资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【模型攻关】2025年中考复习培优专题训练
正方形中的十字架模型
正方形十字模型详解
正方形十字模型是数学中的经典概念，涉及正方形的两组对边取点并相连，探究所得两条线段的关系。
①当两条线段垂直时，它们相等。
②当两条线段相等时，它们垂直。
一．选择题
1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　）
A．2 B． C． D．
2．如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　）
A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α
3．如图，正方形ABCD中，AE＝DF，AF与BE相交于点H，点O为BD中点，连结OH，若DG＝OG，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接AF与BE相交于点G．若AG+BG＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　）
A．3 B． C．2 D．
5．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DHAB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，AE和BF相交于点G，延长CG交AB于点H，下列结论：
①AE＝BF；
②∠CBF＝∠DGF；
③；
④．
其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题
7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　 　．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，AC分别交DE，DF于点M，N．设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2，若S2＝2S1，则tan∠ADF的值为 　 　．
9．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O．下列结论：①AE＝BF且AE⊥BF；②S△AOB＝S四边形DEOF；③AD＝OE；④连接OC，当E为边DC的中点时，tan∠EOC值为，其中正确的结论有 　 　．
10．如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，连结BP、BH，下列结论：
①BP＝EF；
②当P为AD中点时，△PAE三边之比为3：4：5；
③∠APB＝∠BPH；
④△PDH周长等于8．
其中正确的是 　 　（写出所有正确结论的序号）
三．解答题
11．如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD＝QC．问题：此时BP与AQ有怎样的关系？请说明理由．
12．如图，有两个动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，问：在E，F移动过程中，AE与BF的位置和大小有什么关系吗？并给予证明．
13．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，
过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．
（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；
（2）连接BD交MN于点F．
①根据题意补全图形；
②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　 　．
14．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点．
（1）求AE的长；
（2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长；
（3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数．
15．问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？
（1）直接判断：AE 　 　BF（填“＝”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处．
①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由；
②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′AN的最小值为 　 　．
16．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类比的思想提出了如下命题；
③如图3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立；（不要求证明）
