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第50讲 外接球、内切球、棱切球
知识梳理
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
必考题型全归纳
题型一：外接球之正方体、长方体模型
例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，因为正方体的表面积为，可得，解得，
则正方体的对角线长为，
设正方体的外接球的半径为，可得，解得，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
例2．（2024·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】该球为正方体外接球，其半径与正方体棱长之间的关系为，
由，可得，所以球的表面积.
答案：
例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球的表面积是
【答案】
【解析】由题意可知：长方体的长宽高为2，3，4，所以长方体的体对角线长为：，故长方体的外接球的半径为，球的表面积为：，
故答案为：
变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为 .
【答案】
【解析】因为长方体的外接球的表面积为，
设球的半径为，由题意，，，
长方体的外接球的一条直径为.
因为，，所以，，
则长方体的体积为.
故答案为：
变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】由题意，根据长方体外接球的性质，可得，
，该长方体的外接球的表面积.
故答案为：.
题型二：外接球之正四面体模型
例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
【答案】
【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，
所以该正四面体的表面积为，所以，
又正方体的面对角线可构成正四面体，
若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，
所以球O的体积为．
故答案为：
例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为，
则正四面体为，
设球的半径为R，则，
解得，
所以则正方体的棱长为，
所以正四面体的棱长为，
故答案为：
例6．（2024·全国·高三专题练习）棱长为的正四面体的外接球体积为 .
【答案】
【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.
设立方体的外接球半径为，则，
所以立方体外接球的体积.
故正四面体的外接球体积为.
故答案为：
变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】由图可知正四面体的外接球的体积等于正方体的外接球的体积，求正方体外接球体积即可．
如图，由题可得正四面体与正四面体全等，
所以正四面体的外接球的体积等于正四面体的外接球的体积，
也即是正方体的外接球的体积，
因为正方体棱长为1，所以外接球直径为，
所以正方体的外接球的体积为：，
所以正四面体的外接球的体积为．
故答案为：．
变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为 .
【答案】
【解析】设正四面体的边长为，则该正四面体每个面的面积为，
正四面体的侧面积与底面积之差为，解得.
如下图所示：
过点作平面，垂足为点，连接，可知外接球球心在上，
设球的半径为，的外接圆半径为，，
由图可知，，即，解得.
因此，正四面体的外接球体积为.
故答案为：.
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
例7．（2024·高一单元测试）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，
所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．
故答案为．
例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有，整理得，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有，
所以所求的球体表面积为：．
故选：A．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，
解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
故选：C
题型四：外接球之直棱柱模型
例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
【答案】52π
【解析】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则，
正六棱柱的体积，
当且仅当，即时，等号成立，此时正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点，
其半径为，∴外接球的表面积为．
故答案为：．
例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，因为，所以.
于是（是外接圆的半径），.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，
所以球的半径为.
所以球的表面积为，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面积是
.
故选：D.
例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
【答案】C
【解析】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，
则，所以，则，
外接圆的半径为，
所以棱柱外接球的半径为，
令，则，则，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
则该三棱柱外接球表面积最小值为.
故选：C.
变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱的体积为，则其外接球表面积的最小值为（　　）
A．12π B．6π C．16π D．8π
【答案】A
【解析】设正三棱柱底边为，高为，外接球半径为，如图所示，取上下底面正三角形的
的中心分别为（D在中线CE的三等分点靠E处），易知三棱柱的外接球球心在的中点处.
故
由题意可得:
外接球表面积为：
当且仅当时取得最小值.
故选：A
变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱中，已知，侧面，且直线与底面所成角的正弦值为,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三棱柱如图所示，
因为，所以该三棱柱为直三棱柱.
因为侧面，所以三条侧棱两两互相垂直.
所以为直线与底面所成角，
所以，则.
因为所以.
将三棱柱补成长方体，设外接球的半径为，
所以，
所以.
故选D.
变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．
【答案】D
【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，
∵正△的边长为6，则
∴
外接球的表面积.
故选：D．
题型五：外接球之直棱锥模型
例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面，
可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为，则外接球的球心为的中点，
的外接圆半径为，，
所以球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为，
故答案为：．
例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，
此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球，
设球心为O，作平面，则为的外接圆圆心，连接，则，
设的外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R，
由正弦定理，得，所以，
中，，所以，解得，
所以．
故答案为：．
例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以，
设是PA中点，因为，所以，
因为平面平面ABC，所以，因此，
因此四边形ODAG是平行四边形，故，
∵，∴，
又外接圆的半径，由正弦定理得，
所以该外接球的半径满足，
所以外接球的表面积为.
故答案为：．
变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 .
【答案】/
【解析】设，则，
取正三角形的外心为，设四面体的外接球球心为，
连接，则平面，
又平面，则，
则平面截球所得截面为大圆，又，
则
又底面外接圆的半径，
所以三棱锥外接球的半径.
当时，有最小值，
所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.
故答案为：
变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】如图，
分别取、、、的中点、、、，
连接、、、、，可得，，
则为异面直线与所成角，∴，
由面，而，故面，面，则，
设，可得，，，，则，
在中，由余弦定理，可得，
，解得，
设底面三角形的中心为，三棱锥的外接球的球心为，
连接，则平面，
由底面三角形是边长为2的等边三角形，可得，
∴为三棱锥外接球的球心，∴，则，，
又，可得，
则三棱锥的外接球的半径．
∴三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】取中点，中点，连接，则，
因为底面，所以平面，
因为四边形是菱形，则，所以是的外心，
又底面，平面，所以，
所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心．
又，，所以，
所以，
所以三棱锥的外接球体积为．
故答案为：．
变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥中，平面BCDE，，，，且，则该四棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】连接，
因为，，所以在直径为的圆上，
取的中点，即四边形外接圆的圆心，
在中，即，解得，
所以四边形外接圆的直径即外接圆的直径为，
所以，
因为平面BCDE，所以四棱锥的外接球的球心与底面的距离为，
所以四棱锥的外接球的半径为，对应的表面积为
故答案为：
变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥中,平面,,,,则三棱锥外接球的体积是 ．
【答案】
【解析】如图,将三棱锥还原成直三棱柱,设三棱柱的外接球球心为,分别为上下底面的外心,则为的中点,为底面外接圆的半径,
所以球心O到面的距离为,
由正弦定理有:
,
所以,
.
