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8.2 多边形的内角和与外角和
第8章 三角形
知识点
多边形及其相关概念
知1－讲
1
1. 多边形的定义：一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们通常所说的多边形.
知1－讲
特别解读
多边形的三个必要条件：
1. 线段在“同一个平面内”；
2. 线段“不在同一直线上”且条数不少于 3；
3. 线段首尾顺次连结 .
知1－讲
2. 相关概念：
(1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
(2)外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角 .
(3)对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线 .
知1－讲
3. 凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，否则就是凹多边形，本节只讨论凸多边形 .
知1－讲
4. 正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形 .
特别解读
若一个多边形的各个内角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形 .
知1－练
例 1
有下列4个说法：①三角形是边数最少的多边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和n个外角；④六边形从一个顶点出发可以画 3 条对角线，所有的对角线共有9条.
其中正确的有(　　)
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
解题秘方：利用多边形的有关概念进行辨析 .
知1－练
解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，不正确；③n边形有n条边、n个顶点、n个内角和2n个外角，不正确；④根据对角线的定义画出六边形的对角线，可知从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有有＝9(条)，正确. 综上，正确的有2个 .
答案：B
知1－练
知识归纳：从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，n边形一共有条对角线 .
知1－练
1-1. 如图，下列标注的角中是五边形 ABCDE的外角的是( )
A. ∠1
B. ∠2
C. ∠3
D. ∠4
C
知1－练
1-2. 从一个多边形的一个顶点可引2 025条对角线，则这个多边形的边数是( )
A. 2 025 B. 2 026
C. 2 027 D. 2 028
D
知2－讲
知识点
多边形的内角和
2
1. 定理：n边形的内角和为(n－2)·180°.
特别解读
1. 由n边形的内角和公式(n－2)·180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍 .
2. 多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加 1，内角和就增加 180°.
知2－讲
2. 多边形内角和公式的常见应用：
(1)已知多边形的边数，求内角和；
(2)已知多边形的内角和，求边数；
(3)求正n边形每个内角的度数，其公式为；
(4)已知n边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数.
知2－练
如图8.2-1，正五边形 ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA的度数 .
例 2
解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数.
知2－练
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠D＝＝108°.
∵ AC∥DE，
∴∠ACD＋∠D＝180°.∴∠ACD＝180°－108°＝72°.
∴∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝108°－72°＝36°.
知2－练
2-1. [中考·邵阳]如图， 在四边形ABCD中，AD⊥AB， ∠C＝110°， 它的一个外角∠ADE＝60°， 则∠B的度数是_______.
40°
知2－练
根据下列条件求多边形的边数：
(1)多边形的内角和是1 620°；
(2)正多边形的每个内角均为 120°.
解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解 .
例 3
知2－练
解：设多边形的边数为n，根据题意得：
(1)(n－2)·180°＝1 620°，
解得n＝11. 故多边形的边数为 11.
(2)(n－2)·180°＝n·120°，
解得n＝6. 故正多边形的边数为 6.
已知内角和，设出边
数n，利用内角和公式
列出方程求边数n.
知2－练
3-1. 已知n边形的内角和θ＝(n－2)·180°.
(1)甲同学说，θ能取360°； 而乙同学说，θ也能取630°. 甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n. 若不对，请说明理由.
知2－练
解：甲的说法对，乙的说法不对．
∵360°÷180°＋2＝2＋2＝4，
∴甲同学说的边数n是4.
∵n边形的内角和为180°的正整数倍，
630°÷180°＝3.5，∴乙的说法不对．
知2－练
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了 360°，用列方程的方法求出x的值 .
解：依题意有(n＋x－2)·180°－(n－2)·180°＝360°，解得x＝2.
知3－讲
知识点
多边形的外角和
3
1. 定理：多边形的外角和等于 360°.
多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出来的，n边形的外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°.
知3－讲
特别解读
1. 多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和 .
2. 多边形的外角和恒等于 360°，与边数无关 .
知3－讲
2. 常见应用：
(1)已知外角度数求正多边形的边数；
(2)已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为.
知3－练
根据下列条件解决问题：
(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；
(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于 30°，求这个正多边形的边数 .
例 4
解题秘方：根据多边形的外角和定理计算 .
知3－练
(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；
解：设该多边形的边数为n.
∵多边形的各内角都相等，
∴多边形的每一个外角都相等，即都为72°.
∵多边形的外角和为360°，∴n·72°＝360°，
解得n＝5．∴该多边形的边数为5.
知3－练
(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于 30°，求这个正多边形的边数 .
解：∵多边形的外角和为360°，正多边形的每一个外角都等于 30°，
∴这个正多边形的边数为360°÷30°＝12.
知3－练
4-1. 如图，∠1，∠2，∠3， ∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝120°， 则 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_____°.
300
多边形的内角和与外角和
多
边
形
定义
正多边形
内角
内角和
对角线
外角
外角和

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