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(共13张PPT)
专项二 整式乘法与因式分解强化练
分解因式时通常采用一“提”，二“公”，三“分”，四“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能不能直接利用乘法公式.在分解因式时也可采用拆项法、分组分解法等方法.
1. 计算（-2a2b）3 的结果是 （ ）
A． -6a6b3 B． -8a2b C． -2a6b3 D． -8a6b3
类型一 幂的运算
D
2. 下列运算正确的是 （ ）
A． a3·a4=a12 B．（a3）2=a5
C．（-3a2）3=-9a6 D．（-a2）3=-a6
D
3. 下列运算正确的是 （ ）
A．（-2ab）·（-3ab）3=-54a4b4
B． 5x2·（3x3）2=15x12
C．（-0.1b）·（-10b2）3=-b7
D．（2×10n）· ( ×10n ) =102n
类型二 整式的乘法
D
4. 计算（a3b2）3·（-a3）2 的结果是 （ ）
A． -a12b6 B． a12b6 C． -a15b6 D． a15b6
D
5. 运算能力 计算.
（1）（4ab）2 ·(- a4b3c2)；
（2）-2xy2（x2+xy+3）+2xy·x2y；
解：（1）原式=16a2b2· (- a4b3c2 )=-4a6b5c2；
原 式 =-2x3y2 -2x2y3 -6xy2 +2x3y2=-2x2y3-6xy2；
（3）（2a-3b）（a+2b）-a（2a-b）；
（4）（2x+y）2-（2x+3y）（2x-3y）；
（5）（x+3y）（x-3y）+（3y+1）2-x（x-1）.
原式=2a2+4ab-3ab-6b2-（2a2-ab）=2a2+ab-6b2-2a2+ab=-6b2+2ab；
原 式 =4x2 +4xy +y2 -4x2 +9y2 =4xy+10y2；
原式=x2-9y2+9y2+6y+1-x2+x=x+6y+1．
6. 多项式 64a4b2c4+24a2bc2 在分解因式时应提取的公因式是 （ ）
A． 8a4bc4 B． 8a2b2c2
C． 8ab2c2 D． 8a2bc2
类型三 分解因式
D
7. 易错题 下列因式分解正确的是 （ ）
A． 4a2-4a+1=4a（a-1）+1
B． x2-4y2=（x+4y）（x-4y）
C．
D． 2xy-x2-y2=-（x+y）2
C
8. 分解因式.
（1）2m（m-n）3+6（n-m）2；
（2）10a（x-y）2+5ax（y-x）；
解：（1）原式=2（m-n）（2 m2-mn+3）；
（2）原 式 =10a（x -y）2 -5ax（x -y）
=5a（x-y）［2（x-y）-x］=5a（x-y）（x-2y）；
（3）a2 （x-y）-9（x-y）；
（4）（y2+3y）2-（2y+6）2.
原式=（x-y）（a2-9）=（x-y）（a+3）·（a-3）；
（4）原式=［y（y+3）］2-［2（y+3）］2
=y2 （y+3）2-4（y+3）2
=（y+3）2 （y2-4）=（y+2）（y-2）（y+3）2.
9. 求代数式 xya2+xyb2-2abxy 的值，其中 xy=5，a-b=-1．
解：原式=xy（a2+b2-2ab）=xy（a-b）2.
当 xy=5，a-b=-1 时，原式=5×（-1）2=5×1=5．(共18张PPT)
专项三 利用外角和与内角和进行简单的证明和计算强化练
三角形内角和定理与三角形外角的性质是解决角的有关计算及推理论证问题时常使用的理论依据.利用三角形内角和与外角的性质解决不规则图形的角度问题时，可通过添加辅助线将不规则图形划分为几个三角形的拼接.
1. 如图，将△AMN 沿 MN 翻折得到△DMN，点A 与点 D 是对应点， 若∠A=29°，∠BMD=90°，则∠DNC= （ ）
A． 32°
B． 35°
C． 38°
D． 40°
类型一 利用三角形的外角和与内角和求角度
A
2. 分类讨论思想 定义：若一个三角形的两个内角α 与 β，满足 α=2β，则这样的三角形称为“倍角三角形”，其中角 α 称为“倍角”．若“倍角三角形”中有一个内角为 36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数为 _____________________．
36° 或 72° 或 96°
3. 如图，在△ABC 中，∠ADB=100°，∠C=80°，∠BAD=∠DAC，BE 平分∠ABC，求∠BED 的度数.
