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(共27张PPT)
9.1 因式分解
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
第九章 因式分解
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）.
课标链接·核心素养学段目标
1. 因式分解首先是在整式范围内进行的一种恒等变形；其次等式右边必须是整式乘积的形式，两者缺一不可.
2. 分解因式实质上是整式的一种恒等变形，变形前后式子的值始终保持不变.
1. 练习变式 教材 P111，T1 改编 下列式子是因式分解的是 （ ）
A. x（x-1）=x2-x B. x2-x-1=x（x+1）-1
C. x2+x=x（x+1） D. x2-2x=x（x-1）-x
■考点 因式分解
C
2. 习题变式 教材 P112，AT1 改编（3a-y）（3a+y）是下列哪一个多项式因式分解的结果 （ ）
A. 9a2+y2 B. -9a2+y2
C. 9a2-y2 D. -9a2-y2
C
3. 习题变式 教材 P112，AT1 改编 下列因式分解错误的是 （ ）
A. x2-y2=（x+y）（x-y）
B. x2+6x+9=（x+3）2
C. x2+xy=x（x+y）
D. x2+y2=（x+y）2
D
4. 习题变式 教材 P112，AT1 改编 下列分解因式正确的是 （ ）
A. 2x2-xy-x=2x（x-y-1）
B. -xy2+2xy-3y=-y（xy-2x-3）
C. x（x-y）-y（x-y）=（x-y）2
D. x2-x-3=x（x-1）-3
C
5. 习题变式 教材 P112，AT2 改编 分解 因 式 x2+ax +25=（x-5）2，则 a 的值为 （ ）
A. 5 B. -5
C. 10 D. -10
D
6. 练习变式 教材 P111，T1 改编 下列从左到右的变形中，是因式分解的有 ___________. （填序号）
①24x2y=4x·6xy；②（x+5）（x-5）=x2-25；
③x2+2x-3=（x+3）（x-1）；
④9x2-6x+1=3x（3x-2）+1；
⑤x2+1=x(x+ ) ；⑥3xn+2+27xn=3xn（x2+9）.
③⑥
7. 练习变式 教材 P112，T2 改编 请在下列等式左边的括号里填上合适的代数式.
（1）（ ）+6y=3（x+2y）；
（2）am+（ ）=m（a+b）；
（3）m2-（ ）=（m-2n）（m+2n）；
（4）x2-6xz+（ ）=（x-3z）2.
3x
bm
4n2
9z2
8. 习题变式 教材 P112，BT4 改编 已知关于 x 的二次三项式 2x2+mx+n 因式分解的结果是（2x-1(x+ ) ，求 m，n 的值．
解：（2x-1） (x+ )=2x2+ x-x- =2x2- x- ，∴m=- ，n=- ．
9. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是 （ ）
A． a（m+n）=am+an
B． a2-b2-c2=（a-b）（a+b）-c2
C． 10x2-5x=5x（2x-1）
D． x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x
易错归纳
■易错点1 忽略了等式右边必须是乘积的形式
C
10. 若 x2+mx+3x-15 分解因式为（x+3）（x+n），则m 的值是 （ ）
A. -5 B. 5 C. -2 D. 2
A
■易错点2 遗漏负号
11. 易错题 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是 （ ）
A. a（x-y）=ax-ay
B. x2+2x+1=x（x+2）+1
C.（x+1）（x+3）=x2+4x+3
D. x3-x=x（x+1）（x-1）
D
12.（2x+3a）（2x-3a）是下列哪个多项式分解因式的结果 （ ）
A. 4x2-9a2 B. 4x2+9a2
C. -4x2+9a2 D. 以上都不对
A
13. 把 x2-4x+4 分解因式的结果是 （ ）
A.（x+2）2 B.（x-2）2
C. x（x-4）+4 D.（x+2）（x-2）
B
14. 若 x2+ax+36=（x+6）2，则 a 的值是 （ ）
A. -6 B. -12 C. 12 D. 6
C
15. 运算能力 下列多项式中，分解因式的结果为-（x+y）（x-y）的是 （ ）
A． x2-y2 B． -x2+y2 C． x2+y2 D． -x2-y2
B
16.（a+8）（a-8）=a2-64，由左到右的变形是__________________，反过来 a2-64=（a+8）（a-8），由左到右的变形是___________.
整式乘法
因式分解
17. y（2x+1）是多项式 _________ 分解因式后的结果．
2xy+y
18. 若多项式 x2-mx-21 可以分解为（x+3）（x-7），则 m=______.
4
19. 连一连.
9x2-4y2 a（a+1）2
4a2-8ab+4b2 -3a（a+2）
-3a2-6a 4（a-b）2
a3+2a2+a （3x+2y）（3x-2y）
20. 已知二次三项式 2x2+3x-k=（2x-5）（x+a），求a 和 k 的值．
解：由 2x2+3x-k=（2x-5）（x+a），得2x2+3x-k=2x2+（2a-5）x-5a，
∴ 2a-5＝3， 解得 a=4，
-5a＝-k, k=20.