故答案为:.
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，是正四棱锥的高，而，则，
，显然正四棱锥的外接球的球心O在直线上，
令，则，
在中，，解得，
所以该四棱锥的外接球体积为.
故答案为：
例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为
【答案】
【解析】如图，正三棱锥中，设点Q为的中心，则PQ⊥平面ABC，
∴，∴，PQ＝3．
球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，
则，，
在中，，即，解得，
∴球O的表面积为．
故答案为：.
例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥中，点D在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】在正三棱锥中，取的中点E，连接，，如图，
由，，得，，又，平面，，
则平面，而平面，于是，又，,平面，
因此平面，而平面，从而，，且，
由，得，，由于两两垂直，
则以为棱的长方体与三棱锥有相同的外接球，
于是三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，高为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】/
【解析】设顶点P在底面的投影为（为等边的中心），则该三棱锥外接球的球心O在上，连接，
因为底面，则侧棱与底面所成的角为，可得，
设棱锥外接球的半径为R，
因为，即，解得，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球体积为 ．
【答案】
【解析】在正三棱锥中为等边三角形，顶点在底面的射影为底面的重心，所以，
又，，所以，所以，同理可得、，
即，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径，
所以三棱锥的外接球体积.
故答案为：
变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（ ）

A．64 B． C． D．
【答案】B
【解析】设外接球球心为，等边三角形的外心为，等边三角形的外心为，
三点共线，则是正三棱台的高，
设台体的高为，设外接球的半径为，
过作，垂足为，根据正棱台的性质可知，
所以平面，平面，所以，
设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.
设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.
在直角三角形中，，
所以.
当球心O在线段上，则，解得，
当球心O在的延长线上时，则，无解，
所以正三棱台的外接球表面积为.
故选：B
变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示，，，
为外接球球心，设外接球半径为R，分别为棱台上下底面的中心，
则，
由勾股定理得：，，
设，则，，
故，解得：，
故，
故球的表面积为.
故选:B
变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
连接交于点，连接，则平面ABCD，
因为正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为，
所以，
设外接球的半径为R，易知球心O在线段上，
在中，，即，
解得，
所以外接球的表面积为，
故答案为：
变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
作平面，垂足为H．连接，则H为的中点．
设，则，，从而，故四棱锥的体积为，解得．
由题意可知正四棱锥外接球的球心O在上，连接．
设正四棱锥外接球的半径为R，
则，即
解得，故该四棱锥外接球的体积为．
故答案为：
变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
图1
设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1，分别是上下底面的中心，连结，，，根据边长关系，知该棱台的高为，则，
由，且四边形为直角梯形，，，可得，则，
当且仅当，即时等号成立，此时棱台的高为1.
上底面外接圆半径，下底面半径，设球的半径为R，显然球心M在所在的直线上.
显然球心M在所在的直线上.
图2
当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图2，设，则，，显然
则，有，即
解得，舍去.
图3
当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段的延长线上，如图3，设，则，显然
即，即
解得，，
此时，外接球的表面积为.
故选：D.
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以，
所以是以为斜边的直角三角形，
因为，
所以点P在平面内的射影是的外心，
即斜边的中点，且平面平面，
于是的外心即为三棱锥的外接球的球心，
因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径．
因为，，
所以，
于是，
根据正弦定理知的外接圆半径R满足，
所以三棱锥的外接球半径为，
因此三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：
例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】/
【解析】取的中点，连接，因为，
所以和都是等边三角形，所以，
所以是二面角的平面角，即，
设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，
因为，公共边，所以≌，
所以，
因为，所以，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为
故答案为：
例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图：
过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则都是直角三角形，
又，同理可得，，
所以M点是的外心；
又，是以斜边的直角三角形，
在底面的射影为斜边的中点，如下图：
则，设三棱锥外接球的球心为，半径为，
则在上，则，即，得，外接球的表面积为；
故答案为：
变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为 .
【答案】
【解析】设，则，
因为，则，
在中，因为，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
可知，即，所以两两垂直，
可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，可知球O即为正方体的外接球，
其体对角线即为外接球的直径，即，
所以球O的体积.
故答案为：.
变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取中点为，连接，易知
在中：
又平面
为外心球心在上
设半径为，球心为
在中：
故答案选A
变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接
过作∥,且=，连接，则
∵△为等边三角形，则
∴，，根据题意可得
∵，则
由题意可得，则，则
如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接
，则
∴△的外接圆半径，则
设棱锥的外接球的半径为，则
即，解得
三棱锥的外接球的表面积为
故选：D．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．s D．
【答案】D
【解析】作出图形，根据题中数据证明出平面平面，并找出球心的位置，列等式求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果.如下图所示：
取的中点，连接、，设和的外心分别为点、，分别过点、作平面和平面的垂线交于点，则点为外接球球心，
由题意可知，和都是边长为的等边三角形，
为的中点，，且，
，，，
，平面，平面，平面平面，
易得，，
平面，平面，，
同理可得，则四边形为菱形，，菱形为正方形，
平面，平面，，
所以外接球的半径为，
因此，四面体的外接球的表面积为.
故选：D.
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】由题设，圆锥体的高为，
若外接球的半径为，则，可得，
所以圆锥的外接球的体积为.
故答案为：.
例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为 .
