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课时精练38　平面向量的综合问题
(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共6分.
一、基础巩固
1.“存在实数λ,使得b=λa”是“a与b共线”的 (　　)
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
2.(多选)设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论中错误的是 (　　)
a0=b0 a0·b0=1
|a0|+|b0|=2 |a0+b0|=2
3.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于 (　　)
4.已知平面内一点P及△ABC,若,则点P与△ABC的位置关系是 (　　)
点P在线段AB上
点P在线段BC上
点P在线段AC上
点P在△ABC外部
5.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且=0,则△ABC的内角A等于 (　　)
30° 60°
90° 120°
6.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,,,,则四边形ABCD的形状为　　　　.
7.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,||2=4,||,则||=　　　　.
8.在△ABC中,点M,N满足,,则x=　　　　;y=　　　　.
9.(14分)在△ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.
10.(15分)已知平行四边形ABCD中,,,.
(1)用,;
(2)若||=6,|,∠BAD=45°,如图建立直角坐标系,求的坐标.
二、综合运用
11.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为 (　　)
m=
m≠
12.已知A(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段AB交于点C,且,则实数a=　　　　.
13.(15分)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=8,BC=CD=4,点P在线段AD上运动.求||的取值范围.
三、创新拓展
14.已知△ABC的三个顶点都在圆O上,,且||=10,则圆O的面积为　　　　.
课时精练38　平面向量的综合问题
1.A　[若b=λa,则a与b一定共线;但只有a≠0时,若a与b共线,才有b=λa成立.]
2.ABD　[因为是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1.C正确.A、B、D错误.]
3.A　[,
.]
4.C　[由,即,
所以点P在线段AC上.]
5.B　[由=0,
知点O为△ABC的重心,
又∵O为△ABC外接圆的圆心,
∴△ABC为等边三角形,A=60°.]
6.平行四边形　[由,所以.所以四边形ABCD为平行四边形.]
7.1　[由||可知,
,则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,
因此||=1.]
8.　[==()=,
∴x=,y=-.]
9.解　()=a+b.
()=()
==a+b.
10.解　(1),
,又,所以=2(),
所以.
(2)过点D作AB的垂线交AB于点D',如图所示,
在Rt△ADD'中,由∠BAD=45°可知,AD'=3,
根据题意得各点坐标为A(0,0),B(6,0),
D(3,3),F(7,1),=(6,0)+(3,3)=,
所以G,
所以,=(4,-2).
11.B　[若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,即不共线,
因为=(3,1),
=(2-m,1-m),
所以3(1-m)≠2-m,即m≠,故选B.]
12.2　[设C(x,y),
则=(x-7,y-1),=(1-x,4-y),
∵,∴
解得
∴C(3,3).又∵C在直线y=ax上,
∴3=a·3,∴a=2.]
13.解　以点A为原点,AB所在的直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(8,0),D(2,2),
设(λ∈[0,1]),
易知点P的坐标为(2λ,2λ),
则=(-2λ,-2λ)+(8-2λ,-2λ)
=(8-4λ,-4λ),
则|=8,
又∵λ∈[0,1],
∴||max=8,|,
∴||∈[4,8].
14.25π　[设BC的中点为D,因为()=,
所以点O与点D重合,即△ABC的外接圆的圆心是边BC的中点,因此△ABC是以BC为斜边的直角三角形,因为||=10,所以OA=OB=OC=|=5,
故圆O的面积为π·52=25π.]习题课　平面向量的综合问题
课标要求　会利用向量的有关知识去解决向量夹角、模、向量共线、垂直.求参数值等平面向量的综合问题.
一、共线向量基本定理的应用
例1 如图所示,在△ABO中,,,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
2.对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点O,,不共线,满足(x,y∈R),则P,A,B共线 x+y=1.
训练1 如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于K,其中,,,,则λ的值为 (　　)
A.
二、平面向量基本定理的应用
例2 (1)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若,则λ+μ等于 (　　)
A.
(2)如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若,则实数m的值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
训练2 (1)在平行四边形ABCD中,=e1,=e2,,,则=　　　　.(用e1,e2表示)
(2)如图,已知=a,=b,,用a,b表示,则=　　　　　　.
三、最值与范围问题
例3 在△ABC中,D为AC上的一点,满足.若P为BD上的一点,满足(m>0,n>0),则mn的最大值为_________________;的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
训练3 已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则||的最小值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、向量在三角形中的应用
例4 已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足+λ(),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 (　　)
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移 (变条件、变问法)在本例中,若动点P满足,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的　　　　.