∴a 的值为 4，k 的值为 20．
21. 类比法 例题：已知二次三项式 x2-4x-21 因式分解后有一个因式是（x+3），求另一个因式．
解：设另一个因式为（x+n），
得 x2-4x-21=（x+3）（x+n），
则 x2-4x-21=x2+nx+3x+3n，
∴-21=3n，解得 n=-7，∴ 另一个因式为（x-7）.
问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 x2+3x-40 因式分解后有一个因式是（x-5），求另一个因式．
解：设另一个因式为（x+a），得x2+3x-40=（x-5）（x+a），
则 x2+3x-40=x2+ax-5x-5a.
∴-40=-5a，解得 a=8.
∴ 另一个因式为（x+8）.
22. 错中求解 运算能力 分解因式 x2+ax+b，甲看错了 a 值，分解的结果是（x-3）（x+2），乙看错了b 值，分解的结果是（x-2）（x-3），求 a，b 的值.
解：∵ 分解因式 x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x-3）（x+2），（x-3）·（x+2）=x2-x-6，∴b=-6；∵ 乙看错了 b值，分解的结果是（x-2）（x-3），（x-2）·（x-3）=x2-5x+6，∴a=-5，∴a=-5，b=-6．(共28张PPT)
章末提升
脑图体系构建
提公因式法
公式法
平方差公式法：②______________
完全平方公式法：③______________
因式
分解
因式分解
的方法
因式分解的概念
把①__________ 提到括号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式
公因式
a2-b =(a+b)(a-b)
a2±2ab+b =(a±b ) .
本章的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式，在各类考试中，既有单独考查因式分解的，也有利用因式分解的知识进行化简求值的，题型有选择题和填空题，也有探索与创新题.本章主要考点可概括为：一个概念、两个方法、两个应用、两个技巧、一种思想.
考点整合应用
1. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （ ）
A．（a+1）（a-1）=a2-1
B． a2-2a+3=a（a-2）+3
C． x2·5x=5x3
D． 4x2-4x+1=（2x-1）2
一个概念———因式分解
D
2. 易错题 下列多项式中，不能用提公因式法进行因式分解的是 （ ）
A．（a-b）-4（b-a）2
B． x3-x+1
C． 11a2b-7b2
D． 5a（m+n）-3b2（m+n）
B
■方法 1 提公因式法
两个方法
3. 在多项式 x2+ 上添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是 （ ）
A． x B． -x C． x4 D． -x4
D
■方法 2 公 式 法
4. 应用意识 小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x-1，a-b，3，x2+1，a，x+1 分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将 3a（x2-1）-3b（x2-1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A． 我爱数学 B． 爱祖国
C． 祖国数学 D． 我爱祖国
D
5. 利用因式分解进行简便计算：
（1）2022+202×196+982=______；
（2）3.14×512-3.14×492=______.
■应用 1 用因式分解计算
两个应用
90 000
628
6. 较难题 对于任意自然数 n，关于代数式（n+7）2-（n-5）2 的值，说法错误的是 （ ）
A． 总能被 3 整除
B． 总能被 4 整除
C． 总能被 6 整除
D． 总能被 7 整除
■应用 2 应用因式分解解决整除问题
D
■技巧 1 拆项后用公式法
7. 新运算型阅读理解题 阅读材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有拆项法，即将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=（x+1）2-22=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）．
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2-6x-7=__________________；
（2）分解因式：a2+4ab-5b2=__________________．
两个技巧
（x-7）（x+1）
（a+5b）（a-b）
8. 新运算型阅读理解题 阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1 进行因式分解的解题思路：将“x2-2x”看成一个整体，令x2-2x=m，则原式=m（m+2）+1=m2+2m+1=（m+1）2．再将“m”还原为“x2-2x”即可．解题过程为：
解：设 x2-2x=m，则原式=m（m+2）+1=m2+2m+1=（m+1）2
=（x2-2x+1）2．
■技巧 2 换 元 法
（1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果：_________；
（2）请你模仿以上方法用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
①（m+n）2-10（m+n）+25；
②（x2-6x+8）（x2-6x+10）+1．
（x-1）4
①设 m+n=t，则（m+n）2-10（m+n）+25=t2-10t+25=（t-5）2
=（m+n-5）2；
②设 x2-6x=t，则（x2-6x+8）（x2-6x+10）+1=（t+8）（t+10）+1=t2+18t +81 =（t+9）2
=（x2-6x+9）2
=（x-3）4．
9. 若 a2-2a-2=0，则 a3+a2-8a+2 024 的值为（ ）
A． 2 024 B． 2 030
C． 2 026 D． 2 018
一种思想———整体思想
B
10. 若 a+b=4，a-b=1，则（a+2）2-（b-2）2 的值为______．
20
11. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图 1 所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用 1 张 1 号、1 张 2 号和 2 张 3 号卡片拼出一个新的图形（如图 2）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 __________________________；
（a+b）2=a2+2ab+b2
综合实践与开放探究
（2）如果要拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的大长方形，那么需要 2 号卡片 _____ 张，3 号卡片_________ 张；
（3）请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图分解因式 a2+5ab+6b2.
3
4
（3）如图，可以得出 a2+5ab+6b2
=（a+2b）（a+3b）．
专项 因式分解强化练
因式分解是代数中的基本技能之一，它不仅有助于简化复杂的代数表达式，还在解决其他代数问题时提供便利，分解因式时通常采用一“提”，二“公”，三“分”，四“变”的步骤.