②如图5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否还成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，
又∵DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝3，
在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE （SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴BE5，
∴BE CG＝BC CE，
∴CG．
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
如图，过点F作FH⊥AD于点H，
则四边形CDHF为矩形，
∴FH＝CD，DH＝CF，∠FHE＝90°，
∴FH＝AD，
在Rt△FHE和Rt△DAG中，
，
∴Rt△FHE≌Rt△DAG（HL），
∴EH＝AG，∠HFE＝∠ADG＝α，
∵DE＝AG，
∴DE＝2EH，即点D为DE中点，
∴EH＝DH＝AG＝CF，
∴AB﹣AG＝BC﹣CF，即BG＝BF，
∴△BFG为等腰直角三角形，∠BFG＝45°，
∴∠EFG＝90°﹣∠BFG﹣∠HFE＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADC＝∠DAB＝90°，
又∵DF＝AE，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴BE＝AF，∠EBA＝∠EAH，
∵∠EAH+∠HAB＝90°，
∴∠EBA+∠HAB＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∵点O为BD中点，DG＝OG，
∴，
∵AB∥CD，
∴△DFG∽△BAG，
∴，
设DF＝k，则AB＝3k，
∴AE＝k，
在Rt△AEB中，EB，
∴，解得AH，
在Rt△AHB中，根据勾股定理BH，
过点O作OP⊥AB于点P，过H作HN⊥AB于点N，过O作OM⊥NH交NH的延长线于点M，如图：
则四边形OMNP为矩形，
∴OM＝NP，OP＝MN，
在Rt△AHB中，3k HN＝AH BH，
∴HN，
∴MH，
又∵∠EBA＝∠AHN，∠HNA＝∠EAB，
∴△HNA∽△BAE，
∴，
∴AN，
∴NP＝OM，
根据勾股定理可得OH，
∴，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE（SAS），
∴S△ADF＝S△BAE，∠DAF＝∠ABE，
∵∠BAG+∠DAF＝90°，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠AGB＝90°，即BG⊥AG，
∵S△ADF＝S△BAE，
∴S△ADF﹣S△AEG＝S△BAE﹣S△AEG，即S四边形DEGF＝S△ABG，
∵AG+BG＝6，
∴（AG+BG）2＝AG2+BG2+2AG BG＝36，
∵S△ABG，AB2＝AG2+BG2，
∴AB2+4S△ABG＝36，即，
∵S空白＝S正方形ABCD﹣S四边形DEGF﹣S△ABG＝S正方形ABCD﹣2S△ABG10.5，
解得：AB（负值已舍去）．
故选：B．
5．解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABF＝90°，
∵AEAB，BFBC，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠BAN+∠DAM＝90°，
∴∠ADM+DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
同理：∠ANB＝90°，
∴∠AMD＝∠ANB，
∴△DAM≌△ABN（AAS），
∴AM＝BN，
同理可以证明△BCP，△CDQ，△DAM，△ABN是全等的直角三角形，它们的面积相等，
∵BEAB，DGDC，AB∥DC，
∴四边形EBGD是平行四边形，
∴ED∥BG，
∴AM：AN＝AE：AB＝1：4，
令正方形ABCD的边长是a，AM＝b，则BN＝b，AN＝4b，
∴正方形ABCD的面积是a2，△ABN的面积是b 4b＝2b2，
∵AB2＝BN2+AN2，
∴a2＝b2+16b2＝17b2，
∵阴影的面积＝a2﹣4×2b2＝17b2﹣8b2＝9b2，
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比是．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵E为BC的中点，F为CD的中点，
∴BEBC，CFCD，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BF＝AE，∠BAE＝∠CBF，
故①正确，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣（∠BAE+∠ABF）＝90°，
∴AE⊥BF，
∴∠AGF＝90°，
延长BF交AD的延长线于点M，
∵∠MDF＝∠BCF＝90°，DF＝CF，∠DFM＝∠BFC，
