资源简介

1.1.1　空间向量及其运算
第1课时　空间向量的概念及线性运算
[学习目标]　1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念.2.掌握空间向量的加法、减法及数乘运算，理解其几何意义.3.掌握空间向量线性运算的应用．
一、空间向量的概念
问题1　你还记得平面向量中有哪些与向量相关的概念？
知识梳理
1．空间中既有________又有________的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的________(或________)．空间向量可用有向线段表示，有向线段的________表示向量的大小，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为________．
2．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 始点和终点相同的向量称为________，记为0
单位向量 ________的向量称为单位向量
相反向量 与向量a大小________、方向________的向量，称为a的相反向量，记为________
平行(共线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线)
相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量
3.共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在________内，则称这些向量________；否则，称这些向量________．
例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．空间向量就是空间中的一条有向线段
C．若向量，满足||>||，则>
D．相等的向量其方向必相同
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等的向量、向量共线、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中：
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
二、空间向量的加减法运算
问题2　同学们，你们还记得平面向量的运算法则吗？
知识梳理
空间向量的加减法运算
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和，若封闭，和为0
图形叙述
平行四边 形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
例2　(1)(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
A.－－
B.＋－
C.－－
D.－＋
(2)化简：(－)－(－)＝______.
反思感悟　空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．
(1)＋－；
(2)－－.
三、空间向量的数乘运算
问题3　平面中是如何表示a＋a＋a的？
知识梳理
空间向量的数乘运算
定义 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量
几何 意义 λ>0且a≠0 λa与向量a的方向______ |λa|＝|λ|·|a|
λ<0且a≠0 λa与向量a的方向______
λ＝0或a＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝______
分配律 (λ＋μ)a＝______，λ(a＋b)＝______
例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
延伸探究
1．若本例条件不变，试用a，b，c表示向量.
2．若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？
跟踪训练3　点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
四、空间向量线性运算的应用：共线问题
例4　(1)设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.
(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.
求证：四边形EFGH是梯形．
反思感悟　对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
跟踪训练4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上且＝.求证：E，F，B三点共线．
1.知识清单：
(1)向量的相关概念．
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)．
(3)向量线性运算的应用．
2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．
3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．
1．(多选)下列命题中，是真命题的是(　　)
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．化简－＋所得的结果是(　　)
A. B. C．0 D.
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
4．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若＝＋x＋y，则x＝__________，y＝________________________.
第1课时　空间向量的概念及线性运算
问题1　①向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量称为向量；②画法：用有向线段AB画出来；③表示方法：或a(书写时用带箭头的小写字母表示)；④零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的；⑤单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量；⑥相等的向量：在平面中方向相同且大小相等的向量称为相等的向量；⑦相反向量：在平面中大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量．
知识梳理
1．大小　方向　模　长度　长度　|a|或||
2．零向量　模等于1　相等　相反　－a
3．同一平面　共面　不共面
例1　(1)D
(2)BC
跟踪训练1　解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝
＝＝3.
问题2　①平面向量的加法法则：向量加法的三角形法则或向量加法的平行四边形法则，记为a＋b；几何意义：(图略)．a＋b表示以a与b首尾相连的三角形的第三边所对应的向量或以a与b为邻边的平行四边形所夹的对角线所对应的向量；口诀为：首尾相连，首向量的起点指向末向量的终点或相同起点对角线所对应向量．②向量减法的三角形法则：记为a－b，几何意义：(图略)．a－b表示以a与b为邻边的平行四边形的另一条对角线所对应向量，口诀：共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点的向量．
知识梳理
b＋a
例2　(1)AB
(2)0
跟踪训练2　解　(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
(2)连接GF，则－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
问题3　在平面中a＋a＋a＝3a，我们称为向量的数乘运算，其结果仍是一个向量．
知识梳理
相同　相反　(λμ)a　λa＋μa　λa＋λb
例3　解　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋b＋c.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
延伸探究
1．解　因为P，N分别是C1D1，BC的中点，
所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c.
2．解　＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
跟踪训练3　解　取PC的中点E，连接NE，
则
＝－
＝
－(－)
＝－
＝－
＝－－(－)
＝－－(＋－)
＝－－＋，
又因为＝x＋y＋z，
所以实数x，y，z的值分别为－，－，.
例4　(1)1
(2)证明　∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝＝(－)
＝
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
跟踪训练4　证明　设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，＝(－)
＝(＋－)＝a＋b－c.
所以＝－＝a－b－c
＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，所以＝，所以E，F，B三点共线．
随堂演练
1．ABC　2.C　3.A
4．－　－(共87张PPT)
第1课时
第一章
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空间向量的概念及线性运算
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念.