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． x（a-b）=ax-bx
B． x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2
C． x2-1=（x+1）（x-1）
D． ax+bx+c=x（a+b）+c
类型一 辨别因式分解
C
2. 分解因式.
（1）9ax2-ay2； （2）（x+2）（x-6）+16；
类型二 分解因式
解：（1）原式=a（9x2-y2）=a（3x+y）·（3x-y）；
（2）原式=x2-4x+4=（x-2）2；
（3）4a（a-1）2-（1-a）； （4）1-x2+2xy-y2；
（3）原式=（a-1）［4a（a-1）+1］=（a-1）·
（4a2-4a+1）=（a-1）（2a-1）2；
（4）原式=1-（x2-2xy+y2）=1-（x-y）2=（1+x-y）（1-x+y）；
（5）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy；
（6）a2x2-8a2x+16a2；
（5）原式=8x2-16y2-7x2-xy +xy=x2-16y2
=（x+4y）（x-4y）；
（6）原式=a2 （x2-8x+16）=a2 （x-4）2；
（7）（a-b）（a+b）2+（a+b）（a-b）2+2a（a2-b2）；
（8）（x-2）2-（y-2）2-（x-y）2．
（7）原式=（a-b）（a+b）（a+b+a-b）+2a（a2-b2）=2a（a-b）（a+b）+2a（a-b）（a+b）=4a（a-b）（a+b）；
(8)原式=[(x-2)+(y-2)][(x-2)-(y-2)]-(x-y)2
=(x+y-4)(x-y)-(x-y)2
=(x-y)[(x+y-4)-(x-y)]=(x-y)(2y-4)=2·(x-y)(y-2).
3. 已知 a-b=1 且 ab=2，求代数式 a3b-2a2b2+ab3的值．
解：∵a-b=1 且 ab=2，
∴a3b-2a2b2+ab3
=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2
=2×12
=2.
类型三 因式分解的应用
4. 已知 a+b=3，a2+b2=5，求（a-b）2 的值．
解：∵a+b=3，∴（a+b）2
=a2+2ab+b2 =9，
∵a2+b2=5，∴2ab=9-5=4，∴（a-b）2=a2-2ab+b2
=5-4=1.
5. 已知 a，b，c 分别是三角形 ABC 三条边的长，且满足a2-b2+ac-bc=0，请判断三角形ABC的形状．
解：∵a2-b2+ac-bc=0，∴（a+b）（a-b）+c·（a-b）=0，（a-b）（a+b+c）=0，∵a，b，c分别是三角形三条边的长，∴a，b，c都大于 0，即 a+b+c>0，∴a-b=0，∴a=b，∴△ABC 是等腰三角形．(共30张PPT)
第九章章末提升卷
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）
1. 下列各组代数式中，没有公因式的是 （ ）
A． ax+y 和 x+y B． 2x 和 4y
C． a-b 和 b-a D． -x2+xy 和 y-x
A
2. 把多项式-7ab-14abx+49aby 分解因式，提公因式-7ab 后，另一个因式是 （ ）
A． 1+2x-7y B． 1-2x-7y
C．-1+2x+2y D． -1-2x+7y
A
3. 易错题 下列各等式从左到右的变形正确且是因式分解的是 （ ）
A． 8a2b3c=2a2·2b3·2c
B． x2y+xy2+xy=xy（x+y）
C．（x-y）2=x2-2xy+y2
D． 3x3+27x=3x（x2+9）
D
4. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是 （ ）
A． x2+2xy+4y2 B． x2-x+
C． x2-2x+1 D． x2+6x+9
A
5. 将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是 （ ）
A． x2-4 B．（x-2）2+8（x-2）+16
C． x3-4x2+4x D． x2+2x
C
6. 计算（-2）2 023+（-2）2 024 的结果是 （ ）
A． -22 023 B． 22 023 C． -22 021 D． 22 002
B
7. 作差法 已知 a≠c，若 M=a2-ac，N=ac-c2，则 M与 N 的大小关系是 （ ）
A． M＞N B． M=N
C． M＜N D． 不能确定
A
8. 甲、乙两位同学因式分解-x3+x 的结果如下：
甲同学：原式=-x（x+1）（x-1）；
乙同学：原式=x（1+x）（1-x）．
下列判断正确的是 （ ）
A． 只有甲的结果正确
B． 只有乙的结果正确
C． 甲、乙的结果都正确
D． 甲、乙的结果都不正确
C
9. 甲、乙两位同学在对多项式 x2+bx+c 分解因式时，甲看错了 b 的值，分解的结果是（x-4）（x+5），乙看错了 c 的值，分解的结果是（x+3）（x-4），那么 c-5b 的值为 （ ）
A． 15 B． -15 C． 25 D． -25
B
10. 如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为 15mn，9n2，25m2，15mn（m＞0，n＞0），则大正方形的边长为 （ ）
A． 5m+9n
B． 5m-3n
C． 25m+9n
D． 5m+3n
D
11. 如果 a，b，c 是三角形的三边长，那么代数式c2+2ab-a2-b2 的值是 （ ）
A． 正数 B． 负数 C． 非正数 D． 非负数
A
12. 对于任意整数 n，（2n+3）2-1 都 （ ）
A． 能被 2 整除，不能被 4 整除
B． 能被 5 整除
C． 能被 8 整除
D． 能被 4 整除，不能被 8 整除
C
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
13. 分类讨论思想 小 明 抄 在 作 业 本 上 的 式 子x-9y（2“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：_________________________________________.
