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第十一章 不等式与不等式组 专项复习3
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
通过综合强化练习，更深入地理解方程（组）和不等式（组）的概念、性质等基础知识，在解方程组时，对消元法、代入法的运用会更加熟练，在解不等式（组）时，对不等号方向的变化规则理解得更加透彻，有助于构建更完整的知识体系，能够提高数学素养和解题能力.
1. 若关于 x，y 的二元一次方程组 x-y＝m-5，
x+y＝3m+3 中，x 的值为负数，y 的值为正数，求 m 的取值范围．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
解： x-y＝m-5①，
x+y＝3m+3②，①+②得 2x=4m-2，解得 x=2m-1，
②-①得 2y=2m+8，解得 y=m+4.∵x 的值为负数，y 的值为正数，
∴ 2m-1＜0，
m+4＞0， ∴-4＜m＜ ．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
2. 易错题 若关于 x，y 的二元一次方程组 3x-y=2m-1，
4x+2y=m 的解都是正数，求 m 的取值范围．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
解： 3x-y＝2m-1①，
4x+2y＝m②， ①×2+②得 10x=5m-2，即 x= ，将 x=
代入①得 y= ，根据题意得 5m-2＞0，
4-5m＞0，解得 ＜m＜．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
3. 已知 x=5， x=-3，
y=6 与 y=-10 都是方程 y=kx+b 的解.
（1）求 k，b 的值；
（2）若 y 的值不大于 0，求 x 的取值范围；
（3）若 -1≤x＜2，求 y 的取值范围．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
解 ：（1）把 x＝5 ，与 x ＝ - 3 ，
y＝6 y ＝ - 10 代入 y=kx+b，得 5k+b＝6，
-3k+b＝-10，
解得 k＝2，
b＝-4；
（2）由（1）得 y=2x-4，∵y≤0，∴2x-4≤0，解得 x≤2；
（3）∵-1≤x＜2，∴-2≤2x＜4，∴-6≤2x-4＜0，即-6≤y＜0．
4. 已知关于 x，y 的方程组 x-y=a+3，
2x+y=5a 的解满足 x＞y＞0．
（1）求 a 的取值范围；
（2）化简 - ．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
解：（1）解方程组得 x＝2a+1，
y＝a-2.∵x＞y＞0，
∴ 2a+1＞a-2，
a-2＞0， 解得 a＞2；
（2）∵a＞2，∴2-a＜0，∴ - =a-（a-2）=2．
5. 较难题 如果关于 x 的方程 = 的解也是不等式组
x-2,
2(x-3)≤x-8 中的一个解，求 m 的取值范围．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
解：方程去分母，去括号得 2x+4=3m，解得 x= （3m-4），解不等式组得 x≤-2，故 （3m-4）≤-2，解得 m≤0．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
6. 应用意识 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为 3 m2 和 1 m2．已知新建 1 个地上充电桩和 2 个地下充电桩需要0.8 万元；新建 2 个地上充电桩和 1 个地下充电桩需要 0.7 万元．
（1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
（2）若该小区计划用不超过 16.3 万元的资金新建 60 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于 40 个，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
（3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过 a m2，在（2）的前提下，若仅有两种方案可供选择，直接写出 a 的取值范围．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
解：96≤a＜98
解：（1）设新建一个地上充电桩需要 x 万元，新建一个地下充电桩需要 y
万元，依题意得 x+2y=0.8，解得 x=0.2，
2x+y=0.7， y=0.3.
答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 0.2 万元和 0.3 万元；
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
（2）设新建 m 个地上充电桩，则新建地下充电桩（60-m）个，由题意，得 0.2m+0.3（60-m）≤16.3，
60-m≥40，解得 17≤m≤20，∴ 整数 m 的值为 17，18，19，20．
一共有 4 种方案，方案①：新建 17 个地上充电桩，43 个地下充电桩；
方案②：新建 18 个地上充电桩，42 个地下充电桩；
方案③：新建 19 个地上充电桩，41 个地下充电桩；
方案④新建 20 个地上充电桩，40 个地下充电桩；
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
7. 类比推理 小明在参加课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式 ＞3 的解集．
小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出 x 恰好是 3 时 x 的值，并在数轴上表示为点 A，B，如图所示．观察数轴发现，以点 A，B 为分界点把数轴分为三部分：点 A 左边的点表示的数的绝对值大于 3；点 A，B 之间的点（不包括点 A，B）表示的数的绝对值小于 3；点 B 右边的点表示的数的绝对值大于 3．因此，小明得出结论：绝对值不等式 ＞3 的解集为 x＜-3 或 x＞3．参照小明的思路，解决下列问题：
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
（1） ＞4 的解集是 _______________；
（2）求绝对值不等式 2+4＜6 的解集；
（3）如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于 x 的不等式组
x＜2x-m，
x-3≤m 的解，求 m 的取值范围．
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
x＜-4 或 x＞4
专项 方程（组）与不等式（组）的综合强化练
解：（2）由 2 +4＜6 可得 ＜1，令 =1，解得 x= 或 x= ，∴ 绝对值不等式 2 +4＜6 的解集是 ＜x＜ ；
（3）解不等式组 x＜2x-m，
x-3≤m 可得 m＜x≤m+3，∵ 绝对值不等式 2 +4＜6 的整数解为 3，4，∴ m＜3，
m+3≥4，解得 1≤m＜3．(共41张PPT)
11.3 一元一次不等式组复习课件
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示出不等式组的解集.
1. 练习变式 教材 P140，T1 改编 下列不等式组中，是一元一次不等式组的是 （ ）
■考点1 一元一次不等式组
C
2. 例题变式 教材 P139，例 1 改编 不等式组 1-x≤0，
3x-6＜0 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
D
■考点 2 一元一次不等式组的解集及其表示
3. 例题变式 教材 P139，例 1 改编 一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为 （ ）
Ｃ
4. 习题变式 教材 P141，T2 改编 若不等式组 x3，的解集是 x＞3，
xm
则 m 的取值范围是 ______.
ｍ≤３
5. 习题变式 教材 P141，T1 改编 在数轴上表示下列不等式组的解集：
（1）0＜x≤2； （2）x≤3 且 x≠0．
解：（1）如图；
（2）如图.
6. 练习高仿 教材 P140，T1（1）改编 不等式组 x+1＞0①，
4-x≥0②的解集是 （ ）
A． -1≤x≤4 B． x＜-1 或 x≥4
C． -1＜x＜4 D． -1＜x≤4
■考点 3 解一元一次不等式组
D
7. 练习衍生 教材 P140，T1 改编 若不等式组 2x-1＜3①，
x＜a② 的解集是 x＜2，则 a 的取值范围是（ ）
A． a＜2 B． a≤2
C． a≥2 D． 无法确定
C
8. 练习衍生 教材 P140，T1 改编 解不等式组 x-1≥0，
x-1＜x，并把解集在数轴上表示出来．
解： x-1≥0①，
ｘ-１＜ x② ，解不等式①，得 x≥1，解不等式②，得 x＜4，则不等式组的解集为 1≤x＜4，在数轴上表示为
9. 解不等式组 4x＞2x-6，
≤ ，并把解集在所给的数轴上表示出来．
易错归纳
■易错点 在数轴上表示解集时，弄反方向
解： 4x＞2x-6①，
≤ ②，解不等式①，得 x＞-3，解不等式②，得 x≤2，所以不等式组的解集为-3＜x≤2.在数轴上表示不等式组的解集为
10. 下列不等式组：① x-2，② x0， ③ x2+1x，
x3； x+24； x2+24；
④ x+30，⑤ x+10，
x-7； y-10.其中是一元一次不等式组的有 （ ）
A． 2 个 B． 3 个
C． 4 个 D． 5 个
Ｂ
11. 不等式组 x≤-1，
x＞2 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
Ｂ
12. 数形结合思想 若关于 x 的不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是 （ ）
A． x≤2
B． x＞1
C． 1≤x＜2
D． 1＜x≤2
D
13. 不等式组 2x+1≤5，
x+2＞1 的解集是 （ ）
A． -1＜x＜2
B． 1＜x≤2
C． -1＜x≤2
D． -1＜x≤3
C
14. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是 （ ）
A. x+1≥0， B. x+1≤0，
2-x≥0 2-x≥0
C. x+1≤0， D. x+1≥0，
x-2≥0 x-2≥0
A
15. 易错题 若不等式组 x≤m，
x＞3 无解，则 m 的取值范围是 （ ）
A． m＞3 B． m＜3
C． m≥3 D． m≤3
D
16. 不等式组 x-1＞3，
2-2x＜4 的解集是 （ ）
A． x＞4
B． x＞-1
C． -1＜x＜4
D． x＜-1
A
17. 不等式组 2x+6＞0，
2-x≥0 的解集在数轴上表示为（ ）
C
18. 若关于 x 的不等式组 2（x-1）＞2，
a-x＜0的解集是 x＞a，则 a 的取值范围是 （ ）
A． a＜2 B． a≤2
C． a＞2 D． a≥2
D
19. 不等式组 ≤-1，
-x+7＞4 的解集是 ______．
x≤-2
20. 不等式组 -x＜2，
2x+1＜3 的解集为 ____________.
-2＜x＜1
21. 不等式组 3x-1＜2，
x+3≥1 的解集是 __________.