【答案】/
【解析】作圆锥的轴截面，则该轴截面等边△的外接圆圆心即为圆锥的外接球球心，且△ABC外接圆半径等于圆锥的外接球半径，如下图所示，
因为圆锥的侧面积，所以,
设球的半径为R，由正弦定理得，
因此，这个球的表面积为.
故答案为：
例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 .
【答案】
【解析】设球的半径为，则圆柱的表面积，
球的表面积，所以.
故答案为：.
变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球的半径为，则，所以，，
取圆台的轴截面，如下图所示：
设圆台的上、下底面圆心分别为、，则、分别为、的中点，
连接、、、、、，则，
由垂径定理可知，，，
所以，，，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以，，则，
因此，圆台的侧面积为，
故选：D.
变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得圆台的高为，
设圆台的上下底面圆心为，，，球的半径为，
当圆台的两个底面在球心异侧时，，
所以，
解得，；
当圆台的两个底面在球心同侧时，，
，
解得，，
此时，不合题意，舍去，
故球的体积，
故选：B．
变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上 下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，
设圆台的上 下底面圆心分别为，在上 下底面圆周上分别取点，
连接，如图，
因为圆台上 下底面的半径分别为3和4，
所以，，
所以，,
所以，
所以圆台体积.
故选：D.
题型九：外接球之垂面模型
例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .

【答案】/
【解析】作出底面的外心，侧面的外心，取中点，
连接，因为平面平面，面平面，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
又因为平面，所以平面，
由球的性质可得平面，所以，
同理，所以四边形为平行四边形，
故，
在中，因为，，则，
设的外接圆半径为，根据正弦定理有，则，
设三棱锥外接球的半径为，则，
则外接球的表面积为.
故答案为：.
例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，
取BC中点G，连接AG,DG，则，，
分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，
由，
所以正方形OEGF的边长为，则，
所以四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故答案为：．
例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥中，平面平面，点是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】因为，所以的外接圆圆心即点，三棱锥外接球球心在过点与平面垂直的直线上，
由于平面平面即球心在平面内，
所以球心即为的外接圆圆心，球的半径即为的外接圆半径.
因为，所以，从而.
设，在中，根据余弦定理有，所以，
由正弦定理得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】取的中点E，连接AE，如图．
因为，所以．
又面面，面面，且面，
所以面，面，所以．
在直三棱柱中，面ABC，面ABC，所以．
又AE，面，且AE，相交，所以面，面，
所以．
设，则，解得，
所以．
所以三棱柱外接球的表面积．
故答案为：
变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥中,平面平面ABC,,,,为等边三角形,则三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为平面平面,平面平面,平面,所以平面;
如图,因为,所以三角形的外心即为中点,
过三角形的外心作平面的垂线,
过三角形的外心作平面的垂线,
则两垂线必相交于球心,连接,则外接球半径.
在中,,,
所以,
所以表面积.
故答案为:.
变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .

【答案】
【解析】在平面四边形中设，
即在Rt中，.
在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得.
设三棱锥外接球球心为，则平面.
又平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，则，所以四边形为直角梯形.
设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于，
在中，为的中点，，
由，
所以
.
令，则，
因为，当且仅当，即时（满足）等号成立.
所以，
所以外接球表面积的最小值为.
故答案为：
变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，作中点，连接、，
在上作的中心，
过点作平面的垂线，
在垂线上取一点，使得，
因为三棱锥底面是等边三角形，
是的中心，
所以三棱锥外接球球心在过点的平面垂线上，
又因，则即为球心，
因为平面平面，，，
平面平面，，
所以平面，
，
，
，，
设球的半径为，
则，
，
即，解得，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为 ．

【答案】
【解析】设，由矩形的性质可知：，
则三棱锥的外接球的球心即为，半径，
所以三棱锥的外接球的体积.
故答案为：.
变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【解析】依题意，点是三棱锥外接球的球心，设球的半径为是外接圆的圆心，
设圆的半径为，点到底面的距离为，
由题意，可得，则.
因为是边长为3的正三角形，
所以由正弦定理，可得，则.
所以三棱锥的体积为，
三棱锥的体积取最大值则需要最大.
由题意可知，点在过且与底面（此处底面为水平）垂直的截面圆的圆周上运动，当点运动到该圆的最高点时，最大.
取的中点，连接，过点作.如图所示，
由圆的对称性可知，此时，则.
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面.
因为在中，，
又，
所以.
易得四边形为矩形，
所以.
因为在中，，
所以，
所以.
故答案为：.
变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥中，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】
如图，取中点，连接，，
由，则，，
由面面ABC，面面ABC，面，所以面ABC，
而面，所以，
设，，则，
易知，，
取外接圆的圆心，易知在直线上，设外接圆半径为，
由正弦定理，，
同理，取外接圆的圆心，则在直线上，，
过，分别做平面和平面的垂线交于点，
易证，，
∴，为三棱锥外接球的球心.
①当时，，，，
，分别在线段，上，易知，
设三棱锥外接球的半径为，则，
，
由基本不等式，，
当且仅当，即时，等号成立.
②当时，，，，
，分别在线段，的延长线上，如下图所示，
此时，，
∵，∴，且无最小值.
综上所述，的最小值为，
∴三棱锥的外接球表面积的最小值为.
故答案为：.
变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】在平面图形中设，即Rt中，
.在中，.
设外接圆圆心为，外接圆半径为，
由正弦定理可得.
设三棱锥外接球球心为，则平面.
又平面平面，交线为平面
四边形为直角梯形.
设外接球的半径为，在平面中，过做于，
在中，为的中点，
.
令，则
，
当且仅当时，即时（满足）等号成立.
所以球表面积最小值为.
故答案为：.