（x+3y）（x-3y）或（x2+3y）（x2-3y）
14. 运算能力 多项式（x+2）（2x-1）-2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则 m-n 的值是____.
5
15. 如图 1 是一个棱长为 a 的正方体中挖去一个棱长为 b 的小正方体（a＞b），将剩余部分进行切割得到如图 2 所示的三个长方体．通过计算剩余部分的体积，可对多项式 a3-b3 进行因式分解，即 a3-b3=____________________．
（a-b）（a2+ab+b2）
16. 如图有三种类型卡片 A，B，C，现用 A 型卡片3 张，B 型卡片 k 张，C 型卡片 4 张一起拼成一个长方形．当 k=___________ 时，这个长方形的周长最长，最长为 __________．
13 或 7
8a+10b
三、解答题（共 52 分）
17.（6 分）分解因式：
（1）8x3y-2xy；
（2）4x（x-3y）+9y2．
解：（1）8x3y-2xy=2xy（4x2-1）=2xy·（2x+1）（2x-1）；
（2）4x（x-3y）+9y2=4x2-12xy+9y2=（2x-3y）2．
18.（8 分）利用因式分解简便计算下列各式：
（1）4.3×200.8+7.6×200.8-1.9×200.8；
解：（1）原式=200.8×（4.3+7.6-1.9）=2 008；
（2）原式= == ；
（3）1232-122×124；
（4）2132+213×574+2872．
（3）原式=1232-（123-1）（123+1）=1232-（1232-1）=1232-1232+1=1；
（4）原 式 = 2132 + 2 × 213 × 287 + 2872 =（213+287）2
=5002=250 000．
19.（8 分）过程纠错题 运算能力 因式分解（3x+y）2-（x+3y）2．小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：（1）小禾的解答是从第几步开始出错的？请帮助他指出错误的原因；
（2）请写出正确的因式分解过程．
解：（1）小禾的解答是从第①步开始出错的.错误的原因：有一项未变号；
（2）（3x+y）2-（x+3y）2
=（3x+y+x+3y）·（3x+y-x-3y）=（4x+4y）（2x-2y）
=8（x+y）（x-y）．
20. （8 分） 方程思想 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此 4，12，20 都是“神秘数”．
（1）请探究 36 是不是“神秘数”；
（2）证明：“神秘数”一定是 4 的倍数；
（3）2 000 是“神秘数”吗？ 请说明理由．
解：（1）假设 36 是神秘数，则能表示为两个连续偶数的平方差，设较小的偶数为 x, 则较大的偶数为 x+2．
∴（x+2）2-x2=36．解得 x=8．∴x+2=10．
∴36=102-82．∴36 是“神秘数”；
（2）证明：设较小的偶数为 2k,则较大的偶数为 2k+2．∴（2k+2）2
-（2k）2=8k+4=4（2k+1）．∵k 为正整数，∴2k+1为正整数．
∴“神秘数”一定是 4 的倍数；
（3）2 000 不是“神秘数”．理由：假设2 000 是“神秘数”，由（2）得 4（2k+1）=2 000，解得 k=249.5．
∵k 不是整数，∴ 假设不成立．
∴2 000 不是“神秘数”．
21.（10 分）阅读与思考：将式子 x2-x-6 分解因式．这个式子的常数项-6=2×（-3），一次项系数-1=2+（-3），这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； 然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示，这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”，请认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2-7y+12；
（2）分解因式：3x2-2x-1；
（3）若 x2+px-8 可分解为两个一次因式的积，则整数 p 的所有可能值是 _______________．
-7，7，2，-2
解：（1）y2-7y+12=（y-3）（y-4）；
（2）3x2-2x-1=（x-1）（3x+1）；
（3）-7，7，2，-2
22.（12 分） 解题方法型阅读理解题 阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到周部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法，配方法在因式分解、解方程等中都有着广泛的应用．
例：用配方法因式分解：a2+4a+3．
解：原式=a2+4a+4-1=（a+2）2-1=（a+2-1）（a+2+1）=（a+1）（a+3）．
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+_____；
（2）仿照例 1 的步骤，用配方法因式分解：m2-10m+24；
（3）若 x2+2y2+2xy-6y+9=0，求 x-y 的值.
解：（1）9
（2）m2-10m+24=（m-5）2-25+24=（m-5）2-1=（m-5-1）（m-5+1）=（m-6）·（m-4）；
（3）∵x2 +2y2 +2xy -6y +9 =0，∴x2 +y2 +2xy+y2-6y+9=0，
∴（x+y）2+（y-3）2=0，∴y=3，x=-y=-3，
∴x-y=-3-3=-6.(共32张PPT)
9.3.1用平方差公式分解因式
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
1. 能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
2. 如果一个多项式有公因式，首先提取公因式，然后用其他方法进行因式分解，同时注意因式分解要彻底，分解到不能再分解为止.