∴△BFC≌△MFD（ASA），
∴DM＝BC，∠M＝∠MBC，
∴AD＝DM，
∴DG＝DMAM，
∴∠DGM＝∠M，
∴∠CBF＝∠DGF，
故②正确；
设BE＝CF＝a，则AB＝BC＝2a，
∴AEa，
∴BF＝AEa，
∵△ABE的面积AB BEAE BG，
∴BGa，
∴FG＝BF﹣BGa，
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BFC，∠BHG＝∠HCF，
∴△BHG∽△FCG，
∴，
∴，
故③正确；
∵，CF＝3a，
∴BH＝2a，
∴AH＝AB﹣BH＝4a，
∴，
∵△AHG中AH边上的高与△GCF中CF边上的高不相等，
∴，
故④不正确；
综上所述：正确的结论是：①②③，
故选：A．
二．填空题
7．解：如图：过点H作HM⊥CD，垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，
∴ACAB＝2，
∵CE＝DF，
∴BC﹣CE＝CD﹣DF，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵∠ABC＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，
∵BG＝GH，
∴AG是BH的垂直平分线，
∴AB＝AH＝2，
∴∠3＝∠AHB，CH＝AC﹣AH＝22，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠CFH，
∵∠AHB＝∠CHF，
∴∠CFH＝∠CHF，
∴CH＝CF＝22，
在Rt△HMC中，HM2，
∴△CFH的面积CF HM（22）×（2）＝34，
故答案为：34．
8．解：过N作NH⊥AB于H，如图：
∵∠FHN＝∠FAD＝90°，
∴HN∥AD，
∴∠ADF＝∠HNF，
设tan∠ADF＝tan∠FNH＝k，设NH＝AH＝b，则FH＝kb，
∴AF＝b+kb，
∵tan∠ADF，
∴ADb，
∴S2AF HNb2（1+k），S1＝S△ADC﹣2S△ADN（b）2﹣2 b b，
∵S2＝2S1，
∴b2（1+k）＝2 [（b）2﹣2 b b]，
整理得：k2+2k﹣2＝0，
解得：k1或1（舍弃），
∴tan∠ADF＝k1，
故答案为：1．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．
∵CE＝DF，
∴AF＝DE．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS）．
∴AE＝BF，故①正确．
∵△ABF≌△DAE，
∴∠AFB＝∠AED．
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AFB+∠DAE＝90°，
∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故①正确．
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△ADE．
∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故②正确．
如图过点E作EM⊥AB，交于点M，连接OM，
在正方形ABCD中，
∠BAD＝∠ADE＝∠AME＝90°，
∴四边形ADEM为矩形，
AD＝EM，
在△OME中，
∵∠EOM为钝角，
∴△EOM不是以点E为顶点的等腰△，
∴OE≠EM，
即AD≠OE，
故③错误．
如图，连接OC，延长AE使AE＝EG，交BC延长线于点G，过点C作CH⊥AG交于点H，
∵E是边DC的中点，
∴ED＝EC，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（SAS），
所以∠ECG＝∠EDA＝90°＝∠BCE，
∴点B、C、G共线，
∴∠G＝∠GAD
设边AD＝DC＝2a，
∴AF＝DE＝a，
tan∠GAD，
∴tan∠CGA，
AEa，
∴AG＝2AE＝2a，
∵CG＝AD，
∴CG＝2a，
在△CEG中，CHa，HGa，
在△AOF中，AOa，
∴OH＝AG﹣HG﹣AOa，
在Rt△CHO中，tan∠EOC，
故④正确．
故答案为：①②④．
10．解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵FM⊥AB，
∴四边形MBCF为矩形，
∴MF＝BC＝AB，∠FME＝90°，
由折叠可知，EF⊥BP，
∴∠PBE+∠BEF＝90°，
∵∠PBE+∠APB＝90°，
∴∠BEF＝∠APB，即∠MEF＝∠APB，
在△ABP和△MFE中，
，
∴△ABP≌△MFE（AAS），
∴BP＝EF，故①正确；
由折叠可知，BE＝PE，
设BE＝PE＝x，则AE＝4﹣x，
∵P为AD中点，
∴AP＝2，
在Rt△PAE中，AP2+AE2＝PE2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴AE＝4﹣x，PE，
∴AE：AP：PE：2：3：4：5，
即△PAE三边之比为3：4：5，故②正确；
由折叠可知，BE＝PE，∠EBC＝∠EPG＝90°，
∴∠PBE＝∠BPE，∠BPE+∠BPH＝90°，