-2≤x<1
22. 方程思想 关于 x 的不等式组 2x+1＞3，
a-x＞1 的解集为 1＜x＜3，则 a 的值为 _______.
4
23. 不等式 ＞x-1 和 x+3（x-1）＜1 的解集的公共部分是 ___________.
ｘ＜１
24. 若关于 x 的一元一次不等式组 x-a＞0，
1-x＞x-1 无解，则 a 的取值范围是 _______.
a≥1
25. 解不等式组 2x+1＞x①，
x-1＜0②， 并把它的解集在数轴上表示出来．
解：解不等式①得 x ＞-1，解不等式②得 x＜1，
∴ 不等式组的解集为-1＜x＜1.
在数轴上表示不等式组的解集为：
26. 运算能力 解下列不等式组：
解：（1） x-1≥1①,
2x-（x-1）≤5②，解不等式①，得 x≥2，解不等式②，得 x≤4，故不等式组的解集为 2≤x≤4；
（2） 2x-5≥3（x-1）①，
- <-1② ，解不等式①，得 x≤-2，解不等式②，得
x>9，故原不等式组无解；
（3） 4（x-1）>x②，解不等式①，得 x<2，解不等式②，得 x< ，则不等式组的解集为 x<2.
27. 解不等式组 x+30，
2（x-1）+3≥3x，并判断 x= 是不是该不等式组的解.
解： x+3＞0①，
2（x-1）+3≥3x②，解不等式①，得 x＞-3，解不等式②，得 x≤1，∴ 原不等式组的解集是 -3＜x≤1．∵ ＞1，∴x= 不是该不等式组的解．
28. 较难题 已知关于 x，y 的方程组 x-2y=m①，
2x+3y=2m+4②的解满足不等式组
3x+y≤0，
x+5y＞0， 求满足条件的 m 的取值范围．
解：①×2 得 2x-4y=2m③，②-③，得 7y=4，解得 y= , 把 y= 代入①得 x=m+，把 x=m+，y= 代入不等式组 3x+y≤0，得 3m+4≤0，
x+5y>0 ， m+4>0, 解不等式组得 -429. 解题方法型阅读理解 类比思想 求不等式（2x-1）·（x+3）＞0 的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得① 2x-1＞0，
x+3＞0
或② 2x-1＜0，
x+3＜0， 解①得 x＞，解②得 x＜-3，∴ 原不等式的解集为 x＞ 或 x＜-3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x-3）（x+1）＜0 的解集；
（2）求不等式 （x-1）÷（x+2）≥0 的解集．
解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得① 2x-3＞0，
x+1＜0
或② 2x-3＜0，
x+1＞0， 解①得不等式组无解，解②得 -1＜x＜ ，故原不等式的解集为 -1＜x＜ ；
（2）根据“同号两数相除，积为正，且除数不为 0”可得① x-1≥0，
x+2＞0或②
x-1≤0，
x+2＜0，解不等式组①得，x≥3，解不等式组②得，x＜-2，故原不等式的解集为 x≥3 或 x＜-2．(共27张PPT)
11.1.1 不等式及其解集
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
第十一章 不等式与不等式组
①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.
课标链接·核心素养学段目标
用数轴表示不等式的解集时要注意：“＞”应空心圆圈作端点向右画，“＜”应空心圆圈作端点向左画；“≥”应实心圆点作端点向右画，“≤”应实心圆点作端点向左画．
1. 练习变式 教材 P128，T1 改编 式子：①x-y=2；②x≤y；③x+y；④x2-3y＞5；⑤x≥0；⑥ x≠3 中，属于不等式的有 （ ）
A． 2 个
B． 3 个
C． 4 个
D． 5 个
■考点 1 不 等 式
C
2. 练习变式 教材 P128，T3 改编 某天的气温不高于 25 ℃，设这天的气温为 t ℃，那么 t 与 25 之间的关系是 ______.
t≤25
3. 例题变式 教材 P121，例 1 改编 用不等式表示下列关系：
（1）a 不是正数；
（2）a 与 5 的差小于 0；
（3）x 的 与 x 的 2 倍的和大于 8；
（4）两数 a，b 的平方和不小于这两数的积的两倍.
解：（1）a≤0；（2）a-5<0；（3）x+2x>8；（4）ɑ2+b2≥2ɑb.
4. 练习变式 教材 P123，T3 改编 下列各数中，能使不等式 x-1＞0 成立的是 （ ）
A． 1 B． 2
C． 0 D． -2
B
■考点 2 不等式的解（集）及其表示方法
5. 习题衍生 教材 P129，T5 改编 若关于 x 的不等式 x≥m-1 的解集在数轴上的表示如图所示，则 m 等于 _______.
3
6. 练习高仿 教材 P123，T2 改编 下列各数中，是不等式 x+1＜4 的解的数有哪些？
8，7，5.5，4，2，1，0，2.5，-6．
解：把各数分别代入不等式 x+1<4 中，如不等式成立，即为不等式的解，否则不是.经检验，2，1，0，2.5，-6 是不等式的解．
7. 习题变式 教材 P129，T5 改编 在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x＞2.5； （2）x＜-2.5； （3）x≥3.
解：（１）如图；
（２）如图；
（３）如图.
8. 已知不等式 x≥1，把不等式的解集在下面的数轴上表示出来.
■易错点 用数轴表示不等式的解集时，易混淆边界点的表示
易错归纳
解：如图.
9. 下列式子①-2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x-3y；⑤3x-1；⑥x≥-4 中，不等式有 （ ）
A． 1 个 B． 2 个
C． 3 个 D． 4 个
Ｃ
10. 下列数值中不是不等式 5x≥2x+9 的解的是（ ）
A． 5 B． 4
C． 3 D． 2
D
11. 易错题 下列按要求列出的不等式中，正确的是 （ ）
A． a 不是负数，则 a＞0
B． x 不大于 3，则 x＜3
C． x 与 4 的和是负数，则 x+4＜0
D． x 与 2 的差是非负数，则 x-2＞0
Ｃ
12. 不等式 x＜5 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
Ｄ
13. 数形结合思想 如图，数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （ ）
A． x＞-2
B． x＜-2
C． x≤-2
D． x≥-2
Ｄ
14. 不等式 x≥6 的最小解是 ________.
６
15. 关于 x 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 ________.
x≤2
16. 已知 x≥2 的最小值是 a，x≤-6 的最大值是 b，则 a+b=_____.
-4
17. 用不等式表示下列关系：
（1）x 与-3 的和是负数；
（2）x 与 5 的和的 28% 小于-6；
（3）m 除以 4 的商加上 3 小于 5；
（4）a 与 b 两数和的平方不小于 3；
（5）三角形的两边 a，b 的和大于第三边 c．
解：（1）x+（-3）<0，即 x-3<0；
（2）28%（x+5）<-6；
（3） +3<5；
（4）（a+b）2≥3；
（5）a+b>c.
18. 已知下列各数：-4，- ，10，4.5，5，-5，7.9.
（1）____________________ 是方程 2x-3=7 的解；
（2）____________________ 是不等式 2x-3＞7 的解；
（3）____________________ 是不等式 2x-3＜7 的解；
（4）____________________ 是不等式 2x-3≤7 的解.
５
10，7.9
-4，- ，4.5，-5
-4，- ，4.5，５，-5
19. 方程与不等式结合 已知关于 x 的不等式 x ＞ 的解集表示在数轴上如图所示，求 a 的值．
解：由数轴得不等式的解集为 x＞-1，则 =-1，解得 a=1．
20. 在数轴上表示下列不等式的解集：
（1）x≥-3.5； （2）x＜-1.5； （3）x≥0.
解：（１）如图；
（２）如图；
（３）如图.
21. 应用意识 学校组织同学们春游，租用 45 座和 30 座两种型号的客车，若租用 45 座客车 x 辆，租用 30 座客车 y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 （ ）
A． 两种客车总的载客量不少于 500 人
B． 两种客车总的载客量不超过 500 人
C． 两种客车总的载客量不足 500 人
D． 两种客车总的载客量恰好等于 500 人
A(共22张PPT)
第十一章 不等式与不等式组 专项复习4
专项 一元一次不等式组的应用分类练
列一元一次不等式组解应用题时根据不等关系列出不等式组是解题的关键， 特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍.