１. 习题变式 教材 P118，AT2 改编 下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是 （ ）
A. a2+4 B. a2-ab2 C. -a2+4 D. -a2-4
■考点1 平方差公式分解因式
C
2. 练习变式 教材 P118，T1 改编 下列因式分解正确的个数是 （ ）
①-x2-y2=(x+y)(x-y);
②9-25a2=(3-5a)(3+5a);
③-4a2+9b2=(-2a+3b)(-2a-3b).
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
C
3. 练习变式 教材 P118，T2 改编 为了运用平方差公式计算(a-b+c)(a+b-c),必须先适当变形,下列各变形中,正确的是 ( )
A.[(a+c)-b][(a-c)+b]
B.[(a-b)+c][(a+b)-c]
C.[(b+c)-a][(b-c)+a]
D.[a-(b-c)][a+(b-c)]
D
4. 习题变式 教材 P118，AT1 改编 把下列各式分解因式.
（1）x2－9y2； （2）16x4－y4；
解：（1）x2－9y2=x2－（3y）2=（x-3y）（x+3y）；
（2）16x4－y4=（4x2）2-（y2）2 =（4x2 +y2）·（4x2-y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x-y）；
（3）（x+2y）2－（x－3y）2；(4)(a-b)2-4b2.
（3）（x+2y）2－（x－3y）2=［（x+2y）+（x－3y）］·［（x+2y）－（x－3y）］=5y（2x-y）；
（4）（ａ－ｂ）2-4ｂ2=（a -b +2b）（a -b -2b）=（a+b）（a-3b）．
5. 例题变式 教材 P117，例 2 改编 把 代 数 式 xy2 －9x分解因式，结果正确的是 （ ）
A. x（y2－9） B. x（y+3）2
C. x（y+3）（y－3） D. x（y+9）（y－9）
■考点2 平方差公式与提公因式法结合分解因式
C
6. 例题变式 教材 P117,例 2 改编 把-a+a3 因式分解的结果是 （ ）
A. a(1+a2) B. -a(1-a2)
C. -a(1+a)(1-a) D. -a(a+1)(a-1)
C
7. 习题变式 教材 P124，BT5 改编 分解因式：a3－49a=______________．
a（a+7）（a－7）
8. 习题变式 教材 P124，BT5 改编 把下列各式分解因式.
（1）12a2x2－27b2y2； （2）3xy3-3xy；
解：（1）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3［（2ax）2－（3by）2］=3（2ax－3by）（2ax+3by）；
（2）3xy3-3xy=3xy（y2-1）=3xy（y-1）·（y+1）；
（3）-2m2+8； （4）25（m+n）2-（m-n）2.
（3）-2m2+8=-2（m2-4）=-2（m+2）（m-2）；
（4）25（m+n）2-（m-n）2
＝［５（ｍ＋ｎ）＋（ｍ－ｎ）］［５（ｍ＋ｎ）－（ｍ-ｎ）］＝（６ｍ ＋４ｎ）·（４ｍ＋６ｎ）＝４（３ｍ＋２ｎ）（２ｍ＋３ｎ）.
9. 分解因式.
（1）4x2-25y2； （2）a4-16.
易错归纳
■易错点1 符号错误
解：（1）4x2-25y2=（2x）2-（5y）2=（2x -5y）（2x+5y）；
（2）a4-16=（a2+4）（a2-4）=（a2+4）（a+2）·（a-2）.
10. 分解因式.
（1）2x3y-2xy3； （2）81ma4-mb4.
■易错点2 因式分解不彻底
解：（1）2x3y-2xy3=2xy（x2-y2）=2xy（x+y）·（x-y）；
（2）81ｍａ4-ｍｂ4=m（81a4-b4）=m（9a2+b2）（9a2-b2）=m（9a2+b2）（3a+b）（3a-b）．
11. 下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是 （ ）
A. x2+y2 B. -x2+y2 C. -x2-y2 D. x2-3y
B
12. -4+0.09x2 分解因式的结果是 （ ）
A.（0.3x+2）（0.3x-2）
B.（2+0.3x）（2-0.3x）
C.（0.03x+2）（0.03x-2）
D.（2+0.03x）（2-0.03x）
A
13. 易错题 多项式 x2（x-2）+（2-x）分解因式的结果是 （ ）
A．（x-2）（x2+1）
B．（x-2）（x2-1）
C．（x-2）（x+1）（x-1）
D．（x-2）（1+x）（1-x）
C
14. 小明在抄写分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式 x2-□y2（“□”表示漏抄的部分）中y2 前的系数，若该二项式能因式分解，则“□”不可能是 （ ）
A． x B． 4 C． -4 D． 9
C
15. 因式分解：x2-9=______________.
（x+3）（x-3）
16. 把多项式 3x2-12 因式分解的结果是 ___________________.
3（x-2）（x+2）
17. 因式分解：2x2-18=___________.
2（x+3）（x-3）
18. 分解因式：a3-4a=_________________.
a（a+2）（a-2）
19. 与方程组相结合 已知 a+b=8,且 a2-b2=48,则式子 a-3b 的值是 _________.
4
20. 因式分解：2a3-8ab2=_______________________.
