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第45讲 数列的综合应用
知识梳理
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2、新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
4、数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立；
恒成立.
5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：；.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
必考题型全归纳
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
例1．（2024·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
例2．（2024·河南郑州·统考模拟预测）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，则使得成立的n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例3．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
变式1．（2024·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（ ）

A．2 B． C． D．3
变式2．（2024·全国·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前34项和为（ ）

A．959 B．964 C．1003 D．1004
变式3．（2024·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（ ）．
A． B． C． D．
【解题方法总结】
（1）解决数列与数学文化相交汇问题的关键
（2）解答数列应用题需过好“四关”
题型二：数列中的新定义问题
例4．（2024·江西·江西师大附中校考三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ）
A．1013 B．1023 C．2036 D．2050
例5．（2024·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
例6．（2024·湖北武汉·统考三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式4．（2024·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”． 下列命题正确的是（ ）
A．若是等差数列，且首项，则是“和有界数列”
B．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
变式5．（2024·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足： . ，记，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2024·河北·统考模拟预测）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20项为（ ）
A．173 B．171 C．155 D．151
【解题方法总结】
（1）新定义数列问题的特点
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
（2）新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
例7．（2024·重庆巴南·统考一模）已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
例8．（2024·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 .
例9．（2024·河南新乡·统考三模）已知数列满足，，则的最小值为 ．
变式7．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知数列满足，且对于任意的正整数n，都有．若正整数k使得对任意的正整数成立，则整数k的最小值为 ．
【解题方法总结】
（1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
（2）数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立；
恒成立.
题型四：数列在实际问题中的应用
例10．（2024·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量（万件）近似地满足关系式，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 .
例11．（2024·高三课时练习）某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 万元.
例12．（2024·全国·高三专题练习）冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店售卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第 天收入达到最高.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ．
变式9．（2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款 元．（参考数据：，，，）
变式10．（2024·全国·高三专题练习）在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为 万张．
【解题方法总结】
现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
题型五：数列不等式的证明
例13．（2024·河北张家口·统考三模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
例14．（2024·全国·高三专题练习）证明不等式．
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知，，的前n项和为，证明：．
变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知每一项都是正数的数列满足，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)记为数列的前n项和，证明∶．
变式12．（2024·全国·高三专题练习）证明：．（注：．）
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知各项为正的数列满足，，．证明：
(1)；
(2)．
变式15．（2024·全国·高三专题练习）设数列满足，．
(1)若，求实数a的值；
(2)设，若，证明：．
变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数满足，，．
(1)证明：．
(2)设是数列的前n项和，证明：．
【解题方法总结】
（1）构造辅助函数（数列）证明不等式
（2）放缩法证明不等式
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：；.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
方法1：对进行放缩，然后求和.
当既不关于单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对进行放缩，使目标变成可求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度.
方法2：添舍放缩
方法3：对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含的式子看作是一个数列的前项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一边不是含有的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.
方法4：单调放缩
题型六：公共项问题
例16．（2024·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
例17．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于 .
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
变式17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为 ．
变式18．（2024·全国·高三专题练习）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 .
变式19．（2024·安徽蚌埠·统考一模）有两个等差数列及由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 .
题型七：插项问题
例19．（2024·全国·高三对口高考）在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为 .
例20．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
例21．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
变式20．（2024·广东佛山·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和.
变式21．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
变式22．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
变式23．（2024·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
题型八：蛛网图问题
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知数列若（且），若对任意恒成立，则实数t的取值范围是 .