专项 一元一次不等式组的应用分类练
类型一 方案问题
1. 现计划把甲种货物 1 240 吨和乙种货物 880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有 A，B 两种不同规格的车厢共 40 节，如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，每节 B 型车厢最多可装甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨，装货时按此要求安排 A，B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
专项 一元一次不等式组的应用分类练
解：设这列货车挂有 A 型车厢 x 节，则挂有 B 型车厢（40-x）节，由题意得 35x+25(40-x)≥1 240,
15x+35(40-x)≥880, 解得 24 ≤x≤26，故有三种方案：①A 型车厢 24 节，B 型车厢 16 节；②A 型车厢 25 节，B 型车厢 15 节；③A 型车厢 26 节，B 型车厢 14 节．
2. 应用意识 健身运动已成为时尚，某健身器材公司计划组装 A，B 两种型号的健身器材共 40 套，捐赠给社区健身中心．组装一套 A 型健身器材需甲种部件 7 个和乙种部件 4 个，组装一套 B 型健身器材需甲种部件 3 个和乙种部件 6 个．公司现有甲种部件 240 个，乙种部件 190 个，在组装 A，B 两种型号的健身器材时，有哪几种组装方案？
专项 一元一次不等式组的应用分类练
专项 一元一次不等式组的应用分类练
解：设该公司组装 A 型器材 x 套，则组装 B 型器材（40-x）套，依据题意得 7x+3(40-x)≤240，
4x+6(40-x)≤190，解得 25≤x≤30，因为 x 为整数，所以 x 取 25，26，27，28，29，30．故共有 6 套组装方案：
①A 型健身器材 25 套，B 型健身器材 15 套；②A 型健身器材 26 套，B 型健身器材 14 套；③A 型健身器材 27 套，B 型健身器材 13 套；④A 型健身器材 28 套，B 型健身器材 12 套；⑤A 型健身器材 29 套，B 型健身器材 11 套；⑥A 型健身器材 30 套，B 型健身器材 10 套．
3. 模型观念 好读书，读好书，让人终身受益，为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20 本文学名著和 40 本动漫书共需 1 520 元，20 本文学名著比 20 本动漫书多 440 元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元；
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多 20 本，动漫书和文学名著总数不低于 72 本，总费用不超过 2 000 元，请求出所有符合条件的购书方案．
专项 一元一次不等式组的应用分类练
专项 一元一次不等式组的应用分类练
解：（1）设每本文学名著 x 元，每本动漫书 y 元，可得
20x+40y＝1 520，解得 x＝40，
20x-20y＝440， y＝18.
答：每本文学名著 40 元，每本动漫书 18 元；
（2）设学校要求购买文学名著 m 本，则购买动漫书（m+20）本，根据题意可得 m+m+20≥72，
40m＋18（m＋20）≤2 000，解得 26≤m≤28.
专项 一元一次不等式组的应用分类练
因为 m 取整数，所以 m 取 26，27，28.
方案一：文学名著 26 本，动漫书 46 本；
方案二：文学名著 27 本，动漫书 47 本；
方案三：文学名著 28 本，动漫书 48 本．
4. 某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价 15 元，售价 20 元；乙种商品每件进价 35 元，售价 45 元．
（1）该商场为使甲、乙两种商品共 100 件的总利润（利润=售价-进价）不少于 750 元，且不超过 760 元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；
（2）求出所需成本最低的进货方案.
专项 一元一次不等式组的应用分类练
专项 一元一次不等式组的应用分类练
解：（1）设该商场购进甲种商品 m 件，乙种商品（100－ｍ）件，
则 5m+10(100-m)≥750，
5m+10(100-m)≤760，解得 48≤m≤50，因为 m 取整数，所以 m 取 48，49，50，共有三种方案：
方案一：购进甲种商品 48 件，购进乙种商品 52 件；
方案二：购进甲种商品 49 件，购进乙种商品 51 件；
方案三：购进甲种商品 50 件，购进乙种商品 50 件；
专项 一元一次不等式组的应用分类练
（2）方案一的成本为 48×15 +52×35=2 540（元）；
方案二的成本为49×15+51×35=2520（元）；
方案三的成本为 50×15+50×35=2 500（元）.
因为 2 500＜2 520＜2 540，所以成本最低的进货方案为方案三.
5. 某超市销售甲、乙两种商品，甲商品每件进价 10 元，售价 15 元；乙商品每件进价 30 元，售价 40 元．
（1）若该超市一次性购进两种商品共 80 件，且恰好用去 1 600 元，问购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该超市要使两种商品共 80 件的购进费用不超过 1 640 元，且总利润（利润=售价-进价）不少于 600 元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．
专项 一元一次不等式组的应用分类练
类型二 最值问题
专项 一元一次不等式组的应用分类练
解：（1）设该超市购进甲商品 x 件，则购进乙商品（80-x）件，根据题意得 10x+30（80-x）=1 600，解得 x=40，80-x=40，则购进甲、乙两种商品各 40 件；
（2）设该超市购进甲商品 m 件，乙商品（80-m）件，由题意得
10m+30(80-m)≤1 640，
5m+10(80-m)≥600，解得 38≤m≤40，∵m 为非负整数，
∴m 取 38，39，40，相应地 80-m=42，41，40，
进而利润分别为 5×38+10×42=610（元），5×39+10×41=605（元），
专项 一元一次不等式组的应用分类练
5×40+10×40=600（元），610＞605＞600，则该超市利润最大的方案是购进甲商品 38 件，乙商品 42 件．
专项 一元一次不等式组的应用分类练
解：（1）设甲种商品应购进 x 件，乙种商品应购进 y 件．根据题意，得
x+y＝120， 解得 x＝40，
（20-15）x+（45-35）y＝1 000， y＝80.
答：甲种商品购进 40 件，乙种商品购进 80 件；
（2）设甲种商品购进 a 件，则乙种商品购进（120-a）件．
根据题意得 15a+35（１２０-ａ）＜4 000，
（20-15）a+（45-35）（120－ａ）＞1135.
解不等式组，得 10＜a＜13．
6. 应用意识 某商店需要购进甲、乙两种商品共 120 件，其进价和售价如下表所示.（注：获利=售价-进价）
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利 1 000 元，请问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于 4 000 元，且销售完这批商品后获利多于 1 135 元，请问有哪几种购货方案？并指出获利最大的购货方案．
专项 一元一次不等式组的应用分类练
专项 一元一次不等式组的应用分类练
∵a 为非负整数，∴a 取 11，12．
方案一：购进甲种商品 11 件，乙种商品 109 件；
方案二：购进甲种商品 12 件，乙种商品购进 108 件．
方案一获利 11×5+109×10=1 145（元）；
方案二获利 12×5+108×10=1 140（元），
∵1 145＞1 140，∴ 方案一获利最大．
答：有两种购货方案，其中获利最大的是购进甲种商品 11 件，乙种商品109 件.
7. 构建不等式组模型法 某家电商场计划用 11.8 万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共 40 台，三种家电的进价和售价如下表所示：
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的 3 倍．请问商场有哪几种进货方案？
专项 一元一次不等式组的应用分类练
（2）在本年的店庆促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购 1 000 元送 50 元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张消费券？
专项 一元一次不等式组的应用分类练
专项 一元一次不等式组的应用分类练
解：（1）设购进电视机 x 台，则购进洗衣机 x 台，购进空调（40-2x）台，根据题意得 40-2x≤3x，
x≥0，
40-2x≥0，
5 000x+2 000x+2 400（40－2ｘ）≤118 000，
解得 8≤x≤10.∵x 是整数，∴x 可取 8，9，10，∴ 共有 3 种方案：
方案一：电视机 8 台、洗衣机 8 台、空调 24 台；
方案二：电视机 9 台、洗衣机 9 台、空调 22 台；
方案三：电视机 10 台、洗衣机 10 台、空调 20 台；
专项 一元一次不等式组的应用分类练
（2）三种电器在活动期间全部售出的总金额为 5 500x +2 160x +2 700·
（40-2x），即 2 260x+108 000．易知：当 x=10 时，售出的金额值最大，最大值是 2 260×10+108 000=130 600（元）．由现金每购 1 000 元送 50 元家电消费券一张，可知 130 600 元的销售总额最多送出 130 张消费券．(共28张PPT)
（人教版·七年级·下册）
第十一章 不等式与不等式组 专项复习2
专项 一元一次不等式组的解法应用专练
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
在解一元一次不等式组时，需要注意：求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分；用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
1. 不等式组 2x+9≥3①，
＞x-1②的解集是 （ ）
A． x≥-3
B． -3≤x＜4
C． -3≤x＜2
D． x＞4
B
2. 不等式组 3-x≥0①，
2x+4＞0② 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
D
3. 在平面直角坐标系中，点 P（m+1，2-m）在第二象限，则 m 的取值范围为 （ ）
A． m＜-1
B． m＜2
C． m＞2
D． -1＜m＜2
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
A
4. 易错题 关于 x 的不等式组 x-m＜0，
3x-1＞2（x-1）无解，那么 m 的取值范围为 （ ）
A． m≤-1
B． m＜-1
C． -1＜m≤0
D． -1≤m＜0
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
A
5. 不等式组 5-2x≤1①，
x-3＜0② 的解集是 __________.
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
2≤x＜3
6. 不等式组 x-3（x-2）＞4①，
≤ ②的解集为 ___________.
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
-7≤x＜1
7. 不等式组 x+1＞0①，
a-x＜0②的解集是 x＞-1，则 a 的取值范围是 _________.
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
a≤-
8. 运算能力 解下列不等式组：
（1） 2x＞2，
x+2≤6+3x；
（2） 2x-13（x-1），
x+4;
（3） +3≥x+1，
1-3（x-1）8-x.