解：∵∠ADB=∠C+∠DAC=100°，∠C=
80°，∴∠DAC=∠ADB-∠C=20°.
∵∠BAD=∠DAC，∴∠BAD=20°.
∴∠DBA=180°-∠ADB-∠BAD=60°.
∵BE 平分∠ABC，∴∠EBA= ∠DBA=
30°.∴∠BED=∠EBA+∠BAD=30° +20°=50°．
４. 如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC 的度数．
解：在△ABC 中，∵∠A=65°，∠ACB=72°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=43°.
∵∠ABD=30°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=
13°.∵CE 平分∠ACB，∴∠BCE= ∠ACB=36°.
∴ 在△BCE 中，∠BEC=180°-∠CBD-
∠BCE=180°-13°-36°=131°．
5. 如图，已知∠B=60°，∠C=20°，∠BDC=3∠A，求∠A 的度数．
解：如图，延长 CD 交 AB 于点 E．
∵∠BED=∠A+∠C，
∴∠BDC=∠B+∠BEC=∠B+∠A+∠C，
即 3∠A=60°+∠A+20°，∴∠A=40°．
6. 推理能力 如图，在△ABC 中，∠ACB=60°，∠ABC=α（α＜60°），BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，E 为射线 AC 上一动点 ，过 点 E 作射线 EF，使EF∥BC，作∠CEF 的平分线 EG 交射线 BD于点 G．
（1）若 α=50°，当点 E 在 AC 的延长线上时，求∠BGE 的度数；
（2）当点 E 在线段 AC 上，且 E 与 D 不重合时，直接写出∠BGE 的度数（用含 α 式子表示）．
解：（1）由题意知∠BCE=180°-∠ACB=120°，∵BD 平分∠ABC，∴∠CBD= ∠ABC=25°，∴∠BDC=180°-∠CBD-∠ACB=95°，
∵EF∥BC，∴∠CEF=∠BCE=120°，∵EG 平分∠CEF，
∴∠CEG= ∠CEF=60°，∴∠BGE=∠BDC-∠CEG=95°-60°=35°；
（2）∠BGE 的度数为 30°+ α.
7. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是△ABC 的角平分线，P 是射线 AC 上任意一点（不与 A，D，C 三点重合），过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为Q，交 BD 于点 E．当点 P 在线段 AC 上时，证明：∠PDE=∠PED.
类型二 利用三角形内角和与外角和进行简单的证明
证明：∵∠C=90°，
∴ ∠PDE =180° -90° - ∠CBD =90° -∠CBD.
∵PQ⊥AB，∴∠EQB=90°.
∴ ∠BEQ =180° -90° - ∠EBQ =90° -∠EBQ.
∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠CBD=∠EBQ，∴∠PDE=∠BEQ.
∵∠PED=∠BEQ，∴∠PDE=∠PED.
8. 推理能力 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AE 平分∠BAC，且∠ABC＞∠C．求证：∠DAE= （∠ABC-∠C）．
证明：∵AD⊥BC，∴∠D=90°.
∵∠ABC 是△ABD 的外角，
∴∠DAB=∠ABC-∠D=∠ABC-90°.