思维升华　解决向量与平面几何综合问题,可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系,然后通过向量运算研究几何元素之间的关系.
训练4 (多选)已知P为△ABC所在平面内一点,=0,||=2,则 (　　)
A.△ABC是直角三角形
B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC的面积为2
D.△ABC的面积为
【课堂达标】
1.设D为△ABC所在平面内一点,,则 (　　)
A.
B.
C.
D.
2.(多选)已知等边三角形ABC内接于☉O,E为边BC的中点,D为线段OA的中点,则= (　　)
A.
C.
3.在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线交BC于点D,若AB=4,且(λ∈R),则AD的长为　　　　.
4.在△ABC中,=c,=b,若点D满足,试用b和c表示,则等于　　　　.
习题课　平面向量的综合问题
例1　解　设,,
∴=a+λ=a+λ
=(1-λ)a+b, ①
=b+μ=b+μa+(1-μ)b, ②
由①②得
∴a+b.
训练1　A　[∵,,
∴,.
由向量加法的平行四边形法则可知,
,
∴=λ()
=λ,
由E,F,K三点共线,可得λ=.]
例2　(1)D　(2)　[(1)因为+()=2,
所以,
所以λ+μ=.
(2)设,k∈R.
因为
=+k()=+k()
=(1-k),
且,
所以1-k=m,,
解得k=,m=.]
训练2　(1)-e1+e2　(2)a+b　[(1)如图,
()=-e2+(e2-e1)=-e1+e2.
(2)
=()==a+b.]
例3　　16　[由已知=(m-1),又,
所以+(-n),
因为B,P,D三点共线,,不共线,
所以存在λ,使得,
即
得m+4n=1,
又m>0,n>0,
所以1=m+4n≥2,
当m=4n即m=,n=时,取等号,
解得mn≤,
=(m+4n)=16,
当m=4n即m=,n=时,取等号,
即mn的最大值为,的最小值为16.]
训练3　5　[以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x(0≤x≤a),
∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),
=(2,-x),=(1,a-x),
∴=(5,3a-4x),||2=25+(3a-4x)2≥25,
当x=时取等号.
∴||的最小值为5.]
例4　C　[由原等式,得=λ(),
即=λ(),
根据平行四边形法则,知是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.]
迁移　内心　[由条件,得,即,
而,的单位向量,故平分∠BAC,
即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.]
训练4　AC　[由||得,△PBC是等腰三角形,取BC的中点D,连接PD,则PD⊥BC,
又=0,
所以=-()=-2,
所以PD=AB=1,且PD∥AB,
故AB⊥BC,即△ABC是直角三角形,
由||=2,|,
则|,
所以△ABC的面积为.]
课堂达标
1.A　[∵,
∴=3(),
即4,
∴.]
2.AC　[如图所示,()=.故选AC.]
3.3　[因为B,D,C三点共线,所以+λ=1,解得λ=,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则,,经计算得AN=AM=3,AD=3.]
4.b+c　[∵,
∴=2(),
∴3,
∴b+c.](共49张PPT)
第六章
习题课　平面向量的综合问题
课标要求
会利用向量的有关知识去解决向量夹角、模、向量共线、垂直.求参数值等平面向量的综合问题.
课时精练
一、共线向量基本定理的应用
二、平面向量基本定理的应用
三、最值与范围问题
课堂达标
内容索引
四、向量在三角形中的应用
共线向量基本定理的应用
一
例1
思维升华
训练1
√
平面向量基本定理的应用
二
例2
√
思维升华
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
训练2
最值与范围问题
三
例3
16
思维升华
1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
2.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
训练3
5
以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x(0≤x≤a)，
向量在三角形中的应用
四
例4
√
迁移
内心
思维升华
解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系.
训练4
√
√
【课堂达标】
√
√
√
【课时精练】
√
1.“存在实数λ，使得b＝λa”是“a与b共线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
若b＝λa，则a与b一定共线；但只有a≠0时，若a与b共线，才有b＝λa成立.
√
2.(多选)设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中错误的是
A.a0＝b0 B.a0·b0＝1
C.|a0|＋|b0|＝2 D.|a0＋b0|＝2
因为是单位向量，所以|a0|＝1，|b0|＝1.C正确.A、B、D错误.
√
√
√
√
√
平行四边形
1
√
2
以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，
25π

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