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
解：（1） 2x>2①,
x+2≤6+3x ②，解不等式①，得 x>1，解不等式②，得 x≥-2，∴ 不等式组的解集为 x>1；
（2） 2x-1>3(x-1)①，
5-x2 -1，
∴ 不等式组的解集为 -1（3） +3≥x+1①,
1-3（x-1）<8-x②，解不等式①，得 x≤1，解不等式②，得 x>-2，∴ 不等式组的解集为-29. 解不等式组 +3＜x-1①，
1-3（x+1）≥６-ｘ②，并把解集在数轴上表示出来．
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
解： +3＜x-1①，
1-3（x+1）≥6-x②，解不等式①，得x＞5，解不等式②，得 x≤-4，故原不等式组无解．在数轴上表示为：
10. 较难题 关于 x 的不等式组 ＞+1，①
x-a＜0.②
（1）当 a=3 时，解这个不等式组；
（2）若不等式组的解集是 x＜1，求 a 的值．
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
专项三 一元一次不等式组的解法应用专练
解：（1）当 a=3 时，解不等式①得 2x+8＞3x+6，解得 x＜2，解不等式②得 x＜3，∴ 原不等式组的解集是 x＜2；
（2）解不等式①得 x＜2，解不等式②得 x＜a.∵ 不等式组的解集是 x＜1，∴a=1．
专项数式计算与不等式（组）的综合强化练
数式计算与不等式（组）的综合是河北数学中考中的一个特色题型，出题的方式通常将数式计算或者数轴与不等式联系起来，意义在于强化学生的基础知识、思维能力与解题技巧，对于学生的全面发展和中考备考都具有重要的价值.
1. 嘉琪制作了三张卡片，卡片上的有理数分别为 2，-5，-3a，设三张卡片上数字的和为 W．
（1）当 W=-6 时，求 a 的值；
（2）若 W 不大于 1，求 a 的负整数解.
解：（1）由题意得 W=2+（-5）+（-3a）=-3-3a=-6，解得 a=1；
（2）由题意得，W=2+（-5）+（-3a）=-3-3a≤1，解得 a≥- ，
∴a 的负整数解为-1．
2. 数形结合思想 如图，数轴上点 A，B，C，D 表示的数分别为 a，b，c，d，相邻两点间的距离均为 2 个单位长度．
（1）若 a 与 c 互为相反数，求 a+b+c+d 的值；
（2）若这四个数中最小数与最大数的和不小于 18，求 a 的取值范围．
解：（1）∵a 与 c 互为相反数，∴b=0，a=-2，c=2，d=4，
∴a+b+c+d=-2+0+2+4=4；
（2）∵ 这四个数中最小数与最大数的和不小于 18，∴a+d≥18，
∴a+（a+6）≥18，∴a≥6．
3. 错解问题 琪琪和佳佳计算算式 4+6-11-2．
（1）琪琪不小心把运算符号“+”错看成了“-”，求此时的运算结果；
（2）佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过 7，求佳佳所抄数字的最小值．
解：（1）4-6-11-2 =-2-11-2 =-13-2 =-15；
（2）设佳佳所抄数字为 x,根据题意可得 4+6-x-2≤7，解得 x≥1．
∴ 佳佳所抄数字的最小值为 1．
4. 程序设计题 如图，电脑上有一个小程序，每按一次左键，屏幕上的结果加 1；每按一次右键，屏幕上的结果减 2．已知屏幕上设定的初始数字是 3，且每轮操作按 10 次键．
（1）在一轮操作中，已知按了 3 次左键，
7 次右键，求屏幕上最后的结果；
（2）一轮操作中，已知按了 n 次左键，
且这轮操作结束后屏幕上的结果是正数，求 n 的最小值．
解：（1）∵ 每按一次左键，屏幕上的结果加 1；每按一次右键，屏幕上的结果减 2，∴ 屏幕上显示的结果=3+3×1-7×2=-8；
（2）由题意可得 3+n-2（10-n）＞0，解得 n＞，∵n 为正整数，∴n 的最小值为 6．
5. 定义新运算 我们定义一个关于实数 a，b 的新运算，规定：ab=4a-3b.例如：56=4×5-3×6=2．解答下列问题：
（1）若 xy=-1，x2y=2，分别求出 x 和 y 的值；
（2）若满足 x2＜0，且 3x（-8）≥0，求 x 的取值范围．
解：（1）∵xy=-1，x2y=2，∴4x-3y=-1，4x-6y=2，
即 4x-3y=-1，解得 x=-1，
4x-6y=2， y=-1，∴x 的值为 -1，y 的值为 -1；
（2）∵x2＜0，且 3x（-8）≥0，
∴ 4x-6＜0，
12x+24≥0，解得 -2≤x＜，∴x 的取值范围为 -2≤x＜．(共37张PPT)
13.2一元一次不等式组的应用
第二课时 一元一次不等式组的应用
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
第二课时 一元一次不等式组的应用
利用数轴确定不等式组的整数解时先解不等式组，得解集的限制条件，再根据得到的条件求不等式组的整数解，可在数轴上画出后再直观找出．注意要养成检验不等式组的解集是否符合实际情况的习惯.
1. 练习变式 教材 P140，T2 改编 不等式组 2x-1＜3，
- ≤1 的整数解有 （ ）
A． 1 个 B． 2 个
C． 3 个 D． 4 个
■考点1 一元一次不等式组的整数解
第二课时 一元一次不等式组的应用
Ｄ
2. 练习变式 教材 P140，T2 改编 不等式组 x≤3x+2，
x-1＜2-2x 的整数解是 ________.
第二课时 一元一次不等式组的应用
-1，0
3. 例题高仿 教材 P140，例 2 改编 解不等式组 3（x-2）≥x-4①，
＞x-1②，并写出它的所有整数解．
第二课时 一元一次不等式组的应用
解： 3（ｘ-2）≥ｘ-4①，
2x+13 ＞ｘ-1②， 解不等式①得，ｘ≥1，解不等式②得，ｘ＜4，所以不等式组的解集是 1≤ｘ＜4，所以不等式组的所有整数解是 1，2，3．
4. 练习变式 教材 P140，T2 改编 若关于 x 的不等式组 2x+1＞7，
x-m＜1 的整数解有 5 个，求 m 的取值范围.
第二课时 一元一次不等式组的应用
解： 2x+1＞7①，
x-m＜1②， 解不等式①得 x＞3，解不等式②得 x＜m+1.
∵ 不等式组有解，∴3＜x＜m+1.∵ 不等式组有 5 个整数解，
即 4，5，6，7，8，∴8＜m+1≤9，∴7＜m≤8．
5. 习题变式 教材 P141，T5 改编 小明要制作一个长方形的相片框架，这个框架的长为 25 cm，宽为 x cm，面积不小于 500 cm2，则 x 应满足的不等式组为 （ ）
第二课时 一元一次不等式组的应用
■考点 2 一元一次不等式组的应用
Ａ
6. 习题变式 教材 P145，T9 改编 李大叔收获洋葱 30 吨，黄瓜 13 吨．现计划租用甲、乙两种货车共 10 辆，将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装运洋葱4 吨和黄瓜 1 吨，一辆乙种货车可装运洋葱和黄瓜各 2 吨．李大叔租用甲、乙两种货车的方案有 （ ）
A． 1 种 B. 2 种
C． 3 种 D． 4 种
第二课时 一元一次不等式组的应用
Ｃ
7. 习题变式 教材 P145，T9 改编 某部门决定购买 A，B 两种型号的电脑，A 型电脑单价为 4 800 元，B 型电脑单价为 3 200 元，若用不超过 160 000元去购买 A，B 型电脑共 36 台，要求购买 A 型电脑多于 25 台，有哪几种购买方案？
第二课时 一元一次不等式组的应用
第二课时 一元一次不等式组的应用
解：设购买 A 型电脑 x 台，则购买 B 型电脑（36-x）台，由题意得
4 800x+3200（36-ｘ）≤160000，
x＞25 ② ，解得 25＜x≤28. ∵x 必须为整数，
∴ x 可取 26，27，28，∴ 购买 B 型电脑 10，9，8台.
即可以有 3 种购买方案：
①购买 A 型电脑 26 台，购买 B 型电脑 10 台；
②购买 A 型电脑 27 台，购买 B 型电脑 9 台；
③购买 A 型电脑 28 台，购买 B 型电脑 8 台．
8. 不等式组 2ｘ＋1＞０①，
≤ ②的所有整数解是 ______.