题型十：外接球之二面角模型
例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，
故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接，
因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角，
△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；
在平面ABC内，设，则，，
因为，所以，所以，
所以
令，则，
所以，当且仅当时取等，
故选:B
例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正的重心为，则是正的外接圆的圆心，
取的中点，因为，所以是的外接圆的圆心，
过作平面，过作平面，，如图，
则为四面体的外接球的球心，
又二面角的大小为，则，
又在正中，，
则在中，，
设四面体PABC的外接球的半径为，
则，
所以四面体PABC的外接球的表面积为.
故选：C.
例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为点均在球的表面上，
所以四边形内接于圆，所以，所以，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，又，
所以二面角的平面角为，所以，
在中，因为，所以，
由余弦定理可得：，
即，即或（舍去），
所以，所以外接圆的直径为：，
即四边形外接圆的直径为，
因为平面，所以，四棱锥外接球的半径为：
所以四面体外接球的表面积为.
故选：B.
变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
【答案】A
【解析】如图所示，取的中点，连接，分别取和的外心与，
过两点分别作平面和平面的垂线，交于点，
则就是外接球的球心，连接，
则为二面角的平面角，即，
则是等边三角形，其边长为，，
在中，，所以，
又由，所以，
所以四面体的外接球的表面积为.
故选：A.
变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥，如图2．若二面角的大小为，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取AC的中点E，AB的中点F，连接ME，EF．
因为，所以．易知，因为，
所以，所以．
过点E作OE⊥平面MAC，过点F作OF⊥平面ABC，
，连接OA，易知E，F两点分别是△MAC和△ABC的外心，
所以点O是三棱锥的外接球的球心．
因为，所以，，
所以，因为，，
所以，所以，
又，所以，
则三棱锥的外接球的半径为，
所以外接球的表面积．
故选：C.
变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在中，，，，，沿将折起，使得二面角为60°，得到三棱锥，如图2，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，平面，平面，所以平面．
又平面，则，因为平面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面．
又平面，所以，即90°．因为为60°，所以60°，
在中，，可得，．
易知，的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合，
如图所示，则该长方体的外接球即为的外接球，球心PC的中点，
，表面积为，故A正确．
故选：A.
变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，
因为，所以到的距离相等，
故即为球心．
由球的表面积等于，设外接球半径为，故，
解得，过作垂直于于点，
因为，，所以，同理，
过点作，且，则，是二面角的平面角，，过点作，垂足为点.
因为，，且两直线在平面内，所以平面，
又平面，所以，,且两直线在平面内，所以平面，
则为三棱锥的高，
故三棱锥的高为，
其中，
所以三棱锥的体积．
故选：B.
变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，设E，F，G分别是BC，AC，BD的中点，则，
因为，所以，
则二面角的平面角为，且平面EFG，
又因为，所以，所以，
因为平面EFG，所以，所以平面ABC．
又因为F是外接圆的圆心，所以FG经过球心，且G是外接圆的圆心，
所以G是三棱锥外接球的球心，
设外接球的半径为，则，
故三棱锥外接球的表面积．
故选：D.
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接，
因为，，所以，.
因为平面平面，所以平面.
设，
所以，
所以球的体积为.
故选：
例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由是其外接球的直径，得中点是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．求出中长（用余弦定理），由正弦定理求得外接圆半径，求出面积，求体积求出，从而可得外接圆半径，得表面积．如图，是中点，则是外接球球心，设是的外心，则平面，且等于到平面的距离的一半．
∵，，∴，
，，
，，
，
∴，
．
故选：D.
例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,是边长为的等边三角形,三棱锥的体积为,则球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出其立体图像,如图:
设中点为
为球的直径,故点为三棱锥外接球的球心.
设外接圆的圆心为
是边长为,故外接圆半径为:.
故
是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得:
三棱锥的体积为
根据三棱锥体积公式可得:
可得,解得:
根据几何关系可知:
在中,有
根据球的表面积公式为
故选:A.
变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积.原题如下图所示：
由，得：
则
设外接圆圆心为，则
由正弦定理可知，外接圆半径：
设到面距离为
由为球直径可知：
则
球的半径
球的表面积
本题正确选项：
变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图：由题意，是球的直径，
，，
，，
，
，
，
球的半径为，
球的表面积为，
故选：．
变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
连接AO,BO因为PA=AC,PB=BC,所以和为等腰三角形,又因为为球O的直径,所以O为PC的中点,所以,又因为平面PCA平面PCB,所以BO,又因为所以平面PBC,设半径为r，则
，所以，故选B．
变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥的各顶点均在球上，为该球的直径，，三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，，
三棱锥的体积为，
所以，
解得三棱锥的高为，
设为三角形的外接圆的圆心，
连接，则平面，
因为为该球的直径，
所以，
连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为
，
由勾股定理可得球半径
球的表面积为，故选D.
变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意作出图形如图示.设球心为O，球的半径r.
过三点的小圆的圆心为，则⊥平面，延长交球于点，则平面.所以.
因为为的中点，所以
因为是边长为4的等边三角形，所以.且.
由勾股定理得：.
所以.
所以三棱锥的体积为，解得：.
所以该三棱锥的外接球的表面积为.
故选：D
变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知是球的直径，是球球面上的两点，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设球心为是球心的直径，是的中点，，设到面距离为，则，即，由正弦定理可得外接圆直径为球半径为，球表面积为，故选D.
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴，即，
取PC的中点M，如下图：
连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，
在中MO=PC，
∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，
，
外接球半径为 ，外接球的体积为 ；
故选：B．
例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，则，所以，
又因为，，，则，所以，
由，，，则，所以，
又由，，，则，所以，
可得为三棱锥的外接球的直径，
又由，
所以此三棱锥的外接球半径为，
所以球的表面积为．
故选：C．
例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为，
所以，
则，
所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以平面AOB，
所以，
解得，
所以其外接球的体积为，
故选：D
变式47．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示．
∴外接球的半径．故．选C．
变式48．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
【答案】1
【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
题型十三：外接球之坐标法模型
例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取，则是长方体，
其对角线长为，
∴四面体外接球半径为．
，
故选：B．
例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为
【答案】
【解析】如图将正方体补全，依题意可得、、、为正方体底面边上的中点，
要使球的表面积最小，即为求的外接球的表面积，
如图建立空间直角坐标系，则，，则几何体外接球的球心必在上、下底面中心的连线上，
设球心为，球的半径为，则，
即，解得，
所以，
所以外接球的表面积，即该球表面积的最小值为.