在△ABC 中，∠BAC=180°-∠ABC-∠C.∵AE 平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=90°- ∠ABC- ∠C.∵∠DAE=∠DAB+∠BAE，
∴∠DAE=∠ABC-90°+90°- ∠ABC- ∠C= ∠ABC- ∠C，
即∠DAE= （∠ABC-∠C）．
9. 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AC 上的一点，连接 BD，且∠BDC=65°，∠A=40°．
（1）求∠ABD 的度数；
（2）若 BD 平分∠ABC，求证：AC⊥BC．
解：（1）∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BDC=65°，∠A=40°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=65°-40°=25°；
（2）证明：∵BD 平分∠ABC，∠ABD=25°，∴∠ABC=2∠ABD=50°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-50°=90°，
∴AC⊥BC．
10. 类比思想 将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC 上（点 P 在△ABC 内），如图 1 所示，三角尺的两边 PM，PN 恰好经过点 B 和点C．我们来探究：∠ABP 与∠ACP 是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=_______°；∠ABP+∠ACP=_____°；
（2）类比探索：探究∠ABP，∠ACP，∠A 的数量关系，并说明理由；
（3）变式探索：如图 2，改变三角尺的位置，使点 P 在△ABC 外，三角尺的两边 PM，PN 仍恰好经过点 B 和点 C，探究∠ABP，∠ACP，∠A的数量关系，并说明理由．
90
40
（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
理由：∵ （∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）∠ACP-∠ABP=90°-∠A，
理由：设 AB 交 PC 于 O，∵∠AOC=∠POB，∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO，
即∠ACP+∠A=90°+∠ABP，
∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A.(共22张PPT)
专项一 不等式（组）与方程（组）结合应用分类练
理解实际问题中的问题背景，弄清题中相关量关系，建立适当的数学模型，并把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
1. 某次篮球联赛初赛阶段，每队有 10 场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分，积分超过 15 分才能获得决赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛的资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
类型一 不等式与方程结合
解：（1）设甲队初赛阶段胜了 x 场，则负了（10-x）场，根据题意可得 2x+10-x=18，解得 x=8，则 10-x=2.
答：甲队初赛阶段胜了 8 场，负了2 场；
（2）设乙队在初赛阶段胜 a 场，则负（10-a）场，根据题意可得 2a+（10-a）＞15，解得 a＞5.
答：乙队要获得决赛资格，在初赛阶段至少要胜 6 场．
2. 应用意识 某物业公司在没有存煤的情况下，购进一批煤炭进行冬季供暖，每天消耗的煤炭量相同．若供暖 6 天，则剩余煤炭 36 t，若供暖 10 天，则剩余煤炭 30 t．
（1）求该物业公司每天消耗煤炭的吨数和购进这批煤炭的吨数；
（2）若剩余煤炭低于 3 t，就需要补充煤炭．供暖 16天后，天气转冷，每天消耗的煤炭量增多20%，则最多再供暖几天后必须补充煤炭？
解：（1）设物业公司每天消耗煤炭 x t，由题意，得 6x+36=10x+30，解得 x=1.5，所以购进这批煤炭的吨数为6×1.5+36=45（t）.
答：该物业公司每天消耗煤炭 1.5 t，购进这批煤炭的吨数为 45 t；
（2）设再供暖 a 天，依题意得 1.5（1+20%）a+1.5×16≤45-3，解得 a≤10．所以 a 最大为 10.
答：最多再供暖 10 天后必须补充煤炭．
3. 某中学开学初到商场购买 A，B 两种品牌的足球，购买 A 种品牌的足球 50 个，B 种品牌的足球 25 个，共花费 4 500 元．已知购买一个 B 种品牌的足球比购买一个 A 种品牌的足球多花 30 元．
（1）购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元？
类型二 不等式与方程组结合
解：（1）设 A 种品牌足球的单价为 x元，B种品牌足球的单价为 y 元，依题意，得
50x+25y＝4 500，
y＝x+30 ， 解得
x＝50，
y＝80.
答： 购买一个 A 种品牌的足球需要50元， 购买一个 B 种品牌的足球需要80 元；
（2）学校为了响应“足球进校园”的号召，决定再次购进 A，B 两种品牌的足球共 50 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A 种品牌的足球售价比第一次购买时提高 4 元，B 种品牌的足球按第一次购买时售价的九折出售，若学校此次购买 A，B 两种品牌的足球的总费用不超过第一次花费的 70%，则这次学校最多可以购买多少个 B 种品牌的足球？
（2）设购买 B 种品牌的足球 m 个，则购买 A 种品牌的足球（50-m）个，依题意，得（50+4）（50-m）+80×0.9m≤4 500×70%，解得 m≤25.