例23．（2024 虹口区校级期中）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是　　（参考数据：，
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
例24．（2024 浙江模拟）数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是　　
A．若，则
B．若，则递减
C．若，则
D．若，则
变式24．（2024 浙江模拟）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项中错误的是　　
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
变式25．（2024 下城区校级模拟）已知数列满足：，且，下列说法正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C． D．
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
例25．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和是，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)证明：
(3)为数列的前n项和，设，是否存在正整数m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．
例26．（2024·全国·高三专题练习）设是各项为正数且公差为的等差数列
(1)证明：依次成等比数列；
(2)是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；
(3)是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由．
例27．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
变式26．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，．
(1)求通项公式；
(2)设，在数列中是否存在三项（其中）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
变式28．（2024·全国·高三专题练习）在①，，②，为的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列满足______．
(1)求数列的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得，，成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
变式29．（2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测）设正项等比数列的前项和为，若，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由．
题型十：数列与函数的交汇问题
例73．（2022 龙泉驿区校级一模）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则　　
A． B． C．2 D．3
例74．（2022 日照模拟）已知数列的通项公式，则　　
A．150 B．162 C．180 D．210
例76．（2022秋 仁寿县月考）设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
题型十一：数列与导数的交汇问题
例79．（2022 全国模拟）函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论的单调性；
（3）设，，证明：．
例80．（2022 枣庄期末）已知函数，，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，，求证：．
题型十二：数列与概率的交汇问题
例28．（2024·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.
(i)求的取值范围；
(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
例29．（2024·全国·高三专题练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
例30．（2024·全国·高三专题练习）雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲 乙 丙 丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若.
①求和；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
变式30．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
变式31．（2024·全国·高三专题练习）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
变式32．（2024·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；
(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
变式33．（2024·全国·高三专题练习）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
题型十三：数列与几何的交汇问题
例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知正四面体中，，，，…，在线段上，且，过点作平行于直线，的平面，截面面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为递减数列
C．存在常数，使为等差数列
D．设为数列的前项和，则时，
例32．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥的棱长均为，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），球的表面积为，体积为，则（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．数列为等比数列
例33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，，，，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，，，，则下列选项成立的有（ ）
A． B．
C．直线与直线的斜率相等 D．直线与直线的斜率不相等
变式34．（多选题）（2024·重庆·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，，点列P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．为公差为2的等差数列 B．为公比为2的等比数列
C． D．前n项和
变式35．（多选题）（2024·广东·高三校联考阶段练习）若直线与圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列为等比数列
C．数列的前10项和为23 D．圆不可能经过坐标原点
变式36．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前n项和为
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第45讲 数列的综合应用
知识梳理
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2、新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
4、数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立；
恒成立.
5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：；.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
必考题型全归纳
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
例1．（2024·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
【答案】B
【解析】由题知，因为，则有：
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，可得；若为偶数，则.
综上所述：或32.
故选：B
例2．（2024·河南郑州·统考模拟预测）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，则使得成立的n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由题意，，且，
累加可得，所以，
∴，得，即．
故选：C．
例3．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【答案】D
【解析】由题意，第一层个球，第二层个，第三层个，第四层个，
据此规律，第三十六层有小球个.
故选：D
变式1．（2024·全国·高三专题练习）科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（ ）

A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的，
因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以为首项，为公比的等比数列，
所以当进行三次操作后的曲线长度为.
故选：C
变式2．（2024·全国·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，则此数列的前34项和为（ ）

A．959 B．964 C．1003 D．1004
【答案】A
【解析】将这个数列分组：
第一组1个数；
第二组2个数；
，
第七组7个数，这7个数的和为
第八组8个数，
前八组共36 项，前36项和为，
所以前34 项和为，
故选：A．
变式3．（2024·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，数列1，1，2，8，64，…为，且为一阶等比数列，
设，所以为等比数列，其中，，公比为，
所以，则，
所以第8项为．
故选：C.
【解题方法总结】
（1）解决数列与数学文化相交汇问题的关键
（2）解答数列应用题需过好“四关”
题型二：数列中的新定义问题
例4．（2024·江西·江西师大附中校考三模）已知数列的通项，如果把数列的奇数项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为，再把数列的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成新数列为，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成的数列记为，则数列前10项的和为（ ）
A．1013 B．1023 C．2036 D．2050
【答案】C
【解析】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列的第
即得到的数列的第项为数列的第项，
因为，可得，
所以.
故选：C.
