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2025年中考数学高分冲刺压轴专题
第六讲 “将军饮马”求线段最值问题专题
【知识梳理】
【题型一——将军饮马问题】
常见的题型有：
问题1. 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能
使得路程最短？
作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P
【题型二——将军造桥问题】
问题1.已知：将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？(将军过桥)
作法：考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
问题2.已知：A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？(将军遛马）
作法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
【题型三——遛马饮水问题】
问题1.如图，将军在图中的点P处，已知将军需要先带马儿去OM的河边喝水，再去ON的草坪吃草，求最短路径。即：已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小．
作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，OM的交点就是点Q，R．
问题2.已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q ON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．
问题3.已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连结P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．
【解题思路】
关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
【实战精典】
【实训1】如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ．
【实训2】如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ．
【实训3】已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．

【实训4】如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ．
【实训5】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
【实训6】如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ．
【实训7】如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是 ．
【实训8】如图，在矩形中，，，点G在边上，P为边上动点，线段垂直平分交于E，且．现给出以下四个结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确有 （写出所有正确结论的序号）．
【实训9】如图，在矩形中，．为中点，是线段（不含端点）上的动点，连结．设交于点为中点，连结．在下列结论中：①为的垂直平分线；②四点可能共圆；③周长的最小值为；④若为中点，则为等边三角形．正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【实训10】如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150 ，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是( )
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
【实训11】如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为　　．
【实训12】如图,点A(a,3)，B(b,1)都在双曲线上,点C,D分别是x轴,y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为　 　．
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第六讲 “将军饮马”求线段最值问题专题
【知识梳理】
【题型一——将军饮马问题】
常见的题型有：
问题1. 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能
使得路程最短？
作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P
【题型二——将军造桥问题】
问题1.已知：将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？(将军过桥)
作法：考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
问题2.已知：A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？(将军遛马）
作法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
【题型三——遛马饮水问题】
问题1.如图，将军在图中的点P处，已知将军需要先带马儿去OM的河边喝水，再去ON的草坪吃草，求最短路径。即：已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小．
作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，OM的交点就是点Q，R．
问题2.已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q ON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．
问题3.已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连结P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．
【解题思路】
关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
【实战精典】
【实训1】如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，，，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，
∴，，，
∴，即是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
则在中，，
∴，
∴，
∵在中，，又
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称，
∴连接，则，
∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键．
【实训2】如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于的对称点，过作交于点P，则的最小值为求出即可．
【详解】解：如图：作点B关于的对称点，过作交于点P， 连接，
由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形，
∴，
，当点、P、E共线，且时取等号，
的最小值为，
，，
，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
【实训3】已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．

【答案】/
【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称性质是关键．作点D关于的对称点，连接，，，，利用轴对称性质得到，则的周长，当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形得到，，利用三角形的外角性质推导出，然后利用勾股定理求得即可求解．
【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，

∴，，，
∵点为边的中点，，
∴，
∴的周长，
当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，则，
在中，，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
【实训4】如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解．
【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点，
，，，
如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、，
则，，，
，
当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，
过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
的最小值为，
的最小值为，即，
故答案为：．
【实训5】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，作点关于的对称点，连接，，则，，推出的值最小为的值，且，再求出的长，结合直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，
，
则，，
∴，
∴的值最小为的值，且，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【实训6】如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，可得由对称得：，，，轴，周长为，当点共线时，周长取得最小值为，再由两点之间距离公式即可求解．
【详解】解：如图，作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，
∵直线的解析式为，
∴，当，
解得：，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由对称得：，，
∴，轴，
∴周长为，
∴当点共线时，周长取得最小值为，
而
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，两点之间线段最短，轴对称的性质，两点之间距离公式等．
【实训7】如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查轴对称最短路径的计算，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意，如图，连接，则就是的最小值，在中，运用勾股定理即可求解．
【详解】解：已知，
∴是等腰直角三角形，
∵点是中点，
∴，
∴点关于的对称点为点，
如图，连接，当点三点共线时，就是的最小值，
∵在中，，点分别是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【实训8】如图，在矩形中，，，点G在边上，P为边上动点，线段垂直平分交于E，且．现给出以下四个结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确有 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了三角形全等、勾股定理的应用．
连接，可得是等腰直角三角形，进而证明即可判定①②正确；根据将军饮马模型构造对称由勾股定理可得的最小值为．
【详解】解：连接，
∵线段垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，即：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵与不平行，
∴，故③错误；
取点G关于的对称点，连接交于，则点是所求最小值的点，的最小值为；
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为，故④正确．
综上所述：正确结论有①②④．
故答案为①②④．
【实训9】如图，在矩形中，．为中点，是线段（不含端点）上的动点，连结．设交于点为中点，连结．在下列结论中：①为的垂直平分线；②四点可能共圆；③周长的最小值为；④若为中点，则为等边三角形．正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③
【分析】本题主要考查了直角三角形性质和将军饮马问题，
证明，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，结合，由垂直平分线的判定即可判定①正确，根据，，即可判定四点不共圆；即②错误；根据将军饮马模型作点关于的对称点，连接，的周长，当N、F、D三点共线时，的周长最小，最小值为即可得出③正确，由为等边三角形反推F点不是中点，即可判定④错误．
【详解】解：∵在矩形中，．为中点，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴为的垂直平分线；故①正确，
∵，，
∴四点不可能共圆；故②错误；
作点关于的对称点N，连接，
∴，，
∴的周长，
∴当N、F、D三点共线时，的周长最小，最小值为ND，
，
∴周长的最小值为；故③正确；
在上取一点Q，使，连接，如图，
若为等边三角形．则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴
∴，即，点F不是中点，故④错误，
综上所述：正确结论是①③，
故答案为①③．
【实训10】如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150 ，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是( )
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
【答案】D
【解析】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，
∵∠B＋∠C＝150 ，
∴∠BEC＝30 ，
∴∠BEF＝60 ，
∴△BEF是等边三角形，
连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，则BP＋QP＝FP＋PQ，
当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，
∵DA⊥AB.DA＝6，∴AE ＝，
∴Rt△QEF中，FQ＝AE＝18，
∴BP＋PQ最小值值为18，
故选D.
【实训11】如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为　　．
【答案】15
【解析】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．
∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB10，
∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′HAH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，
∴AM+MN的最小值为15．
故答案为15．
【实训12】如图,点A(a,3)，B(b,1)都在双曲线上,点C,D分别是x轴,y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为　 　．
【答案】
【解析】解：分别把A(a,3)，B(b,1)代入中，得：a=1，b=3，
则点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1）
作点A关于y轴的对称点A′，过点B作x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴，y轴分别交于C、D两点，此时四边形ABCD的周长最小
∴点A′(-1,3)，点B′（3，-1）
∴四边形ABCD的周长=AD+DC+CB+BA
=D A′+DC+C B′+AB
= A′B′+AB
=+
=+
=
故答案为：
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