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第16讲 极值与最值
知识梳理
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
必考题型全归纳
题型一：求函数的极值与极值点
【例1】（2024·全国·高三专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，
若有3个单调区间，
不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，
则在上单调递增，在上单调递减，（若定义域为内不连续不影响总体单调性），
故，不合题意，
若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；
若有4个单调区间，
例如的定义域为，则，
令，解得或，
则在上单调递增，在上单调递减，
故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，
综上所述：至少有4个单调区间.
故选：B.
【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【答案】C
【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又a因为，，且当时，；当c当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．
故选：C．
【对点训练2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
【对点训练3】（2024·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数，，为的导函数．
(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；
(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．
【解析】（1）当时，，求导得，
设过点作曲线的切线的切点为，则，
于是切线方程为，即，因为切线过点，
即有，解得或，所以切点坐标为，.
（2）当，时，，
求导得，令，得或，
依题意，，都在集合中，且，，
当时，，且，则，，，
当时，，且，则，，不符合题意，
因此，，，，
当或时，，当时，，
于是函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值为.
【对点训练4】（2024·河北·统考模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
【解析】（1）证明：当，时，，可得的定义域为，
且，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有唯一的极小值，即有唯一的极值点为，
由，
令，设，可得，
由，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当，即时，有唯一的极大值，即取得最大值，
所以当的最大值时，.
（2）当时，的定义域为，且，
①当时，时恒成立，此时单调递增，
所以极值点的个数为个；
②当时，设，即
（i）当，即时，可得，即对恒成立，即在上无变号零点，所以此时极值点的个数为个；
（ii）当，即时，
设的两零点为，且，，，可得
即在上有个变号零点，所以此时极值点的个数为个；
综上所述，当时，的极值点的个数为；
当时，的极值点的个数为.
【对点训练5】（2024·江苏无锡·校联考三模）已知函数.求的极值；
【解析】因为函数，所以，
设，，
所以在上单调递增.
又，所以当时，；当时，.
又因为对恒成立，
所以当时，；当时，.
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故，没有极小值.
【解题方法总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数
【例2】（2024·贵州·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以.
故选：B
【对点训练6】（2024·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．
故选：A.
【对点训练7】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，
令，，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
又因为当时，则，
，
所以存在唯一，使得，
所以函数在时，时，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以要使函数在区间上存在极值，
所以的最大值为3，
故选:B.
【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数，
则，
要使函数在处取得极小值，则，
故选：B.
【对点训练9】（2024·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】的定义域是，，
令，
所以在区间递减；在区间递增.
要使有两个极值点，则，
此时，
构造函数，
所以在上递增，所以，
所以，
所以实数a的取值范围.
故选：D
【对点训练10】（2024·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
令，得：
当 ，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，
反之，当 ，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；
当 ，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故选：A.
【解题方法总结】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
题型三：求函数的最值（不含参）
【例3】（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【解析】（1）因为，
所以，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令，
则，当时，，在上单调递增.
因为，，
所以，使得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以.
【对点训练11】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.
【答案】
【解析】由题意， ，，在上，
故函数单调递增，所以，，，
故的值是.
故答案为：
【对点训练12】（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则的最大值是________．
【答案】
【解析】因为，
所以
.
当时，，
所以在单调递增；
当时，，
所以在单调递减；
所以.
故答案为：.
【对点训练13】（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，，则函数的最小值为______.
【答案】/0.5
【解析】因为，
所以，
记，，
则，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
故当时，函数有最小值为，
故答案为：
【对点训练14】（2024·山西·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.
【答案】1
【解析】因为，，所以，所以，且，
所以，
设，，
则，因为，所以，在上为增函数，
因为，所以，则，所以，
所以，
令，则，
令，则，则在上为增函数，
令得，即，
则存在唯一实数，使得，即，
所以当时，，，当时，，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：.
【对点训练15】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由可得：,
所以，，
设，，
所以在上单调递增，所以，
则，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故的最小值为.
故答案为：.
【解题方法总结】
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
题型四：求函数的最值（含参）
【例4】（2024·天津和平·统考三模）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
【解析】（1）因为，，
所以，，
所以，，
因为两条切线平行，所以，解得
（2）由（1）可知，令，即，
即，即，又，解得，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，函数的最小值为.
（3）证明：因为，，，
令，则，即，
所以当时解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
所以在处取得极小值即最小值，
所以，
即的最小值为的解析式为，，
则，令，解得，
所以当时，即在上单调递增，
当时，即在上单调递增，
所以在处取得极大值即最大值，即，
所以，即当时，总有.
【对点训练16】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．讨论函数的最值；
【解析】函数的定义域为，，
当时，，在上单调递增，无最值；
当时，令，得，所以在上单调递减；
令，得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
【对点训练17】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
【解析】（1）由题设，则，且，
所以，
当时，当时，
所以的减区间为，增区间为.
（2）由题意，
所以，即，
又，且，
当或时，或时，
所以、上递减，、上递增，
又极小值，故最小值为.