例5．（2024·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①由可得，
由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；
②当时，，，
由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列，②错误”；
③是等差数列，故，，
因为数列是“回旋数列”，所以，即，
其中为非负整数，所以要保证恒为整数，
故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；
④由①可得当时，为“回旋数列”，
取，，显然不存在,使得，故④错误
故选：B
例6．（2024·湖北武汉·统考三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】若，则，
由构成的逆序对有，
若数列的第一个数为，则至少有个逆序对，
若数列的第二个数为，
则恰有2个逆序对的数列为，
若数列的第三个数为，
则恰有2个逆序对的数列为或，
若数列的第四个数为，
则恰有2个逆序对的数列为，
综上恰有2个逆序对的数列的个数为个.
故选：B.
变式4．（2024·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”． 下列命题正确的是（ ）
A．若是等差数列，且首项，则是“和有界数列”
B．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
【答案】C
【解析】对于A，若是等差数列，且首项，当d>0时，，
当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，则不是“和有界数列”，故A不正确．
对于B，若是等差数列，且公差，则，当时，
当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，则不是“和有界数列”，故B不正确．
对于C，若是等比数列，且公比|q|<1，则，
故，则是“和有界数列”，故C正确．
对于D，若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比或，故D不正确．
故选：C．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足： . ，记，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，数列的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
即，∴A正确；
当时，，
∴B正确；
由，可得，
累加得，则，即，∴C错误；
由，，
，∴，∴D正确.
故选：C.
变式6．（2024·河北·统考模拟预测）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20项为（ ）
A．173 B．171 C．155 D．151
【答案】A
【解析】根据题意得新数列为，则二阶等差数列 的通项公式为，则
故选：A.
【解题方法总结】
（1）新定义数列问题的特点
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
（2）新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
例7．（2024·重庆巴南·统考一模）已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，解得，则，
所以，，
，所以，数列为等差数列，
所以，，
则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
又因为，故的最大值为.
因此，对任意的恒成立，所以，，故的最小值为.
故答案为：.
例8．（2024·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以数列是常数列，则，可得，故，
因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则，从而，
当时，，当时，，
因为，所以的最小值是，即，
所以实数的最大值为.
故答案为：.
例9．（2024·河南新乡·统考三模）已知数列满足，，则的最小值为 ．
【答案】6
【解析】由得，
当时，，，…，，
将这个式子累加得，
则，时也适合，
所以，当且仅当时，等号成立.
故答案为：6.
变式7．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知数列满足，且对于任意的正整数n，都有．若正整数k使得对任意的正整数成立，则整数k的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，，
可得，
则有，
所以，
所以，
则
，
因为正整数k使得对任意的正整数成立，
所以，
所以整数k的最小值为.
故答案为：.
【解题方法总结】
（1）数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
（2）数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
恒成立；
恒成立.
题型四：数列在实际问题中的应用
例10．（2024·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量（万件）近似地满足关系式，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 .
【答案】7，8
【解析】因为，
所以当时，，
当时，
，
化为，
解得，
可知当或8，需求量超过1.5万件.
故答案为：7，8.
例11．（2024·高三课时练习）某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要 万元.
【答案】4709
【解析】设第个实验室的设备费为，装修费为，则，
由题意可得，则，解得或（舍去），
故，
∵对任意的均成立，
∴，即，
故该研究所改建这十个实验室投入的总费用，
即该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4709万元.
故答案为：4709.
例12．（2024·全国·高三专题练习）冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店售卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第 天收入达到最高.
【答案】6
【解析】设第n天售出件数为,设第n天价格为.
由题意, 均为等差数列,设公差分别为.
所以
所以.
假设第n天的收入为,则
，
所以当时, 取最大值,即第6天收入达到最高.
故答案为：6
变式8．（2024·全国·高三专题练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款 ．
【答案】
【解析】由题意得，
，
.
故答案为：.
变式9．（2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款 元．（参考数据：，，，）
【答案】176
【解析】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元，
则，
，…
．
因为，所以，
解得，
即每期应付款176元．
故答案为：176
变式10．（2024·全国·高三专题练习）在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为 万张．
【答案】
【解析】设每年发放燃油型车牌照数为，发放电动型车牌照数，发放牌照数为，则
成等差数列，前四项成等比数列，第五项起为常数列，，
，，
前10项的和为，
，，，
因为，
所以，
前10项的和为：.