故答案为：
例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】
过C作面于H，
则三棱锥的体积为，所以，
取AD中点M，连接CM，MH，
因为为等边三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中，所以
以AB，AD为轴，垂直于AB，AD方向为轴，建立如图所示空间坐标系，
设球心，在面的投影为，
由得，
所以N为的外接圆圆心，所以N为斜边的中点，故设
由得，解得，
所以，
故外接球的表面积为，
故答案为：
变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；
故选：B
变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
则，，，
于是，
则，∴，四棱锥外接球直径为，故其表面积为．
故选：B.
变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】设三棱锥外接球球心为，半径为R，
则在过直角斜边的中点与平面垂直的直线上，且满足.
以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设球心，，又，
设，，则，
由，得，
则，由，，可得，
又，所以当时，取最小值，最小值为，
所以三棱锥外接球表面积的最小值为.
故答案为：.
变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱 的中点，G为面对角线上一个动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】以DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建系.
则，设，球心，
，又.
联立以上两式，得，所以时，，为最小值，
外接球表面积最小值为.
故答案为：.
变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
设为的中点，为三棱锥外接球的球心，
则为外接圆的圆心，平面，，
设，
则，
所以，
化简得，
所以，
所以球的半径.
故答案为：.
题型十四：外接球之空间多面体
例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】
设正方体的中心为，为棱的中点，连接，
则为矩形的对角线的交点，
则，
同理，到其余各棱的中点的距离也为，
故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为，
故答案为：
例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
【答案】
【解析】因为棱长为的正四面体的高为，
所以截角四面体上下底面距离为，
序曲其外接球的半径为，等边三角形的中心为，正六边形的中心为，则垂直于平面与平面，则,
所以，解得，
所以该截角四面体的外接球的表面积为,
故答案为：
例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于 ．
【答案】
【解析】设正四棱锥底面的正方形为，顶点为，棱的三等分点为点和点，棱的三等分点为点和点，连接与交于点，连接，，，，，则底面，如图所示，
因为正四棱锥的棱长是6，即，
所以，
所以，
即，
所以正四棱锥的外接球的球心为点，，
又因为，，，
所以，则,
同理可证，则,
又因为，，，
所以，则，
同理可证出该几何体其他顶点到点的距离都相等，
故剩下的几何体的外接球的球心也为点，
，
所以在中，，
解得，
即剩下的几何体的外接球的半径为，
故剩下的几何体的外接球的表面积：，
故答案为：．
变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设上下底面的中心分别为，设该“四角反棱柱”外接球的球心是，
显然是的中点，设的中点为，连接，
过做，垂足为，
因为，，
所以，
在直角三角形中，，
所以有，于是有，
在直角三角形中，，
所以该“四角反棱柱”外接球的表面积等于，
故选：B
题型十五：与球有关的最值问题
例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示，取的中点为，连接，
因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，
因为平面，所以，
又因为且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
设，在直角中，，同理，
所以，整理得到，
又由
，
当且仅当时等号成立，即时，的面积取最小值，
因为平面，平面，所以，所以，
又因为为直角三角形，故，所以为三棱锥的外接球的球心，
设外接球的半径为，可得外接球的直径为，
所以外接球的体积为.
故答案为：.
例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】由余弦定理得：
设，则，
由得：，解得：，
因为，故
由基本不等式得：当且仅当，且时，即时取最小值.底面三角形外接圆半径，
.
故答案为：
例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为 .
【答案】
【解析】如图以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取的中点，连接，，，
得，，，，，所以，，
，因为，，所以
，，所以平面，因为，点又在平面上，所以点在
直线上，则，当的面积取得最小值时，线段的长度即为点到直
线的距离，即时，面积最小，由，，为直角三角形，可得
，，，过点作交平面于点，连接，，可以得
到直三棱柱，向外构建长方体，则三棱锥外接球即可以为长方
体的外接球，设外接球的半径为，所以，即
，则外接球体积为.
故答案为：
变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】由勾股定理得：，
设BP=x，，则，，
，
由得：，解得：，
因为，故
由基本不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，
其中长方体的外接球的直径为，
故半径为，故三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示：设球心为所在圆面的圆心为，则平面．
因为为等腰直角三角形且，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的表面积为.
故答案为：．
变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥S－ABCD的体积最大．
设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆心分别为，，正方形ABCD外接圆半径为，则平面ABCD，平面SAB．
因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，
所以，，
由勾股定理得，
所以球O的表面积．
故答案为：
变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为 .
【答案】/
【解析】正中，为的中点，则，而平面，平面，即，
而，平面，则平面，平面，有，又，
因此，与的斜边中点到点A，B，M，P的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点，
从而，点O是三棱锥外接球球心，设球的半径为，有，
的外接圆圆心为的中点，设为，连接，则平面，如图，
则有，即到平面的距离为，
因此到平面距离的最大值为，
又，即有，解得，，，
所以球的体积为.
故答案为：
变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点，，，在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为 .
【答案】/
【解析】依题意，三角形为正三角形，面积为，
设四面体的高为，则，解得，
设球心为O,三角形的外接圆圆心，当四面体体积最大时，三点共线，如图，
三角形所在平面截球得到的圆为三角形的外接圆，其半径，
连接球心和三角形的外接圆圆心，则平面，设球的半径为，
，
，解得，
这个球的表面积为，
故答案为：
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正方体的内切球的球心为，由对称性可知为正方体的中心，球半径为1，
即球的体积为.
