资源简介

2025年中考复习培优专题训练：中点四边形
中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形．中点四边形所以中点模型中比较经典的应用，一直活跃在各种考试中，一般以校内考试为主，不过偶尔也会在中考中，以选填压轴题出现．中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块．中点四边形的学习在于对于结论的记忆和推导，并且能够熟练应用，对于学生的基本功要求较高
结论一：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．
结论二：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．
结论三：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．
结论四：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．
推广与应用
1、中点四边形的周长等于原四边形对角线之和．：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和．
2、中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.
一．选择题
1．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个矩形，则这个四边形满足条件的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．三个角都是直角
2．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（　　）
A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
3．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD
4．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
5．如图， ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法不正确的是（　　）
A．BF＝OH
B．2EF＝CD
C．四边形EFGH是平行四边形
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
6．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
7．如图，菱形ABCD中，点O为对角线的交点，E、F、G、H是菱形ABCD的各边中点，若AC＝6，BD＝8，则四边形EFGH的面积为 　 　．
8．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝AC．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 　 　．
9．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次联结 ABCD各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是 　 　．（填序号）
10．如图，点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 　 　．
三．解答题
11．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
12．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．
（2）对角线AC，BD满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？请说明理由．
13．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，连接AC、BD．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．
14．阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 　 　；
（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．
15．我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，可证中点四边形EFGH是平行四边形，如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使中点四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？
（1）①当AC 　 　BD时，四边形EFGH为菱形；
②当AC 　 　BD时，四边形EFGH为矩形．
（2）当AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？请回答并证明你的结论．
16．阅读理解我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
问题解决
（1）判断图1中的中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）当图1中的四边形ABCD的对角线添加条件 　 　时，这个中点四边形EFGH是正方形．
拓展延伸
（3）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD．
即对角线互相垂直．
故选：C．
2．【解答】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，ENAB＝FM，MECD＝NF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，
∴平行四边形EMFN是菱形；
当AB⊥CD时，EN⊥ME，
则∠MEN＝90°，
∴菱形EMFN是正方形；
故选：A．
3．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，
∴EF＝GHAB，EH＝FGCD，
∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：C．
4．【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC5，
∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EH＝FGBC，EF＝GHAD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．
故选：C．
5．【解答】解：A、在 ABCD中，OB＝OD，
∵F，H分别是BO，DO的中点，
∴BFOB，OHOD．
∴BF＝OH．
故选项A说法正确；
B、在 ABCD中，AB＝CD．
∵E，F分别是AO，BO的中点，
∴EFABCD．
∴2EF＝CD．
故选项B说法正确；
C、在 ABCD中，AD＝BC，AD∥BC．
∵E，H分别是AO，DO的中点，
∴EH∥AD，且EHAD．
同理，FG∥BC，FGBC．
∴EH∥FG且EH＝FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选项C说法正确；
D、∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EFAB，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴（）2，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍．
故选项D说法不正确．
故选：D．
6．【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；
…
故第n个正方形周长是原来的，
以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，
∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，
∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，
故选：C．
二．填空题
7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，
∴EH∥FG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵∠AEH＝∠ABO，∠BEF＝∠EAO，
∴∠AEO+∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，BD＝8，
∴EFAC＝3，
∴EHBD＝4，
∴四边形EFGH的面积为3×4＝12，
故答案为：12．
8．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．
理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，
∴HG∥AC且HGAC；
同理EF∥AC且EFAC，同理可得EHBD，
则HG∥EF且HG＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH＝90°，
∴菱形EFGH是正方形．
故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．
9．【解答】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①∵AC⊥BD，
∴新的四边形成为矩形，符合条件；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝DO．
∵C△ABO＝C△CBO，
∴AB＝BC．
根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，
∴BD⊥AC，
∴新的四边形成为矩形，符合条件；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CBO＝∠ADO．
∵∠DAO＝∠CBO，
∴∠ADO＝∠DAO．
∴AO＝OD．
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④∵∠DAO＝∠BAO，BO＝DO，
∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴新四边形是矩形，符合条件．
所以①②④符合条件．
故答案为：①②④．
10．【解答】解：∵一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，
∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．
故答案为：①②③
三．解答题
11．【解答】证明：∵E、F分别是AD，BD的中点，G、H分别中BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EFAB；GH∥AB，GHAB，
∴EF∥GH，EF＝GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
12．【解答】（1）证明：如图，连接AC，BD，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EFAC，
同理，HG∥AC，GHAC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：当图中的四边形ABCD的对角线满足条件AC＝BD时，这个中点四边形EFGH是菱形，
∵EFAC，EHBD，AC＝BD，
∴EH＝EF，
∴ EFGH是菱形，
故答案为：AC＝BD．
13．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC，EFAC，HG∥AC，HGAC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：
由（1）知：四边形EFGH是平行四边形．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EHBD．
又∵EFAC，
∴当AC＝BD时，EF＝EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
14．【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；
理由如下：连接AC，如图1所示：
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EFAC，GH∥AC，GHAC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：
连接AC与BD，如图2所示：
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，
∴∠AMC＝∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
，
∴△AMC≌△DMB（SAS），
∴AC＝DB，
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EFAC，GH∥AC，GHAC，HEDB，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵AC＝DB，
∴EF＝HE，
∴四边形EFGH为菱形．
15．【解答】（1）解：①当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；理由如下：
∵G、H分别是四边形CD、AD的中点，
∴GH是△ACD的中位线，
∴GH∥AC，GHAC，
同理：EF∥AC，EFAC，GF∥BD，GFBD，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴EF＝GF，
∴四边形EFGH是菱形；
故答案为：AC＝BD；
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：
同①得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF＝90°，
∴四边形EFGH为矩形；
故答案为：AC⊥BD；
（2）解：当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形；理由如下：
当AC＝BD时，由①得：四边形EFGH为菱形；
当AC⊥BD时，由②得：四边形EFGH为矩形；
∴四边形EFGH为正方形．
16．【解答】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC、BD，
∵E，F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EFAC，同理HG∥AC，GHAC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形，
∵EFAC，EHBD，AC＝BD，
∴EH＝EF，
∴四边形EFGH为菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
故答案为：AC＝BD且AC⊥BD；
（3）四边形EFGH为菱形．
证明：连接AC与BD，
∵△AMD和△MCB为等边三角形，
∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，
∴∠AMC＝∠DMB，
在△AMC和△DMB中，
，
∴△AMC≌△DMB，
∴AC＝DB，
∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，
∴EF∥AC，EFAC，GH∥AC，GHAC，HEDB，∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝DB，
∴EF＝HE，
∴四边形EFGH为菱形．

展开更多......

收起↑