所以从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为.
故答案为：134.
【解题方法总结】
现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的3个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
题型五：数列不等式的证明
例13．（2024·河北张家口·统考三模）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）由题意，数列满足，
当时，可得，解得；
当时，可得，
两式相减得，所以，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）令，由，
可得，
所以，
因为，可得，所以.
例14．（2024·全国·高三专题练习）证明不等式．
【解析】∵，
∴．
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知，，的前n项和为，证明：．
【解析】证法一：∵，
∴．
证法二：∵，
当时，，∴．
证法三：∵，
又，，∴．∴．
证法四：∵
，
∴．
变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知每一项都是正数的数列满足，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)记为数列的前n项和，证明∶．
【解析】（1）解法一：由题意知，．
①当时，，，，成立．
②假设时，结论成立，即．
∵，
∴．
故时，结论也成立．
由①②可知，对于，都有成立．
解法二：，，，成立．
令，显然单调递减．
∵，假设，
则，即，
故，即．
故对于，都有成立．
（2）由（1）知，∴．
同理，由数学归纳法可证，．
猜测．下面给出证明．
∵，∴与异号．
注意到，知，，
即．
∴，
从而可知．
（3）
，
∴
，
∴
．
变式12．（2024·全国·高三专题练习）证明：．（注：．）
【解析】（将交错项合并求和）先考虑
．
可以放缩为等比数列
．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）对任意的，
当时，，两式相减．
整理得，
当时，，
也满足，从而．
（2）证明：证法一：因为，
所以，
．
从而；
证法二：因为，
所以，
，证毕.
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知各项为正的数列满足，，．证明：
(1)；
(2)．
【解析】（1）∵，
∴，
∴．
又数列为正项数列，∴与同号．
∵，∴，
∴，即，
因为数列为正项数列，所以，
综上：.
（2）要证，只需要证．
∵，
∴
，
因为，所以为正项数列，且，
设为等比数列，公比为，首项为，前项和为，
∴，
即，证毕.
变式15．（2024·全国·高三专题练习）设数列满足，．
(1)若，求实数a的值；
(2)设，若，证明：．
【解析】（1）数列满足，，
，易知a不为0，解得，
，，
解得或，
由解得，由，解得．
实数的值为1．
（2）当时，数列满足，，
（各项均不为0），
，，，
，
，
，，当且仅当，即时，取等号，
，
再证，．
当时，，满足．
假设当，时有，等价于，
，，
当时，，
只需证．
证明如下：，，
，，，
，，
，
，，
，
，
时，成立．
综上知．
综上所述：．
变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数满足，，．
(1)证明：．
(2)设是数列的前n项和，证明：．
【解析】（1）先用数学归纳法证明．
当时结论成立，假设时结论成立，即，则，
∴．
故当时结论也成立，由归纳原理知对成立．
作出函数的图象，如图，，的方程，

根据割线的位置易知，
从而．
综上可知．
（2）∵，且，
设，，
则，∴在上单调递减，
∴当时，，即.
∴．
∵，∴，
∴，，
∴．
从而．
【解题方法总结】
（1）构造辅助函数（数列）证明不等式
（2）放缩法证明不等式
在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是：；.
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
方法1：对进行放缩，然后求和.
当既不关于单调，也不可直接求和，右边又是常数时，就应考虑对进行放缩，使目标变成可求和的情形，通常变为可裂项相消或压缩等比的数列.证明时要注意对照求证的结论，调整与控制放缩的度.
方法2：添舍放缩
方法3：对于一边是和或者积的数列不等式，可以把另外一边的含的式子看作是一个数列的前项的和或者积，求出该数列通项后再左、右两边一对一地比较大小，这种思路非常有效，还可以分析出放缩法证明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一边不是含有的式子，而是常数，则需要寻找目标不等式的加强不等式，再予以证明.