2.掌握空间向量的加法、减法及数乘运算，理解其几何意义.
3.掌握空间向量线性运算的应用.
学习目标
国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？解决上述问题都离不开它——空间向量.
导 语
一、空间向量的概念
二、空间向量的加减法运算
课时对点练
三、空间向量的数乘运算
随堂演练
内容索引
四、空间向量线性运算的应用：共线问题
空间向量的概念
一
提示　①向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量称为向量；
②画法：用有向线段AB画出来；
③表示方法： 或a(书写时用带箭头的小写字母表示)；
④零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的；
⑤单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量；
⑥相等的向量：在平面中方向相同且大小相等的向量称为相等的向量；
⑦相反向量：在平面中大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量.
你还记得平面向量中有哪些与向量相关的概念？
问题1
1.空间中既有 又有 的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的 (或 ).空间向量可用有向线段表示，有向线段的 表示向量的大小，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作 ，其模记为
.
大小
方向
模
长度
长度
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 始点和终点相同的向量称为 ，记为0
单位向量 的向量称为单位向量
相反向量 与向量a大小 、方向 的向量，称为a的相反向量，记为____
平行(共线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线)
相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量
零向量
模等于1
相等
相反
－a
3.共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在 内，则称这些向量 ；否则，称这些向量 .
同一平面
共面
不共面
(1)空间向量的模可以比较大小，任意两个空间向量可以相等，但不能比较大小.
(2)共线向量不一定具有传递性，比如其中一向量为0时，不具有传递性.
(3)空间向量书写时必须加“→”.
(4)单位向量方向不确定.
注 意 点
<<<
　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.单位向量都相等
B.空间向量就是空间中的一条有向线段
A中，单位向量的长度相等，方向不确定，故A错误；
B中，零向量不能用有向线段表示，故B错误；
C中，向量不能比较大小，故C错误；
D中，由相等的向量定义可知，D正确.
例 1
D.相等的向量其方向必相同
√
(2)(多选)下列命题为真命题的是
A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
√
√
A为假命题，根据相等的向量的定义知，两向量为相等的向量，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行.
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等的向量、向量共线、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
反
思
感
悟
　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中：
跟踪训练 1
二
空间向量的加减法运算
提示　①平面向量的加法法则：向量加法的三角形法则或向量加法的平行四边形法则，记为a＋b；几何意义：(图略).a＋b表示以a与b首尾相连的三角形的第三边所对应的向量或以a与b为邻边的平行四边形所夹的对角线所对应的向量；口诀为：首尾相连，首向量的起点指向末向量的终点或相同起点对角线所对应向量.
②向量减法的三角形法则：记为a－b，几何意义：(图略).a－b表示以a与b为邻边的平行四边形的另一条对角线所对应向量，口诀：共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点的向量.
同学们，你们还记得平面向量的运算法则吗？
问题2
空间向量的加减法运算
加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和，若封闭，和为0
图形叙述
平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
反
思
感
悟
(1)两个向量的减法运算可以看成是一个向量加上另一个向量的相反向量.
(2)共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点的向量.
(3)向量的加法和减法运算结果仍是向量.
　(1)(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是
例 2
√
√
0
方法一(转化为加法运算)
方法二(转化为减法运算)
反
思
感
悟
(1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
空间向量加法、减法运算的两个技巧
　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
跟踪训练 2
空间向量的数乘运算
三
平面中是如何表示a＋a＋a的？
提示　在平面中a＋a＋a＝3a，我们称为向量的数乘运算，其结果仍是一个向量.
问题3
空间向量的数乘运算
定义 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量
几何 意义 λ>0且a≠0 λa与向量a的方向_____ |λa|＝|λ|·|a|
λ<0且a≠0 λa与向量a的方向_____
λ＝0或a＝0 λa＝0，其方向是任意的
运算律 结合律 λ(μa)＝______
分配律 (λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝_______
相同
相反
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定共线.
(4)空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算.
注 意 点
<<<
　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设 ＝a， ＝b， ＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
例 3
∵P是C1D1的中点，
∵N是BC的中点，
∵M是AA1的中点，
1.若本例条件不变，试用a，b，c表示向量 .
延伸探究
因为P，N分别是C1D1，BC的中点，
反
思
感
悟
(1)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，运用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
(2)空间向量线性表示的常用结论
③若O为空间中任意一点，则
　点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，
跟踪训练 3
取PC的中点E，连接NE，
空间向量线性运算
的应用：共线问题
四
(1)设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知 ＝e1＋ke2， ＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝_____.