【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
【解析】（1）当时，，，且．
当时，，，则，
即，故函数在上单调递增．
（2），
令，则，
由且，可得，，则，在内单调递增，
所以，
又当时，，
所以，在内单调递增，
故．
【对点训练19】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)若存在最大值M，证明：；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．
【解析】（1）的定义域为，
，
记，易知单调递增，
又因为，
所以存在，使得，
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以无最大值，即不符题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即．
（2）由（1）可知，且，所以，
，令，
则，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，又，
所以存在，使得，
可知，
因为，所以，所以，
由（1）可知，，即，
因为，所以，
所以．
设，易知单调递增，且，
所以，
所以，
即的最小值为．
【解题方法总结】
若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
题型五：根据最值求参数
【例5】（2024·四川宜宾·统考三模）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
【解析】（1）函数的定义域是，求导得，
令，求导得，递减，
递增，，
①当时，，递减，递增，有1个极小值点；
②当时，，
令，则，函数在上递增，，即，
当时，，此时，使得，
令，有，令，，
即有在上递增，，函数在上递增，，则，
当时，，此时，使得，
因此递减，递增，
递减，递增，有3个极值点，
所以当时，恰有一个极值点；当时，恰有三个极值点.
（2）由（1）知，①当时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，令，
，函数在上单调递增，，则；
②当时，，使得，，使得，
递减，递增，
递减，递增，
其中，则，
显然符合要求，即有，
综上提，
所以m的所有可能值是上的实数.
【对点训练20】（2024·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【解析】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为.
故答案为：（答案不唯一，、均可）.
【对点训练21】（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】，
所以在和上，，函数单调递减；
在上，，函数单调递增；
且
当时，，
即，
所以在区间上有最小值，则：
解得.
故答案为：
【对点训练22】（2024·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．
【答案】
【解析】函数定义域为，，显然，
当时，，当时，函数在上单调递减，，因此，
当时，函数在上单调递减，其取值集合为，
函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得，
而，于是，不符合题意，
当时，，令，，当时，，
即在上单调递增，，，即有，
当时，，即，当且仅当时取等号，因此，
当时，，显然当时，，函数在上单调递减，
，不符合题意，
综上得，，
所以则a的取值范围为.
故答案为：
【对点训练23】（2024·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．
【答案】
【解析】当时，，
，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以解得，与矛盾；
当时，，
(i)若，即，
则有在单调递减，单调递增，
所以解得，与矛盾；
(ii)若，即，
则有在单调递减，单调递增，
所以解得，满足题意；
综上，，
故答案为:.
【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______
【答案】
【解析】因为，
且函数在区间上存在最大值，
故只需满足，
所以，
解得．
故答案为：
【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】，，
当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在处取得极小值，在处取得极大值.
令，解得或，
又∵函数在上存在最小值，且为开区间，
所以，解得.
即的取值范围是.
故答案为：.
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
【例6】（2024·天津河北·统考二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
【解析】（1）当时，,,
,,
曲线在点处的切线方程,
切线方程.
（2）当时，，
则
令，得；
令，得；
所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．
（3）
令，因为，
所以方程，有两个不相等的实根，
又因为，
所以，
令，列表如下:
- 0 +
减 极小值 增
所以存在极值点.
所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，
记，
所以，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，的最小值为．
所以需要，
即需要，
即需要，
即需要
因为在上单调递增，且，
所以需要，
故的最小值是e．
【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得，当时，，
则，
令，得，，
，在内随x变化而变化的情况如下表所示：
x 1
+ 0
单调递增 极大值9 单调递减
故在内的极大值为9，无极小值；
（2），
①当时，，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递增，
所以在上，，
由题意，则，解得，与矛盾，
②当时，，且不恒为0，
所以函数在区间上单调递减，
所以在上，，符合题意，
③当时，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以在上，，
由题意，则，即，即，
即，解得或，与矛盾，
综上，实数a的取值范围为．
【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
【解析】（1）由得．
令，解得，，即，．
又，所以，．
，随x变化而变化的情况如下表所示：
x
+ 0 - 0 +
↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以函数在内的极大值点为，极小值点为．
（2）由题知．，
记，
则．
因为，所以，又，
所以，所以函数单调递增，，
所以当时，，即，函数单调递减；
当时，，即，函数单调递增．
，
，
，
显然，所以函数在上的最小值为，最大值为．
【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
【解析】（1）由已知可得，.
因为是函数的极值点，
所以当时，，即，所以.
此时有，.
令，，
则在上恒成立，
所以，即在上单调递减.
又当时，，
所以时，，所以函数在上单调递增；
时，，所以函数在上单调递减.
所以，当时，函数取得极小值，所以，
所以．
则，
所以，．
因为，所以.
设，
要使在内单调递减，则应有在内恒成立，
只需在内恒成立，只需在上的最小值即可．
当时，满足条件；
当时，，
此时，函数在处有最小值，
所以，解得，所以；
当时，，
此时，要使在上恒成立，
所以只需，解得，所以.