第二课时 一元一次不等式组的应用
0，1
易错归纳
■易错点 找整数解时，易漏掉整数解 0
9. 一元一次不等式组 2x+1＞0，
x-5≤0 的解集中，整数解的个数是 （ ）
A． 4 个 B． 5 个
C． 6 个 D． 7 个
第二课时 一元一次不等式组的应用
C
10. 易错题 若不等式组 x＜1，
x＞m-1 恰有两个整数解，则 m 的取值范围是 （ ）
A． -1≤m＜0
B． -1＜m≤0
C． -1≤m≤0
D． -1＜m＜0
第二课时 一元一次不等式组的应用
A
11. 应用意识 某旅游景点的普通门票是每人 10 元，20 人以上（包括 20 人）的团体票八折优惠，现有一批游客不足 20 人，买 20 人的团体票比每人各自买普通门票要便宜．则这批游客至少有（ ）
A． 16 人 B． 17 人
C． 18 人 D． 19 人
第二课时 一元一次不等式组的应用
B
第二课时 一元一次不等式组的应用
12. 现在有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住 4 人，则还有 19 人无宿舍住；若每间住 6 人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为 x，则可以列不等式组为 （ ）
D
第二课时 一元一次不等式组的应用
13. 某村庄需 8 组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配 1 人，则总数会超过 100 人；若按每组人数比预定人数少分配 1 人，则总数不够 90 人，预定每组分配的人数是 （ ）
A． 10 人
B． 11 人
C． 12 人
D． 13 人
Ｃ
第二课时 一元一次不等式组的应用
14. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km，那么它 8 天的行程就超过 2 200 km，如果它每天行驶的路程比原来少 12 km，那么它行驶同样多的路程就得花 9 天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的千米数 x 的范围是 （ ）
A． 259＜x＜260
B． 258＜x＜260
C． 256＜x＜260
D． 257＜x＜260
Ｃ
第二课时 一元一次不等式组的应用
15. 方案问题 某校准备组织 290 名师生进行野外考察活动，行李共有 100 件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共 8 辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载 40 人和 10 件行李，乙种汽车每辆最多能载 30 人和 20 件行李．如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为 2 000 元、1 800 元，则最省钱的一种租车方案为（ ）
A． 甲 5 辆，乙 3 辆 B． 甲 6 辆，乙 2 辆
C． 甲 4 辆，乙 4 辆 D． 甲 7 辆，乙 1 辆
Ａ
第二课时 一元一次不等式组的应用
16. 已知关于 x 的不等式组 ≤ -1，
x-a＜0 恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围为 （ ）
A． 1＜a≤2
B． 1＜a＜2
C． 1≤a＜2
D． 1≤a≤2
A
第二课时 一元一次不等式组的应用
17. 把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么余 6 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人就分不到 3 本，这些书有 _______本，共有 _______ 人 （ ）
A． 27，7
B． 24，6
C． 21，5
D． 18，4
C
第二课时 一元一次不等式组的应用
18. 某单位向某山村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户 1 只，若每户发放母羊 5 只，则多出 17 只母羊；若每户发放母羊 7 只，则有一户可分得母羊但不足 3 只．这批种羊共 （ ）
A． 55 只
B． 72 只
C． 83 只
D． 89 只
C
第二课时 一元一次不等式组的应用
19. 创新意识 小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少 15 元．”乙说：“至多 12 元．”丙说：“至多 10 元．”小明说：“你们三个人都说错了．”则这本书的价格 x（元）所在的范围为 （ ）
A． 10＜x＜12
B． 12＜x＜15
C． 10＜x＜15
D． 11＜x＜14
B
第二课时 一元一次不等式组的应用
20. 不等式组 3x+10＞0，
x-10＜4x 的最小整数解是 _______.
-3
第二课时 一元一次不等式组的应用
21. 某商品的售价是 528 元，商家出售一件这样的商品可获利润是进价的 10%～20%，设进价为 x 元，则 x 的取值范围是 _______________.
440≤ｘ≤480
第二课时 一元一次不等式组的应用
22. 将不足 40 只鸡放入若干个笼子中，若每个笼子里放 4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼子里放 5 只，则只有一个笼子无鸡可放，且最后一个笼子不足 3 只，则鸡有 ______ 只．
37
第二课时 一元一次不等式组的应用
23. 关于 x 的不等式组 x-a＞0①，
1-x＞0② 的整数解共有 3 个，则 a 的取值范围是 ___________.
-3≤a＜-2
第二课时 一元一次不等式组的应用
24. 解不等式组 -3(x+1)-(x-3)8①,
- ≤1②, 并求它的所有整数解的和．
解：由①得 x＞-2，由②得 x≤1，∴ 不等式组的解集为-2＜x≤1，
∴ 整数解为-1，0，1，∴不等式组的所有整数解的和为 -1+0+1=0．
第二课时 一元一次不等式组的应用
25. 应用意识 为节约用电，某学校于本学期初制订了详细的用电计划．如果实际每天比计划多用 2 度电，那么本学期的用电量将会超过 2 530 度；如果实际每天比计划节约 3 度电，那么本学期用电量将不会超过 2 200度．若本学期的在校时间按 110 天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？
第二课时 一元一次不等式组的应用
解：设学校计划每天用电 x 度，依题意可得 110（x+2）＞2 530①，
110（x-3）≤2 200② ，
解不等式①得 x＞21，解不等式②得 x≤23，
∴ 不等式组的解集为 21＜x≤23.
答：学校每天用电量应控制在 21 度到 23 度范围内（包含 23 度，但不包含 21 度）.
第二课时 一元一次不等式组的应用
26. 模型观念 某中学计划用不超过 1 900 本科技类书籍和 1 620 本人文类书籍组建中、小型两类图书角共 30 个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本，人文类书籍 50 本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本，人文类书籍 60 本．
（1）符合题意的组建方案有几种？ 请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是 860 元，组建一个小型图书角的费用是 570 元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元.
第二课时 一元一次不等式组的应用
解：（１）设组建中型图书角 ｘ 个，则组建小型图书角(30-x)个.
由题意,得 80x+30(30-x)≤1 900，
50x+60(30-x)≤1 620 ②，解这个不等式组得 18≤x≤20 .由于x 只能取整数，∴x 的取值是 18，19，20.当 x=18 时，30-x=12；当 x=19 时，30-x=11；当 x=20 时，30-x=10.共有三种组建方案：
第二课时 一元一次不等式组的应用
方案一：中型图书角 18 个，小型图书角 12 个；
方案二：中型图书角 19 个，小型图书角 11 个；
方案三： 中型图书角 20 个,小型图书角 10 个;
（2）方案一的费用是 860×18+570×12 =22 320(元)；
方案二的费用是 860×19+570×11=22 610(元)；
方案三的费用是 860×20+570×10=22 900(元).故方案一费用最低，最低费用是 22 320 元.
第二课时 一元一次不等式组的应用
27. 方案问题 模型观念 某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜，共 320 件，其中饮用水比蔬菜多 80 件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件；
（2）现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水 40 件和蔬菜 10 件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各 20 件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
第二课时 一元一次不等式组的应用
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费 400 元，乙种货车每辆需付运费 360 元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
第二课时 一元一次不等式组的应用
解：（1）设饮用水有 x 件，则蔬菜有（x-80）件．由题意，得 x+（x-80）=320，解这个方程，得 x=200．∴x-80=120．
答：饮用水和蔬菜分别为 200 件和120 件；
（2）设租用甲种货车 m 辆，则租用乙种货车（8-m）辆，由题意得
40m+20(8-m)≥200,
10m+20(8-m)≥120 ，解这个不等式组，得 2≤m≤4．∵m 为正整数，∴m=2 或 3 或 4，则安排甲、乙两种货车时有 3 种方案．设计方案分别为：
第二课时 一元一次不等式组的应用
①甲车 2 辆，乙车 6 辆；②甲车 3 辆，乙车 5 辆；③甲车 4 辆，乙车 4 辆；
（3）3 种方案的运费分别为 ① 2 ×400+6×360=2 960（元）；
②3×400+5×360=3 000（元）；③4×400+4×360=3 040（元），
∵2 960＜3 000＜3 040，∴ 方案①运费最少，最少运费是 2960 元．
答：运输部门选择甲车 2 辆，乙车 6 辆可使运费最少，最少运费是 2 960 元．(共54张PPT)
11.1.2 不等式的性质复习课件
第一课时 不等式的性质
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
“0”是很特殊的一个数，当不等式的两边都乘（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于 0 进行分类讨论.
1. 例题变式 教材 P125，例 2 改编 若 a＜b，则下列各式中一定正确的是 （ ）
A． ab＜0
B． ab＞0
C． a-b＞0
D． -a＞-b
■考点 不等式的性质
D
2. 练习变式 教材 P125，T1 改编 若 ax＜ay，x＜y，则 a 的取值范围是 （ ）
A． a=0
B． a＜0
C． a＞0
D． 任意有理数
Ｃ
3. 练习变式 教材 P125，T2 改编 已知 a＞b，且 c 为非零实数，那么下列结论一定正确的是 （ ）
A． ac＜bc
B． ac2＜bc2
C． ac＞bc
D． ac2＞bc2
D
4. 习题高仿 教材 P129，T4 改编 比较大小：当实数 a＜0 时，1+a______1-a．（选填“＞”或“＜”）
＜
5. 习题高仿 教材 P129，T4 改编 设 a＞b，用“＜”或“＞”填空.
（1）3a_____3b； （2）a-8_____b-8；
（3）-2a_____-2b； （4） _____ ；
（5）-4.5a+1_____-4.5b+1．
＞
＞
＜
＞
＜
6. 习题变式 教材 P129，T4 改编 比较 a2-2 和 a2-3 的大小，并说明理由．
解：a2-2>a2-3.理由：因为 -2>-3，a2≥0，应用不等式的性质 1，可得 a2-2>a2-3.
7. 例题高仿 教材 P125，例 2 改编 已知 a＜b，试比较 -3a 与 -3b 的大小．
解：已知 a＜b，不等式两边同时乘 -3，可得 -3a>-3b，不等式两边同时加 ，则有 -3a> -3b.