例 4
1
(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，
求证：四边形EFGH是梯形.
∵E，H分别是AB，AD的中点，
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
反
思
感
悟
对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线.
跟踪训练 4
1.知识清单：
(1)向量的相关概念.
(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).
(3)向量线性运算的应用.
2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.
3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
随堂演练
五
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1.(多选)下列命题中，是真命题的是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
√
√
√
容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等的向量或相反向量.
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√
3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 ，则四
边形ABCD是
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
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∴四边形ABCD为平行四边形.
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4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若
，则x＝______，y＝______.
由图可知，
课时对点练
六
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基础巩固
1.下列说法中正确的是
A.空间中共线的向量必在同一条直线上
B. 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C.在数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
D.在四边形ABCD中，一定有
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对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；
对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
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5.若空间中任意四点O，A，B，P满足 ，其中m＋n＝
1，则
A.P∈AB
B.P AB
C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.以上都不对
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9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
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11.(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不正确的是
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综合运用
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12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则 等于
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15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其中AB与EF之比约为9∶10，则化简
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，如图，
14.如图所示，P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上
靠近P的三等分点，且 ，则x＋y＋z＝_____.
1
2
3
4
5
6
7
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5
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7
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10
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14
15
16
因为P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上靠近P的三等分点，
1
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16
15.(多选)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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16
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，
使D′F＝2FC′，连接EF，
1
2
3
4
5
6
7
8
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14
15
16第2课时　空间向量的数量积
[学习目标]　1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．
一、空间向量的夹角及数量积的概念
问题　空间中任意两个向量可以平移到同一起点吗？此时两个向量所形成的角可以找到吗？
知识梳理
1．两个空间向量的夹角
(1)定义：给定两个非零向量a，b，任意在空间内选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的________称为a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)如果〈a，b〉＝，则称向量a与向量b________，记作________________．
(3)约定零向量与任意向量都垂直．
2．空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b，则________________称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
例1　(1)对于空间中任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角〈，〉＝________；向量与的夹角〈，〉＝________________________________.
反思感悟　找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练1　在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
二、空间向量的数量积的性质
知识梳理
1．数量积的几何意义
(1)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，
假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影．如图所示．
(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的________．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．
2．空间向量的数量积的性质
向量数量 积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝____
共线 同向：a·b＝________
反向：a·b＝________
模 (1)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝________； (2)|a|＝； (3)|a·b|≤|a|·|b|
夹角 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
运算律 (1)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
例2　已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心．求：
(1)·；(2)·；(3)·.
反思感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)利用数量积的几何意义求解．
(3)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练2　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
三、空间向量数量积的简单应用
例3　如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
反思感悟　利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题．(a，b为非零向量)
(1)a⊥b a·b＝0.
(2)cos〈a，b〉＝.
(3)|a|2＝a2.
跟踪训练3　(1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　)
A．－6 B．6 C．3 D．－3
(2)已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角及数量积的概念．
(2)空间向量的投影．
(3)空间向量的数量积的性质．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量．
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
2．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
4．已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
第2课时　空间向量的数量积
问题　可以，可以．
知识梳理
1．(1)∠AOB　(2)垂直　a⊥b
2．|a||b|cos〈a，b〉
例1　(1)B
(2)90°　120°
跟踪训练1　C
知识梳理
1．(2)乘积
2．0　|a|·|b|　－|a|·|b|(1)|a|2
例2　解　(1)〈，〉＝〈，〉＝60°，
又||＝||＝a，
∴·＝||||cos〈，〉
＝a×a×cos 60°＝a2.
(2)如图所示，||＝a，
在上的投影为，
∵||＝a，
∴·＝||·||＝a×a＝a2.
(3)取AB的中点E，∴O1E⊥AB，
∴在上的投影为，
又||＝a，|A|＝a，
∴·＝||·||＝a×a＝a2.
跟踪训练2　解　(1)·
＝·
＝||||·cos〈，〉
＝cos 60°＝.
(2)·＝·
＝||2＝.
(3)·＝·
＝||·||cos〈，〉
＝cos 120°＝－.
(4)·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉
－||||cos〈，〉
＝cos 60°－cos 60°＝0.
例3　(1)证明　＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，
∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋＋·
＝||||cos?，?＋＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解　由(1)知·＝||||cos?，＋＝－1.