故选：B.
例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，故，
故的内切圆的半径为.
因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为，
故外接球的的表面积为.
故选：D.
例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
【答案】D
【解析】根据球的体积公式，，解得.
因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为，故正方体的体积为.
故选：D.
变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半
径，则内切球的半径，正三棱柱的高．
设正三角形的外接圆半径为R，易得，
所以外接球的半径．
所以它的外接球与内切球体积之比为．
故选：C
变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正三棱柱的底面边长为高为，
对三个侧面进行展开如图，
要使线段的最小值是，则连接（左下角，右上角），
此时在连接线上，故①，
因为正三棱柱内部存在一个半径为的内切球，
所以整理得，
将代入①可得，
所以正三棱柱的底面外接圆半径为，
所以正三棱柱的外接球半径为，
所以该棱柱的外接球表面积为
故选：B
变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：分别为底面中心，为的中点，为的中点
设正六棱柱的底面边长为
若正六棱柱有内切球，则，即内切球的半径
，即外接球的半径
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
故选：C．
变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直三棱柱的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，
由题意可知球O的表面积为，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，
∴连接OA，OB，OC，可将直三棱柱分成5个棱锥，
即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，
两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，
∴由体积相等可得直三棱柱的体积为h＝ahr＋bhr＋chr＋2×r，
即4＝（a＋b＋c）hr＋，∴＝，
∴三棱锥的体积为h＝×4×4＝．
故选：B．
题型十七：内切球之正四面体模型
例49．（2024·高一课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，
，
设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，
由等体积法可得，解得，
因此，该正四面体的内切球的体积为.
故选：D.
例50．（2024·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设正四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点，作平面于，则为中心，
则，.
，，
，
又，，
内切球表面积.
故选：.
例51．（2024·江苏·高一专题练习）正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为，令正的中心为，连接，
显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，即，
而，则，
在中，，解得，，
所以它的内切球与外接球的表面积之比为.
故选：D
题型十八：内切球之棱锥模型
例52．（2024·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点，由矩形的性质可知，
即为该四面体的外接球的球心，故外接球的半径；
因为，，平面，
可得平面，
平面，则，
且，，平面，
可得平面，
平面，则，故该四面体的四个面都是直角三角形，
设四面体的内切球的半径为，
因为内切球与四面体的四个面都相切，故满足，
则，解得；
因此该四面体的内切球和外接球的表面积的比值为.
故选：C.
例53．（2024·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥，
则，
过P作底面垂线，垂足为H，则，
所以，则，
故其内切圆表面积为，
故选：B．
例54．（2024·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，
在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的中心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，
解得，，
此三棱锥的体积为.
故选：D.
变式64．（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面，平面，平面，平面，
所以，，，
又，
所以平面，所以，
所以均为直角三角形，
设球的半径为r，则，
而，，
所以，解得，
所以球的表面积为，
故选：A.
变式65．（2024·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图形，已知正方体的棱长为2，易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半，
即为，
如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，为正八面体的中心，平面，平面，则，，.
在中，，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为，
，即，解得，
.
故选：C.
变式66．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为四面体四个面都为直角三角形，平面，
所以，，
设四面体内切球的球心为，半径为，
则
所以，
因为四面体的表面积为，
又因为四面体的体积，
所以，
所以内切球表面积.
故选：C.
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
例55．（2024·全国·高三专题练习）在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，
由对称性知其内切球球心在上，到的距离相等为球的半径，设其为，
因为是直角，所以是正方形，即，
由得，即，解得，
球体积为．
故选：C．
例56．（2024·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆锥的母线长为，取圆锥的轴截面如下图所示：
设该圆锥的内切球的半径为，则，
所以，，
因此，球的体积为.
故选：C.
例57．（2024·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 D．圆锥的内切球表面积为
【答案】B
【解析】由题设，底面直径，故半径为，体高为，
所以圆锥的体积为，A正确；
圆锥的表面积为，B错误；
底面周长为，侧面展开扇形半径为2，故圆心角为，C正确；
由轴截面是腰长为2的等腰直角三角形，圆锥的内切球最大截面为其内切圆，
所以内切球半径为，故球体表面积为，D正确.
故选：B
变式67．（2024·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，
则，，
因为⊥，⊥，所以∽，则，
设，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圆锥的表面积为，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值，，
此时，，
设圆锥的外接球球心为，连接，设，
则，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面积为.
故选：A
变式68．（2024·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，即
由条件可知，，
中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的表面积.
故选：D
变式69．（2024·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台的上 下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，
如图所示，，
所以，
可得，
故该内切球的表面积为.
故选：A
变式70．（2024·湖北咸宁·高二统考期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，因此，
从而，故.设台体体积为，球体体积为，
则.
故选：B
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
例58．（2024·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【答案】A
【解析】设正方体棱长为，
因为球与正方体的各条棱相切，所以球的直径大小为正方体的面对角线长度，
即半径；
正方体内接于球，则球的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径；
所以球与球的表面积之比为.
故选：A.
例59．（2024·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，
连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，
由题意，①
因为，，
又，所以，
所以，解得，②
联立①②可得，
所以球的半径为，
所以球O的表面积为，
故选：C.
例60．（2024·全国·高三专题练习）已知球与棱长为的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知球的直径等于正方体面的对角线长，
所以球的半径，设圆柱的高为，则底面圆半径，
所以
当时取得最大值，且最大值为.
故选
变式71．（吉林省吉林市2024届高三第四次数学（理）调研试题）已知正三棱柱(底面为正三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为 .
【答案】2
【解析】如图，作正三棱柱的中截面正，作上下底面三角形内切圆，
与正三棱柱的所有棱都相切的球必过的外接圆和上下底面内切圆，
取上下底面内切圆心 ，连接，取中点，为的外心，
以为球心，以为半径的球，此球即为与正三棱柱的球，
于是，，
所以，，
故答案为：2
变式72．（福建省三明市2024届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 .
