资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
3.2.2 双曲线的几何性质--2024-2025学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第一册课时作业
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．过点的等轴双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
2．双曲线与椭圆的焦点相同，则( )
A.1 B.-2 C.1或-2 D.2
3．双曲线（，）的焦距是4，其渐近线与圆相切，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4．如果双曲线的两条渐近线的方程是，焦点是和，那么它的两条准线之间的距离是( )
A. B. C. D.
5．“双曲线C的离心率为”是“双曲线C为等轴双曲线”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
6．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为( )
A. B. C. D.
7．已知双曲线C：的实轴长为4，虚轴长为8，则C的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
8．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为( )
A. B.9 C. D.3
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则( )
A.
B.双曲线的离心率
C.双曲线的渐近线方程为
D.原点O在以为圆心，为半径的圆上
10．已知双曲线，则( )
A.双曲线C的离心率为 B.双曲线C的虚轴长为
C.双曲线C的焦点坐标为 D.双曲线C的渐近线方程为
11．关于双曲线有下列四个说法，正确的是( )
A.P为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，若，此时
B.与双曲线有相同的离心率
C.与椭圆有相同的焦距
D.过右焦点的弦长最小值为4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
13．双曲线C：的右准线l：，l与C的渐近线的一个交点为，则C的方程为______.
14．过双曲线的左顶点，且与直线平行的直线方程为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知直线与双曲线，无公共点，求双曲线的离心率e的取值范围.
16．设A，B为双曲线（，）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形.
（1）求双曲线C的离心率；
（2）已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上的动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围.
17．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为.
（1）求C的标准方程；
（2）过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求AB的长.
18．（1）已知某椭圆过点，，求该椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程.
19．求圆锥曲线的离心率.
参考答案
1．答案：A
解析：设双曲线的方程为，
代入点，得，
故所求双曲线的方程为，
其标准方程为.
故选：A.
2．答案：A
解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点在x轴上，
依题意得解得.故选A.
3．答案：D
解析：由题意可得，得.
因为双曲线（，）的渐近线与圆相切，所以，得，又，解得，，所以双曲线的方程为，故选D.
4．答案：A
解析：由焦点坐标在x轴上，可设双曲线方程为，
则渐近线方程为，所以，
又，解得：，，
故准线方程为，
所以两条准线之间的距离为.
故选：A.
5．答案：C
解析：若双曲线C为等轴双曲线，则，
，
若双曲线C的离心率为，则，
所以，即，双曲线C为等轴双曲线，
所以“双曲线C的离心率为”是“双曲线C为等轴双曲线”的充要条件.
故选：C.
6．答案：A
解析：因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，
故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为.
故选：A.
7．答案：B
解析：由双曲线的实轴长为4，虚轴长为8，
可知，，解得，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
8．答案：A
解析：的渐近线方程满足，所以渐近线与平行，所以渐近线方程为，故.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：设，则.
由双曲线的定义知，即，，即，，，故A中说法正确；
在中，，
则在中，，化简并整理，得，离心率，故B中说法正确；
双曲线的渐近线方程为，故C中说法正确；
若原点O在以为圆心，为半径的圆上，则，即，与不符，故D中说法错误.
故选ABC.
10．答案：ACD
解析：由双曲线的方程，得，，
则，所以离心率为，A正确；
虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；
渐近线方程为，D正确.
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：由，得，，则，所以，，，
对于A，由于P为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，，则，得，，则由余弦定理得，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为的离心率为，双曲线的离心率为，所以两双曲线的离心率不相同，所以B错误，
对于C，双曲线的焦距为，椭圆的焦距为，所以C正确，
对于D，双曲线的右焦点为，当时，，得，此时通径为4，当过右焦点的直线过双曲线的左右两个顶点时，所得的弦长为，因为，所以过右焦点的弦长最小值为2，所以D错误，
故选：AC.
12．答案：
解析：由题知，则，当且仅当，即时取等号.又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，所以.
13．答案：
解析：的渐近线为，当时，，
所以，又准线方程为，
解得，，所以C的方程为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由双曲线方程知：其左顶点为，
根据直线平行关系知：所求直线的斜率为2，
所以所求直线为，则.
故答案为：.
15．答案：
解析：双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与双曲线无公共点，所以，即，
所以，又，所以.
所以离心率的取值范围为.
16．答案：（1）2
（2）或
解析：（1）易知右焦点，将代入，得，
当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形，
此时，即，整理得，
因为，所以，
方程两边同除以得，解得或（舍去），
所以双曲线C的离心率为2.
（2）因为，所以，
因为，所以，故，
所以双曲线的方程为.
当直线l的斜率存在时，设其方程为，
与双曲线方程联立，消y得，
设，，
则，，
则
，
因为直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，
所以，，解得，
直线，则，同理可求得，
所以，，
因为为锐角，所以，
即，所以，
所以，即，解得或.
当直线l的斜率不存在时，将代入双曲线方程可得，
此时不妨设，，
此时直线，点P的坐标为，同理可得，
所以，，
因为为锐角，所以，解得或.
综上所述，t的取值范围为或.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可设C的标准方程为（，），
则，，结合，解得，，
故C的标准方程为.
（2）由（1）知C的右顶点为，可设直线l的方程为.
联立消去y可得，解得或.
则两个交点的坐标分别为，.
故.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆方程为，
则有，解得，，
椭圆方程为；
（2）所求双曲线与双曲线有共同的渐近线，
设双曲线的方程为，
曲线经过点，，
解得，
所求双曲线的方程为.
19．答案：2
解析：原式配方得，即，该双曲线中，，则，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