方法4：单调放缩
题型六：公共项问题
例16．（2024·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
故答案为：.
例17．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于 .
【答案】/1.75
【解析】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为：
，该数列为首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以
因为
所以当时，，即，
又，
所以数列的最大项为第二项，其值为.
故答案为：.
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，，则，
因此，.
故答案为：.
变式17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为 ．
【答案】
【解析】由题意令，即2不是数列与的公共项；
令，即4是数列与的公共项；
令，即8不是数列与的公共项；
令，即16是数列与的公共项；
依次类推，可得数列：，
即是首项为4，公比为4的等比数列，
故数列的前n项的和为 ，
故答案为：
变式18．（2024·全国·高三专题练习）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 .
【答案】
【解析】数列与分别是以为公差，为首项的等差数列，
则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
故.
故答案为：.
变式19．（2024·安徽蚌埠·统考一模）有两个等差数列及由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 .
【答案】
【解析】在等差数列和等差数列
中，公共项按从小到大的顺序组成一个新的等差数列：共项，它们的和为
考点：等差数列及其求和公式.
题型七：插项问题
例19．（2024·全国·高三对口高考）在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为 .
【答案】，
【解析】记由个数构成递增的等比数列为，
则，，则，即
所以，
即
故答案为：，.
例20．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则，
所以，
设在数列每相邻两项之间插入三个数所得新数列为，
则新的等差数列的公差为，首项为，
所以新数列的通项公式为，
故.
故答案为：.
例21．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
【解析】（1）因为，，
所以，取倒得，
所以，即，即，
因为，所以是，的等比数列，
所以.
（2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3，
合计个3，
所以.
变式20．（2024·广东佛山·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和.
【解析】（1）因为①，
所以时，②，
①②得：，即，
又时，，所以也满足上式，
故的通项公式为.
（2）设数列满足．
记的前项和为，的前项和为，则．
由等比数列的求和公式得：，．
所以．
即新数列的前项和．
变式21．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
【解析】（1）当时，，解得（舍去），
由得时，，
两式相减得，
因为，所以，
所以是等差数列，首项为4，公差为3，
所以；
（2）由于，
因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，
所求和为.
变式22．（2024·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
【解析】（1）由题意，可得，所以，
解得或（舍），则，
又，所以.
（2）由，得，
所以，，，
因为数列为等差数列，所以，解得，
所以当时，，由（常数）知此时数列为等差数列.
（3）因为，所以与之间插入个2，
，所以与之间插入个2，
，所以与之间插入个2，
……
则的前项，由个，构成，
所以.
变式23．（2024·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
【解析】（1），
当时，，
两式相减可得，，
故等比数列的公比为，
，
，
故数列的通项公式为．
（2）由得：，，
故，即，
，
，
得：，
故．
题型八：蛛网图问题
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知数列若（且），若对任意恒成立，则实数t的取值范围是 .
【答案】
【解析】法一：不妨先由得到恒成立的必要条件，
；
，设，则，
所以，解得，故，
又，
故，
所以，得证.
法二：蛛网法
记函数，过定点.
当时，迭代收敛于点A，只需位于直线下方，即；
当时，迭代收敛于点A，由蛛网图：单调递减，故只需
即
综上.