答：这次学校最多可以购买 25 个 B 种品牌的足球．
4. 某校九年级 10 个班师生举行毕业文艺汇演，每班 2 个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的 2 倍少 4 个．
（1）九年级师生表演的歌唱类与舞蹈类节目各有多少个？
（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是 5 min、6 min、8 min，预计所有演出节目交接用时共花 15 min． 若从 20：00开始，22：30 之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？
解：（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有 x 个，舞蹈类节目有 y 个，根据题意，得
x+y＝10×2，
x＝2y-4, 解得
x＝12，
y＝8.
答：九年级师生表演的歌唱类节目有12 个，舞蹈类节目有 8 个；
（2）设参与的小品类节目有 a 个，
根据题意，得 12×5+8×6+8a+15＜150，
解得 a＜ ，由于 a 为整数，
∴a 的最大值为 3.
答：参与的小品类节目最多能有 3 个．
5. 方案问题 某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共 20件．其中甲种奖品每件 40 元，乙种奖品每件30元.
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了 650 元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件；
（2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 2 倍，总花费不超过 680 元，问该公司有哪几种不同的购买方案？
类型三 方程与不等式组结合
解：（1）设甲种奖品购买了 x 件，则乙种奖品购买了（20-x）件，
根据题意得 40x+30（20-x）=650，
解得 x=5，则 20-x=15.
答：甲种奖品购买了 5 件，乙种奖品购买了 15 件；
（2）设甲种奖品购买了 m 件，则乙种奖品购买了（20-m）件，根据题意，得
20-m≤2m，
40m+30（20-m）≤680, 解得 ≤m≤8，
∵m 为整数，∴m=7 或 m=8，
当 m=7 时，20-m=13；
当 m=8 时，20-m=12.
答：该公司有两种不同的购买方案：甲种奖品购买 7 件，乙种奖品购买13 件或甲种奖品购买 8 件，乙种奖品购买 12 件．
6. 某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书.调查发现，若购买甲种书柜 3 个、乙种书柜 2 个，共需资金1 020 元；若购买甲种书柜 4 个、乙种书柜 3 个，共需资金 1 440 元．
（1）甲、乙两种书柜的单价分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共 20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金 4 320 元，请设计几种购买方案供学校选择．
类型四 方程组与不等式组结合
解：（1）设甲种书柜的单价为 x 元，乙种书柜的单价为 y 元，由题意得
3x+2y＝1 020，
4x+3y＝1 440, 解得
x＝180，
y＝240 .
答：甲种书柜的单价为 180 元，乙种书柜的单价为 240 元；
（2）设甲种书柜购买 m 个，则乙种书柜购买（20-m）个，由题意得
20-m≥m，
180m+240（20-m）≤4 320,
解得 8≤m≤10.
因为 m 取整数，所以 m 可以取的值为 8，9，10.
则学校的购买方案有以下三种：
方案一：购买甲种书柜 8 个，乙种书柜12 个；
方案二：购买甲种书柜 9 个，乙种书柜11 个；
方案三：购买甲种书柜 10 个，乙种书柜 10 个．
7. 模型观念 某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买 3 辆男式单车与 4 辆女式单车的费用相同，购买 5 辆男式单车与 4辆女式单车共需 16 000 元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多 4 辆，两种单车至少需要 22 辆，购置两种单车的费用不超过 50 000 元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低？最低费用是多少？
解：（1）设男式单车 x 元/辆，女式单车y 元/辆，根据题意，得
3x＝4y，
5x+4y＝16 000, 解得
x＝2 000，
y＝1 500.
答： 男式单车 2 000 元/辆， 女式单车1 500 元/辆；
（2）设购置女式单车 m 辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据题意，得 m+m+4≥22，
2 000（m+4）+1 500m≤50 000,
解得 9≤m≤12，∵m 为整数，∴m 的值可以是 9，10，11，12，即该社区有4 种购置方案.购置总费用为 2 000（m+4）+1 500m=3 500m+8 000（元），因为男式单车价格较贵，所以购买越少，费用越低，
∴ 当 m=9 时，有最低费用，最低费用为 3 500×9+8 000=39 500 元.
答：该社区共有 4 种购置方案，其中购置男式单车 13 辆，女式单车 9 辆时所需总费用最低，最低费用为39 500元．

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