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第39讲 复数
知识梳理
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
必考题型全归纳
题型一：复数的概念
例1．（2024·河南安阳·统考三模）已知的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·浙江绍兴·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·海南海口·校联考一模）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
例4．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数，则（ ）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
例5．（2024·辽宁·校联考一模）若是纯虚数，，则的实部为______.
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例6．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数，则（ ）
A． B．1 C． D．
例7．（2024·河北衡水·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
例10．（2024·河南郑州·三模）复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
例13．（2024·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例14．（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．9 B．1 C． D．
例15．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例16．（2024·四川宜宾·统考三模）已知复数，且，其中a是实数，则（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·湖北·模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．4 D．
例18．（2024·四川宜宾·统考三模）已知复数，且，其中a，b是实数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题方法总结】
复数相等：
共轭复数：．
题型五：复数的模
例19．（2024·河南·统考二模）若，则_______．
例20．（2024·上海浦东新·统考三模）已知复数满足，则__________．
例21．（2024·辽宁铁岭·校联考模拟预测）设复数，满足，，则=__________.
【解题方法总结】
题型六：复数的三角形式
例22．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例23．（2024·全国·高三专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1 B． C． D．i
例24．（2024·河南·统考模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
例25．（2024·全国·高三专题练习）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题方法总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
例26．（2024·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若，则的最大值与最小值的和为___________.
例27．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
例28．（2024·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例29．（2024·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
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6、圆锥曲线专题（word+PDF）
7、导数专题（word+PDF）
8、全国名校期中期末一模二模（纯word解析版）
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知识梳理
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
必考题型全归纳
题型一：复数的概念
例1．（2024·河南安阳·统考三模）已知的实部与虚部互为相反数，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于,
的实部与虚部互为相反数，故，
故选：A
例2．（2024·浙江绍兴·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以
所以的虚部为.
故选：A.
例3．（2024·海南海口·校联考一模）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
【答案】C
【解析】因为复数为纯虚数，则有，解得，
所以实数的值为.
故选：C
例4．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数，则（ ）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ACD
【解析】∵，
∴z的实部与虚部分别为4，，
，A正确；
z的实部与虚部之差为5，B错误；
，C正确；
z在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确．
故选：ACD．
例5．（2024·辽宁·校联考一模）若是纯虚数，，则的实部为______.
【答案】1
【解析】是纯虚数，且，则有，故，实部为1.
故答案为：1.
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例6．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，则，
所以.
故选：A
例7．（2024·河北衡水·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，
故.
故选：B.
例8．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．
故选：A.
例9．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法一：由得，所以，故选．
解法二：由得，所以，即，
故选：．
【解题方法总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
例10．（2024·河南郑州·三模）复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由题得，即复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A．
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，
所以．
故选：B．
例12．（2024·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：,不妨设C点对应的复数为，则,
由，得，
即C点对应的复数为，
由得：B点对应复数为.
故选：A．
例13．（2024·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题意，知，，所以，所以．
故选：C.
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例14．（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．9 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，
则，即，即，
解得，故.
故选：．
例15．（2024·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由已知可得，，，
所以，
所以有，解得或.
故选：C.
例16．（2024·四川宜宾·统考三模）已知复数，且，其中a是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
所以，解得.
故选:B.
例17．（2024·湖北·模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】设，则，
则，即，
所以，解得，
所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故选：B.
例18．（2024·四川宜宾·统考三模）已知复数，且，其中a，b是实数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】因为，所以，则由得：
，即，
故，解得：.
故选：B.
【解题方法总结】
复数相等：
共轭复数：．
题型五：复数的模
例19．（2024·河南·统考二模）若，则_______．
【答案】
【解析】由可得，
故，则，
故答案为：
例20．（2024·上海浦东新·统考三模）已知复数满足，则__________．
【答案】
【解析】设，则，
所以，解得，
当时，，故，
；
当时，，故，
故答案为：-8
例21．（2024·辽宁铁岭·校联考模拟预测）设复数，满足，，则=__________.
【答案】
【解析】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，
∴.
【解题方法总结】
题型六：复数的三角形式
例22．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（x∈R，i为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，下面四个结果中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；
对于B，，
故选项B正确；
对于C，由，，
所以,得出，故选项C正确；
对于D，由C的分析得，推不出，故选项D错误．
故选：D．
例23．（2024·全国·高三专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1 B． C． D．i
【答案】B
【解析】，
；
故选：B．
例24．（2024·河南·统考模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由欧拉公式知：
，，
，
的虚部为．
故选：B
例25．（2024·全国·高三专题练习）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由棣莫弗公式知，
，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：C．
【解题方法总结】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
题型七：与复数有关的最值问题
例26．（2024·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若，则的最大值与最小值的和为___________.
【答案】
【解析】由几何意义可得：复数表示以（）为圆心的半径为1的圆，
则.
故答案为：
例27．（2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
【答案】6
【解析】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，
而，即点到定点距离的最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
例28．（2024·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.
故选：C
例29．（2024·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则，
所以点的轨迹方程为，
设，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
例30．（2024·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以的最大值为．
故选：B
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化
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