故答案为：
例23．（2024 虹口区校级期中）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是　　（参考数据：，
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
【解析】解：由，得，
，
令，即，
则，
，．
作图如下：
由图可得：
．是单调递增数列，是单调递减数列，因此正确；
．，，，，
，，
，，因此正确；
．，，因此不正确；
．由不动点，，得，可得：，，因此正确．
故选：．
例24．（2024 浙江模拟）数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是　　
A．若，则
B．若，则递减
C．若，则
D．若，则
【解析】解：（法一）对于选项，令，，则，令，
易知在上单调递减，在，上单调递增，此时，
又，若，则有，故选项正确；
对于选项，结合选项中的过程，作出递推函数与的交点，可得函数的不动点为和1，且，
故函数在单调递增，且，
故为吸引不动点，为排斥不动点，
故当时，数列向吸引不动点靠近，单调递减，故选项正确；
对于选项，，由选项，的过程可知，当时，数列单调递减且，故，
而显然，故成立，故选项正确；
对于选项，当时，结合选项，的过程及蛛网图，易知数列单调递增，
又，故当时，，即，
故，
，
故，故选项错误．
（法二）作出与的图象，由蛛网图可知，选项，正确；
若，由蛛网图可知，，时，，则，
故，选项正确；
若，则，，比较与的大小，
，
则，选项错误．
故选：．
变式24．（2024 浙江模拟）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项中错误的是　　
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
【解析】解：由，得，
，
令，即，则，，，
作图如下：
由图得：
①单调递增，单调递减，
，故正确；
②，，，，
，，
，，故正确；
③，，故错误．
④由不动点，得，，
，，故正确．
故选：．
变式25．（2024 下城区校级模拟）已知数列满足：，且，下列说法正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C． D．
【解析】解：，，．
，故且，于是
与同号，
．
对于，若，则，则，，所以，故错误；
对于，，
即，于是，
即数列单调递减，
于是，
所以，
即，
，
，
故，正确；
对于，考虑函数，如图所示
由图可知当 时，数列 递减，
所以，即，所以不正确；
对于，设，则，
由上图可知，由上图可知，，
即，
等价于，
化简得：，
而显然不成立，所以不正确；
由排除法可知正确．
故选：．
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
例25．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和是，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)证明：
(3)为数列的前n项和，设，是否存在正整数m，k，使成立，若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．
【解析】（1），，
两式相减，得
又时，是首项和公比都是2的等比数列．
（2）由（1）得．
，
所以是等比数列，首项和公比都是，
（3）假设存在正整数m，k， 使成立，
，，
，
所以，
，又正整数m，k，
，
或或
或或.
例26．（2024·全国·高三专题练习）设是各项为正数且公差为的等差数列
(1)证明：依次成等比数列；
(2)是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；
(3)是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由．
【解析】（1）∵（）是同一个常数，
∴，，，依次构成等比数列．
（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．
假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
令，则，且（，），
化简得（），且．将代入（）式，
，则．
显然不是上面方程的解，矛盾，
∴假设不成立，
因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．
（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），
则，且．
将上述两个等式两边取对数，得，
且．
化简得，
且．
再将这两式相除，化简得（）．
令，
则．
令，
则．
令，则．
令，则．
由，，
知，，，在和上均单调．
故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．
∴不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．
例27．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意，，在数列中，当时，成等差数列，所以，即，
所以时，，又由知时，成立，
即对任意正整数均有，
所以，从而，
即数列的通项公式为：.
（2）由题意及（1）得，，在数列中，，所以.
假设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，化简得，
因为成等差数列，所以，所以，化简得，
又，所以，即，所以，所以，这与题设矛盾，所以假设不成立，
所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.
变式26．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
【解析】（1）证明：对任意的正整数，点均在函数图象上，
可得，即，
又因为，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）不存在.
理由：由（1）得，
当时，可得，
又因为，所以，
反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增，
假设存在使得成等差数列，
可得，即，
两边同除以，可得
因为是偶数，是奇数，所以，
所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.
变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，．
(1)求通项公式；
(2)设，在数列中是否存在三项（其中）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意，
在数列中，
，
两式相减可得，，，
由条件，，故.
∴是以1为首项，4为公比的等比数列.
∴.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
如果满足条件的，，存在，
则，其中，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵
∴，与已知矛盾，所以不存在满足条件的三项.