【答案】
【解析】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为，
由正三角形性质知，
与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得，
球体积为．
故答案为：．
变式73．已知正三棱柱，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正三棱柱的侧棱长为 .
【答案】
【解析】设底面△ABC外接圆圆心G,如图
因为△ABC的外接圆即为球的大圆，且，
则GA=GB=GC=4，从而正△ABC边长,
设球心，由题意知E、D在球面上，,
F为DE中点，则，
在中，，
侧棱，
故答案为：
变式74．（广东省茂名市五校联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形内切圆，
与正三棱柱的所有棱都相切的球必过△的外接圆和上下底面内切圆，
取上下底面内切圆心、，连接，取中点，为△的外心，
以为球心，以为半径的球，此球即为与正三棱柱所有棱都相切的球，
∴，，，
在直角△OMN中，由得，，，
∴球的半径，
∴球的体积.
故选：B.
题型二十一：棱切球之正四面体模型
例61．（2024·全国·高一期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体中，棱长为，
所以，四面体是棱长为的正四面体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为，
所以，该球的体积为，
因为正四面体的体积为，
所以，该球与此正四面体的体积之比为.
故选：A
例62．（2024·陕西西安·高一校联考期中）所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，设为正三角形的中心，连接，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心在线段上，
连接，设正四面体的棱长为，则，
故．
设外接球的半径为，则，
故，解得，
故内切球的半径为，所以，
故内切球与外接球的体积之比为，
故选：A．
例63．（2024·江西南昌·高二进贤县第一中学校考期中）球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的面对角线，
因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，
又因为正方体的棱长为，所以球的半径，
所以球的表面积为：，
故选：C.
变式75．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，，将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，，正方体的棱长为，则正四面体棱长为，高，，
故选:A．
变式76．（2024·全国·高三专题练习）正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
【答案】B
【解析】将正四面体补成一个正方体球与正四面体的棱都相切．
则球与正方体的内切球，设正方体边长为，
故选：B.
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
例64．（河南省名校2022-2024学年高二下学期5月联考数学试题）已知棱长均为的多面体由上 下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．

【答案】
【解析】在多面体中，为正方形的中心，如图所示：
由题意可知既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，
过点作于点，在中，，
，所以，
所以，
所以
故答案为：
例65．（河南省多所名校2022-2024学年高三下学期3月月考文科数学试题）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图示：
取的中心E，连接PE，则平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.
连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点，，连接OD.
因为平面ABC，所有.
因为平面，平面，，所有平面.
因为平面，所有
.过O作，交PA于点F.
球O的半径为r，则.
由题意：为正三角形，因为，所以，，.
因为，，所以，所以.
设，所以，因为，所以，解得:，所以，故球O的表面积为．
故答案为：
例66．（安徽省马鞍山市2024届高三下学期第二次教学质量监测理科数学试题）球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式，其中为球的半径，为球缺的高.若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为 .
【答案】
【解析】如图，
取的中点，的中点，的中心为，连接，，，
一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，
可得，，
所以球的半径为3，是正三角形，边长为6，中心为，
连接，，，
，
所以球缺的高为：，
该球与该正四棱锥的公共部分的体积为：
.
故答案为：.
变式77．（2024·全国·高三专题练习）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于，
球H与棱分别切于，设球H的半径为，
则，，
而底面，所以，可得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以，即有，解得，
则这个球的表面积为．
故选：B
变式78．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，两两垂直，，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图示，以A为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，.
设与三棱锥各棱均相切的球的球心为，半径为r，过O作OO1⊥面ABD于O1，则.
在底面ABD中，即平面xoy内，直线BD方程为：，，所以，所以，即①.
过O作OE⊥AB于E，过O作OF⊥AC于F，过O作OG⊥AD于G，过O1作O1H⊥DB于H.
由得：②.
同理可得：③，④.
②③④联立可得.
把与①联立，解得：.
所以该球的表面积为.
故选：D
变式79．（2024·湖北武汉·高一武汉市第一中学校考阶段练习）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱
设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设，
在中，
因为为的中心，则，，
在中即；
在中，，即，
在中，，则；
在中，，则，
在中，，则，
又因为，则，化简得，
由得解得.
故选：C.
变式80．（2024·江苏·高一专题练习）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取的中心，连接，
则平面，且与棱均相切的球的球心在上，
连接并延长交于，则为的中点，，
连接，易证，
过作，交于点，
设球的半径为，则，
由题意易求得，
由勾股定理得，
在中，，所以，
设，则，
因为，从而，所以，
所以，
故球的表面积为.
题型二十三：多球相切问题
例67．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接，，则，，
过点作⊥底面，垂足在上，且，
所以，故，
点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，
设最大球的半径为，则，
因为∽，所以，即，解得，
即，则，故
设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，
连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，
则，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九个球的表面积和为.
故选：B
例68．（2024·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接.
则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为.
则易知，，设球的半径分别为.
因为，根据重心定理可知，.
，，，，.
由可得，，
即，解得，，所以.
由可得，，
即，解得，
所以，球的体积为.
故选：A.
例69．（2024·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，
的中点为，连接，，，，，，
则，正四面体的高.
因为，所以，所以，
设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高，所以，
所以小球的体积为.
故选：C
变式81．（2024·全国·高三专题练习）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为 ．
【答案】
【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，，
如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上，
且，设球的半径为R，则，
∵，∴，则，，∴，
设球与球相切于点Q，则，
设球的半径为r，同理可得，∴，
故小球的表面积.
故答案为：
变式82．（2024·全国·高一专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，
为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.
易得，，，
由，
可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即小球的最大半径为.
所以小球的表面积最大值为.