8. 练习变式 教材 P125，T2 改编 已知将不等式 mx＞m 的两边同时除以 m，得 x＜1，则 m 应满足什么条件？
解：已知不等式 ｍｘ＞ｍ 的两边同时除以 ｍ，得到 ｘ＜1，即不等号方向改变，根据不等式的性质 3 可知 ｍ＜０．
■易错点 不等式两边同时乘负数，不等号忘变方向
9. 如果 a＜b，那么 3-2a ______（选填“＞”或“＜”）3-2b．
>
易错归纳
10. 已知实数 a，b 满足 a+1＞b+1，则下列选项错误的为 （ ）
A． a＞b
B． a+2＞b+2
C． -a＜-b
D． 2a＞3b
D
11. 易错题 若 3x＞-3y，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A． x+y＞0
B． x-y＞0
C． x+y＜0
D． x-y＜0
A
12. 若 a＞b，则下列各式中一定成立的是 （ ）
①a+2＞b+2；②ac＜bc；③-2a＞-2b；④3-a＜3-b．
A． ①② B． ③④
C． ②③ D． ①④
D
13. 当 x＜a＜0 时，x2 与 ax 的大小关系是 （ ）
A． x2＞ax
B． x2≥ax
C． x2＜ax
D． x2≤ax
A
14. 利用特殊值法比较大小 当 0＜x＜1 时，x，，x2 的大小顺序是 （ ）
A． ＜x＜x2 B． x＜x2＜
C． x2＜x＜D． ＜x2＜x
C
15. 已知 a＞b，用“＞”或“＜”填空．
（1）a+5 _____ b+5；（2）a-5 _____ b-5；
（3） _____ ；（4）- _____- ；
（5）8-a _____ 8-b；（6）-18-a _____ -18-b.
＞
＞
＞
＜
＜
＜
16. 若 -3a＞0，则 a______0．
＜
17. 易错题 根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞”，则 m 的取值范围是 _________.
m＜0
18. 若 a＜b＜0，把 1，1-a，1-b 这三个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：________________.
1<1-b<1-a
19. 推理能力 现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘同一个不为 0 的数（或式子），乘的数（或式子）为正时，不等号的方向不变，乘的数（或式子）为负时，不等号的方向改变．
请解决以下两个问题：
（1）利用性质①比较 2a 与 a 的大小（a≠0）；
（2）利用性质②比较 2a 与 a 的大小（a≠0）．
解：（1）a＞0 时，a+a＞0+a，即 2a＞a；a＜0 时，a+a＜0+a，即 2a＜a；
（2）a＞0 时，2＞1，得 2×a＞1×a，即 2a＞a；a＜0 时，2＞1，得 2×a＜1×a，即 2a＜a．
20. 数形结合思想 已知实数 a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，请判断下列不等式的正确性：
①bc＞ab；②ac＞ab；③c-b＜a-b；
④c+b＞a+b；⑤a-c＞b-c；⑥a+c＜b+c.
解：由数轴可知：c0，b<0，c<0.因为 cab，故①正确；
因为 c因为 c因为 c因为 a>b，两边都减 c，得 a-c>b-c，所以⑤正确；
因为 a>b，两边都加 c，得 a+c>b+c，所以⑥不正确.
21. 过程纠错题 运算能力 小明竟然推导出了 0＞5 的错误结论．请你仔细阅读他的推导过程，指出问题到底出在哪里.
已知 x＞y，
两边都乘 5，得 5x＞5y，………………………①
两边都减去 5x，得 0＞5y-5x，………………②
即 0＞5（y-x），………………………………③
两边都除以 y-x，得 0＞5．……………………④
解：错在第④步．∵x>y，∴y-x<0，∴0>5（y-x）.不等式 0>5（y-x）两边同时除以负数（y-x），不等号应改变方向，∴0<5.
第二课时 利用不等式的性质解简单不等式
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
1. 符号“≥”表示“大于或等于”或“不小于”；“≤”表示“小于或等于”或“不大于”；“至少”用“≥”表示；“至多”用“≤”表示.
2. 注意不等号的两边同时乘（或除以）一个正数不变号，同时乘（或除以）一个负数，必须变号.
1. 练习变式 教材 P128，T2 改编 根据不等式的性质，下列变形正确的是 （ ）
A． 由 -a＜1，得 a＜-1 B． 由 -2a＞-3，得 a＜
C． 由 - a＞2，得 a＜2 D． 由 - x＜-1，得 x＜
■考点 利用不等式的性质解简单不等式
Ｂ
2. 练习变式 教材 P128，T2 改编 下列不等式变形正确的是 （ ）
A． 由 4x-1≥0，得 4x＞1
B． 由 5x＞3，得 x＞3
C． 由 ＞0，得 y＞0
D． 由 -2x＜4，得 x＜-2
C
3. 练习变式 教材 P128，T3 改编 某饮料瓶上有这样的字样：保质期 18 个月．如果用 x（单位：月）表示保质期，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 ___________.
0＜ｘ≤18
4. 习题变式 教材 P129，T5 改编 用不等式表示下列语句，写出解集并在数轴上表示解集：
（1）6 与 x 的 2 倍的差不大于 0；
（2）m 的 4 倍与 8 的和是负数.
解：（1）由题意得，6-2x≤0，根据不等式的性质解得 x≥3.在数轴上表示为：
（2）由题意，得 4m+8＜0，根据不等式的性质解得 m＜-2.在数轴上表示为：
5. 练习高仿 教材 P128，T2 改编 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
（1） x＜2； （2）-4x≥x+5；
（3）x+3＞5； （4）-3x＞9．
解：（1）利用不等式的性质 2，在不等式的两边同时乘 3 得 ｘ＜6．解集在数轴上表示为：
（2）利用不等式的性质 1，不等式的两边同时减去 ｘ 得，-5ｘ≥5，利用不等式的性质 3，不等式两边同时除以－5 得，ｘ≤－1．解集在数轴上表示为：
（3）根据不等式的性质 1，不等式两边同时减 ３ 得 ｘ＋3-3＞5-3，化简得 ｘ＞2.解集在数轴上表示为：
（4）根据不等式的性质 3，不等式两边同时除以 -3，不等号方向改变，得 ｘ＜-3.解集在数轴上表示为：
6. 例题变式 教材 P127，例 4 改编 某药品说明书上标明该药品保存的温度是（10±4） ℃，设该药品合适的保存温度为 t，求温度 t 的取值范围.
解：某药品说明书上标明药品保存的温度是（10±4） ℃，说明在 10 ℃的基础上，再上下 4 ℃的范围内，即 10-4=6，10+4=14，则药品保存的温度在6 ℃≤t≤14 ℃之间.
7. 下列不等式的变形，正确的是 （ ）
A. 由 2a3，得 a
B. 由 2-a0，得 2a
C. 由 ab，得 -3a-3b
D. 由 --1，得 --a
Ｂ
8. 不等式 2x-6＞0 的解集是 （ ）
A． x＞1
B． x＜-3
C． x＞3
D． x＜3
C
9. 易错题 如图，是关于 x 的不等式 2x-a≤-1 的解集，则 a 的取值是 （ ）
A． a≤-1
B． a≤-2
C． a=-1
D． a=-2
C
10. 代数式 2x-5 的值不大于 3 时，x 的取值范围是 （ ）
A. x≤4
B. x≤-4
C. x≥4
D. x≥-4
Ａ
11. 不等式 2x+3＞3x+2 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
D
12. 应用意识 人类能听到的声音频率 f 不低于 20 赫兹，不高于 2 000 赫兹，请写出人类能听到的声音频率 f 的取值范围：_____________.
20≤f≤2 000
13. 若关于 x 的不等式（1-a）x＞2 可化为 x＞ ，则 a 的取值范围是 _______.
a＜1
14. 根据不等式的性质解下列不等式，并说出每一步的依据.
（1）x-9＜1； （2）- x＞12．
解：（1）ｘ-9+9＜1+9（不等式两边加上同一个数，不等号方向不变），ｘ＜10（合并同类项）；
（2）-ｘ÷（-）＜12÷（-）（不等式两边除以同一个负数，不等号方向改变），ｘ＜-16．
15. 利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
（1）-3x+2≤8； （2）-3x-4≥6x+2.
解：（1）利用不等式的性质 1 得，-3x≤6，利用不等式的性质 3 得，x≥-2，在数轴上表示为：
（2）利用不等式的性质 1 得，-9x≥6，利用不等式的性质 3，得 x≤- ，在数轴上表示为：
16. 用不等式表示下列语句，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x 的 3 倍减去 1 大于 4；
（2）x 的 3 倍小于 x 的 5 倍减 4；
（3）x 的 与 2 的和不大于 1；
（4）1 减去 x 的一半的差不大于 3.
解：（1）列不等式为 3x-1>4，两边都加 1 后再除以 3，求得不等式的解集为 x> ，在数轴上表示为：
（2）列不等式为 3x<5x-4，两边同时减去 5x，得-2x<-4，再同时除以-2，得 x>2，在数轴上表示为：
（3）列不等式为 x+2≤1，两边同时减去 2 后再乘 ，解得 x≤- ，在数轴上表示为：
（4）列不等式为 1- x≤3，两边同时减1，再同乘-2，可得 x≥-4，在数轴上表示为：
17. 利用不等式的性质解不等式 -x+1-3，并在数轴上表示解集．
解：利用不等式的性质 1，不等式的两边同时减去 1，得-x<-4，利用不等式的性质 3，不等式的两边同时除以-1，得 x＞4.解集表示在数轴上表示如下：
18. 中考新考法 应用意识 如图是一种机器零件上的螺丝，那么该螺丝总长度 L 的合格尺寸应该是（ ）
A． L=13
B． 13＜L＜15
C． 12≤L≤14
D． 12＜L＜14
C(共30张PPT)
第十一章 不等式与不等式组 专项复习
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
利用不等式的性质，将不等式化为 ax＞b 的形式；若 a＞0，则解集为 x＞ ；若 a＜0，则解集为 x＜；可借助数轴法表示不等式的解集，在涉及代数式的比较时，适当的使用分类讨论的方法.