变式28．（2024·全国·高三专题练习）在①，，②，为的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列满足______．
(1)求数列的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得，，成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选择条件①：
由，，得是首项为4，公差为3的等差数列，
则，又，所以．
选择条件②：
由，可得当时，，
又当时，不满足上式，所以
（2）选择条件①：
假设存在满足题意的正整数m，使得，，成等比数列，
则有，即，
即
因为且，，
所以当时，．
所以存在正整数m，使得，，成等比数列，m的最小值为8
选择条件②：
假设存在满足题意的正整数m，使得，，成等比数列，则有，
当时，有，即，此时n无正整数解，
当时，，即．
因为，所以不可能为正整数，
所以不存在正整数m，使得，，成等比数列
变式29．（2024·安徽六安·六安一中校考模拟预测）设正项等比数列的前项和为，若，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中是否存在不同的三项构成等差数列？请说明理由．
【解析】（1）设的公比为，
由，两式相除并整理得，
解得或（舍去），即，，
所以．
（2）由（1）有，，所以，
假设存在三项构成等差数列，
则有，即，
左右两边除以，，
等式左边为偶数，右边为奇数，该等式显然无解，
所以在数列中不存在不同的三项构成等差数列．
题型十：数列与函数的交汇问题
例73．（2022 龙泉驿区校级一模）已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则　　
A． B． C．2 D．3
【解析】解：函数是奇函数且满足，
有，
则，
即，
为周期为3的函数，
数列是等差数列，若，，
，，
，
（1）（3）（5），
，，（1），
（1）（3）（5），
（1）（3）（5）（1）（3），
故选：．
例74．（2022 日照模拟）已知数列的通项公式，则　　
A．150 B．162 C．180 D．210
【解析】解：，
可得当时，数列递减，时，数列递增，
可得
．
故选：．
例76．（2022秋 仁寿县月考）设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解析】解：由，
可得，，即，，从而可得等差数列的公差
，
把已知的两式相加可得
整理可得
结合上面的判断可知
所以，而
故选：．
题型十一：数列与导数的交汇问题
例79．（2022 全国模拟）函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论的单调性；
（3）设，，证明：．
【解析】解：（1）函数的导数为，
曲线在点，（1）处的切线斜率为，
切点为，切线方程为，
代入可得，
解得；
（2），
，当时，，
可得在递增；
（3）要证，
只需证，
即为，
只要证，
由在递减，，
若，，此时，
只要证，即为，
即，
此时，由（2）知；
若，，此时，
只要证，即为，
即，
此时，由（2）知；
若，不等式显然成立．
综上可得，成立，
则，
由，可得，
则成立．
例80．（2022 枣庄期末）已知函数，，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．
（1）求；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，，求证：．
【解析】解：（1）对求导，得．
因此．又因为（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，
即．
由题意，．
显然，适合上式．
令，
求导得，
因此（a）为增函数：故是唯一解．
（2）由（1）可知，，，
因为，
所以为减函数．
因为，
所以为增函数．
（3）证明：由，，易得
由（2）可知，在上为减函数．
因此，当时，，即．
令，得，即．
因此，当时，．
所以成立．
下面证明：．
方法一：由（2）可知，在上为增函数．
因此，当时，，
即．
因此，
即．
令，得，
即．
当时，．
因为，
所以，所以．
所以，当时，．
所以，当时，成立．
综上所述，当时，成立．
方法二：时，因为，
所以．
下面用数学归纳法证明：时，．
①当时，．
而，
因为，所以．可见，不等式成立．
②假设当时不等式成立，即．
当时，．
因为，是增函数，
所以．
要证，只需证明．
而，
因为，所以．所以．
可见，时不等式成立．
由①②可知，当时，成立．
题型十二：数列与概率的交汇问题
例28．（2024·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.
(i)求的取值范围；
(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
【解析】（1），即采用3局2胜制，所有可能取值为，
，
的分布列如下表：
2 3
所以的数学期望为.
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
，
得.
（ii）由（i）知.
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
则局比赛中甲至少赢局的概率为.
考虑局比赛的前局：
如果这局比赛甲至少赢局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场至少赢一局，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场都赢，其概率为，
因此局里甲最终获胜的概率为：，
因此，即数列单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.
例29．（2024·全国·高三专题练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
【解析】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
例30．（2024·全国·高三专题练习）雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲 乙 丙 丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若.
①求和；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
【解析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，易知的所有可能取值为，
则，
，
，
故的分布列为
0 1 2
，则.
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，
，则.
②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，
则，即，又，
是以为首项，为公比的等比数列，则
，
第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..