∵∠PBE+∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠BPH，故③正确；
如图，过点B作BN⊥PH于点N，
∴∠BAP＝∠BNP＝90°，
在△ABP和△NBP中，
，
∴△ABP≌△NBP（AAS），
∴AB＝BN，AP＝PN，
∴BC＝BN，
在Rt△BNH和Rt△BCH中，
，
∴Rt△BNH≌Rt△BCH（HL），
∴NH＝CH，
∴C△PDH＝PD+PN+NH+DH＝PD+AP+CH+DH＝2AD＝8，故④正确．
综上，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．
三．解答题
11．解：如图所示：
BP与AQ互相垂直且相等，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAP＝∠ADQ＝90°，
∵PD＝QC，
∴AD﹣PD＝CD﹣QC，即AP＝DQ，
在△ABP和△DAQ中，
，
∴△ABP≌△DAQ（SAS），
∴BP＝AQ，∠ABP＝∠DAQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠APB＝∠PBC，
∵∠ABP+∠PBC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAQ+∠APB＝90°，
∵∴∠DAQ+∠APB+∠AOP＝180°，
∴∠AOP＝180°﹣（∠DAQ+∠APB）＝90°，
∴BP⊥AQ，
∴BP与AQ互相垂直且相等．
12．解：AE与BF的位置关系是：垂直；大小关系是：相等．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
又动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，
∴BE＝CF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠EAB＝∠FBC，AE＝BF，
∵∠CBF+∠ABO＝90°，
∴∠EAB+∠ABO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠EAB+∠ABO）＝90°，
∴AE⊥BF．
13．解：（1）MN＝AP．
证明：过点M作MG⊥CD于点G，则四边形AMGD是矩形，
∴MG＝AD，∠MGN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD，
∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN，
又∵MN⊥AP，
∴∠AEM＝90°，
∴∠AME+∠BAP＝90°，
又∵∠NMG+∠AME＝90°，
∴∠NMG＝∠BAP，
∴△ABP≌△MGN（ASA），
∴AP＝MN；
（2）①补全图形如图2，
②如图3，过点P作PH∥AB交MN于点H，交BD于点K，过点M作MG⊥CD于点G，
∵AM∥PH，
∴∠MAE＝∠EPH，
∵E为AP的中点，
∴AE＝EP，
又∵∠AEM＝∠PEH，
∴△AME≌△PHE（ASA），
∴ME＝EH，AM＝PH，
∵四边形AMGD是矩形，
∴AM＝DG，
∴DG＝PH，
∵∠CBD＝45°，∠BPK＝90°，
∴∠PBK＝∠BKP＝45°，
∴BP＝PK，
由（1）知△ABP≌△MGN，
∴BP＝NG，
∴PK＝NG，
∴HK＝DN，
又∵NK∥DN，
∴∠HKF＝∠NDF，
∴△HKF≌△NDF（AAS），
∴HF＝NF，
∴EF＝EH+HF＝EM+FN．
故答案为：EF＝EM+FN．
14．解：（1）∵∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE，
设BE＝x，则AE＝2x，
在Rt△ABE中，x2（2x）2，
解得x＝2或﹣2（舍去），
∴AE＝4；
（2）如图，过点B作BR∥GH，交CD于R，
∵GH∥BR，AB∥CD，
∴四边形BRHG是平行四边形，
∴GH＝BR，∠BGH＝∠BRH，
∵GH＝AE，
∴BR＝GH＝AE．
又∵AB＝BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCR（HL），
∴∠BAE＝∠CBR＝30°，
∴∠BRC＝60°＝∠AEB，
∴∠BRH＝120°＝∠BGH，
∴∠AGH＝60°，
∴∠AFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠BAE＝30°，
∴AG＝2GF，
∴AG2＝GF2﹣AF2，
∴3GF2＝4．
∴GF，
∴AG；
如图，过点A作AR∥GH，交CD于R，过点G作GO⊥AE于点O，
同理可证：△ABE≌△ADR，
∴∠DAR＝∠BAE＝30°，
∴∠EAR＝30°，
∵AR∥GH，
∴∠RAF＝∠AFG＝30°，
∴∠BAE＝∠AFG，
∴AG＝GF，
∵GO⊥AF，
∴AO＝FO＝1，
∵∠BAE＝30°，
∴AG＝2GO，
∴AG2﹣GO2＝AO2，
∴3GO2＝1，
∴GO，
∴AG，
∴AG的长为或；
（3）如图，连接AO，过点O作OQ⊥AB于点Q，OP⊥BC于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵OQ⊥AB，OP⊥BC，
