝12 cm，AC＝26 cm，求AD、BD、BC及CD的长.
1.[2024·贵州]如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 (　　)
第1题图
A.AB＝BC B.AD＝BC
C.OA＝OB D.AC⊥BD
2.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为 (　　)
第2题图
A.13 B.17 C.20 D.26
3.如图，在 ABCD中，AB＝8，BC＝10，则△AOB的周长比△BOC的周长少　　　.
第3题图
4.如图， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么 ABCD的周长是　　　　.
第4题图
1.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论正确的是(　　)
A.＝4S△AOB
B.AC＝BD
C. ABCD是轴对称图形
D.AC⊥BD
2.[2024春·巴中期末]在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AB的取值范围是 (　　)
A.1＜AB＜7 B.2＜AB＜14
C.6＜AB＜8 D.3＜AB＜4
3.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，分别过点A、C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E、F，AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，则∠ACB＝　　　　°；
(2)求证：AE＝CF.
4.(创新意识)【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容.
平行四边形的性质定理3　平行四边形的对角线互相平分. 我们可以用演绎推理证明这个结论. 已知：如图1， ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. 图1 观察图形，OA与OC、OB与OD分别属于哪两个三角形？
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程.
【性质应用】如图2，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，EF过点O且与边AD、BC分别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
图2
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连结AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是13，则 ABCD的周长是　　　　.
参考答案
【预习导航】
互相平分
【归类探究】
【例1】25
【例2】AD＝BC＝ cm，BD＝10 cm，CD＝12 cm.
【当堂测评】
1.B　2.B　3.2　4.16
【分层训练】
1.A　2.A
3.(1)40　(2)略
4.【教材呈现】略　【性质应用】略　【拓展提升】26
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