变式30．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;
(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
【解析】（1）解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:,
由题意可知:,
,
,
所以的分布列如下表所示:
0 1 2
所以;
（2）假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,
即,则有,
所以,因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
即,故.
变式31．（2024·全国·高三专题练习）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【解析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故的分布列为
0 1 2
P
则，
所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，
则，
即，
又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
则，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
变式32．（2024·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立．
(1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；
(2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望．
【解析】（1）设小明在处投篮为事件，在处投篮分别为
已知小明同学恰好投中2次，分三种情况
中中不中；
中不中中；
不中中中；
其概率为：，解得：.
（2）由题意可得得分的可能取值分别为，，，，
；
；
；
；
.
综上所述可得的分布列为
5 3 2 1 0
变式33．（2024·全国·高三专题练习）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
【解析】（1）由题意知的取值为，
； ；
；
所以X的分布列为
0 1 2
所以；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，
时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当时， ，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.
题型十三：数列与几何的交汇问题
例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知正四面体中，，，，…，在线段上，且，过点作平行于直线，的平面，截面面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为递减数列
C．存在常数，使为等差数列
D．设为数列的前项和，则时，
【答案】ABD
【解析】由题意得，
取中点，连接，因为均为等边三角形，
所以，
因为，平面，
因为平面，
所以，
A选项，过点做交于点，过点做交于点，连接，则，
故四边形为截面，且四边形为矩形，
由相似知识可知，，
故，所以，A正确；
B选项，因为，所以，
故，故为递减数列，B正确；
C选项，，则，
不是常数，C错误；
D选项，，
则，
令，解得，D正确.
故选：ABD
例32．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥的棱长均为，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），球的表面积为，体积为，则（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．数列为等比数列
【答案】AD
【解析】由题意知三棱锥的内切球的球心在高上，如图1所示，
由正三角形中心的性质可得：，则，
设球的半径为，则利用等体积法：，
即，解得：，所以球的体积，故选项正确；
如图2所示：易知，，.
设球与平面切于点，球的半径为，连接，则，
所以，即，所以，
则，所以，如此类推，.
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，则，故选项错误；
由可得，
所以数列是公比为的等比数列，故选项错误；
由可得，
数列是公比为的等比数列，故选项正确；
故选：.
例33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，，，，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，，，，则下列选项成立的有（ ）
A． B．
C．直线与直线的斜率相等 D．直线与直线的斜率不相等
【答案】ABC
【解析】由题设，且，又是等差数列，若公差为，
，又，
所以，A正确；
由，，
又，故，B正确；
由，，故直线与直线的斜率相等，C正确；
同理，，故直线与直线的斜率相等，D错误.
故选：ABC
变式34．（多选题）（2024·重庆·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，，点列P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．为公差为2的等差数列 B．为公比为2的等比数列
C． D．前n项和
【答案】CD
【解析】对AB，由点列P在圆上，则由参数方程得，则，∴.
对于，存在数列，，使得，即①，②，
①②两式相除得，
令，则，则为以首项，公比为的等比数列.
则，AB错；
对C，，C对；
对D，，
，
两式相减得，
.
∴，D对.
故选：CD.
变式35．（多选题）（2024·广东·高三校联考阶段练习）若直线与圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列为等比数列
C．数列的前10项和为23 D．圆不可能经过坐标原点
【答案】AC
【解析】圆的圆心为，半径，
由直线与圆相切得，，
∴，，
∴是首项为，公差为的等差数列，
前10项和为；
令，解得，此时圆C经过坐标原点.
综上所述，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC
变式36．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前n项和为
【答案】ACD
【解析】依题意，，而点是弦的中点，则，
，而，
于是得，，即，A正确；
显然是顶角的等腰三角形，则，B不正确；
依题意，点到直线的距离之和等于点到直线距离的2倍，
由知，点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则点到直线距离的最大值是点O到直线的距离加上半径，
而点O到直线距离，则点到直线距离的最大值是，因此，，C正确；
由得，，则，
因此，数列的前n项和，D正确.
故选：ACD
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