2a（a+2b）（a-2b）
21. 把多项式 4ax2-ay2 分解因式的结果是 ___________________．
a（2x+y）（2x-y）
22. 整体思想 若 a+b=4，a-b=1，则（a+1）2-（b-1）2的值为 ________.
12
23. 运算能力 因式分解.
（1）4x2-9y2； (2) a2- b2;
解：（1）4x2-9y2=（2x）2-（3y）2=（2x+3y）（2x-3y）；
（2） a2- b2= (a2- b 2)
= [a2-( b ) 2]= (a- b )(a+ b ) ；
(3)m2 (16x-y)+n2 (y-16x).
（3）m2 （16x－y）+n2 （y－16x）
=m2 （16x-y）-n2 （16x-y）
=（16x-y）（m2-n2）
=（16x-y）（m-n）（m+n）.
24. 简便计算.
(1)4292-1712; (2)5152×24-4852×24.
解：（1）4292-1712
=（429+171）×（429-171）
=600×258
=154 800；
（2）5152×24-4852×24
=24×（5152-4852）
=24×（515-485）（515+485）
=24×30×1 000
=720 000.
25. 已知 x+y=7,x-y=5,求代数式 x2-y2-2y+2x的值.
解：x2－y2－2y +2x =（x -y）（x +y）+2（x-y）=（x-y）（x+y+2），
∵x+y=7，x－y=5，
∴x2－y2－2y+2x=5×（7+2）=45.
26. 真实问题情境 应用意识 有一个圆形的花园，其半径为 4 m，现要扩大花园，将其半径增加 2 m，这样花园的面积将增加多少平方米？（π 取3.14）
26. 解：由题意得，扩大后花园的半径
R=4+2=6（m），
则 S 增 =π （R2 -r2）=3.14 ×（62 -42）
=3.14×（6-4）×（6+4）=62.8（m2）．
答：这样花园的面积增加 62.8 m2.(共34张PPT)
9.2 提公因式法
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
1. 多项式的公因式可以是单项式，也可以是多项式，还可以是多项式幂的形式.
2. ①若首项系数为负时，一般要提出“-”，使括号内首项为正，此时括号内各项都要变号；②不能漏项，提取公因式后，当多项式的某一项与公因式相同，被全部提出后，应在剩下的多项式的相应位置上补 1，而不是 0.
1. 做一做变式 教材 P114，T1 改编 下列各式中，公因式是 a 的是 （ ）
A. ax+ay+5 B. 3a-6ma
C. 4a2+10ab D. a2-2a+ma
■考点1 公因式及确定方法
D
2. 做一做变式 教材 P114，T1 改编 多项式 4ab2+8ab2-12ab 的公因式是 （ ）
A． 4ab B． 2ab C． 3ab D． 5ab
A
3. 练习变式 教材 P115，T2 改编 -9x2y +3xy2-6xyz 各项的公因式是 （ ）
A. 3y B. 3xz C. -3xy D. -3x
C
4. 练习变式 教材 P115，T2 改编 在 m（a-x）（x-b）-mn（a-x）（b-x）中，公因式是 （ ）
A. m B. m（a-x）
C. m（a-x）（x-b） D.（a-x）（b-x）
C
5. 练习变式 教材 P115，T2 改编 把 2（x-3）+x（3-x）提取公因式（x-3）后，另一个因式是 （ ）
A． x-2 B． x+2 C． 2-x D． -2-x
C
6. 练习变式 教材 P115，T2 改编 多项式 3x2-6x 的公因式为 ________.
3x
7. 练习变式 教材 P115，T2 改编 多项式 12x（a+b）-4y（a+b）的公因式是 ________.
4（a+b）
8. 练习变式 教材 P115，T2 改编 多项式-3x2y3z+9x3y3z-6x4yz2 的公因式是________.
-3x2yz
9. 习题变式 教材 P115，AT1 改编 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （ ）
A. x2－y B. x2+2x C. x2+y2 D. x2－xy+y2
B
10. 习题变式 教材 P115，AT1 改编 下列哪项是多项式 x4+x3+x2 因式分解的结果 （ ）
A． x（x3+x2+x） B． x2（x2+x）
C． x2（x2+x+1） D． x3（x+1）+x2
C
11. 习题变式 教材 P115，AT2 改编 下列用提公因式法分解因式不正确的是 （ ）
A. 12abc－9a2b2c=3abc（4－3ab）
B. 3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y）
C. －a2+ab－ac=－a（a－b+c）
D. x2y+5xy+y=y（x2+5x+1）
B
12. 习题变式 教材 P115，BT4 改编 计算：（－2）2 024+（－2）2 025 等于 （ ）
A. 2 B. 22 024 C. －22 024 D. －22 025
C
13. 例题变式 教材 P114，例 1 改编 分解因式 ：2ax -4ay=___________.
2a（x-2y）
14. 例题变式 教材 P114，例 2 改编 因式分解多项式（a+b）（a+b-1）-a-b+1 的结果为 _____________________.
（a+b-1）2
15. 习题变式 教材 P116，AT3 改编 分解因式.
（1）3xy-6yz； （2）a2bm2+3ab2n2；
（3）-3a2x+6axy-3a； （4）（a-b）（x-y）-（b-a）（x+y）.