又||＝＝＝||，
∴cos?，＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
跟踪训练3　(1)B　(2)
随堂演练
1．AD　2.ACD　3.－a2　4.22(共68张PPT)
第2课时
第一章
<<<
空间向量的数量积
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
学习目标
同学们，上节课我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算，我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量，其性质没有变化，而我们平面中还有两个向量的数量积的运算，显然本节课的关键词仍是“类比”.
导 语
一、空间向量的夹角及数量积的概念
二、空间向量的数量积的性质
课时对点练
三、空间向量数量积的简单应用
随堂演练
内容索引
空间向量的夹角及数量积的概念
一
提示　可以，可以.
空间中任意两个向量可以平移到同一起点吗？此时两个向量所形成的角可以找到吗？
问题
1.两个空间向量的夹角
(1)定义：给定两个非零向量a，b，任意在空间内选定一点O，作 ＝a，
＝b，则大小在[0，π]内的 称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)如果〈a，b〉＝ ，则称向量a与向量b ，记作 .
(3)约定零向量与任意向量都垂直.
∠AOB
垂直
a⊥b
2.空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
(1)数量积必须是点乘，其结果是一个实数.
(2)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0.
(3)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π.
(4)找两个向量夹角时，起点必须相同.
注 意 点
<<<
　(1) 对于空间中任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝
0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
显然〈a，b〉＝0 a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.
例 1
√
90°
120°
∵AB⊥平面BCC1B1，C1B 平面BCC1B1，
∴AB⊥C1B，
连接BD，A1D(图略)，
∵△A1BD为等边三角形，
找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π].
反
思
感
悟
　在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则
与 的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
跟踪训练 1
√
二
空间向量的数量积的性质
1.数量积的几何意义
(1)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，
假设垂足为A，B，则向量 称为a在直线l(或平面α)上的投影.如图所示.
(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的 .特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的
数量.
乘积
2.空间向量的数量积的性质
向量数量 积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝___
共线 同向：a·b＝______
反向：a·b＝________
模 (1)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝ ；
(2)|a|＝ ；
(3)|a·b|≤|a|·|b|
夹角 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
运算律 (1)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
0
|a|·|b|
－|a|·|b|
|a|2
(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量.
(2)投影的数量为|a|cos θ(θ为a与b的夹角).
(3)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立.
注 意 点
<<<
已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面
A1B1C1D1的中心.求：
例 2
取AB的中点E，∴O1E⊥AB，
反
思
感
悟
(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算.
(2)利用数量积的几何意义求解.
(3)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.
　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
跟踪训练 2
空间向量数量积的简单应用
三
　如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为 .
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
例 3
∵BB1⊥平面ABC，
又△ABC为正三角形，
反
思
感
悟
利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.(a，b为非零向量)
(1)a⊥b a·b＝0.
(3)|a|2＝a2.
　(1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为
A.－6 B.6 C.3 D.－3
跟踪训练 3
√
由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
又〈a，b〉∈[0，π]，
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角及数量积的概念.
(2)空间向量的投影.
(3)空间向量的数量积的性质.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
√
√
1
2
3
4
2.(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是
A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D.若a·b>0，则〈a，b〉是锐角
√
√
√
对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角.
3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则 ＝______.
1
2
3
4
如图，
－a2
1
2
3
4
4.已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝______.
∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，
则a2＋2a·b＋b2＝576，
∴2a·b＝576－132－192＝46.
又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22.
22
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.下列命题中正确的是
A.(a·b)2＝a2·b2
B.|a·b|≤|a||b|
C.(a·b)·c＝a·(b·c)
D.若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，
∴左边≤右边，故A错误；
对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos?a，b?≤1，
∴|a·b|≤|a||b|，故B正确；
对于C项，数量积不满足结合律，故C错误；
对于D项，∵a·(b－c)＝0，
∴a·b－a·c＝0，
∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误.
2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2a－b)·a＝2a2－b·a
＝2|a|2－|a||b|·cos 120°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝ ，则b在a上的投影的数量为
A.1 B.－1 C.2 D.－2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
6.(多选)已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.
－13
∵a＋b＋c＝0，
∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
9.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)AM的长；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
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综合运用
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√
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14.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝ ，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为______.
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－4
∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，
15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则 (i＝1,2，…，8)的不同值的个数为
A.8 B.4
C.2 D.1
拓广探究
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16.已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝1，且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝ .
(1)求B1D的长；
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16作业1　空间向量的概念及线性运算
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1．下列说法中正确的是(　　)
A．空间中共线的向量必在同一条直线上
B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．在数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
4．如图，在三棱锥O－ABC中，设＝a，＝b，＝c，若＝，＝2，则等于(　　)
A.a＋b－c
B．－a－b＋c
C.a－b－c
D．－a＋b＋c
5．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)
A．P∈AB
B．P AB
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．以上都不对
6.在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则＋－－的化简结果为(　　)
A．0 B. C. D.