故选：A
变式83．（2024·全国·高三专题练习）已知球是棱长为24的正四面体的内切球，球与球外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设球的半径为，球半径为，由正四面体的性质，取中点，连接，是棱锥的高，且与两球分别切于点，交于，则与底面垂直，是底面中心．记正四面体棱长为，则，，
在中，，
由
，所以，解得，
又由（它们在平面内都与垂直）得，
即，，代入解得，
所以球的表面积为．
故选：A．
变式84．（2024·全国·高一专题练习）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点，连接，交GF于点N，则N为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，设正四面体ABCD的外接球半径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，在图2中，EK=4，，，，所以
由，即，解得：
所以
过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2
则△BEP∽△
∴，
解得：
∴
∴正四面体ABCD的外接球表面积
故选：A.
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4第50讲 外接球、内切球、棱切球
知识梳理
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．
知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： ．
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
必考题型全归纳
题型一：外接球之正方体、长方体模型
例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
例2．（2024·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ．
例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球的表面积是
变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为 .
变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为 ．
题型二：外接球之正四面体模型
例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ．
例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．
例6．（2024·全国·高三专题练习）棱长为的正四面体的外接球体积为 .
变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为 .
变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为 .
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
例7．（2024·高一单元测试）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型四：外接球之直棱柱模型
例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱的体积为，则其外接球表面积的最小值为（　　）
A．12π B．6π C．16π D．8π
变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱中，已知，侧面，且直线与底面所成角的正弦值为,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．
题型五：外接球之直棱锥模型
例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．
例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 .
变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 .
变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为 .
变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥中，平面BCDE，，，，且，则该四棱锥的外接球的表面积为 .
变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥中,平面,,,,则三棱锥外接球的体积是 ．
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为 ．
例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为
例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥中，点D在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为 .
变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，高为，则该三棱锥外接球的表面积为 .
变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球体积为 ．
变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（ ）

A．64 B． C． D．
变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为 ．
变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为 ．
变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 .
变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为 .
变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为
A． B． C． D．
变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．s D．
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为 .
例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为 .
例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 .
变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（ ）

A． B． C． D．
变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上 下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型九：外接球之垂面模型
例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .

例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥中，平面平面，点是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为 .
变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为 ．
变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥中,平面平面ABC,,,,为等边三角形,则三棱锥外接球的表面积为 ．
变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .

变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为 ．

变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为 .
变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥中，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 ．
变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
题型十：外接球之二面角模型
例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（ ）
A．52π B．54π C．56π D．60π
变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥，如图2．若二面角的大小为，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在中，，，，，沿将折起，使得二面角为60°，得到三棱锥，如图2，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（ ）
A． B．
C． D．
变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,是边长为的等边三角形,三棱锥的体积为,则球的表面积为( )
A． B． C． D．
变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为
A． B． C． D．
变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为
A． B． C． D．
变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为
A． B． C． D．
变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥的各顶点均在球上，为该球的直径，，三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知是球的直径，是球球面上的两点，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为
A． B． C． D．
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式47．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式48．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
题型十三：外接球之坐标法模型
例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为
例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 .
变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（ ）

A． B． C． D．
变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱 的中点，G为面对角线上一个动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 .
变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为 ．
题型十四：外接球之空间多面体
例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 ．
例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于 ．
变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
题型十五：与球有关的最值问题
例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为 .
例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 .
例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为 .
变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 ．
变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 .
变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 ．
变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为 .
变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点，，，在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为 .
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A． B． C． D．
变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型十七：内切球之正四面体模型
例49．（2024·高一课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例50．（2024·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
例51．（2024·江苏·高一专题练习）正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
题型十八：内切球之棱锥模型
例52．（2024·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（ ）
A． B． C． D．
例53．（2024·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A． B．
C． D．
例54．（2024·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式64．（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式65．（2024·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式66．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
例55．（2024·全国·高三专题练习）在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例56．（2024·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例57．（2024·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 D．圆锥的内切球表面积为
变式67．（2024·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式68．（2024·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式69．（2024·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台的上 下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式70．（2024·湖北咸宁·高二统考期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）

A． B． C．2 D．
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
例58．（2024·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
例59．（2024·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例60．（2024·全国·高三专题练习）已知球与棱长为的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式71．（吉林省吉林市2024届高三第四次数学（理）调研试题）已知正三棱柱(底面为正三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为 .
变式72．（福建省三明市2024届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为 .
变式73．已知正三棱柱，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正三棱柱的侧棱长为 .
变式74．（广东省茂名市五校联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型二十一：棱切球之正四面体模型
例61．（2024·全国·高一期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
例62．（2024·陕西西安·高一校联考期中）所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
例63．（2024·江西南昌·高二进贤县第一中学校考期中）球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式75．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
变式76．（2024·全国·高三专题练习）正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（ ）
A．2π B．8π C． D．12π
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
例64．（河南省名校2022-2024学年高二下学期5月联考数学试题）已知棱长均为的多面体由上 下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．

例65．（河南省多所名校2022-2024学年高三下学期3月月考文科数学试题）在正三棱锥中，，，若球O与三棱锥的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
例66．（安徽省马鞍山市2024届高三下学期第二次教学质量监测理科数学试题）球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式，其中为球的半径，为球缺的高.若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为 .
变式77．（2024·全国·高三专题练习）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式78．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，两两垂直，，若球与三棱锥各棱均相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式79．（2024·湖北武汉·高一武汉市第一中学校考阶段练习）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A． B． C． D．
变式80．（2024·江苏·高一专题练习）在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
题型二十三：多球相切问题
例67．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
例68．（2024·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例69．（2024·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ）

A． B． C． D．
变式81．（2024·全国·高三专题练习）如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为 ．
变式82．（2024·全国·高一专题练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
变式83．（2024·全国·高三专题练习）已知球是棱长为24的正四面体的内切球，球与球外切且与正四面体的三个侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式84．（2024·全国·高一专题练习）四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
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