解：（1）原式=3y（x-2z）；
（2）原式=ab（am2+3bn2）；
（3）原式=-3a（ax-2xy+1）；
（4） 原式=（a-b）［（x -y）+（x +y）］=2x·（a-b）．
16. 2a2x2y-6axy2 的公因式是 _________.
易错归纳
■易错点1 审题不清，看错指数
2axy
17. 分解因式：
（1）-2a2+4ab-2ac=_____________________；
（2）（a-b）3-（b-a）2=____________________.
-2a（a-2b+c）
■易错点2 提取的公因式的系数为负数时，忘记变号
（a-b）2 （a-b-1）
18. 多项式 36a2bc-48ab2c+24abc2 的公因式是（ ）
A. 12a2b2c2 B. 6abc
C. 12abc D. 36a2b2c2
C
19. 多项式 m2-m 与多项式 2（m-1）2 的公因式是（ ）
A． m-1 B． m+1 C． m2-1 D．（m-1）2
A
20. 把多项式 a2-4a 分解因式，结果正确的是（ ）
A. a（a-4） B.（a+2）（a-2）
C. a（a+2）（a-2） D.（a-2）2-4
A
21. 易错题 把多项式（m+1）（m-1）+（m-1）提取公因式（m-1）后，余下的部分是 （ ）
A. m+1 B. 2m C. 2 D. m+2
D
22. 当 a，b 互为相反数时，代数式 a2+ab-2 的值等于 （ ）
A． 2 B． 0 C． -2 D． -1
C
23. 因式分解：a2+ab=________.
a（a+b）
24. 因式分解：x2-2x+（x-2）=_______________.
（x+1）（x-2）
25. 把 19.99×52+19.99×74-19.99×26 化为因式分解的形式为 _________________________，求得的值为 ________．
19.99×（52+74-26）
1999
26. 多项式 18xn+1－24xn 的公因式是 _________，提取公因式后，另一个因式是 ____________．
6xn
3x－4
27. 整体思想 若 ab=2，a-b=-1，则代数式 a2b-ab2 的值等于__________.
-2
28. 运算能力 分解因式.
（1）a2x2-ax； （2）-5ax2+2amx；
（3）（2a+b）（2a-b）+b（4a+2b）.
解：（1）原式=ax（ax-1）；
（2）原式=-ax（5x-2m）；
（3）原式=（2a+b）（2a-b）+2b（2a+b）=（2a+b）2．
29. 化简：（a-b）（a+b）2-（a+b）（a-b）2+2b（a2+b2）.
解：原式=（a-b）（a+b）（a+b-a+b）+2b·（a2+b2）=2b（a2-b2）+2b（a2+b2）=2b（a2-b2+a2+b2）=4a2b．
30. 较难题 已知（19x-31）（13x-17）-（17-13x）·（11x-23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a，b，c 均为整数，求 a+b+c 的值．
解：原式=（19x-31）（13x-17）+（13x-17）（11x-23）
=（13x-17）（30x-54），
∴a=13，b=-17，c=-54，∴a+b+c=-58．
31. 真实问题情境 应用意识 某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为（a+b）2 m2，第二块草坪的面积为 a（a+b） m2，第三块草坪的面积为 b（a+b） m2，求这三块草坪的总面积．
解：（a+b）2+a（a+b）+b（a+b）=（a+b）·
［（ａ＋ｂ）＋ａ＋ｂ］=（a+b）（2a + 2b）=2（a+b）2（m2）.
答：这三块草坪的总面积为 2（a+b）2 m2.(共29张PPT)
9.3.2用完全平方公式分解因式
● 名师点拨/事半功倍
● 考点集训/夯实基础
● 综合检测/巩固排查
● 核心素养/中考新考法
能用完全平方公式分解因式的多项式的特征：必须是三项式，其中首末两项符号相同且均能写成某个数或式的平方，中间一项是这两个数或式的乘积的 2 倍，符号不限.
１. 练习变式 教材 P121，T1 改编 下列能用完全平方公式分解因式的是 （ ）
A. x2+1 B. x2+4x-4
C. x2+x+2 D. x2+4x+4
■考点1 运用完全平方公式分解因式
D
2. 习题变式 教材 P121，AT1 改编 下列因式分解正确的是 （ ）
A． m2+n2=（m+n）（m-n）
B． x2+2x-1=（x-1）2
C． a2-a=a（a-1）
D． a2+2a+1=a（a+2）+1
C
3. 练习变式 教材 P121，T3 改编 填空：
(1)x2+____+4=(x+2)2;
(2)______-4mn+n2=(______-n)2;
(3)9a2+(________)+25b2=(3a-5b)2.
4x
4m2
2m
-30ab
4. 例题变式 教材 P120，例 3 改编 分解因式.