7．(5分)已知A，B，C三点共线，若对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，则λ＋m＋n＝________.
8．(5分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.
9．(9分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；(3分)
(2)＋＋；(3分)
(3)－－.(3分)
10．(12分)如图，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
11．(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不正确的是(　　)
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于(　　)
A．－＋＋
B．－＋＋
C.＋＋
D.－＋
13．(5分)光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其中AB与EF之比约为9∶10，则化简＋＋＝________.
14．(5分)如图所示，P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上靠近P的三等分点，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
15．(多选)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有(　　)
A.＋与＋是一对相反向量
B.－与－是一对相反向量
C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D.－与－是一对相反向量
16．(12分)如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图中标出其结果；(6分)
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．(6分)
作业1　空间向量的概念及线性运算
1．C　2.A　3.D　4.A　5.A　6.A
7．0　8.－a－b＋c
9．解　(1)＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.向量，，如图所示．
10．解　∵＝＋＋
＝－＋－－
＝－＋＝－＋(＋)
＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝＋－，
又＝＋x＋y，
∴x＝，y＝－.
11．ACD　12.C
13.
解析　延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，如图，则＝＝，又＝，且＝，
所以＋＋＝＋
＋＝＋＋
＝＋＝＋＝.
14.
解析　因为P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上靠近P的三等分点，
所以＝＋＝＋＝＋(＋＋)
＝＋
＝＋
＝＋＋，
所以x＝，y＝，z＝，
x＋y＋z＝＋＋＝.
15．ACD　[如图所示，＝－，＝－，
所以＋＝－(＋)，是一对相反向量，A正确；
－＝，－＝，而＝，故不是相反向量，B错误；
C是正确的；
－＝，－＝＝－，是一对相反向量，D正确．]
16．解　(1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，
则＝＋＋.
(2)因为＝＋
＝＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＋，所以α＝，β＝，γ＝.作业2　空间向量的数量积
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1．下列命题中正确的是(　　)
A．(a·b)2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)
A．12 B．8＋
C．4 D．13
3．已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝，则b在a上的投影的数量为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．已知正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·等于(　　)
A. B. C．－ D．－
5.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有(　　)
A.·＝2a2
B.·＝a2
C.·＝a2
D.·＝a2
6．(多选)已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则(　　)
A．||＝
B．||＝3
C.·＝－9
D．异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
7．(5分)已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
8．(5分)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
9．(10分)已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
10.(10分)如图，在三棱柱OAB－CA1B1中，＝a，＝b，＝c，三向量夹角均为，M，N分别在CA1，BA1上，且＝，＝，||＝2，||＝2，||＝4，求
(1)AM的长；(5分)
(2)与夹角的余弦值．(5分)
11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A．2· 　　 B．2·
C．2· 　　 D．2·
12．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则〈，〉等于(　　)
A．60° B．45° C．120° D．90°
13．已知空间中有AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝1，BC＝2，CD＝3，〈，〉＝60°，则A，D两点间的距离为(　　)
A. B. C. D．2
14．(5分)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．
15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
16．(13分)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝1，且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝.
(1)求B1D的长；(6分)
(2)求与夹角的余弦值．(7分)
作业2　空间向量的数量积
1．B　2.D　3.D　4.D　5.BC　6.BD
7．－　8.－13
9．解　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
所以〈a，b〉＝60°.
10．解　(1)因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋c.又因为a·c＝4，
所以||＝
＝，即AM的长为.
(2)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
因为a·b＝2，b·c＝c·a＝4，
所以·
＝·(a＋b＋c)＝，
又||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝，
即与夹角的余弦值为.
11．C　12.D
13．B　[＝＋＋，
所以||＝
＝
＝
＝.]
14．－4
解析　∵n⊥(tm＋n)，
∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，
由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.
15．D　[·＝·(＋)
＝2＋·，
∵AB⊥平面BP2P8P6，
∴⊥，∴·＝0，
∴·＝||2＝1，
则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1.]
16．(1)由题可知，＝＋＋＝－－，
则||＝
＝
＝
＝，
因此，B1D的长为.
(2)由题知，＝＝－，
则||＝
＝
＝＝，
所以·
＝(－)·(－－)
＝·－·－－·＋＋·
＝·－2－·＋
＝1×3×－32－1×2×＋22＝－，
所以cos〈，〉＝＝＝－.

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