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
类型一 解一元一次不等式
1. 过程纠错题 下列解不等式 ＞ -4 的过程中，出现错误的一步是 （ ）
①去分母，得 3（x+1）＞2（2x+2）-24，
②去括号，得 3x+3＞4x+4-24，
③移项，得 3x-4x＞4-24-3，
④系数化为 1，得 x＞23．
A． ① B． ② C． ③ D． ④
D
2. 运算能力 解下列不等式：
（1）8-5（x-2）＜4（x-1）+13；
（2） ＜6- .
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
解：（1）去括号，得 8-5x+10＜4x-4+13，移项、合并同类项，得-9x＜-9，系数化为 1，得 x＞1；
（2）去分母，得 x-3＜24-2（3-4x），去括号，得 x-3＜24-6+8x，移项，得 x-8x＜24-6+3，合并同类项，得-7x＜21，解得 x＞-3．
3. 解不等式 ≤ +1，并在数轴上表示其解集．
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
解：去分母，得 5（2x-3）≤3（x-3）+15，去括号，得 10x-15≤3x-9+15，移项、合并同类项，得 7x≤21，系数化为 1，得 x≤3，在数轴上表示为：
4. 不等式 x+2＜6 的正整数解有 （ ）
A． 1 个 B． 2 个
C． 3 个 D． 4 个
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
类型二 一元一次不等式的整数解
C
5. 不等式 +1＜ 的负整数解有 （ ）
A． 1 个 B． 2 个
C． 3 个 D． 4 个
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
B
6. 不等式 3x-2＞x-6 的最小整数解是 _______.
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
-1
7. 求不等式 +1≥2x 的非负整数解．
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
解：去分母，得 3x-1+2≥4x，移项，得 3x-4x≥-2+1，合并同类项，得-x≥-1，系数化为 1，得 x≤1，故不等式的非负整数解为 1，0．
8. 已知关于 x 的不等式 x+8＞4x+m（m 为常数）的解集是 x＜3，求 m 的值.
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
类型三 含字母的一元一次不等式
解：解不等式得 3x＜8-m，x＜ ，因为不等式的解集为 x＜3，∴ =3，解得 m=-1.
9. 易错题 已知关于 x 的方程 3k-5x=-9 的解是非负数，求 k 的取值范围．
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
解：∵3k-5x=-9，∴-5x=-9-3k，∴x= .∵ 关于 x 的方程 3k-5x=-9的解是非负数，∴ ≥0，解不等式得 k≥-3，∴k 的取值范围是 k≥-3．
10. x 取哪些正整数时，代数式 的值不小于代数式 -3 的值．
专项一 一元一次不等式的解法应用分类练
类型四 先分析题意，再列不等式求解
解：根据题意得 ≥ -3，解得 x≤ ．∵x 是正整数，∴x=1，2，3．
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
一元一次不等式是数学中的基础知识点，对于解决实际问题具有重要意义，以下是使用一元一次不等式解决实际问题的步骤：①理解问题背景：仔细阅读题目，了解问题的背景，确定问题的实际意义；②建立数学模型，根据问题描述，将实际问题转化为数学问题，确定变量和未知数，建立一元一次不等式；③解不等式；④验证解的合理性：验证解的合理性，确保符合实际情况，并根据解的结果，结合实际背景，给出合理的结论.
类型一 方案设计问题
1. 模型观念 某电器超市销售每台进价分别为 160 元，120 元的 A，B 两种型号的电风扇，超市第一周卖出 3 台 A 种型号和 4 台 B 种型号电风扇销售额为 1200 元，第二周卖出 5 台 A 种型号和 6 台 B 种型号电风扇销售额为 1900元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）．
（1）求 A，B 两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于 7480 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 50 台，求 A 种型号的电风扇最多能采购多少台；
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
（3）在（2）的条件下，超市销售完这 50 台电风扇能否实现利润超过 1 860 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
解：（1）设 A，B 两种型号的电风扇的销售单价分别为 x 元，y 元，
3x+4y=1 200，∴ x=200，
5x+6y=1 900， y=150，
答：A，B 单价分别为 200 元，150 元；
（2）设 A 种型号的电风扇采购 a 台，则 B 种型号的电风扇采购（50-a）台，160a+120（50-a）≤7 480，解得 a≤37，答：A 种最多能采购 37 台；
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
（3）∵（200-160）a+（150-120）（50-a）＞1 860，∴a＞36，由（2）可知，a≤37，且 a 为正整数，∴a 的取值为 37，∴50-a=50-37=13（台），即采购 A 种型号的电风扇 37 台，B 种型号的电风扇 13 台，能实现利润超过
1 860 元的目标．
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
2. 我们北方有句俗语“芒种三天见麦茬”，每年过了“芒种”就是一年当中收麦最忙的季节．我县某乡镇政府为了方便村民收麦，引进了每天能收割小麦 80 亩的 A 型收割机和每天能收割小麦 120 亩的 B 型收割机共 20 台，全部型号的收割机一天能收割 2 080 亩．
（1）引进了 A 型收割机和 B 型收割机各有多少台？
（2）随着天气的变化，为了“颗粒归仓”“抢收抢种”，该乡镇需要一天收割小麦 2 900 亩以上，为了完成任务，准备再引进这两种型号的收割机共 8 台，问有多少种引进方案？请你一一写出．（两种型号的收割机都必须引进）
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
解：（1）设引进了 A 型收割机 a 台，B型收割机 b 台，由题意可得，
a+b=20， 解得 a=8，
80a+120b=2 080， b=12，答：引进了 A 型收割机 8 台，B 型收割机 12 台；
（2）设再引进 A 型收割机 x 台，则引进 B 型收割机（8-x）台，由题意可得 80（8+x）+120［12+（8-x）］＞2 900，解得 x＜3.5，∵x 为正整数，∴x=1，2 或 3，即共有三种引进方案，
方案一：再引进 A 型收割机 1 台，再引进 B 型收割机 7 台；
方案二：再引进 A 型收割机 2 台，再引进 B 型收割机 6 台；
方案三：再引进 A 型收割机 3 台，再引进 B 型收割机 5 台．
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
3. 应用意识 某商店 5 月 1 日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案．
方案一：用 120 元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，商品总价在800 以内（包括 800 元），一律按商品价格的八五折优惠；商品价格大于 800 元的，按商品价格的七五折优惠；
方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小敏 5 月 1 日前不是该商店的会员．
类型二 方案选择问题
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
（1）若小敏先购买会员卡，再购买商品，商品的价格为 1 000 元时，实际应支付多少元？
（2）小敏购买标价为 700 元的商品时，采用哪个方案更优惠？
（3）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
解：（1）根据题意得120+1 000×0.75=870（元）．
答：实际应支付 870 元；
（2）采用方案一购买商品需支付 120+700×0.85=715（元）；
采用方案二购买商品需支付 700×0.95=665（元）．∵715＞665，
∴ 采用方案二更优惠；
（3）设购买商品的价格为 x 元，当 0＜x≤800 时，0.85x+120＜0.95x，
解得 x＞1 200（不符合题意，舍去）；当 x＞800 时，0.75x+120＜0.95x，
解得 x＞600，∴x＞800．
答：当所购买商品的价格超过 800 元时，采用方案一更合算．
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
4. 某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过 34 万元．
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
解：（1）设购买甲种机器 x 台（x≥0），则购买乙种机器（6-x）台．
依题意得 7x+5（6-x）≤34，解得 x≤2，又 ∵x 为自然数，
∴x 可以为 0，1，2，∴ 可以有 3 种购买方案；
（2）设购买甲种机器 m 台（m≥0），则购买乙种机器（6-m）台．
依题意得 100m+60（6-m）≥380，解得 m≥ ，由（1）可知m≤2，
且m为自然数，∴m 可以为 1，2，∴ 共有 2 种购买方案，
方案 1：购进 1 台甲种机器，5 台乙种机器，所需总资金为 7×1+5×5=32（万元）；
方案 2：购进 2 台甲种机器，4 台乙种机器，所需总资金为 7×2+5×4=34（万元）．∵32＜34，∴ 为了节约资金应选择购买方案 1，即购进 1 台甲种机器，5 台乙种机器．
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
5. 较难题 甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过 80 元后，超出 80 元部分按 80%收费；在乙商场累计购物超过 60 元后，超出 60 元部分按 85% 收费，顾客到哪家商场购物花费少？
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
解：（1）当累计购物不超过 60 元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样；
（2）当累计购物超过 60 元而不超过 80 元时，享受乙商场的购物优惠不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少；
（3）当累计购物超过 80 元时，设累计购物 x（x＞80）元．
①若到甲商场购物花费少，则 60+0.85×（x-60）＞80+0.8（x-80）．解得 x＞140，∴ 累计购物超过 140 元时，到甲商场购物花费少；
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练
②若到乙商场购物花费少，则 60+0.85×（x-60）＜80+0.8（x-80）．
解得 x＜140．∴ 累计购物超过 80 元而不到 140 元时，到乙商场购物花费少；
③若 60+0.85（x-60）=80+0.8（x-80）．解得 x=140．∴ 累计购物为 140 元时，到甲、乙两商场购物花费一样．
综上所述：当累计购物不超过 60 元或购物为 140 元时，到甲、乙两商场购
物花费一样；
当累计购物超过 60 元而不到 140 元时，到乙商场购物花费少；
累计购物超过 140 元时，到甲商场购物花费少．
专项二 利用一元一次不等式解决方案问题专练(共41张PPT)
章末提升
不等式与不等
式组
概念
不等式
一个含有未知数的不等式的①_______ 的解，组成这个不等式的解集
脑图体系构建
所有
用符号“＜”或“＞”或“≠”表示不等关系的式子
解
使不等式成立的未知数的值
解集
性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子）、不等号的方向②______；如果 a＞b，那么 a±c＞b±c
性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向③______；如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc 或（＞ ）
性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向④______；如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc （或 ＞ ）
不等式与不等
式组
不等式
性质
不变
不变
改变
概念
不等式与不等
式组
一元一次不等式
只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式
应用
审清题意，列一元一次不等式，解一元一次不等式
不等式与不等
式组
概念
一元一次不等式
把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组
解集
几个不等式的解集的⑤____________，就是由它们所组成的不等式组的解集
应用
审清题意，列一元一次不等式组，解一元一次不等式组
公共部分
不等式与不等式组常常与其他知识相结合起来考查，其主要类型有不等式与二元一次方程组，几何图形相结合等，利用不等式与不等式组的性质，解决实际应用问题，使复杂的问题变简单.其主要考点可概括为三个概念、一个性质、两个解、两个应用、一种思想.