∴OQ＝OP，
∵MN⊥AE，AE＝EF，
∴AO＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，OQ＝OP，
∴Rt△AOQ≌Rt△EOP（HL），
∴∠OAQ＝∠OEP，
∵∠BEA+∠AEO+∠OEP＝180°，
∴60°+∠AEO+∠OAE+30°＝180°，
∴∠AEO＝45°．
15．解：（1）∵AE⊥BF，
∴∠EMB＝90°，
∴∠FBC+∠BEM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠FBC+∠BFC＝90°，
∴∠BEM＝∠BFC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF．
故答案为：＝；
（2）GE＝BF，理由如下：
如图2，过点A作AN∥GE，交BF于点H，交BC于点N，
∴∠EMB＝∠NHB＝90°，
∴∠FBC+∠BNH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵AD∥BC，AN∥GE，
∴四边形ANEG是平行四边形，
∴AN＝EG，
∵∠C＝90°，
∴∠FBC+∠BFC＝90°，
∴∠BNH＝∠BFC，
∴△ABN≌△BCF（AAS），
∴AN＝BF，
∵AN＝EG，
∴GE＝BF．
（3）①如图3，连接CH，
由（2）的结论可知，AE＝MN，
∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC，
∵BH＝BH，
∴△ABH≌△CBH（SAS），
∴∠BAH＝∠BCH，AH＝CH，
由折叠可知，AH＝AH′，NH＝NH′，
∵∠ABN+∠AHN＝180°，
∴∠BAH+∠BNH＝180°，
∵∠BNH+∠HNC＝180°，
∴∠BAH＝∠HNC，
∴∠HNC＝∠NCH，
∴NH＝CH，
∴NH＝CH＝AH＝AH′＝NH′，
∴四边形AHNH′是菱形，
∵∠AHN＝90°，
∴菱形AHNH′是正方形；
②如图4，作H′Q⊥BC交CB的延长线于点Q，作HF⊥BC于点M，
∴∠H′QN＝∠HFB＝90°，
由上知四边形AHNH′是正方形，
∴H′N＝HN，∠H′NH＝90°，AH′AN，
∴∠H′NQ+∠HNF＝∠HNF+∠NHF＝90°，
∴∠H′NQ＝∠NHF，
∴△H′QN≌△NFH′（AAS），
∴H′Q＝NF，QN＝HF；
∵∠HBF＝45°，∠HFB＝90°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴HF＝BF＝NF+BN，
∵QN＝QB+BN，
∴NF＝QB＝QH′，
∴∠H′BQ＝∠ABH′＝45°，
∴∠H′BD＝90°；
如图4，作P关于BH′的对称点P′，则PH′＝P′H′，过点P′作PK⊥AB交AB延长线于点K，
则△PBK是等腰直角三角形，
∴PH′AN＝PH′+AH′＝P′H′+AH′≥AP′，即当A，H′，P′三点共线时，PH′AN最小，最小值为AP′的长．
∵AB＝6，
∴BD＝6，
∵BD＝3BP，
∴BP＝BP′＝2，
∴PK＝BK＝2，
∴AK＝8，
∴AP′2，即PH′AN的最小值为2．
故答案为：2．
16．
解：（1）选命题①
在图1中，∵△ABC是正三角形，
∴BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°．
∵∠BON＝60°，
∴∠CBM+∠BCN＝60°．
∵∠BCN+∠ACN＝60°，
∴∠CBM＝∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM＝CN．
选命题②
在图2中∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°．
∵∠BON＝90°，
∴∠CBM+∠BCN＝90°．
∵∠BCN+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM＝CN．
选命题③
在图3中，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°．
∵∠BON＝108°，
∴∠CBM+∠BCN＝108°．
∵∠BCN+∠DCN＝108°，
∴∠CBM＝∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM＝CN．
（2）①当∠BON时，结论BM＝CN成立．
②BM＝CN成立．
在图5中，连接BD、CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∠CDE＝∠DEA＝108°．
∴∠BCD＝∠DEA，
∴△BCD≌△CDE（SAS）．
∴BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．
∵∠BON＝108°，
∴∠OBC+∠OCB＝108°．
∵∠OCB+∠OCD＝108°，
∴∠OBC＝∠OCD（即∠MBC＝∠NCD）．
∴∠MBC﹣∠DBC＝∠NCD﹣∠ECD，即∠DBM＝∠ECN．
∴∠CDE﹣∠BDC＝∠DEA﹣∠CED，即∠BDM＝∠CEN．
∴△BDM≌△CEN（ASA）．
∴BM＝CN．

展开更多......

收起↑