综上可知，实数m的取值范围为．
（2）由已知可得，，
则.
因为，所以，.
当时，有.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
故的极大值为.
又，
由零点存在性定理知，可知在内存在一个零点.
又，
故函数有2个零点．
（3）由题可得（且），
则.
设，则，
令，解得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在内单调递增.
所以，故恒成立.
又因为当且时，，
所以恒成立，所以在上单调递减，
故在内的最大值为，最小值为．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【例7】（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【答案】
【解析】当，且时，由，得.
设，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
所以，得，
等价于，而，
当且仅当时等号成立.
所以，则，
所以，
解得，所以b的最大值是.
故答案为：
【对点训练29】（2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】令 ，则
，
令，，则 ,
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，
令，，，则，
当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
若恒成立，即恒成立，所以，所以；
故答案为：.
【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______
【答案】
【解析】存在，要使成立，即，，
令，，即，
又，设，，
则，则在内单调递增，
，则，在内单调递增，
，故m的取值范围为．
故答案为：.
【对点训练31】（2024·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】原题等价于，.
令，，则.
当时，.
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以，函数在处取得唯一极大值，也是最大值.
又，所以.
令，，则.
当时，.
因为，
所以，当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增.
所以，函数在处取得唯一极小值，也是最小值.
所以，当时，有.
要使时，有恒成立，则应有.
故答案为：.
【对点训练32】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）是上的奇函数，
，即，得恒成立，
可得，即，
又当时，取得极值，，
解得，故函数，导函数，
令解得，当或时，，
当时，，
单调增区间为和，单调减区间为，
故当时，取到极大值
（2），对任意，都有成立，只需在时恒成立，
构造函数，，则有，
令可得或，当时，，单调递减
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取到极大值，又，故的最大值为8，
故实数的取值范围为：；
（3）若对任意，，都有成立，
即在区间上的最大值都小于或等于的最小值，
由（1）可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，函数取到极小值，也是该区间的最小值，
而为开口向上的抛物线，对称轴为，故当时取最大值，
由，解得
故实数的取值范围为：
【解题方法总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
2．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
3．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，
为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第16讲 极值与最值
知识梳理
知识点一：极值与最值
1、函数的极值
函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．
2、函数的最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
导函数为
（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【解题方法总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
必考题型全归纳
题型一：求函数的极值与极值点
【例1】（2024·全国·高三专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．6
【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值
C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为
【对点训练2】（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【对点训练3】（2024·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数，，为的导函数．
(1)当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；
(2)若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．
【对点训练4】（2024·河北·统考模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；
(2)当时，讨论极值点的个数．
【对点训练5】（2024·江苏无锡·校联考三模）已知函数.求的极值；
【解题方法总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
题型二：根据极值、极值点求参数
【例2】（2024·贵州·校联考模拟预测）已知函数在处取得极大值4，则（ ）
A．8 B． C．2 D．
【对点训练6】（2024·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练7】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练9】（2024·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练10】（2024·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
题型三：求函数的最值（不含参）
【例3】（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
【对点训练11】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.
【对点训练12】（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则的最大值是________．
【对点训练13】（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，，则函数的最小值为______.
【对点训练14】（2024·山西·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值为__________.
【对点训练15】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知正实数，满足：，则的最小值为______.
【解题方法总结】
求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．
题型四：求函数的最值（含参）
【例4】（2024·天津和平·统考三模）已知函数，，其中.
(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；
(2)若时，求函数的最小值；
(3)若的最小值为，证明：当时，.
【对点训练16】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．讨论函数的最值；
【对点训练17】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若a=2，求的单调区间；
(2)已知，求的最小值．（参考数据：）
【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论函数在上的单调性；
(2)当时，求在内的最大值；
【对点训练19】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数．
(1)若存在最大值M，证明：；
(2)在（1）的条件下，设函数，求的最小值（用含M，k的代数式表示）．
【解题方法总结】
若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
题型五：根据最值求参数
【例5】（2024·四川宜宾·统考三模）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若，的最小值是，求实数m的所有可能值.
【对点训练20】（2024·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．
【对点训练21】（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.
【对点训练22】（2024·福建泉州·高三统考阶段练习）已知函数的最小值为0，则a的取值范围为______________．
【对点训练23】（2024·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．
【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______
【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.
题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用
【例6】（2024·天津河北·统考二模）已知，函数，其中e是自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.
【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在内的极值；
(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．
【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知．
(1)求函数在内的极值点；
(2)求函数在上的最值．
【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）设函数，已知是函数的极值点．
(1)若函数在内单调递减，求实数m的取值范围；
(2)讨论函数的零点个数；
(3)求在内的最值．
题型七：不等式恒成立与存在性问题
【例7】（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.
【对点训练29】（2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.
【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______
【对点训练31】（2024·浙江金华·统考模拟预测）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【对点训练32】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
(1)求函数的单调区间和极大值；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．
【解题方法总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数
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