（1）9x2-6x+1； （2）（x-1）（x-3）+1．
解：（1）原式=（3x-1）2；
（2）原式=x2-4x+3+1=x2-4x+4=（x-2）2．
5. 例题变式 教材 P120，例 4 改编 因式分解 x3-2x2+x正确的是 （ ）
A．（x-1）2 B． x（x-1）2
C． x（x2-2x+1） D． x（x+1）2
■考点2 完全平方公式和提公因式法结合分解因式
B
6. 例题变式 教材 P120，例 4 改编 把代数式 3x3-6x2y+3xy2 分解因式正确的是 （ ）
A. x(3x+y)(x-3y) B. 3x(x2-2xy+y2)
C. x(3x-y)2 D. 3x(x-y)2
D
7. 练习变式 教材 P121，T1 改编 分解因式：2x2-8xy+8y2=_________________.
2（x-2y）2
8. 习题变式 教材 P121，AT2 改编 分解因式.
(1)2a2b-a3-ab2; (2)x5y5-18x3y3+81xy;
(3)x2 (y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1).
解：（1）2a2b-a3-ab2=-a（a2-2ab+b2）=-a（a-b）2；
（2）x5y5－18x3y3+81xy=xy（x4y4－18x2y2+81）=xy（x2y2－9）2=xy［（xy－3）（xy+3）］2=xy（xy+3）（2 xy－3）2；
（3）x2（y2-1）+2（x y2-1）+（y2-1）=（y2-1）（x2+2x+1）=（y2-1）（x+1）2=（y+1）（y-1）（x+1）2．
9. 因式分解：（a-b）2+4ab.
易错归纳
■易错点1 错误套用公式
解：（a-b）2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=（a+b）2.
10. 因式分解.
（1）6xy2-9x2y-y3； （2）x4y4-8x2y2+16.
■易错点2 符号变换错误
解：（1）6xy2-9x2y-y3=-y（y2-6xy+9x2）=-y（y-3x）2；
（2）x4y4-8x2y2+16=（x2y2-4）2=（xy+2）2·（xy-2）2.
11. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A. x2+x+1 B. x2+2x-1
C. x2-1 D. x2-6x+9
D
12. 下列各因式分解正确的是 （ ）
A． x2+2x-1=（x-1）2
B． -x2+（-2）2=（x-2）（x+2）
C． x3-4x=x（x+2）（x-2）
D．（x+1）2=x2+2x+1
C
13. 易错题 下列分解因式正确的是 （ ）
A. -x2+4x=-x（x+4）
B. x2+xy+x=x（x+y）
C. x（x-y）+y（y-x）=（x-y）2
D. x2-4x+4=（x+2）（x-2）
C
14. 分解因式 y3-4y2+4y= （ ）
A． y（y2-4y+4） B． y（y-2）2
C． y（y+2）2 D． y（y+2）（y-2）
B
15. 若多项式 x2+mx+36 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值可以是 （ ）
A. 6 B. -6 C. ±6 D. ±12
D
16. 因式分解：2x3-8x2+8x=__________.
2x（x-2）2
17. 分解因式：-2x2y+16xy-32y=_____________.
-2y（x-4）2
18. 把 x4-2a2x2+a4 分解因式的结果是 _______________．
（x+a）2 （x-a）2
19. 运算能力 分解因式.
（1）-3a3b+6a2b2-3ab3； （2）（a2-2ab+b2）-4；
（3）（x2-1）2+6（1-x2）+9； （4）（y-x）2-10x+10y+25.
解：（1）原式=-3ab（a2-2ab+b2）=-3ab·（a-b）2；
（2）原式=（a-b）2-22=（a-b-2）（a-b+2）；
（3）原式=（x2-1）2-6（x2-1）+9=（x2-1-3）2=（x+2）2 （x-2）2；
（4）原式=（x - y）2- 10（x -y）+25 =（x - y-5）2.
20. 简便运算：562+68×34+342.
解：原式=562+（112-44）×34+342
=562+2×56×34+342-44×34
=（56+34）2-44×34
=8 100-1 496
=6 604.
21. 已知 x=-19，y=12，求代数式 4x2+12xy+9y2的值．
解：4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2=（-38+36）2
=（-2）2
=4．
22. 已知 |x-y+1| 与 x2+8x+16 互为相反数，求 x2+2xy+y2 的值．
解：∵｜ x-y+1｜ 与 x2+8x+16 互为相反数，∴ ｜x-y+1｜与（x+4）2 互为相反数，即 ｜x-y+1｜+（x+4）2=0，∴x-y+1=0，x+4=0，解得 x=-4，y=-3．当 x=-4，y=-3时，原式=（x+y）2=（-4-3）2=49．
23. 整体代入法 已知 xy=2，x=2y+1，求 x3y-4x2y2+4xy3 的值．
解：x3y-4x2y2+4xy3=xy（x2-4xy+4y2）=xy·（x-2y）2，∵x=2y+1，∴x-2y=1，又∵xy=2，∴ 原式=2×12=2．
24. 换元法 运算能力 下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4 进行因式分解的过程.
解：设 x2-4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2-4x+4）2 （第四步）
（1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的 ________；（填序号）
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将 y 用含 x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后？ _____（选填“是”或“否”）.如果否，请直接写出最后的结果 _______________；
C
否
（x-2）4
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）·（x2-2x+2）+1 进行因式分解.
（3）设 x2-2x=y，（x2-2x）（x2-2x+2）+1
=y（y+2）+1
=y2+2y+1
=（y+1）2
=（x2-2x+1）2
=（x-1）4.

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