考点整合应用
1. 以下式子：①4x+3y≥0；②a＞3；③x2+xy；④a2+b2=c2；⑤x≤5．其中不等式有 （ ）
A． 4 个 B． 3 个
C． 2 个 D． 1 个
三个概念
B
■概念 1 不 等 式
2. 若 2x-y□5 是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A． + B． ＞
C． ≠ D． ≤
A
3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． x2＞0
B． 2x-1
C． 2y＜8
D． x-3x=0
C
■概念 2 一元一次不等式
4. 已知（m+2）x -1＞2 是关于 x 的一元一次不等式，求 m 的值．
解：∵（m+2）x -1＞2 是关于 x 的一元一次不等式，∴ =1且 m+2≠0，解 =1，得 m=-2 或-4，解 m+2≠0，得 m≠-2∴m=-4．
5. 下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
■概念 3 一元一次不等式组
D
6. 若 x＜y，且 ax＞ay，则 a 的值可能是 （ ）
A． -2
B． 0
C． 1
D． 4
一个性质———不等式的性质
A
7. 如果 a＞b，那么下列各式正确的是 （ ）
A． a2＞b2
B． a-3＜b-3
C． 3b＜3a
D． 2-a＞2-b
C
8. 如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是 （ ）
A． 2x＜6
B． -2x＞-6
C． -x≤3
D． -2x≥-6
■解法 1 一元一次不等式的解
两个解法
D
嘉嘉： 不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向
淇淇： 不等式的解集为：
9. 若 x 满足不等式 2x+2＞3，则 x 不可能是（ ）
A． 3 B． 2
C． 1 D． 0
D
10. 等式 3x+1≤2x+2 的解集在数轴上表示为（ ）
B
11. 若关于 x 的不等式 5x+m≥7x 的正整数解是 1，2，3，4，则 m 的取值范围为 （ ）
A． m＜10
B． m≥8
C． 8≤m≤10
D． 8≤m＜10
D
12. 与坐标系结合 如图，已知 A 地的坐标为（-3，1），E 地的坐标为（-1，-5），D 地的坐标是（3，-2），网格中小正方形的边长的实际距离是不等式 5x-3＜3x+9 的最大整数解（单位：m），根 据提供的信息，则 D 地到 F 地的实际距离为（ ）
A． 20 m
B． 18 m
C． 15 m
D． 12 m
C
13. 定义新运算 在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab=2a-3b.如：15=2×1-3×5=-13．则不等式-x2＜0 的负整数解的和是 _________.
-3
14. 过程纠错题 以下是甲、乙两位同学解不等式 - ＞1 的过程：
你认为他们的解法是否正确？若不正确，请选择一人的方法写出正确的解答过程．
解：甲、乙同学的解法均错误．选择甲，正确解答过程如下：去分母，得 3（x+2）-2（1+2x）＞6，去括号，得 3x+6-2-4x＞6，移项得，3x-4x＞6-6+2，合并同类项，得 -x＞2，系数化为 1 得，x＜-2．（也可选择乙）
15. 若点 P（x-4，2x+6）在平面直角坐标系的第三象限内，则 x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）
■解法 2 一元一次不等式组的解
C
16. 不等式组 x＜a+1，
x＞2 有 3 个整数解，则 a 的取值范围是 （ ）
A. 5＜a≤6
B. 4＜a≤5
C. 4≤a＜5
D. 5≤a＜6
B
17. 运算能力 解下列不等式组：
（1） 4x-2≤3（x+1），
-2x＜3；
（2） 2x+1＜3x+3，
≤ +11.
解：（1） 4x-2≤3（x+1），①
1-2x＜3， ②由①得，x≤5，由②得，x＞-1，故不等式组的解集为 -1＜x≤5；
（2）解不等式 2x+1＜3x+3，得 x＞-2，解不等式 ≤ +1，得 x≤ ，则不等式组的解集为 -2＜x≤ ．
18. 小明准备用 26 元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠 2 元，一盒方便面 3 元，他买了 5 盒方便面，他最多可以买几根火腿肠 （ ）
A． 4 B． 5
C． 6 D． 7
■应用 1 一元一次不等式的应用
两个应用
B
19. 某校开展了科技知识竞赛活动，共有 20 道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得 5 分，不选或错选倒扣 2 分，如果得分不低于 80 分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是 _______.
18
20. 某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产甲乙两种产品共 100 件，需购买价格为 30 元/kg 的 A 种材料和价格为 20 元/kg 的 B 种材料．通过调研，获得以下信息：
信息 1：生产一件甲产品需 A 种材料 4 kg，B 种材料 1 kg；
信息 2：生产一件乙产品需 A 种材料 3 kg，B 种材料 4 kg．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）现工厂用于购买 A，B 两种材料的资金不能超过 1 5000 元，且生产乙产品不少于 30 件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
（2）在（1）的条件下，若生产一件甲产品需加工费 60 元，生产一件乙产品需加工费 80 元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
解：（1）设生产乙产品 a 件，生产甲产品（100-a）件．由题意得，（30×4+20）×（100-a）+（3×30+4×20）a≤15 000，解得 a≤33 ，
又∵生产乙产品不少于 30 件，∴30≤a≤33 ，∵a 为整数，
∴a=30，31，32，33．
∴ 符合条件的生产方案有甲：70 件、乙：30 件；甲：69 件、乙：31 件；
甲：68 件、乙：32 件；甲：67 件、乙：33 件；
（2）方案一总共需成本费为 70×（60+120+20）+30×（80+90+80）=21 500（元），方案二总共需成本费为 69×（60+120+20）+31×（80+90+80）=21 550（元），方案三总共需成本费为 68×（60+120+20）+32×（80+90+80）=21 600（元），方案四总共需成本费为 67×（60+120+20）+33×（80+90+80）=21 650（元），∴ 应选择甲：80 件、乙：30 件这种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低．
21.“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚.文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵 40 元，买 5 套甲型号和 10 套乙型号共用 1 100 元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少；
■应用 2 一元一次不等式组的应用
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共 120 套，总费用不超过 8 500 元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的 3 倍，问哪有几种购买方案？
解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为 a 元，根据题意得 5a+10（a-40）=1 100，解得 a=100，∴a-40=100-40=60，答：每套甲型号“文房四宝”的价格为 100 元，每套乙型号“文房四宝”的价格为 60 元；
（2）设购进甲型号“文房四宝”x 套，根据题意得
100x+60（120-x）≤8 500，
120-x＜3x，解得 30＜x≤32.5，又 x 为正整数，∴x 可取31或32，
∴有两种购买方案：方案一：购进甲型号“文房四宝”31 套，乙型号“文房四宝”89 套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32 套，购进乙型号“文房四宝”88 套．
22. 几何直观 用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 AC=30 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为 （ ）
A． 0≤x≤5 B． x≥
C． 0≤x≤ D． ≤x≤5
一种思想———数形结合思想
D
23. 生活常识告诉我们：往糖水里添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为 100 g 的糖水，其中含有 a g 糖（0＜a＜100）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了 10 g 糖，并搅拌至完全溶解．
（1）原来的甜度为 ________，加糖后的甜度为 ________；
（2）根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的性质证明加糖后确实变甜了；
综合实践与开放探究
（3）要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于 10%，又不超过 15%．如果上述操作后甜度符合要求，那么 a 应该在什么范围？
解：（2）加糖前的甜度为 ，加糖后的甜度为 ， - = - = =，
∵0＜a＜100，∴100-a＞0，
∴ - ＞0，即 ＞ ，∴ 加糖后确实变甜了；
（3）根据题意得 ≥10%，
≤15%，解得 1≤a≤6.5，∴a 的取值范围为 1≤a≤6.5．

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